مُلخَّص
نحسب إشعاع جسيماتٍ مشحونةٍ تمرّ عبر سلسلةٍ منتظمة من الألواح البلّورية الرقيقة المستطيلة المثبّتة على سطح بلورةٍ أحادية. تُساوي سماكة كل لوح نصف فترة تذبذب التوجُّه الخطي داخل بلورة سميكة. عندما يدخل الجسيم الموجب الشحنة اللوحَ الأول بزاويةٍ أصغر من الزاوية الحرجة للتوجُّه، يُحتجَز داخل القناة البلّورية وتنعكس إشارة سرعته المستعرضة. بين الألواح يتحرّك الجسيم حركةً خطيّة مستقيمة، بينما يتّبع داخل الألواح نصف الموجية مساراتٍ شبه جيبيّة. ندرس خصائص الإشعاع المنبعث أثناء عبور هذا «المُمَوِّج متعدّد البلورات». يكون طيف الإشعاع في كل اتجاهٍ متقطِّعًا؛ إذ تعتمد تردّدات التوافقيات وعددُها على المسافة الفاصلة بين الألواح، وطاقة الجسيم، والجهد البلّوري المُتوسّط. ينحصر الإشعاع ضمن مخروطٍ ضيّق حول اتجاه السرعة المتوسّطة للجسيم، ويكون مُستقطَبًا في الغالب ضمن المستوى العمودي على المستويات البلّورية.
مُقَدِّمة
استُخدمت منذ زمنٍ طويل الجسيماتُ فائقةُ النسبيّة المُقناة في بلورةٍ أحادية مصدرًا لإشعاعٍ كهرومغناطيسي عالِي الطاقة. ومن أهمّ عيوب هذا المصدر القدرةُ المحدودة على ضبط تردّد الإشعاع. للتغلّب على هذا القصور اقتُرحت مخطّطات تجمع بين مزايا إشعاع القنوات وإشعاع المُموِّج. من بين هذه المخطّطات الأشهرُ البلّوراتُ المنحنية دوريًّا، حيث يمكن إحداث انحناءٍ في المستويات البلّورية بواسطة موجاتٍ فوق صوتيّة (Kaplin1980, Baryshevsky1980)، أو عبر تقطيعٍ دوريٍّ دقيقٍ للوحةٍ بلّوريةٍ واحدة تنحني بفعل الإجهادات الداخلية (Baryshevsky:2013jja, Bagli, Bellucci2003, Biryukov2004). وللحصول على إشعاعٍ ذي طاقةٍ أكبر، قُدِّمت فكرة المُموِّجات البلّورية (Kostyuk2013, Sushko2015341) وتحقّقت تجريبيًّا (Wistisen2014, Uggerhoj2015) بفتراتٍ أقصر بكثير من فترات تذبذب القنوات وبانحناءاتٍ أصغر بكثير من المسافة بين المستويات البلّورية.
ومن ناحيةٍ أُخرى، وعند الرغبة في الحصول على إشعاعٍ بأطوالٍ موجيّةٍ أطول ولكن بشدّةٍ عالية، يبقى استخدامُ حزمةٍ عالية الطاقة مُلائمًا. في هذه الحالة يمكن استخدام بلّورة منحنية دورِيًّا، أو كما اقترح في (Vorobiev1982_pat)، مجموعةٌ من الألواح البلّورية الرقيقة التي تعكس المكوّن المستعرض لسرعة الجسيمات فتبدو مساراتُها متعرِّجة. نركّز في هذه الدراسة على حساب الإشعاع الصادر من جهازٍ يُسمّى «المُمَوِّج متعدّد البلورات».
استُخدمت الطرائقُ العدديّة في (Pivovarov_2014) لدراسة مسارات الإلكترونات والبوزيترونات في لوحٍ بلّوري سماكته نصفُ فترة تذبذب التوجّه الخطي. كما تناولت الدراسةُ التجريبية (Takabayashi2015) مرورَ الإلكترونات عبر مثل هذا اللوح «نصف الموجة». وقد دُرست خصائصُ الإشعاع المنبعث في لوحٍ واحدٍ من هذا النوع عدديًّا، وأظهرت أن الخصائص الأساسية للإشعاع تُشبه نظيرتَها في إشعاع القوس الدائري (Bagrov1983, Polozkov2015212). يؤدّي التراكبُ المتماسك لحقول الإشعاع المولَّدة في سلسلة الألواح نصف الموجية إلى طيفٍ مميّز نتحقّق نظريًّا من خصائصه في هذه الورقة.
مسار الجسيم
نَعتبر مُموِّجًا متعدّد البلورات يتكوّن من سلسلةٍ منتظمةٍ من الألواح البلّورية الرقيقة المستطيلة، سماكةُ كلٍّ منها نصفُ فترة التذبذب الخطي. تكون المستوياتُ البلّورية التي تُوجِّه الجسيماتِ موجبةَ الشحنة عموديةً على سطوح هذه الألواح، بينما يمكن إهمال بقيّة البنية البلّورية نظرًا لصِغَر سماكة الألواح مقارنةً بارتفاعها. وعليه سنُعالج الألواحَ على أنها ألواحٌ بلّورية رقيقة من نوع «نصف الموجة». وقد استُخدم تصميمٌ مشابه في التجارب (Kaplin2000, Kaplin2001) لإنتاج إشعاع الانتقال الحيودي والإشعاع السيني البارامتري عند شرط براج، لكن مع سماكات ألواحٍ أكبر بكثير من نصف فترة التوجّه.
نختار نظام إحداثيات بحيث يكون محور \(x\) موازيًا للمستويات البلّورية، ومحور \(y\) عموديًّا عليها، والمحور \(z\) عموديًّا على السرعة الابتدائية للجسيم الساقط. سماكة كلّ لوح هي \(d_1\)، والمسافة بين الألواح هي \(d_2\)، والمسافة بين المستويات البلّورية تُساوي \(2a\). نستخدم التقريب التوافقي للجهد الكهربائي المُتوسّط بين المستويات البلّورية: \[U(y)=\frac{U_0}{a^2}y^2,\] حيث \(U_0\) عمقُ وادي الجهد. معادلاتُ الحركة النسبيّة للجسيم في المستوى \(z=0\) هي \[ \frac{d p_x}{d t}=0,\quad \frac{d p_y}{d t}=-\frac{2eU_0}{a^2}y. \] هنا \( p_x\) و\(p_y \) هما مُكوِّنا الزخم، مع \[ p_i=\gamma m\dot x_i,\quad x_i=x,y,\quad \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2},\quad \beta^2=\beta_x^2+\beta_y^2, \] و\(m\) و\(e\) كتلةُ الجسيم وشحنتُه، و\(\beta_i=\dot x_i/c\)، والنقطةُ تدلّ على المشتقّة الزمنية، و\(c\) سرعةُ الضوء.
لنفترض أن الجسيم فائقُ النسبيّة (\(\gamma\gg 1\)) ومستوفٍ لشرط «تقريب الزوايا الصغيرة» (Bordovitsyn-SR) \[ \beta_y\ll\gamma^{-1},\quad \delta\beta_x\ll \gamma^{-2}, \] حيث \(\delta\beta_x\) سعةُ تغيّر \(\beta_x\). في هذه الحالة يمكن اعتبار \( \gamma\) ثابتة. تكاملُ المعادلات في هذا التقريب يعطي \[ \begin{aligned} x(t)&=v\,t,\\ y(t)&=\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)+y_{0}\cos(\omega_{0}t), \end{aligned} \] حيث \(v\) و\(v_{0y}\) هما سرعة الجسيم الابتدائية ومكوّنُها على \(y\)، و\(\omega_{0}\) هو تردّد تذبذبات الجسيم: \[ \omega_{0}^2=\frac{2U_0}{a^2m\gamma}. \]
شرطُ التوجّه هو أن تكون سعةُ التذبذبات \(y_0^2+(v_{0y}/\omega_0)^2\) أصغر من نصف المسافة بين المستويات البلّورية. وبناءً عليه، إذا كانت حزمةٌ متوازية من الجسيمات تسقط على سطح اللوح البلّوري، فإن الجسيمات ذات الإحداثي الابتدائي \(y_0\) التي تُحقّق \[
y_0^2
سماكةُ كلّ لوحٍ بلّوري تساوي نصفَ فترة التذبذب: \(d_1=\pi v/\omega_{0}\). لذلك، عند مغادرة اللوح البلّوري الأول يكون \(y_1=-y_0\) ومكوّن السرعة \(v_{y1}=-v_{y0}\). بين اللوح الأول والثاني يتحرّك الجسيم على خطٍّ مستقيم. ولكي يجري التقاطُ جميع الجسيمات التي حوّلها اللوحُ الأول في اللوح الثاني، يُختار الفاصل بين اللوحين بحيث يتحقّق \[ d_2=2an\,\frac{v}{v_{0y}}=\frac{2an}{\alpha},\quad n=0,1,2,\dots \] وهو ما نفترضه من الآن فصاعدًا. عندئذٍ يأخذ قانونُ حركة الجسيم داخل اللوح البلّوري الثاني الصورةَ \[ \begin{aligned} x&=v\,t,\\ y&=-\dfrac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin\!\bigl[\omega_{0}(t-t_2)\bigr]-y_{0}\cos\!\bigl[\omega_{0}(t-t_2)\bigr]-2an, \end{aligned} \] حيث \(t_2=(d_1+d_2)/v\). وإذا كانت زاويةُ السقوط \(\alpha\) تساوي صفرًا، فتُلتقط جميعُ جسيمات الحزمة في التوجّه مهما تكن المسافة \(d_2\).
تتألّف الفترةُ المكانيّة للمُمَوِّج متعدّد البلورات من لوحين متتاليين والفاصلين بينهما، وتساوي فترةُ الحركة الزمنيّة \(T=2(d_1+d_2)/v\).
الإشعاع
يُعطى التوزيعُ الطيفي والزاوي للطاقة المُشعّة من جسيمٍ في حركةٍ شبه دوريّة على مسارٍ مُستوٍ بالصّيغة (Bordovitsyn-SR):
\[ \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{4e^2\gamma^4} {c\tilde{\omega}^2} \frac{\sin^2\pi\nu N}{\sin^2\pi\nu}(\rho_\sigma+\rho_\pi) |\dot{\boldsymbol\beta}(\nu)|^2, \]
حيث \(N\) عددُ دورات المُموِّج، وتُعرَّف التوزيعاتُ الزاويّة لمكوّنات الاستقطاب \(\rho_\sigma\) و \(\rho_\pi\) بالمعادلات: \[ \begin{aligned} \rho_\sigma&=\frac{(1-\psi^2\cos 2\varphi)^2}{(1+\psi ^2)^4}\:, \\ \rho_\pi&=\frac{\psi^4\sin^2 2\varphi}{(1+\psi ^2)^4}, \end{aligned} \] ويُعطى المُكوِّنُ الفوريي للتسارع بـ\[ \begin{aligned} \dot{\boldsymbol\beta}(\nu)=\frac {1}{T}\int_0^T \dot{\boldsymbol\beta}(t) e^{i\tilde{\omega}\nu t}dt,\quad \nu=\frac{\omega}{2\gamma^2\tilde{\omega}}(1+\psi^2). \end{aligned} \] هنا \(\tilde{\omega}=2\pi/T\) هو تردّد تذبذبات الجسيم، و\(\psi=\gamma\theta\) مع \(\theta\) زاويةُ الإشعاع بالنسبة لمحور الحركة المتوسّطة (محور \(x\))، و\(\varphi\) زاويةُ السَّمت في المستوى \(yz\).
باستعمال قوانين الحركة أعلاه وإدراجها في الصيغة السابقة، نحصل على: \[ \begin{gathered} \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{16e^2\gamma^4a^2\omega_0^2N^2} {\pi^2c^3} I_1(\nu)I_2(\nu)(\rho_\sigma+\rho_\pi)\times\\ \times\left[\left(\frac{y_0\nu\eta}{a}\right)^2+\phi^2\right], \end{gathered} \] حيث \(\phi=\alpha/\alpha_c\) هي نسبة زاوية السقوط إلى الزاوية الحرجة للتوجّه، و \(\eta=\tilde{\omega}/\omega_0<1\) هي نسبة تردّد تذبذبات الجسيم إلى تردّد التوجّه. الدوالُّ الطيفيّة \[ \begin{aligned} I_1(\nu)&=\frac{\cos^2(\pi\nu\eta/2)}{(1-\eta^2\nu^2)^2},\\ I_2(\nu)&=\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{4N^2\cos^2(\pi\nu/2)} \end{aligned} \] تُحدِّد الخصائصَ الأساسيّة للإشعاع. في حالة \(N\gg 1\) تولِّد الدالّة \(I_2(\nu)\) خطوطًا طيفيّة ضيّقة بعرض \(\Delta\nu=N^{-1}\) قرب القيم الفرديّة لـ\( \nu\)، بينما تُشكّل الدالّة \(I_1(\nu)\) الغِلافَ العام للطيف.
لإيجاد الكثافة الطيفيّة للإشعاع الصادر من مُموِّجٍ بلّوري بعددٍ كبير من الدورات \(N\)، نأخذ الحدّ (Bordovitsyn-SR) \[ \lim_{N\to\infty}\frac{\sin^2\pi\nu N}{N\sin^2\pi\nu}=\sum_{n=1}^\infty\delta(n-\nu) \] ثم نُجري التكامل على الزاوية الصلبة \(d\Omega=\theta\, d\theta\, d\varphi\) لنحصل على الطيف التكاملي للإشعاع: \[ \begin{gathered} \frac{d{\cal E}}{ d\omega} =\frac{4e^2a^2\omega_0^2\gamma^2\xi N}{\pi c^3}\times\\ \times\sum_{n=1}^\infty \frac{s_n\cos^2(\pi n\eta/2)}{n^4(1-n^2\eta^2)^2}\bigl[1-(-1)^n\bigr]G_n\,\Theta(n-\xi), \end{gathered} \] حيث \(s_n=s_{n\sigma}+s_{n\pi}\) هو مجموع مساهمات الاستقطاب الخطي، و\( \xi=\omega/(2\gamma^2\eta\omega_0)\) هو التردّد المُخفَّض، و\(G_n\) يُحدِّد تأثير الإحداثي الابتدائي وزاوية السقوط على الطيف: \[ \xi=\frac{\omega}{2\gamma^2\eta\omega_0},\quad G_n=\left(\frac{y_0 n\eta}{a}\right)^2+\phi^2, \] و\(\Theta(n-\xi)\) دالّةُ هيفيسايد.
حتى الآن بحثنا خصائصَ إشعاع جسيمٍ واحد. ولإيجاد الكثافة الطيفيّة المنبعثة من حزمةٍ متوازية من الجسيمات، نوسِّط التعبير السابق بالنسبة إلى الإحداثي الابتدائي \(y_0\) بافتراض توزيعٍ متجانس على المجال \([-a,a]\) مع أخذ شرط الالتقاط في الحسبان. وبما أنّ \(y_0\) يظهر فقط في \(G_n\)، يكفي احتساب المتوسِّط \[ {\overline G}_n=\frac{1}{2a}\int_{-y_m}^{y_m}G_n\,dy_0= \sqrt{1-\phi^2}\Bigl[\tfrac{n^2\eta^2}{3}(1-\phi^2)+\phi^2\Bigr] \] ثم استخدام \(\overline G_n\) مكان \(G_n\) في الطيف التكاملي.
يعرض الشكل spectrum طيف الإشعاع لحزمةٍ متوازية من الجسيمات للمعاملات \(\eta=0.5\) و \(\alpha=0\). ومن أجل المقارنة مع النتائج التجريبية المحتملة، يبيّن الشكل spectrum1 عددَ الفوتونات \(dn\) لكل فرق تردّدي \(d\omega\). يتكوّن الطيف أساسًا من التوافقيين الأول والثالث. ويُحدِّد العامل \(\cos^2(\pi n\eta/2)/(1-n^2\eta^2)^2\) عددَ التوافقيات المُساهمة؛ إذ يكون قريبًا من الواحد عند القيم المنخفضة لـ\(n\eta\) وينخفض سريعًا إذا \(n\eta\gtrsim3\). وهكذا، يكمن الجزءُ الرئيسي من الطيف حول \(n\sim3/\eta\). علاوةً على ذلك، يعتمد الطيف على زاوية سقوط الحزمة على البلّورة.
\[ \begin{aligned} &{\cal E}=\sum_{n=1}^\infty({\cal E}_{n\sigma}+{\cal E}_{n\pi}),\quad {\cal E}_{n\sigma}=\frac 78{\cal E}_n,\quad {\cal E}_{n\pi}=\frac 18{\cal E}_n,\\ &{\cal E}_n=\frac{16e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N\eta}{3\pi c^3}S(n\eta). \end{aligned} \]
توزيعُ الطاقة المنبعثة على التوافقيات يُعطى بواسطة الدالّة \[ S(n\eta)=\frac{\cos^2(\pi n\eta/2)}{(1-n^2\eta^2)^2}\bigl[1-(-1)^n\bigr]{\overline G}_n. \] هذه دالّةٌ مُتقطِّعة للقيم الفردية لـ\(n\). تعتمد \(\overline G_n(\phi)\) على زاوية السقوط \( \phi\) فقط. فإذا كانت \( \phi=0\)، فتأخذ القيمة \(\overline G_n(0)=n^2\eta^2/3\). ومع زيادة زاوية السقوط، تزداد \(\overline G_n(\phi)\) في نطاق التردّد المنخفض (\(n^2\eta^2<2\)) وتبلغ الحدّ الأقصى عند \( \phi=\phi_m\): \[ \overline G_n(\phi_m)=\frac{2}{3\sqrt{3-n^2\eta^2}},\quad \phi_m=\sqrt{\frac{2-n^2\eta^2}{3-n^2\eta^2}}. \] ثم تنخفض هذه الدالّة وتصل إلى الصفر عند \( \phi=1\). أمّا في نطاق التردّد العالي (\(n^2\eta^2\ge2\))، فتتناقص \(\overline G_n(\phi)\) أحاديًّا مع زيادة زاوية السقوط.
بجمع التعبير السابق على التوافقيات نحصل على الطاقة الكلّية المنبعثة من الحزمة لكل جسيم: \[ {\cal E}=\frac{2\pi e^2 a^2\omega_0^3\gamma^4N}{9c^3}\sqrt{1-\phi^2}\bigl(1+2\phi^2\bigr), \] وهي لا تعتمد على \( \eta\)، وتُوزَّع بين مكوّنات الاستقطاب بنسبة \(1:7\). كدالّةٍ في زاوية السقوط تكون الطاقةُ المنبعثة عُظمى عند \( \phi=1/\sqrt{2}\)، أي عندما تكون زاوية السقوط أصغرَ بمقدار \( \sqrt{2}\) مرّات من الزاوية الحرجة للتوجّه.
