latex

مُلَخَّصُ

النَتِيجَةُ الرَئِيسِيَّةِ تَتَعَلَّق بِنِظامِ تَحْلِيلِ ثُنائِيٍّ الفِئاتِ عَلَى ثُنائِيٍّ الفِئَةِ \(\mathrm{Cat}\) لِلفِئات والدوال. كُلِّ دالَّةٍ \(A\xra{f} B\) تَتَحَلَّل حَتَّى التَطابُقِ إِلَى \(A\xra{j}E\xra{p}B\) حَيْثُ \(j\) هُوَ ما نُسَمِّيه بِالدالَّة النِهائِيَّةِ وَ\(p\) هُوَ ما نُسَمِّيه بِتَحْلِيلِ المَجْمُوعَةِ. كُلِّ دالَّةٍ مُساعَدَةِ يَمِينِيّه هِيَ نِهائِيَّةٍ. يُظْهِر أَنَّ الدوال الَّتِي عامِلها النِهائِيِّ هُوَ دالَّةٍ مُساعَدَةِ يَمِينِيّه لَها تَأْثِيرِ عَلَى نَظَرِيَّةَ الدوال الكثيراتيه.

مُقَدِّمَةِ

عِنْدَما كُنْتُ طالِباً جامِعِيّاً، صادَفَت راسَلَ (Russell) وَكُنْتُ مُضْطَرِبا بِشَأْنِ حالَةِ الأُسُسِ لِلرِياضِيّات. بَدا مُخَطَّطٍ الفَهْمِ مَرْكَزِيّاً كرابط بَيِّنَ الرِياضِيّات وَاللُغَةِ. ثُمَّ سَعِدَت بِالاِخْتِراق الَّذِي رَأَيْتُهُ فِي الأَوْراقِ (Law1965, Law1969, Law1970) للوريف.

التَحْلِيلِ المَوْصُوف هُنا هُوَ فِكْرَةَ قَدِيمَةٌ كُنْتُ أَنْوِي التَحَقُّقِ مِنها بِدِقَّةٍ وَكِتابَتها وَلٰكِنِّي فَقَط الآنَ وَجَدَت سَبَباً لِلقِيامِ بِذٰلِكَ. السَبَبِ يَتَعَلَّق ب \(\mathrm{Cat}\) كَمِثال عَلَى ثُنائِيٍّ الفِئاتِ الكثيراتي فِي مَعْنَى وَرَقَتَيَّ الأَخِيرَةِ (134). نُرِيد تَعْرِيفٍ خاصَّيْهِ دالَّةٍ مِن حَيْثُ أَنَّ أَحَدُ عَوامِلها خاصٍّ بِطَرِيقَةٍ ما.

فِكْرَةَ الوَرَقَةَ الحالِيَّةِ هِيَ مُتَغَيِّر لِلتَحْلِيل الشامِلِ لَدالّه \(A\xra{f} B\) كَمَرْكَب \(A\xra{j} E\xra{p} B\) حَيْثُ \(j\) هِيَ دالَّةٍ نِهائِيَّةٍ (بِالمَعْنَى المُسْتَخْدِمُ فِي CWM وَالَّذِي أَسْتَخْدِمه والْتِرْز وَالمُؤَلِّفِ فِي 6 وَلٰكِن يُطْلَق عَلَيها أَحْياناً اِسْمَ التَماسُكِ) وَ\(p\) هِيَ تَحْلِيلِ مُنْفَصِل. تَمَّ اِخْتِيارِ اِسْمَ نِظامِ التَحْلِيلِ بِسَبَبِ عَلاقَتَهُ بِمُخَطَّط الفَهْمِ لِلمَجْمُوعات. هٰذا هُوَ نِظامِ التَحْلِيلِ العَمُودِيّ بِالمَعْنَى المُعْتادُ عَلَى \(\mathrm{Cat}\) كَفِئَة عادِيَّةٍ وَبِالمَعْنَى المُخَصِّب عَلَى \(\mathrm{Cat}\) كَفِئَة 2 صارِمَةٍ. هُنا “مُنْفَصِل” يَعْنِي، بِالطَبْعِ، أَنَّ أَلْياف \(p\) هِيَ مَجْمُوعاتٍ.

الآنَ نَرْغَب فِي التَفْكِيرِ فِي \(\mathrm{Cat}\) كَثُنائِيّ فِئاتِ وَنَتَساءَل عَمّا إِذا كُنّا نَحْصُل عَلَى نِظامِ تَحْلِيلِ بِمَعْنَى ثُنائِيٍّ الفِئاتِ عِنْدَما نَتَصَرَّف بِشَكْلٍ ثُنائِيٍّ الفِئاتِ تَماماً وَنُغْلَق تَحْلِيلاتنا تَحْتَ التَكْوِين مَعَ التَكافُؤات وَنَطْلُب أَنَّ تَكُون الأَلْياف الزائِفَة مَجْمُوعاتٍ.

هٰذا يَعْمَل. يُحاكَى دَلِيلنا دَلِيلٌ التَحْلِيلِ الشامِلِ المُعْتادُ كَما وَصْفُهُ فيريتي وَالمُؤَلِّفِ فِي 104. تَمَّ اِسْتِبْدالِ الدوال النِهائِيَّةِ بِما نُسَمِّيه بالدوال النِهائِيَّةِ وَالتَحْلِيلاتِ المُنْفَصِلَة بِما نُسَمِّيه بِتَحْلِيلات المَجْمُوعَةِ. فِي تَطْبِيقنا، نَحْنُ مُهْتَمُّونَ بالدوال الَّتِي عامِلها النِهائِيِّ هُوَ دالَّةٍ مُساعَدَةِ يَمِينِيّه.

أَنا ممتن لَأَلِكْسَنْدر كامبل لِلإِشارَة إِلَى العَمَلِ المُتَعَلِّقِ بِشَكْلٍ كَبِيرٍ لجويال حَيْثُ يَتِمّ تَعْرِيفٍ \(n\)-النِهائِيِّ، \(n\)-التَحْلِيلِ وَنِظامِ التَحْلِيلِ الطوبولوجي فِي سِياقِ الفِئاتِ الشبهيه؛ أَنْظُر الصَفْحَةِ 170 مِن JoyV1 وَالأَقْسام A.6-8 مِن JoyV2.

تَصْنِيفات الزَمْر

المَفْهُومُ التالِي يُسَمَّى “قَوِيٍّ الديكارتيه” بِواسِطَةِ غروتنديك. هٰذِهِ التَحْوِيلاتِ دائِماً ما تَكُون مُغْلَقَةً تَحْتَ التَرْكِيبُ (عَلَى عَكْسَ تِلْكَ الَّتِي سَمّاها “ديكارتيه”).

[cartesianmor] لِنَفْتَرِض أَنَّ \( p : E \to B \) دالَّةٍ. تُسَمَّى التَحْوِيلَةِ \( \chi : e' \to e \) فِي \( E \) بِأَنَّها ديكارتيه بِالنِسْبَةِ لِ \( p \) عِنْدَما يَكُون المُرَبَّعِ سَحْباً لِجَمِيعِ \( k \in E \). \[\label{cart} \begin{aligned} \xymatrix{ E(k,e') \ar[rr]^-{E(k,\chi)} \ar[d]_-{p} && E(k,e) \ar[d]^-{p} \\ B(pk,pe') \ar[rr]_-{B(pk,p\chi)} && B(pk,pe)} \end{aligned}\]

بِما أَنَّ أَيّ مُرَبَّعٍ تَبادُلَيَّ مَعَ زَوْج مِن الجَوانِبِ المَعْكُوسَة يَكُون سَحْباً، نَرِي أَنَّ جَمِيعِ التَحْوِيلاتِ القابِلَةِ لِلعَكْس فِي \( E \) هِيَ ديكارتيه، وَإِذا كانَت \( p \) مُخْلِصه بِالكامِلِ، فَإِنَّ جَمِيعِ تَحْوِيلاتِ \( E \) هِيَ ديكارتيه.

[gpdfib] تُعْتَبَر الدالَّةِ \( p : E \to B \) تَصْنِيفِ زَمْرَيَّ عِنْدَما:

• لِجَمِيعِ \( e \in E \) وَ \( \beta : b \to pe \) فِي \( B \)، تُوجَد \( \chi : e' \to e \) فِي \( E \) وَ \( b \cong pe' \) قابِلَةٍ لِلعَكْس بِحَيْثُ \( \beta = (b \cong pe' \xra{p\chi} pe) \)، وَ

• كُلِّ تَحْوِيله فِي \( E \) هِيَ ديكارتيه بِالنِسْبَةِ لِ \( p \).

تَشْمَل تَصْنِيفات الزَمْر لَدَينا جَمِيعِ مُكافِئات الفِئاتِ وَلِذٰلِكَ لَيِسَت بِالضَرُورَةِ تَصْنِيفات فِي مَعْنَى غروتنديك.

مِن السُحُبِ يَتْبَع أَنَّ تَصْنِيفات الزَمْر مُحافَظَةِ (أَيّ تَعْكِس القابِلِيَّةِ لِلعَكْس). لُذّاً فَإِنَّ أَلْيافها الزائِفَة \( E_b \) هِيَ زَمَرَ.

بِالنِسْبَةِ للدوال \( A\xra{f}C\xla{g}B \)، نَكْتُب \( f/g \) لِفِئَةِ الفاصِلَةُ (أَو الشَرِيحَةِ) لِ \( f \) وَ \( g \)؛ وَهِيَ الرَأْسِ الأَعْلَى الأَيْسَر لَمُرَبَّع عالَمِيٍّ \[\label{commasq} \begin{aligned} \xymatrix{ f/g \ar[d]_{s}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{t} && B \ar[d]^{g}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda} \\ A \ar[rr]_-{f} && C } \end{aligned}\] فِي الفِئَةِ الثُنائِيَّةِ \(\mathrm{Cat}\). عَلَى وَجْهِ الخُصُوصِ، فِئَةٌ السَهْم لِ \( E \) هِيَ \( E^{\mathbf{2}} = 1_E/1_E = E/E \). لَدالّه \( E\xra{p}B \) وَكِتابه \( B/p = 1_B/p \)، يُوجَد دالَّةٍ قانُونِيَّةٍ \( E^{\mathbf{2}}\xra{r} B/p \) مَعْرِفَةُ كَما يَلِي. \[\xymatrix{ E^{\mathbf{2}} \ar@/_/[ddr]_{ps} \ar@/^/[drrr]^t \ar@{.>}[dr]|-{r} \\ & B/p \ar[d]_{u}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^h && E \ar[d]^{p}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda} \\ & B \ar[rr]_{1_B} && B } \\ \quad \xymatrix{ \\ & & \\ & \Huge{=} } \\ \quad \xymatrix{ \\ E^{\mathbf{2}} \ar[d]_{p s}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{t} && B \ar[d]^{p}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{p \lambda} \\ B \ar[rr]_-{1_B} && B }\]

نَكْتُب \( f/_{\mathrm{ps}}g \) لِلفِئَةِ الفَرْعِيَّةِ الكامِلَةِ لِفِئَةِ الفاصِلَةُ \( f/g \) مِن الَّتِي تَتَكَوَّن مِن تِلْكَ الكائِنات الَّتِي يَكُون مُكَوِّن \( \lambda \) فِيها قابِلٌ لِلعَكْس. تُسَمَّى السُحُبِ الزائِف أَو فِئَةٌ الايزوكوما لِلمَجْمُوعَةِ المُتَقاطِعَة \( A\xra{f}C\xla{g}B \)؛ وَهِيَ الرَأْسِ الأَعْلَى الأَيْسَر لَمُرَبَّع عالَمِيٍّ \[\label{pspbsq} \begin{aligned} \xymatrix{ f/_{\mathrm{ps}}g \ar[d]_{s'}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{t'} && B \ar[d]^{g}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda'}_{\cong} \\ A \ar[rr]_-{f} && C } \end{aligned}\] فِي الفِئَةِ الثُنائِيَّةِ \(\mathrm{Cat}\).

هُنا ثَلاثِ مُلاحَظاتٍ سَهْلَةً نِسْبِيّاً.

[3feo]

• دالَّةٍ \( E\xra{p}B \) هِيَ تَصْنِيفِ زَمْرَيَّ إِذا وَفَقَط إِذا كانَت الدالَّةِ القانُونِيَّةِ \( E^{\mathbf{2}}\xra{r} B/p \) مُكافِئه.

• لِنَفْتَرِض أَنَّ \( E\xra{p}B \) تَصْنِيفِ زَمْرَيَّ. دالَّةٍ \( F\xra{q}E \) هِيَ تَصْنِيفِ زَمْرَيَّ إِذا وَفَقَط إِذا كانَ التَرْكِيبُ \( F\xra{q}E\xra{p}B \) كَذٰلِكَ.

• السُحُبِ الزائِف لِتَصْنِيفِ زَمْرَيَّ عَلَى طُولِ أَيّ دالَّةٍ هُوَ تَصْنِيفِ زَمْرَيَّ. أَيّ، إِذا فِي كانَت الدالَّةِ \( g \) تَصْنِيفِ زَمْرَيَّ، فَكَذٰلِكَ \( s' \).

هُناكَ فِئَةٌ ثُنائِيَّةٍ \(\mathrm{GFib}B\) لَتَصْنِيفات الزَمْر فَوْقَ \( B \) مَعْرِفَةُ كَما يَلِي: الكائِنات هِيَ تَصْنِيفات الزَمْر \( E\xra{p}B \) فَوْقَ \( B \). فِئاتِ الهوم مُعْطاة بِواسِطَةِ السحوب الزائِفَة: \[\begin{aligned} \xymatrix{ \mathrm{GFib}B(p,q) \ar[d]_{}^(0.5){\phantom{AAAAAA}}="1" \ar[rr]^{} && [E,F] \ar[d]^{[E,q]}_(0.5){\phantom{AAAAAA}}="2" \ar@{<=}"1";"2"^-{\cong}_-{} \\ \mathbf{1} \ar[rr]_-{\lceil p\rceil} && [E,B] } \end{aligned}\] فَالتَحْوِيلات هِيَ مُثَلَّثات مَعَ تَطابُقِ طَبِيعِيٍّ فِيها. \[\label{morphoverB} \begin{aligned} \xymatrix{ E \ar[rd]_{p}^(0.5){\phantom{a}}="1" \ar[rr]^{f} && F \ar[ld]^{q}_(0.5){\phantom{a}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\phi}_{\cong} \\ & B } \end{aligned}\]

نَعْتَبِر أَيْضاً \(\mathrm{Cat}/B\) مَعَ نَفْسِ الاِتِّفاقِ عَلَى تَحْوِيلاتها.

بِعَضِّ الدوال الكامِلَةِ الأَمانَةِ لِلمُساعِد الأَيْمَن

\[\label{Fffff} \begin{aligned} \xymatrix{ & & \mathrm{Ord} \ar[rd]^-{ \mathrm{incl}} & &\\ \mathrm{Set}\ar[r]^-{\sim} &\mathrm{EqR} \ar[ru]^-{\mathrm{incl}} \ar[rd]_-{\mathrm{incl}} & & \mathrm{Cat}\ar[r]^-{\mathrm{nerve}} & [\Delta^{\mathrm{op}},\mathrm{Set}] \\ & & \mathrm{Gpd} \ar[ru]_-{\mathrm{incl}} & &} \end{aligned}\]

جَمِيعِ الفِئاتِ فِي الرَسْمُ البَيانِيّ مُغْلَقَةً كارتيزيا. جَمِيعِ الدوال مُغْلَقَةً تَحْتَ الأُسُسِ. الدوال المُساعَدَةِ اليُسْرَى تُحافِظ جَمِيعُها عَلَى المُنْتَجاتِ المَحْدُودَةَ (بِمُوجِبِ نَظَرِيَّةَ اِنْعِكاسٍ اليَوْمَ). تَرْكِيزنا هُنا عَلَى الإِدْراج \(\mathrm{Gpd}\xra{\mathrm{incl}}\mathrm{Cat}\) مَعَ المُساعِدُ الأَيْسَر 2-المُساعِدُ \(\pi_1\) وَالمُساعِد الأَيْمَن \(\upsilon\). الفِئَةِ الفَرْعِيَّةِ \(\upsilon A\) مِن الفِئَةِ \(A\) تَحْتَوِي عَلَى جَمِيعِ التَحْوِيلاتِ القابِلَةِ لِلعَكْس فِي \(A\) فَقَط.

[upsfun] الدالَّةِ \(E\xra{p}B\) هِيَ مُكافِئه إِذا وَفَقَط إِذا كانَ كُلِّ مِن \(\upsilon E\xra{\upsilon p}\upsilon B\) وَ \(\upsilon (E^{\mathbf{2}})\xra{\upsilon (p^{\mathbf{2}})}\upsilon (B^{\mathbf{2}})\) مُكافِئات.

الحالَةِ “فَقَط إِذا” واضِحَةٍ لِأَنَّ \(\upsilon\) هُوَ دالَّةٍ 2-دالَّةٍ. لِلحالَةِ المُعاكِسَةِ، لاحَظَ أَوَّلاً أَنَّ الشُمُولِيَّةُ عَلَى الكائِنات حَتَّى التَطابُقِ لِ \(p\) هِيَ نَفْسِها لِ \(\upsilon p\).

لُذّاً يَبْقَى أَنَّ نَسْتَنْتِج مِن مُكافِئات الزُمْرَة أَنَّ \(p\) كامِلَةٍ الأَمانَةِ. خُذْ \(e, e'\in E\) وَ \(pe \xra{\beta} pe'\) فِي \(B\). بِما أَنَّ \(\upsilon (B^{\mathbf{2}})\) شامِلٍ عَلَى الكائِنات حَتَّى التَطابُقِ، يُوجَد \(e_1 \xra{\xi} e'_1\) فِي \(E\) وَمُرَبَّع تَبادُلَيَّ \[\xymatrix{ pe_1 \ar[r]^-{\sigma}_{\cong} \ar[d]_-{p\xi} & pe \ar[d]^-{\beta} \\ pe'_1 \ar[r]_-{\sigma'}^{\cong} & pe' \ .}\] بِما أَنَّ \(\upsilon p\) كامِلٍ، تُوجَد تَحْوِيلاتِ قابِلَةٍ لِلعَكْس \(e_1 \xra{\chi} e\) وَ \(e'_1 \xra{\chi'} e'\) فِي \(E\) بِحَيْثُ أَنَّ \(p\chi = \sigma\) وَ \(p\chi' = \sigma'\). وَبِالتالِي، \(\beta = p(\chi' \xi \chi^{-1})\) مِمّا يُثْبِت أَنَّ \(p\) كامِلٍ.

بِما أَنَّ \(\upsilon p\) أَمِين، فَإِنَّ التَحْوِيلاتِ الوَحِيدَةُ فِي \(E\) الَّتِي تُؤَخَّذ إِلَى هُوِيّاتِ بِواسِطَةِ \(p\) هِيَ الهُوِيّاتِ. سَنَسْتَخْدِم هٰذِهِ الحالَةِ الخاصَّةِ فِي بِرِهاننا الآنَ أَنَّ \(p\) أَمِين. خُذْ \(\xi, \xi' : e\to e_1\) فِي \(E\) مَعَ \(p\xi = p\xi'\). فِكْرِ فِي هٰذَيْنِ التَحْوِيلَيْنِ كَكائِنات مِن \(E^{\mathbf{2}}\) الَّتِي تُؤَخَّذ إِلَى كائِنَيْنِ مُتَساوِيَيْنِ \(p\xi, p\xi' : pe\to pe_1\) مِن \(B^{\mathbf{2}}\). بِما أَنَّ \(p^{\mathbf{2}}\) كامِلٍ، فَإِنَّ الكائِنَيْنِ \(\xi\) وَ \(\xi'\) مُتَطابِقانِ بِتَطابُق فِي \(E^{\mathbf{2}}\) مُكَوِّن مِن تَحْوِيلاتِ ذاتِيَّةٍ لِ e وَ e_1 الَّتِي تُؤَخَّذ إِلَى هُوِيّاتِ بِواسِطَةِ \(p\). بِما أَنَّ تِلْكَ التَحْوِيلاتِ الذاتِيَّةِ يَجِب أَنَّ تَكُون هُوِيّاتِ، نَسْتَنْتِج أَنَّ \(\xi=\xi'\)، كَما هُوَ مَطْلُوبٌ.

[upsgfib] إِذا كانَت \(E\xra{p}B\) تَرْكِيبِ زَمْرَيَّ وَ \(\upsilon E\xra{\upsilon p}\upsilon B\) مُكافِئه فَإِنَّ \(E\xra{p}B\) هِيَ مُكافِئه.

بِما أَنَّ \(\upsilon\) هُوَ مُساعِدُ أَيْمَن، فَإِنَّهُ يُحافِظ عَلَى السُحُبِ الزائِف \[\xymatrix{ E^{\mathbf{2}} \ar[rr]^-{\mathrm{cod}} \ar[d]_-{p^{\mathbf{2}}} && E \ar[d]^-{p} \\ B^{\mathbf{2}}\ar[rr]^-{\mathrm{cod}} && B}\] بِحَيْثُ أَنَّ كُلِّ مِن \(\upsilon p\) وَ \(\upsilon (p^{\mathbf{2}})\) مُكافِئات. النَتِيجَةُ تَتْبَع مِن الليما [upsfun].

البِناءِ العادِيُّ “بِناءَ غروتنديك” 2-دالَّةٍ \[\begin{aligned} \wr : \mathrm{Hom}(B^{\mathrm{op}},\mathrm{Gpd}) \lra \mathrm{GFib}B\end{aligned}\] هُوَ ثُنائِيٍّ المُكافِئَةِ. إِذا كانَ \(\ \wr(T) \simeq (E\xra{p} B)\) فَإِنَّ \(Tb\) مُكافِئ لِلأَلْياف الزائِفَة \(E_b\) لِ \(p\) فَوْقَ \(b\in B\).

نَتِيجَةَ تَطْبِيقِ \(\mathrm{Hom}(B^{\mathrm{op}},-)\) عَلَى 2-المُساعَدَةِ \[\xymatrix @C+5mm{ \mathrm{Cat} \ar @<3pt> [r]^{\pi_1} & \mathrm{Gpd} \ar @<3pt>[l]^{\mathrm{incl}}}\] تَنْقُل إِلَى ثُنائِيٍّ المُساعَدَةِ \[\xymatrix @C+5mm{ \mathrm{Fib}B \ar @<3pt> [r]^{\pi_{1 B}} & \mathrm{GFib}B \ar @<3pt>[l]^{\mathrm{incl}} }\] عَبْرَ ثُنائِيّات المُكافِئَةِ \[\begin{aligned} \mathrm{Hom}(B^{\mathrm{op}},\mathrm{Gpd}) \xra{\sim} \mathrm{GFib}B \ \text{ وَ } \ \mathrm{Hom}(B^{\mathrm{op}},\mathrm{Cat}) \xra{\sim} \mathrm{Fib}B \ .\end{aligned}\]

[overB] دالَّةٍ الإِدْراج 2-دالَّةٍ \(\mathrm{GFib}B\hookrightarrow \mathrm{Cat}/B\) كامِلَةٍ الأَمانَةِ مَعَ مُساعِدُ أَيْسَر ثُنائِيٍّ قِيمَتُهُ عِنْدَ الكائِنِ \(A\xra{f}B\) هِيَ التَرْكِيبُ الزمري \(\pi_{1 B} (B/f\xra{\mathrm{dom}}B)\) الَّذِي يَتَوافَق مَعَ الدالَّةِ الزائِفَة \(B^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Gpd}\) الَّتِي تَأْخُذ \(b\in B\) إِلَى \(\pi_{1 } (b/f)\).

بِناءَ \(\pi_1A\) بِواسِطَةِ المُوَلِّداتِ وَالعَلاقاتِ صَعْبٌ التَعامُلِ مَعَهُ؛ بَدَلاً مِن ذٰلِكَ نَسْتَخْدِم الخاصِّيَّة الكَوْنِيَّة لِبِناءِ المُحَوِّلُ. أَكْتُب \([A,X]_{\cong}\) لِلفِئَةِ الفَرْعِيَّةِ الكامِلَةِ مِن \([A,X]\) الَّتِي تَتَأَلَّف مِن تِلْكَ الدوال \(f : A\to X\) الَّتِي تَعْكِس جَمِيعِ التَحْوِيلاتِ فِي \(A\). وَحْدَةِ التَقابُل \(A\to \pi_1A\) تَحَدَّثَ تَطابُقاً \[[\pi_1A,X]\cong [A,X]_{\cong}\] لِجَمِيعِ الفِئاتِ \(X\) (لَيِسَ فَقَط الزَمْر).

المُتَعالِيات النِهائِيَّةِ

المُتَعالِيَة \(j : A \to B\) تُعْتَبَر نِهائِيَّةٍ عِنْدَما، لِكُلِّ الكائِنات \(b\in B\)، المَجْمُوعَةِ الأَساسِيَّةِ \(\pi_1(b/j)\) لِفِئَةِ الفاصِلَةُ \(b/j\) مُكافِئه لِلمَجْمُوعَةِ النِهائِيَّةِ: \[\pi_1(b/j) \simeq \mathbf{1} \ .\]

[erafiu] كُلِّ مُتَعالِيه مُساعَدَةِ يَمِينِيّه هِيَ نِهائِيَّةٍ.

إِذا \(k\dashv j : A\to B\) فَإِنَّ \(b/j \simeq kb/A \to \mathbf{1}\) لَها مُساعِدُ يَسارِ بِفَضْلِ العُنْصُرُ الأُولَى \(1_{kb}\) لِ \(kb/A\). تَطْبِيقِ المُتَعالِيَة ثُنائِيَّةٍ الأَبْعاد \(\pi_1\) عَلَى الاِقْتِران يُنْتِج اِقْتِران بَيِّنَ المَجْمُوعاتِ.

[pi1ufequiv] المُتَعالِيات النِهائِيَّةِ يَتِمّ أَخْذِها بِواسِطَةِ \(\pi_1\) إِلَى مُكافِئات.

لِنَفْتَرِض أَنَّ \(j:A\to B\) نِهائِيَّةٍ. يَجِب أَنَّ نُثْبِت أَنَّ \(\pi_1A\xra{\pi_1j}\pi_1B\) هِيَ مُكافِئه. ما نُثْبِته هُوَ أَنَّهُ، لِأَيّ فِئَةٌ \(X\)، إِذا كانَ كُلِّ مُتَعالِيه قُطْرِيَّةٍ \(X\xra{\delta_{b}}[b/j,X]_{\cong}\) هِيَ مُكافِئه فَإِنَّ \([B,X]_{\cong}\xra{[j,1]_{\cong}}[A,X]_{\cong}\) هِيَ مُكافِئه. بِما أَنَّ \(\delta_{b}\) طَبِيعِيَّةٍ ثُنائِيَّةٍ فِي \(b\in B\)، فَإِنَّ أَيّ اِخْتِيارِ \(\gamma_{b}\) لَمُكافِئه مُساعَدَةِ هُوَ شِبْهِ طَبِيعِيٍّ: أَخْتِر أَيْضاً الوَحْدَةِ \(\varepsilon_b : \gamma_b\delta_b \xRa{\cong}1_X\) وَالتَوْحِيد \(\eta_b : 1_A \xRa{\cong}\delta_b\gamma_b\). سَنُظْهِر أَنَّ لَدَينا مُكافِئه عَكْسِيّه \(\theta\) لِ \([j,1]_{\cong}\) مَعْرِفَةُ بِواسِطَةِ \[\xymatrix{ \theta(f)b \ar[d]_-{\theta(f)\beta} & = & \gamma_b(b/j\xra{\mathrm{cod}}A\xra{f}X \ar[d]^-{\gamma_{\beta, f\mathrm{cod}}}) \\ \theta(f)b' & = & \gamma_b(b'/j\xra{\beta/j} b/j\xra{\mathrm{cod}}A\xra{f}X) \ . }\] لِ \(g\in [B,X]_{\cong}\)، لَدَينا تَطابُقات \[\begin{aligned} (\theta [j,1]_{\cong} g)b & = & \gamma_b(b/j\xra{\mathrm{cod}}A\xra{j}B\xra{g}X) \\ & \cong & \gamma_b(b/j\xra{!}1\xra{b}B\xra{g}X) \\ & \cong & \gamma_b\delta_b (gb) \\ & \xRa{\varepsilon_b \ \cong} & gb \end{aligned}\] طَبِيعِيّاً فِي \(g\) وَ \(b\)، بَيْنَما، لِ \(f\in [A,X]_{\cong}\)، لَدَينا تَطابُقات \[\begin{aligned} ([j,1]_{\cong} \theta) (f)a & = & \theta(f) ja \\ & \cong & \gamma_{ja}(ja/j\xra{\mathrm{cod}}A\xra{f}X) \\ & \xRa{\eta^{-1} \ \cong} & (f\mathrm{cod})(ja\xra{1_{ja}}ja, a) \\ & = & f a \end{aligned}\] طَبِيعِيّاً فِي \(f\) وَ \(a\).

[pspbultimate] مُتَعالِيه هِيَ نِهائِيَّةٍ إِذا وَفَقَط إِذا كانَ سَحْبها الزائِف عَلَى طُولِ أَيّ (مَجْمُوعَةِ) تَرْقِيم عَمَلِيّاتِ يُؤَخَّذ بِواسِطَةِ \(\pi_1\) إِلَى مُكافِئه.

السُحُبِ الزائِف \(P\xra{\bar{j}} X\) لِ \(A\xra{j} B\) عَلَى طُولِ تَرْقِيم عَمَلِيّاتِ \(F\xra{q}B\) لَهُ \(x/\bar{j}\simeq qx/j\)؛ لُذّاً \(\bar{j}\) نِهائِيَّةٍ إِذا كانَ \(j\) كَذٰلِكَ. لُذّاً \(\pi_1\) يَأْخُذ \(\bar{j}\) إِلَى مُكافِئه بِمُوجِبِ الاِقْتِراحِ [pi1ufequiv]. لِلباقِي، فِي السُحُبِ الزائِف \[\xymatrix{ b/j \ar[rr]^-{} \ar[d]_-{\mathrm{cod}} && b/B \ar[d]^-{\mathrm{cod}} \\ A \ar[rr]^-{j} && B \ ,}\] لاحَظَ أَنَّ \(b/B\) لَهُ عُنْصُرٍ أُولَى وَ\(\mathrm{cod}\) هُوَ تَرْقِيم عَمَلِيّاتِ مَجْمُوعَةِ.

كُلِّ مُحَوِّلِ عُمْلاتٍ (مَوْضِعه) هُوَ نِهائِيِّ.

السُحُبِ عَلَى طُولِ تَرْقِيم عَمَلِيّاتِ لَهُ مُساعِدُ يَمِين لُذّاً المُحَوِّلات العُمْلاتِ يَتِمّ أَخْذِها إِلَى مُحَوِّلات عُمْلاتٍ. أَيْضاً، \(\pi_1\) يَأْخُذ المُحَوِّلات العُمْلاتِ إِلَى تَطابُقات لِأَنَّهُ مُساعِدُ يَسارِ وَكُلُّ الخَلايا ثُنائِيَّةٍ الأَبْعاد فِي \(\mathrm{Gpd}\) قابِلَةٍ لِلعَكْس بِالفِعْلِ. الاِقْتِراحِ [pspbultimate] يَنْطَبِق.

[3for2] أَفْتَرِض أَنَّ \(A\xra{j} B\) نِهائِيَّةٍ. مُتَعالِيه \(B\xra{k} C\) هِيَ نِهائِيَّةٍ إِذا وَفَقَط إِذا كانَت المَرْكَبَةِ \(A\xra{j}B\xra{k}C\) نِهائِيَّةٍ.

أَنْظُر إِلَى اللَصِق \[\xymatrix{ Q \ar[r]^-{j'} \ar[d]_-{q''} & P \ar[r]^-{k'} \ar[d]^-{q'} & F \ar[d]^-{q} \\ A \ar[r]_-{j} & B \ar[r]_-{k} & C }\] لسحبين مَعَ \(q\) تَرْقِيم عَمَلِيّاتِ مَجْمُوعَةِ. بِما أَنَّ \(j\) نِهائِيَّةٍ، \(j'\) يَتِمّ مُكافِئَتها بِواسِطَةِ \(\pi_1\). لُذّاً \(k'j'\) يَتِمّ مُكافِئَتها بِواسِطَةِ \(\pi_1\) إِذا وَفَقَط إِذا كانَ \(k'\) كَذٰلِكَ.

[fibreaspi1] إِذا كانَ \(E\xra{p}B\) تَرْقِيم عَمَلِيّاتِ مَجْمُوعَةِ وَ\(X\xra{b}B\) مُتَعالِيه مِن مَجْمُوعَةِ \(X\) فَإِنَّ المَرْكَبِ \(E_b\to b/p\to \pi_1(b/p)\) هُوَ مُكافِئه.

\(E_b\to b/p\) هُوَ مُساعِدُ يَسارِ وَ\(E_b\) هُوَ مَجْمُوعَةِ بِالفِعْلِ.

[intersection] تَرْقِيمات عَمَلِيّاتِ المَجْمُوعاتِ النِهائِيَّةِ \(E\xra{p} B\) هِيَ مُكافِئات.

لِنَفْتَرِض أَنَّ \(\upsilon B\xra{b} B\) هُوَ الإِدْراج. بِما أَنَّ \(p\) نِهائِيَّةٍ، فَإِنَّ السُحُبِ \(b/p\xra{g}b/B\) لِ \(p\) عَلَى طُولِ \(b/B\xra{\mathrm{cod}}B\) يَتِمّ مُكافِئَته بِواسِطَةِ \(\pi_1\). بِواسِطَةِ الليما [fibreaspi1]، \(\pi_1(g)\) مُكافِئ لِ \(\upsilon (p)\). بِواسِطَةِ الليما [upsgfib]، بِما أَنَّ \(p\) تَرْقِيم عَمَلِيّاتِ مَجْمُوعَةِ مَعَ \(\upsilon (p)\) مُكافِئه، \(p\) هِيَ مُكافِئه.

أَنْظِمَةِ التَحْلِيلِ الثُنائِيَّةِ الفِئاتِ

مَفْهُومِ نِظامِ التَحْلِيلِ فِي ثُنائِيٍّ الفِئاتِ لَيِسَ جَدِيداً؛ عَلَى سَبِيلِ المِثالِ، أَنْظُر (61, DV). قِبَلَ تَقْدِيمِ التَعْرِيفِ، نُراجِع النُسْخَةَ الثُنائِيَّةِ الفِئاتِ مِن السُحُبِ الخَلْفِيِّ.

[defbipb] يُعْتَبَر المُرَبَّعِ \[\label{bipbsq} \begin{aligned} \xymatrix{ W \ar[d]_{p}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{q} && B \ar[d]^{g}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\sigma}_{\cong} \\ A \ar[rr]_-{f} && C } \end{aligned}\] فِي ثُنائِيٍّ الفِئاتِ \(\CK\) سَحْباً خَلْفِيّا لِلمَجْمُوعَةِ المُتَّجِهَة \(A\xra{f}C\xla{g}B\) عِنْدَما، لِجَمِيعِ الكائِنات \(K\in \CK\)، الدالَّةِ \[\CK(K,W) \xra{(p,\sigma,q)}\CK(K,f)/_{\mathrm{ps}}\CK(K,g) \ ,\] المُسْتَمَدَّةِ مِن الخاصِّيَّة الشامِلَةِ لِلسَحْب الخَلْفِيِّ الزائِف، تَكُون مُكافِئه.

[bipbgpdfib] فِي المُرَبَّعِ ، إِذا كانَت \(g\) وَ\(p\) تَلَيُّفات مَجْمُوعاتٍ، فَإِنَّ المُرَبَّعِ يَكُون سَحْباً خَلْفِيّا إِذا وَفَقَط إِذا \[\upsilon(\CK(K,W)) \xra{\upsilon(p,\sigma,q)}\upsilon(\CK(K,f)/_{\mathrm{ps}}\CK(K,g))\] هِيَ مُكافِئه لِلمَجْمُوعات. هٰذا لِأَنَّ الاِقْتِراحِ [3feo] (ب) وَ (ج) يُفْتَرَض أَنَّ \((p,\sigma,q)\) هِيَ تَلَيُّفه مَجْمُوعاتٍ بِحَيْثُ يَنْطَبِق القانُونِ [upsgfib].

يَتَأَلَّف نِظامِ التَحْلِيلِ عَلَى ثُنائِيٍّ الفِئاتِ \(\CK\) مِن زَوْج \((\CE,\CM)\) مِن مَجْمُوعاتٍ \(\CE\) وَ\(\CM\) لِلتَحْوِيلاتِ فِي \(\CK\) تُلَبِّي:

• إِذا كانَ \(f\cong mw\) مَعَ \(m\in \CM\) وَ\(w\) مُكافِئه فَإِنَّ \(f\in \CM\)، بَيْنَما إِذا كانَ \(f\cong we\) مَعَ \(e\in \CE\) وَ\(w\) مُكافِئه فَإِنَّ \(f\in \CE\)؛

• لِجَمِيعِ \(X\xra{e}Y\in \CE\) وَ\(A\xra{m}B\in \CM\)، فَإِنَّ الرَسْمُ البَيانِيّ \[\label{psorthog} \begin{aligned} \xymatrix{ \CK(Y,A) \ar[d]_-{\CK(Y,m)}^(0.5){\phantom{aaa}}="1" \ar[rr]^-{\CK(e,A)} && \CK(X,A) \ar[d]^-{\CK(X,m)}_(0.5){\phantom{aaa}}="2" \ar@{}"1";"2"^-{\cong} \\ \CK(Y,B) \ar[rr]^-{\CK(e,B)} && \CK(X,B)} \end{aligned}\] (الَّذِي يَحْتَوِي عَلَى مُكَوِّناتِ القُيُودِ الترابطيه لِ\(\CK\)) يَكُون سَحْباً خَلْفِيّا؛

• كُلِّ تَحْوِيله \(f\) تَتَحَلَّل \(f\cong m\circ e\) مَعَ \(e\in \CE\) وَ\(m\in \CM\).

يَتَرَتَّب عَلَى ذٰلِكَ أَنَّ \(\CE\) وَ\(\CM\) مُغْلَقَتانِ تَحْتَ التَرْكِيبُ وَتُقاطِعهما يَتَأَلَّف بِالضَبْطِ مِن المُكافِئات. عِلاوَةً عَلَى ذٰلِكَ، فِي المُرَبَّعِ ، التَحْوِيلَةِ \(m\) تَكُون فِي \(\CM\) إِذا كانَ المُرَبَّعِ سَحْباً خَلْفِيّا لِجَمِيعِ \(e\in \CE\)، وَبِالمِثْل بِالعَكْسِ. كَما لاحَظَ أَنَّهُ، إِذا كانَت جَمِيعِ التَحْوِيلاتِ فِي \(\CM\) هِيَ تَلَيُّفات مَجْمُوعاتٍ فَإِنَّ القانُونِ [bipbgpdfib] يَنْطَبِق لَتَبْسِيط التَحَقُّقِ مِن السُحُبِ الخَلْفِيِّ لFS1.

النَظَرِيَّةِ الرَئِيسِيَّةِ

[main] المُتْعَة النِهائِيَّةِ وَأَلْيافٍ المَجْمُوعاتِ تُشَكِّلانِ نِظامِ تَحْلِيلِ ثُنائِيٍّ الفِئاتِ عَلَى \(\mathrm{Cat}\). لُذّاً كُلِّ دالَّةٍ \(f : A \to B\) تَتَحَلَّل بِشَكْلٍ شِبْهِ دالَّيَّ ك \(f \cong (A\xra{j} E \xra{p} B)\) حَيْثُ \(j\) نِهائِيَّةٍ وَ\(p\) أَلْياف مَجْمُوعَةِ.

FS0 واضِحٍ. لِبِناءِ FS2 نَقُوم بِتَشْكِيلِ الرَسْمُ البَيانِيّ \[\xymatrix{ A \ar[r]^-{i} \ar[d]_-{f} & B/f \ar[r]^-{n} \ar[d]^-{\mathrm{dom}} & E \ar[d]^-{p} \\ B \ar[r]^-{1} & B \ar[r]^-{1} & B }\] حَيْثُ \((E\xra{p} B) = \pi_{1B}(B/f \xra{\mathrm{dom}}B)\)، المُرَبَّعات تَتَوافَق حَتَّى التَطابُقِ، \(i\) لَها متمم أَيْسَر \(\mathrm{cod}\)، وَ\(n\) هِيَ مُحَوِّله عُمْلاتٍ.

يَتَبَقَّى إِثْباتِ FS1. بِناءَ عَلَى مُلاحَظَةُ [bipbgpdfib]، يَجِب عَلَينا إِثْباتِ أَنَّهُ، لِأَيّ أَلْياف مَجْمُوعَةِ \(E\xra{p} C\) وَأَيّ دالَّةٍ نِهائِيَّةٍ \(A\xra{j} B\)، الدالَّةِ \[([j,E], [B,p]) : [B,E] \lra [A,p]/_{\mathrm{ps}}[j,C]\] يَتِمّ أَخْذِها إِلَى تَكافُؤ المَجْمُوعاتِ بِواسِطَةِ \(\upsilon\). بِناءَ عَلَى مُلاحَظَةُ [overB]، قِيمَةَ الضِلْعَ الأَيْسَر المتمم لِ \(\mathrm{GFib}B\hookrightarrow \mathrm{Cat}/B\) عِنْدَ الدالَّةِ النِهائِيَّةِ \(A\xra{j} B\) تَعادَلَ \(B\xra{1_B} B\). لُذّاً كُلِّ تَحْوِيلِ \(j\xra{(f,\phi)}q\) فَوْقَ \(B\) مَعَ \(q\) أَلْياف مَجْمُوعَةِ يَتَحَلَّل حَتَّى التَطابُقِ كَما يَلِي \[\label{reflectultimate} \begin{aligned} \xymatrix{ j \ar[rd]_{(f,\phi)}^(0.5){\phantom{a}}="1" \ar[rr]^{(j,1_j)} && 1_B \ar[ld]^{(w,\psi)}_(0.5){\phantom{a}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\sigma}_{\cong} \\ & q } \end{aligned}\] بِشَكْلٍ فَرِيد حَتَّى تَطابُقِ فَرِيد. فِي هٰذا، لَدَينا \(f\xRa{\sigma}wj\) وَ\(1_B\xRa{\psi}qw\) بِحَيْثُ \(\psi j = (j\xRa{\phi}qf\xRa{q\sigma}qwj)\). خُذْ أَيّ كائِن \((u,\gamma ,v)\) مِن \([A,p]/_{\mathrm{ps}}[j,C]\)؛ يَتَكَوَّن مِن دَوال \(A\xra{u}E, B\xra{v}C\) وَتَحْوِيلِ طَبِيعِيٍّ قابِلٌ لِلعَكْس \(pu\xRa{\gamma} vj\). بِمُوجِبِ الخاصِّيَّة العالَمِيَّةِ لِلسَحْب الزائِف \(p/_{\mathrm{ps}}v\)، التَطابُقِ \(\gamma\) يُساوِي التَرْكِيبُ الماضِي \[\xymatrix{ A \ar@/_/[ddr]_u \ar@/^/[drrr]^j \ar@{.>}[dr]|-{u'} \\ & p/_{\mathrm{ps}}v \ar[d]_{s'}^(0.5){\phantom{aaaaa}}="1" \ar[rr]^{t'} && B \ar[d]^{v}_(0.5){\phantom{aaaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda'}_{\cong} \\ & E \ar[rr]_p && C \ . }\] بِمُوجِبِ الاِقْتِراحِ [3feo]، \(p/_{\mathrm{ps}}v\xra{t'}B\) هِيَ أَلْياف مَجْمُوعَةِ. يُمْكِننا تَطْبِيقِ مَعَ \(f = u'\)، \(q = t'\) وَ\(\phi\) هُوِيَّةِ \(j = t'u'\) لِلحُصُولِ عَلَى \(u'\xRa{\sigma}wj\) وَ\(1_B\xRa{\psi}t'w\) بِحَيْثُ \(\psi j = (j=t'u'\xRa{t'\sigma}t'wj)\) بِشَكْلٍ فَرِيد حَتَّى تَطابُقِ فَرِيد مِن \((w,\psi,\sigma)\). هٰذا يُعْطِينا \(w'=s'w\in [B,E]\) وَتَطابُق \((u,\gamma, v) \cong (w'j,1_{pw'j},pw') = ([j,E], [B,p])w'\) مُحَدَّدٍ بِالتَطابُقات \[u=s'u'\xRa{s'\sigma}s'wj = w'j \ \text{ وَ } \ v\xRa{v\psi}vt'w = vt'w\xRa{(\lambda'w)^{-1}} ps'w=pw' \ .\] هٰذا يُثْبِت أَنَّ الدالَّةِ \(\upsilon([j,E], [B,p])\) هِيَ مُتَعَدِّدَةِ الكائِنات حَتَّى التَطابُقِ. الآنَ نَفْتَرِض أَنَّ لَدَينا أَيْضاً \(h\in [B,E]\) وَتَطابُق \[(\xi,\zeta) : ([j,E], [B,p])h\cong (w'j,1_{pw'j},pw')\] وَهٰذا يَعْنِي أَنَّ لَدَينا قابِلٌ لِلعَكْس \(hj\xRa{\xi}s'wj\) وَ\(ph\xRa{\zeta}ps'w\) بِحَيْثُ \(p\xi = \zeta j\). بِمُوجِبِ الخاصِّيَّة العالَمِيَّةِ لِلسَحْب الزائِف، يُوجَد \(k : B\to p/_{\mathrm{ps}v}\) فَرِيد بِحَيْثُ \(s'k = h\), \(t'k = 1_B\) وَ\(\lambda'k = (ph\xRa{\zeta} ps'w\xRa{\lambda'w}vt'w\xRa{v\psi^{-1}}v)\)، وَيُوجَد أَيْضاً تَطابُقِ قابِلٌ لِلعَكْس \(\tau : kj\Ra wj\) بِحَيْثُ \(\xi = (hj=s'kj\xRa{s'\tau}s'wj)\) وَ\(\psi j = (t'kj\xRa{t'\tau}t'wj)\). لُذّاً لَدَينا \[\begin{aligned} \xymatrix{ j \ar[rd]_{(u',1_j)}^(0.5){\phantom{a}}="1" \ar[rr]^{(j,1_j)} && 1_B \ar[ld]^{(k,1_{1_B})}_(0.5){\phantom{a}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\tau^{-1}\sigma}_{\cong} \\ & t' } \end{aligned}\] وَهٰذا يَسْمَح لَنا بِاِسْتِخْدامِ فَرادَهُ \((w,\psi,\sigma)\) لِلحُصُولِ عَلَى تَطابُقِ فَرِيد \(\kappa : k \Ra w\) بِحَيْثُ \(\kappa j = \tau\) وَ\(t'\kappa = \psi\). ثُمَّ \(\kappa' = s'\kappa : h\Ra w'\) بِحَيْثُ \(\kappa' j = s'\kappa j = s' \tau = \xi\) وَ\(p\kappa' = p s'\kappa = (\lambda'w)^{-1} (v\psi) (\lambda'k) = \zeta\). وَبِالتالِي \(\upsilon([j,E], [B,p])\) كامِلَةٍ وَيَتَبَقَّى إِثْباتِ أَنَّها مُخْلِصه. لُذّاً نَفْتَرِض أَنَّ لَدَينا تَطابُقِ قابِلٌ لِلعَكْس \(\delta' : h\Ra w'\) بِحَيْثُ \(\delta' j = \xi\) وَ\(p\delta' = \zeta = (\lambda'w)^{-1} (v\psi) (\lambda'k)\). الخاصِّيَّة العالَمِيَّةِ لِلسَحْب الزائِف تَعْنِي وُجُودِ \(\delta : k\Ra w\) بِحَيْثُ \(s'\delta = \delta'\) وَ\(t'\delta = \psi\)، وَتَعْنِي أَنَّنا نَسْتَطِيع اِسْتِنْتاجِ أَنَّ \(\delta j = \tau\) مِن المُعادَلات \(s'\delta j = \xi\) وَ\(t'\delta j = \psi j = t'\tau\). بفراده \(\kappa\)، لَدَينا \(\delta = \kappa\) وَبِالتالِي \(\delta' = \kappa'\)، كَما هُوَ مَطْلُوبٌ.

