هذه النسخة مُكتوبة باستخدام \LaTeX{}.

مُلخّص

نُقدِّم اشتقاقًا أوّليًا للإنتروبيّا الميكرويّة لفئة عامّة جدًّا من الثقوب السوداء فائقة التناظُر، المتسارِعة والدَّوّارة، في AdS\( _4 \). يتحقّق ذلك عبر تحليل حدّ \(N \to \infty\) لمؤشِّر المغزل، ويُكمِّل بناء أول مثال على تكافؤ هولوغرافي يتضمّن نظريّات حقليّة فائقة التناظُر مُعرَّفة على أوربيفولدات ذات تفرُّدات مِخروطيّة.

مقدّمة

يُعَدّ تفسير الأصل المجهري لإنتروبيّا الثقوب السوداء فائقة التناظُر في فضاء ضد دي سيتر (AdS) أحد أبرز نجاحات ثنائية الهولوغرافيا. وقد أُنجِز ذلك أوّل مرّة في (Benini:2015eyy) لفئةٍ من الثقوب السوداء في AdS\( _4 \) عبر دراسة حدّ \(N\) الكبير للمؤشِّر الملتوي طوبولوجيًا (Benini:2015noa). وقد توسّعت حظيرة الثقوب السوداء فائقة التناظُر بدرجة كبيرة في (Ferrero:2020twa)، حيث بُنِي ثقبٌ أسود فائق التناظُر، دوّار ومتسارِع، بأُفُقٍ مغزليّ، مع إبراز عددٍ من السمات اللافتة. والأشدّ إدهاشًا أنّ التناظُر الفائق يُحفَظ في ذلك الحلّ بواسطة آليّة جديدة تُعرَف باسم مُضادّ الالتواء. ولوحِظ لاحقًا أنّه يمكن حفظ التناظُر الفائق على المغزل عبر الالتواء الطوبولوجي التقليدي (Ferrero:2021etw,Ferrero:2021ovq). وبالاستفادة من بصائر (Cabo-Bizet:2018ehj)، أُظهِر في (Cassani:2021dwa) أنّ الفعل الحَدّي لتشويهٍ مُعقَّد وفائق التناظُر للثقب الأسود في (Ferrero:2020twa) يتّخذ صيغة دالّة الإنتروبيّا، التي يؤدّي تطرُّفُها إلى إنتروبيّا بيكنشتاين–هوكينغ. واقتُرح تعميمٌ لهذه الدالّة في (Faedo:2021nub)، حيث أُشير إلى إمكان التعبير عنها بوساطة الكُتَل الجاذبيّة (Hosseini:2019iad)، كما في جميع الأمثلة السابقة للثقوب السوداء. وقد ثُبِّت تحليل الكُتَل لدالّة الإنتروبيّا الجاذبيّة في (Boido:2022mbe) باستخدام الصياغة الرسمية لـ (Couzens:2018wnk)، ثمّ في (BenettiGenolini:2024kyy) عبر التوطين المُكافئ في الجاذبيّة الفائقة.

واستلهامًا من هذه التطوّرات، قام (Inglese:2023wky,Inglese:2023tyc) بحساب الدالّة التقسيميّة المُوطَّنة لنظريّات تشيرن–سيمونز–المادّة ذات \({\cal N} = 2\) المُعرَّفة على \(\spindle \times S^1\)، حيث \(\spindle = \mathbb{WCP}^1_{[n_+,n_-]}\) هو المغزل، مع إمّا التواء أو مُضادّ الالتواء لاتصال تناظُر \(R\)، أي الحقل \(A\): \[ \begin{aligned} \label{twistantitwistdef} \int_{\spindle} \frac{dA}{2\pi} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n_+} + \frac{s}{n_-} \right) \equiv \frac{\chi_s}{2} ~ , \end{aligned} \] ويمكن صوغ النتيجة في معادلة واحدة تُعرَف بـ مؤشِّر المغزل (Inglese:2023wky)، والذي يُعرَّف (Cassani:2021dwa) بوصفه مؤشِّر ويتن مُنكَّهًا \[ \begin{aligned} \label{traceformula} Z_{\spindle \times S^1} = {\rm Tr}_{\mathscr H[\spindle]} \left(e^{ - i \sum_{\alpha=1}^{n_{\rm globsym}} \varphi_ \alpha Q_\alpha+ i \omega J}\right) \, , \end{aligned} \] حيث \(Q_\alpha\) مُولِّداتُ تماثلات النكهة العالميّة ذات البُعد \(n_{\rm globsym}\)، و\(J\) مُولِّد الزخم الزاوي على \(\spindle\)، و\(\mathscr H[\spindle]\) هو فَضاء هيلبرت للحالات BPS على المغزل، في حين أنّ الكُمونات الكيميائيّة تخضع للقيد \[ \begin{aligned} \label{lovelyconstraint} \sum_{\alpha=1}^{n_{\rm globsym}} \varphi_\alpha + \frac{\chi_{-s} }{2} \omega = 2 \pi n \, , \qquad n \in \mathbb{Z} \, . \end{aligned} \] سنُبيّن في هذه الرسالة أنّ حدّ \(N\) الكبير لمؤشِّر المغزل يُعيد إنتاج دوالّ الإنتروبيّا المرتبطة بالثقوب السوداء فائقة التناظُر والمتسارِعة في AdS\( _4 \). وفي حالة \(n_+=n_-=1\)، تشمل نتيجتُنا حدَّ \(N\) الكبير لكلٍّ من المؤشِّر الملتوي طوبولوجيًا والمؤشِّر فائق التناظُر المُطابِق المُعمَّم. ستَرِد مزيدٌ من التفاصيل والتعميمات في (toappear).

نموذج مصفوفة مؤشِّر المغزل

ننظر في نظريّات تشيرن–سيمونز–المادّة ذات \({\cal N}=2\) مع مجموعة قياس \(\mathcal G=\prod_{a=1}^{|\mathcal{G}|} U(N)_a\)، ومضاعفات كايراليّة تتحوّل في تمثيلات ثنائيّة الأساس أو الأُساسيّة لعوامل مجموعة القياس. على نحوٍ مُخطَّط، يُكتَب المؤشِّر على صورة نموذج مصفوفة \[ \begin{aligned} \label{eq: zs1spindlefull} Z_{\spindle \times S^1}\left(\varphi,\mathfrak{n},\epsilon\right) = \sum_{\mathfrak m \in \Gamma_{\mathfrak h} } \oint_{\mathcal C} \frac{d u}{|W_{\mathcal G}|} \, \widehat Z \left(u, \mathfrak m \mid \varphi,\mathfrak{n},\epsilon \right) ~ , \end{aligned} \] حيث \(\mathfrak h\)، و\(\Gamma_{\mathfrak h}\)، و\(W_{\mathcal G}\) تُشير على الترتيب إلى جبر كارتان، وشبكة الجذور، ومجموعة وايل لمجموعة القياس \(\mathcal G\)؛ بينما \(\mathcal C\) مسار تكامل مناسب لـ\(u\). هنا يرمز \(u \in \mathfrak h\) إلى الهولونوميّات على \(S^1\)، وتُمثِّل \(\mathfrak m \in \Gamma_{\mathfrak h}\) التدفقات من خلال \(\spindle\). وبالمثل، ترمز \(\varphi\) و\(\mathfrak n\) إلى كُمونات النكهة والطوبولوجيّة وتدفّقاتها الخلفيّة، مع اعتماد التعبير أعلاه ضمنيًا على بيانات المغزل \(n_+,n_-\) ومعامل الالتواء \(s\).