المناقشة
إذا كان الهدفُ الحصول على مصدر إشعاعٍ بتردّدٍ أقلّ من تردّد إشعاع المُموِّج، فإن الطريقة المقترحة تملك مزايا معيّنة مقارنةً بإشعاع المُموِّج الصادر من جسيماتٍ أقلّ طاقة. فعليًّا، لخفض تردّد إشعاع الجسيمات المُقناة بمعامل \( k\) ينبغي استخدام جسيماتٍ بطاقةٍ أقلّ بمقدار \( k^{2/3}\). يؤدّي ذلك إلى اتّساع مخروط الإشعاع بمقدار \( k^{2/3}\)، كما تنخفض كثافةُ الطيف الزاوي، التي تتناسب طرديًا مع \(\gamma^4\)، بمقدار \( k^{8/3}\). أمّا في المُموِّج البلّوري المتعدِّد، فيمكن تحقيق الخفض نفسه في التردّد باشتراط أن تكون المسافة بين الألواح \(d_2 = (k-1)d_1\). مع ذلك، يبقى مخروطُ الإشعاع من دون تغيير، وقد تزيد أو تنقص كثافةُ الطيف الزاوي للإشعاع تبعًا لزاوية سقوط الحزمة.
هناك خاصيّةٌ لافتة لكثافة الطيف الزاوي للإشعاع: إذا زادت المسافةُ بين ألواح البلّورة، فإن تردّد الإشعاع عند كلّ توافقي يقلّ، بينما يزيد عددُ التوافقيات المُمثَّلة في الجزء الأساسي من الطيف (\(n\eta\lesssim3\)) بالنسبة نفسها. وبما أن الطاقة الكليّة المنبعثة لا تعتمد على \( \eta\)، فإن الطاقةَ المنبعثة عند كلّ توافقي تهبط بعامل \( \eta\) كما يظهر في صيغة طاقة التوافقي الواحد. مع ذلك، قد لا تنخفض كثافةُ الطيف الزاوي وكثافةُ الطيف مع \( \eta\) بالضرورة، إذ لا يظهر هذا العامل في صيغ التوزيع الزاوي والطيفي قبل التكامل. يتّضح ذلك من منحنى الشكل spectrum: مع انخفاض \( \eta\) يتغيّر المقياسُ الأفقي لمحور \( \xi\) وتتحرّك قممُ التوافقيات نحو اليسار بالنسبة للمحور \( \omega\). هذا يؤدّي بلا شكّ إلى تقليل المساحة تحت المنحنى، لكن كثافةَ الطيف نفسها تتغيّر ببطء وفق الشروط المُتضمَّنة في الصيغ السابقة. وإذا كان \( \phi > 2/\sqrt{3\pi^2-20} \approx 0.645\)، فإن انخفاض \( \eta\) يؤدّي إلى زيادة كثافة الطيف الزاوي وكثافة الطيف لكلّ توافقي، على الرغم من ظهور توافقيات إضافية.
لقد نظرنا في نموذجٍ مثاليّ لدراسة الخصائص العامة للإشعاع. فمثلًا، الجهدُ المُتوسّط حول مستوى البلّورة ليس تربيعيًّا تمامًا؛ ونتيجةً لذلك ستَقصر فترةُ تذبذب المذبذبات ذات السعات الكبيرة وقد تُغادر بعضُ الجسيمات لوح «نصف الموجة» بزوايا مختلفة. بعبارةٍ أخرى، قد لا يكون اللوحُ نصف موجة لجميع الجسيمات، مما يُفضي إلى تشتّتٍ طفيف في الحزمة المتوازية. وفي الواقع تُظهر نمذجةُ المسارات في جهدٍ أكثر واقعيّةً وجودَ قمّتَين جانبيّتين في التوزيع الزاوي للإشعاع (Pivovarov_2014). إضافةً إلى ذلك، تلعب عواملُ أخرى — مثل محدودية عدد فترات المُموِّج، وانتشار طاقات الجسيمات، وأخطاء التصنيع — دورًا في توسيع خطوط الطيف وتمويه حدود التوافقيات في الشكل spectrum. ومع ذلك، لا تُغيِّر هذه العوامل تغييرًا جوهريًّا توزيعَ الطاقة المنبعثة على التوافقيات.
الشكرُ والتقديرُ
تمّ دعم هذا العمل بمنحةٍ من وزارة التعليم والعلوم للاتحاد الروسي تحت مشروع رقم 3.867.2014/K.