المُتَغَيِّراتِ المُحْتَمَلَةِ الأُخْرَى

مِن المُمْكِنِ أَنَّ تَسْتَمِرّ عَمَلِيَّةِ التَحْلِيلِ لِفِئاتٍ \((\infty,1)\) (المَعْرُوفَةِ أَيْضاً بِالفِئات شِبْهِ الفِئاتِ أَو مُجَمَّعاتِ كانَ الضَعِيفَةُ)؛ أَنْظُر (JoyV1, JoyV2). بِالنِسْبَةِ لِحالَةِ الثُلاثِيِّ الفِئَةِ \((2,1)\text{-}\mathrm{Cat}\) الَّتِي تَتَكَوَّن مِن ثُنائِيّات الفِئاتِ مَعَ جَمِيعِ الخَلايا الثُنائِيَّةِ قابِلَةٍ لِلعَكْس، فَإِنَّ المُكَوَّنِ الأَساسِيُّ سَيَكُون الثُلاثِيِّ التَعْدِيلِ \[\xymatrix @R-3mm { (2,1)\text{-}\mathrm{Cat} \ar@<1.5ex>[rr]^{\pi_1} \ar@{}[rr]|-{\perp} &&(2,0)\text{-}\mathrm{Cat} \ar@<1.5ex>[ll]^{\mathrm{incl}} }\] حَيْثُ \((2,0)\text{-}\mathrm{Cat}\) هِيَ الفِئَةِ الفَرْعِيَّةِ الثُلاثِيَّةِ لِ \((2,1)\text{-}\mathrm{Cat}\) مَعَ جَمِيعِ التَحْوِيلاتِ مُكافِئه. هُناكَ أَيْضاً نَواةِ واضِحَةٍ تُوَفِّر تَعْدِيلِ ثُلاثِيّ صَحِيحٌ أَيْضاً. هٰذا يَتَطَلَّب الاِرْتِقاءِ إِلَى أَنْظِمَةِ التَحْلِيلِ عَلَى الفِئاتِ الثُلاثِيَّةِ. وَبُعْدَ كُلِّ شَيْء، حَتَّى الآنَ تَطْبِيقِي يَحْتاج فَقَط إِلَى حالَةِ \(\mathrm{Cat}\).

مِن المُفْتَرَضِ أَنَّ يَكُون هُناكَ أَيْضاً نُسْخَةً مِن (التَحْلِيلِ النِهائِيِّ، تَرابَطَ المَجْمُوعَةِ) لِلفِئات الداخِلِيَّةِ لِفِئَةِ \(\CE\) كَما تَمَّ فِي (104) لِلتَحْلِيل الشامِلِ المُعْتادُ.

اِتِّجاهِ آخَرِ يَتَعَلَّق بِالهَرَمِيَّة الأَكْثَرَ مُرُونَةً لَمُخَطَّطات الفَهْمِ المُقْتَرَحَةِ مِن قِبَلَ جُون غراي؛ أَنْظُر (JWG99, JWG391). ما أَنْواعِ التَحْلِيلِ الَّتِي يُوَفِّرُونَها؟

تَطْبِيقِ عَلَى المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّةِ

فِي هٰذا القِسْمِ، نَسْتَخْدِم تَحْلِيلنا لِفَهْمِ تَأْثِيراتِ الوَرَقَةَ (134) عَلَى المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّةِ فِي \(\mathrm{Cat}\) كَثُنائِيّه الفِئَةِ.

تُسَمَّى الدالَّةِ \(p : E \to B\) فِي ثُنائِيَّةٍ الفِئَةِ تَصْنِيفِ مَجْمُوعَةِ عِنْدَما، لِجَمِيعِ الكائِنات \(A\in \CM\)، تَكُون الدالَّةِ \(\CM(A,p) : \CM(A,E)\to \CM(A,B)\) تَصْنِيفِ مَجْمُوعَةِ حَسَبَ التَعْرِيفِ [gpdfib].

تُسَمَّى الدالَّةِ \(n :Y\to Z\) رافِعَةَ يُمْنَى عِنْدَما، لِكُلِّ \(u : K\to Z\)، يُوجَد رَفْعِ يَمِينِيٌّ لِ \(u\) مِن خِلالَ \(n\) (بِمَعْنَى (12)).

نَتَذَكَّر مِن (134) أَنَّ ثُنائِيَّةٍ الفِئَةِ \(\CM\) مَعَ السُحُوبات الثُنائِيَّةِ دائِماً ما تَكُون مَعايِره بِواسِطَةِ تَصْنِيفات المَجْمُوعاتِ كالدوال الأَنِيقَة؛ أَيّ أَنَّ مِثْلَ هٰذِهِ ثُنائِيَّةٍ الفِئَةِ هِيَ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ. هٰذا يَسْمَح بِبِناءِ ثُنائِيَّةٍ فِئَةٌ مِن “المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّةِ” فِي \(\CM\). بِالفِعْلِ، التَعْرِيفِ 8.2 مِن (134) يَعْنِي لِهٰذا الوَضْعِ أَنَّ مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِيَّةٍ \((m,S,p)\) مِن \(X\) إِلَى \(Y\) فِي \(\CM\) هِيَ مَدَى \[X\xla{m}S\xra{p}Y\] فِي \(\CM\) مَعَ \(m\) رافِعَةَ يُمْنَى وَ\(p\) تَصْنِيفِ مَجْمُوعَةِ. لِلحُصُولِ عَلَى وَصَفَ أَكْثَرَ تَحْدِيداً نَحْتاج إِلَى تَحْدِيدِ الرافِعات اليُمْنَى فِي \(\CM\) المُعْطَى.

الدالَّةِ هِيَ رافِعَةَ يُمْنَى فِي \(\mathrm{Cat}\) إِذا وَفَقَط إِذا كانَت دالَّةٍ مُساعَدَةِ يُمْنَى.

