latex
النتيجة الرئيسة تتعلق بنظام تحليل ثنائي الفئات على ثنائي الفئة \(\mathrm{Cat}\)، أي فئة الفئات والدوال. إذ إن كل دالة \(A\xra{f} B\) تتفكك، حتى التَّطابق، إلى المركب \(A\xra{j}E\xra{p}B\) حيث \(j\) ما نسميه دالة نهائية و\(p\) ما نسميه تصنيف المجموعة. كما نثبت أن كل دالة مساعدة يمينية هي دالة نهائية. ونوضح تأثير الدوال التي عامِلها النهائي باعتبارها دوال مساعدة يمينية على النظرية العامة للدوال المتعددة.
عندما كنت طالباً جامعياً، صادفت راسل (Russell) وكنت مرتبكاً بشأن الأسس الرياضية. بدا مخطط الفهم نقطة وصل مركزية بين الرياضيات واللغة. ثم سعدتُ بالاكتشاف الذي رأيته في أوراق لوريڤ (Law1965, Law1969, Law1970).
التحليل الموصوف هنا فكرة قديمة كنت أود التحقق منها بدقة وكتابتها. لكني فقط الآن وجدت دافعاً لهذا العمل. هذا الدافع يتعلق بـ\(\mathrm{Cat}\) كنموذج لثنائي الفئات المكثَّف في ورقتي الأخيرة (134). نريد تعريف خاص لدالة من حيث أن أحد عوامِلها يمتاز بصفة خاصة.
فكرة هذه الورقة هي تعديل التحليل الشامل لدالة \(A\xra{f} B\) باعتبارها المركب \(A\xra{j} E\xra{p} B\)، حيث \(j\) دالة نهائية (بالمعنى المستخدم في CWM، ويسميها ألترز والمؤلف في 6 أحياناً «تماسك») و\(p\) تحليل منفصل. سمَّينا هذا بنظام التحليل لارتباطه بمخطط الفهم للمجموعات. هو نظام التحليل العمودي بالمفهوم العادي على \(\mathrm{Cat}\) كفئة وحسب التخصيص على \(\mathrm{Cat}\) كثنائية صارمة. و«منفصل» يعني بالطبع أن ألياف \(p\) هي مجموعات.
الآن نتساءل: إذا نظرنا إلى \(\mathrm{Cat}\) كثنائي فئات، فهل نحصل على نظام تحليل بمعنى ثنائي عندما نعمل في إطار ثنائي الفئات بالكامل، نغلق التحليلات تحت التركيب مع التكافؤات، ونطالب بأن تكون الألياف الزائفة مجموعات؟
الإجابة إيجابية. يوازي دليلنا دليل التحليل الشامل المعتاد كما وصفه فيريتي والمؤلف في 104. استبدلنا الدوال النهائية بما نسميه «دوال نهائية» والتحليلات المنفصلة بما نسميه «تحليلات المجموعة». في تطبيقنا، نركز على الدوال التي عاملها النهائي هو دالة مساعدة يمينية.
أشكر ألكسندر كامبل على الإشارة إلى العمل المتعلق بجويال حيث يُعرف \(n\)–النهائي، و\(n\)–التحليل، ونظام التحليل الطوبولوجي في سياق الفئات شبه-المجموعات (راجع الصفحة 170 من JoyV1 والأقسام A.6–8 من JoyV2).
المفهوم التالي يسميه غروتنديك «قوي ديكارتي». هذه التحويلات دوماً تُغلق تحت التركيب (على عكس تلك التي سمّاها «ديكارتي»).
[cartesianmor] لنفترض أن \(p : E \to B\) دالة. نسمي تحويل \(\chi : e' \to e\) في \(E\) ديكارتي بالنسبة إلى \(p\) إذا كان المربع التالي سحْباً لكل \(k\in E\):
بما أن أي مربع تبادلي ذو جانبين معكوسين هو سحب، نرى أن جميع التحويلات القابلة للعكس في \(E\) ديكارتي، وإذا كانت \(p\) مُخلّصة بالكامل فإن كل تحويل في \(E\) ديكارتي.
[gpdfib] نُسمِّي الدالة \(p : E \to B\) «تصنيف زُمَري» عندما:
تشمل تصنيفات الزمر لدينا جميع مكافئات الفئات، ولذلك قد لا تكون تصنيفات بمعنى غروتنديك. ومن السحب يتبع أن تصنيفات الزمر محافظة (تعكس القابلية للعكس)، فتكون أليافها الزائفة \(E_b\) زمر.
بالنسبة للدوال \(A\xra{f}C\xla{g}B\)، نكتب \(f/g\) لفئة الفاصلة (الشريحة) لـ \(f\) و\(g\)؛ وهي رأس أيسر أعظم للمربع العالمي:
في ثنائي الفئة \(\mathrm{Cat}\). خاصةً، فئة الأسهم لـ \(E\) هي \(E^{\mathbf{2}} = 1_E/1_E = E/E\). وللدالة \(E\xra{p}B\)، مع كتابة \(B/p = 1_B/p\)، توجد دالة قانونية \(E^{\mathbf{2}}\xra{r}B/p\) موصوفة كما يلي: