مُلخَّص

النتيجةُ الرئيسة تتعلّقُ بنظامِ تفكيكٍ شامل في ثنائيّةِ الفئات على \(\mathrm{Cat}\)، أي فئةِ الفئاتِ والدوالّ. فكلّ دالّة \(A \xrightarrow{f} B\) تتفكّك، حتى التماثل، إلى المركّب \(A \xrightarrow{j} E \xrightarrow{p} B\) حيث \(j\) ما نُسمّيه دالّة نهائيّة، و\(p\) ما نُسمّيه تلييفاً منفصلاً. كما نُثبت أنّ كلّ دالّة هي مُرافِقٌ أيمن تكون دالّةً نهائيّة. ونُوضّح أثر الدوالّ التي يكون عاملُها النهائي مُرافِقاً أيمن على النظريّة العامّة لمتعدّدات الحدود (polynomials).

مُقَدِّمة

عندما كنتُ طالباً جامعياً، صادفتُ راسل (Russell) وشعرتُ بالتباسٍ حيال الأسس الرياضيّة. بدا مخطّطُ الفهم نقطةَ وصلٍ مركزيّة بين الرياضيات واللغة. ثمّ سُررتُ بالاكتشافات التي رأيتُها في أوراق لاوڤير (Law1965, Law1969, Law1970).

الفكرةُ الموصوفة هنا قديمةٌ كنتُ أودّ التحقّق منها بدقّة وكتابتها، لكنّي لم أجد الدافع إلا مؤخّراً. هذا الدافع يتعلّق بـ\(\mathrm{Cat}\) كنموذجٍ لثنائيّةِ الفئات في ورقتي الأخيرة (134). نريد تعريفَ دالّةٍ عبر خاصيّةٍ يتميّز بها أحدُ عوامِل تفكيكها.

فكرة هذه الورقة هي تعديلُ التفكيك الشامل لدالّة \(A \xrightarrow{f} B\) بوصفها المركّب \(A \xrightarrow{j} E \xrightarrow{p} B\)، حيث \(j\) دالّةٌ نهائيّة (بالمعنى المستخدم في CWM، ويُسمّيها والترز والمؤلِّف في 6 أحياناً «متَّصلة») و\(p\) تلييفٌ منفصل. سمَّينا ذلك «نظام التفكيك» لارتباطه بمخطّط الفهم للمجموعات. وهو نظام التفكيك الشامل في المعنى الأحادي على \(\mathrm{Cat}\) بوصفها فئة، ويتخصّص على \(\mathrm{Cat}\) بوصفها ثنائيّة صارمة. و«منفصل» يعني بالطبع أنّ ألياف \(p\) هي مجموعات.

الآن نتساءل: إذا نظرنا إلى \(\mathrm{Cat}\) كثنائيّةِ فئات، فهل نحصل على نظام تفكيكٍ بالمعنى الثنائي عندما نعمل في الإطار الثنائي بالكامل، فنُغلق التفكيكات تحت التركيب مع التكافؤات، ونشترط أن تكون الأليافُ الزائفة غروبويدات؟

الإجابةُ إيجابيّة. يوازي دليلُنا دليلَ التفكيك الشامل المعتاد كما وصفه ڤيريتي والمؤلِّف في 104. نستبدل «النهائيّة» بمفهومٍ نهائيٍّ مناسبٍ ثنائيّاً، و«التلييفات المنفصلة» بما نُسمّيه «تلييفاتٍ غروبويديّة». في تطبيقاتنا، نركّز على الدوالّ التي يكون عاملُها النهائي مُرافِقاً أيمن.

أشكر ألكسندر كامبل على الإشارة إلى العمل المتعلّق بجويال حيث تُعرَّف مفاهيم \(n\)–النهائيّة، و\(n\)–التفكيك، ونظام التفكيك الطوبولوجي في سياق شبه‑الفئات (انظر الصفحة 170 من JoyV1 والأقسام A.6–8 من JoyV2).

تلييفات غروبويديّة

المفهوم التالي يُسمّيه غروتنديك «قويّاً ديكارتيّاً». وهذه التحويلات تُغلَق دوماً تحت التركيب (على خلاف ما سمّاه هو «ديكارتيّاً» فحسب).

[cartesianmor] ديكارتيّة تحويليّة بالنسبة إلى \(p\)

لِنَفترض أنّ \(p : E \to B\) دالّة. نُسمّي التحويلَ \(\chi : e' \to e\) في \(E\) ديكارتيّاً بالنسبة إلى \(p\) إذا كان المربّع التالي سحباً لكلّ \(k \in E\):

\[ \begin{CD} E(k,e') @>{E(k,\chi)}>> E(k,e) \\ @V{p}VV @VV{p}V \\ B(pk,pe') @>{B(pk,p\chi)}>> B(pk,pe) \end{CD} \]

بما أنّ أيَّ مربّعٍ تبادليٍّ ذو ضلعين متقابلين قابلين للعكس هو سحب، نرى أنّ جميع التحويلات القابلة للعكس في \(E\) ديكارتيّة، وإذا كانت \(p\) تامّةً ومُخلِصةً فإنّ كلَّ تحويلٍ في \(E\) يكون ديكارتيّاً.

[gpdfib] التلييف الغروبويدي

نُسمّي الدالّة \(p : E \to B\) «تلييفاً غروبويديّاً» إذا تحقّق الشرطان الآتيان:

لكلّ \(e \in E\) ولكلّ \(\beta : b \to pe\) في \(B\) توجد \(\chi : e' \to e\) في \(E\) وتماثُل \(b \cong pe'\) بحيث \(\beta = \bigl(b \cong pe' \xrightarrow{\,p\chi\,} pe\bigr)\).
كلّ تحويلٍ في \(E\) ديكارتيّ بالنسبة إلى \(p\).

تشمل تلييفاتُنا الغروبويديّة جميعَ تكافؤات الفئات، ولذلك قد لا تكون «تلييفات» بمعنى غروتنديك. ومن خواصّ السحب يتبع أنّ التلييفات الغروبويديّة محافظةٌ (تعكس القابليّة للعكس)، فتكون أليافُها الزائفة \(E_b\) غروبويدات.

بالنسبة للدوالّ \(A \xrightarrow{f} C \xleftarrow{g} B\)، نكتب \(f/g\) لفئة الفاصلة (comma category) لـ\(f\) و\(g\)؛ وهي تحقّق المربّع الشامل التالي:

\[ \begin{CD} f/g @>{t}>> B \\ @V{s}VV @VV{g}V \\ A @>{f}>> C \end{CD} \]

في ثنائيّة الفئات \(\mathrm{Cat}\). على وجه الخصوص، فئةُ السِّهام لـ\(E\) هي \(E^{\mathbf{2}} = 1_E/1_E = E/E\). وللدالّة \(E \xrightarrow{p} B\)، ومع كتابة \(B/p = 1_B/p\)، توجد دالّةٌ قانونيّة \(E^{\mathbf{2}} \xrightarrow{r} B/p\) موصوفةٌ كما يلي:

\[ \begin{CD} E^{\mathbf{2}} @>{r}>> B/p \\ @V{ps}VV @VV{u}V \\ B @= B \end{CD} \]

حيث \(s,t : E^{\mathbf{2}} \to E\) هما دالّتا المصدر والهدف في فئة السِّهام، و\(u : B/p \to B\) هو الإسقاط على المبدأ، و\(ps = p \circ s\).