الدوال المُساعَدَةِ اليُمْنَى فِي أَيّ ثُنائِيَّةٍ فِئَةٌ هِيَ رافِعات يُمْنَى لِأَنَّ الرَفْعَ يَتِمّ بِالتَرْكِيب مَعَ الدالَّةِ المُساعَدَةِ اليُسْرَى. عَلَى العَكْسِ، لِنَفْتَرِض أَنَّ الدالَّةِ \(Y\xra{n}Z\) هِيَ رافِعَةَ يُمْنَى. رَفْعِ يَمِينِيٌّ \(1\xra{n_*(z)}Y\) لِكُلِّ كائِن \(1\xra{z}Z\) مِن \(Z\) يُعْطِي المُكَوِّناتِ \(nn_*(z) \xra{\epsilon_z}z\) لِلوَحْدَةِ المُقابَلَةِ لِلتَعاوُنِ \(n_*\dashv n\)؛ كَما فِي أَيّ كِتابِ يُقَدِّم الدوال المُساعَدَةِ، نَعْلَم أَنَّ الخاصِّيَّة العالَمِيَّةِ لِلرافِعَة اليُمْنَى تَسْمَح لَنا بِتَعْرِيف \(n_*\) عَلَى التَحْوِيلاتِ وَهٰكَذا.

لِلتَمْيِيزِ بَيِّنَ المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّةِ فِي ثُنائِيَّةٍ الفِئَةِ المُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ \(\mathrm{Cat}\) وَ المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّةِ فِي \(\mathrm{Cat}\)، بِمَعْنَى وَيَبُر (Weber2015)، كَفِئَة مَعَ السُحُوبات، أَسْتَخْدِم مُصْطَلَحُ مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِيَّةٍ مُجَرَّده لِلأَوَّلِيّ؛ أَيّ أَنَّها مَدَى \[A\xla{j_*} E \xra{p} B\] مِن الدوال، حَيْثُ \(p\) هِيَ تَصْنِيفِ مَجْمُوعَةِ وَ\(j_*\dashv j\).

الدالَّةِ \(f : A \to B\) هِيَ دالَّةٍ مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِيَّةٍ مُجَرَّده عِنْدَما، فِي تَحْلِيلها \[f \cong (A\xra{j} E \xra{p} B)\] حَسَبَ النَظَرِيَّةِ [main], تَكُون الدالَّةِ النِهائِيَّةِ \(j\) دالَّةٍ مُساعَدَةِ يُمْنَى.

النَتِيجَةُ التالِيَةِ تَتْبَع مِن العَمَلِ فِي (134)؛ لِلراحَةِ، سَنَتَضَمَّن دَلِيلاً مُباشِراً.

الدوال المُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِيَّةِ المُجَرَّدَةِ تَتَكَوَّن.

خُذْ \(A\xra{j} E \xra{p}B\xra{k} F \xra{q}C\) مَعَ \(j_*\dashv j\), \(k_*\dashv k\) وَمَعَ \(p,q\) تَصْنِيفات مَجْمُوعَةِ. شَكْلٍ السُحُبِ الزائِف \[\label{bipb} \begin{aligned} \xymatrix{ P \ar[d]_{k'_*}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{p'} && F \ar[d]^{k_*}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{<=}"1";"2"^-{\theta}_-{\cong} \\ E \ar[rr]_-{p} && B } \end{aligned}\] لِلحُصُولِ عَلَى “قانُونِ التَوْزِيعِ” المَطْلُوبِ. مِن السَهْلِ التَحَقُّقِ مِن وُجُودِ \(k'_*\dashv k'\)، \(p'\) هِيَ تَصْنِيفِ مَجْمُوعَةِ وَشَرْطَ شيفالي-بِيك (كَما ذَكَرَ فِي الصَفْحَةِ 150 مِن (9)) \[p'\circ k'\cong k\circ p\] يَتَحَقَّق. لُذّاً \(q\circ k\circ p\circ j\cong q\circ p'\circ k'\circ j\) حَيْثُ \(q\circ p'\) هِيَ تَصْنِيفِ مَجْمُوعَةِ وَ\(k'\circ j\) هِيَ دالَّةٍ مُساعَدَةِ يُمْنَى.

أَكْتُب \(\mathrm{Cat}_{\mathrm{apf}}\) لِلفِئَةِ الفَرْعِيَّةِ مِن \(\mathrm{Cat}\) المَحْصُورَة بِتَقْيِيد التَحْوِيلاتِ إِلَى الدوال المُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِيَّةِ المُجَرَّدَةِ.

النَتِيجَةُ التالِيَةِ هِيَ فِي الأَساسِ الاِقْتِراحِ 8.6 مِن (134).

إِذا كانَت ثُنائِيَّةٍ الفِئَةِ \(\CM\) مَعايِره، فَإِنَّهُ لِكُلِّ \(K\in \CM\)، هُناكَ دالَّةٍ شِبْهِ وَظِيفِيّه \(\mathbb{H}_K : \mathrm{Poly}\CM \lra \mathrm{Cat}_{\mathrm{apf}}\) تَأْخُذ المُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِيَّةِ \(X\xla{m} S\xra{p} Y\) إِلَى الدالَّةِ المُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِيَّةِ المُجَرَّدَةِ الَّتِي هِيَ المَرْكَبِ \[\CM(K,X)\xra{\mathrm{rif}(m,-)} \CM(K,S) \xra{\CM(K,p)} \CM(K,Y)\] فِي \(\mathrm{Cat}\).

الدالَّةِ الشَبَهِ وَظِيفِيّه \(\mathbb{H}_{\mathbf{1}} : \mathrm{Poly}\mathrm{Cat} \lra \mathrm{Cat}_{\mathrm{apf}}\)، الَّتِي تَأْخُذ كُلِّ مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِيَّةٍ مُجَرَّده \(A\xla{j_*} E \xra{p} B\) إِلَى دالَّتها المُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِيَّةِ المُجَرَّدَةِ المُرْتَبِطَةِ \(A\xra{j} E \xra{p} B\) مَعَ \(j_*\dashv j\)، هِيَ تَكافُؤ ثُنائِيٍّ.

بُعْدَ مُحاضَرَتَيَّ حَوْلَ هٰذا المَوْضُوعِ فِي وَرْشَةِ العَمَلِ حَوْلَ الدوال المُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِيَّةِ https://topos.site/p-func-2021-workshop/, أَشارَ بُول تايْلُور بِلُطْف إِلَى مُسْبَقٍ الطِباعَة لِعامِ 1988 (Tay1988) الَّذِي مَيَّزَ فِيهِ الدوال المُساعَدَةِ اليُمْنَى المعلميه (أَو المَحَلِّيَّةِ) بِدافِعِ مِن نَظَرِيَّةَ البُرْهانُ وَبِالتالِي دَعاها دَوال مُسْتَقِرَّةٍ. تَحْلِيله لِلأَثَر لِمِثْلِ هٰذِهِ الدالَّةِ هُوَ دالَّةٍ مُساعَدَةِ يُمْنَى تَلِيها تَصْنِيفِ مَجْمُوعَةِ. أَنا ممتن لكليمنس بيرجر لَمُلاحَظَته أَنَّ تَصْنِيفات المَجْمُوعاتِ الناتِجَةِ هِيَ فِئَةٌ مُقَيَّدَةٌ: أَلْيافها الزائِفَة هِيَ جداءات لِفِئاتٍ مشتته (فَوْضَوِيَّةٌ). وَمَعَ ذٰلِكَ، فَإِنَّهُ يُظْهِر أَنَّ كُلِّ دالَّةٍ مُساعَدَةِ يُمْنَى مُعَلِّمَيْهِ تُوَفِّر مِثالاً عَلَى دالَّةٍ مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِيَّةٍ مُجَرَّده.

——————————————————–