latex
بَيْنَما تَحْمِل عَكْسَ عَدَسَةِ الجاذِبِيَّة وَعْداً كَبِيراً لِكَشْفِ بِنْيَةَ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ المُنْحَرِفَة لِلضَوْء، سَواءُ كانَت مُضِيئَةً أَو مَظْلِمَة، فَإِنَّ وُجُودِ أَنْواعِ مُخْتَلِفَةٍ مِن التَكافُؤ يَعْنِي أَنَّهُ يَجِب تَوَخَّى الحِذْرِ عِنْدَ تَفْسِيرٍ نَماذِجَ العَدَسَةُ الناتِجَةِ. يُوَضِّح هٰذا المَقالِ كَيْفَ أَنَّ التَفْكِيرِ مِن حَيْثُ الإِمْكانِيَّة المُتَوَقَّعَةِ يُساعِد عَلَى اِكْتِساب الفَهْمِ لِهٰذِهِ الأُمُورِ. بِالإِضافَةِ إِلَى ذٰلِكَ، يُظْهِر بِشَكْلٍ صَرِيحٍ كَيْفَ، عِنْدَ البَدْء مِن نُسْخَةً مُفَصَّلَةٌ لِلإِمْكانِيَّة المُتَوَقَّعَةِ لَنَمُوذَج عَدَسَةِ مُعَيَّنٍ، يُمْكِن اِسْتِخْدامِ تَقْنِيَّةٍ البَرْمَجَة التَرْبِيعِيَّة لِإِنْشاءِ العَدِيدَ مِن نَماذِجَ العَدَسَةُ المُكافِئَةِ الَّتِي تُحافِظ عَلَى جَمِيعِ الخَصائِص أَو مَجْمُوعَةِ فَرْعِيَّةٍ مِنها. يَتِمّ تَطْبِيقِ هٰذِهِ الطَرِيقَةِ عَلَى عَدَدٍ مِن السِينارِيُوهات، مِمّا يُظْهِر عَدَمِ القُدْرَةِ عَلَى السَيْطَرَةِ عَلَى الكُتْلَةِ خارِجَ مِنْطَقَةِ العَدَسَةُ القَوِيَّةِ، إِعادَةِ زِيارَةِ إِعادَةِ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ بَيِّنَ الصُوَرِ وَتَطْبِيقِ هٰذا عَلَى نَمُوذَجَ حَدِيثٍ لِ تَجْمَع SDSS J1004+4112، بِالإِضافَةِ إِلَى تَوْضِيحِ التَكافُؤ العامِّ لَوَرَقه الكُتْلَةِ وَتَحْوِيلِ مَوْضِعَ المَصْدَرُ. فِي حالَةِ J1004 نُظْهِر أَنَّ إِعادَةِ تَوْزِيعِ هٰذِهِ الكُتْلَةِ لَم تَنْجَح فِي القَضاءِ التامِّ عَلَى تَجْمَع الكُتْلَةِ المُظْلِمَة الَّذِي أَكْتَشِفه grale بِالقُرْبِ مِن إِحْدَى صُور الكوازار.
بِصَرْفِ النَظَرِ عَن التَسَبُّبِ فِي مُلاحَظاتٍ جَمِيلَةٍ، فَإِنَّ اِنْحِرافٍ الضَوْء الناتِجِ عَن تَأْثِيرِ عَدَسَةِ الجاذِبِيَّة يَحْمِل وَعْداً بِتَوْفِيرِ رُؤَى حَوْلَ تَوْزِيعِ المادَّةُ المَسْؤُولَةِ عَن هٰذا الاِنْحِرافِ، فَضْلاً عَن اِسْتِكْشافٍ مُعَلِّمات النَمُوذَجِ الكَوْنِيّ. لِجَعْلِ هٰذا مُمْكِناً، يَحْتاج المَرْء عادَةً إِلَى مُحاوَلَةٍ عَكْسَ تَأْثِيرِ العَدَسَةُ، مَثَلاً مُحاوَلَةٍ إِعادَةِ بِناءَ نَمُوذَجَ لَعَدَسَة الجاذِبِيَّة متوافق مَعَ المُلاحَظاتِ.
عَلَى مَرِّ السِنِينَ، تَمَّ تَطْوِيرِ عِدَّةٍ تَقْنِيّاتِ لِلقِيامِ بِذٰلِكَ، تَخْتَلِف فِي أَنْواعِ المُلاحَظاتِ الَّتِي تُسْتَخْدَم كمدخلات وَكَذٰلِكَ فِي كَيْفِيَّةِ تَمْثِيلِ تَوْزِيعِ المادَّةُ الَّذِي تُحاوِل إِعادَةِ بِنائِهِ. يَتَراوَح هٰذا مِن التَحْلِيلاتِ الإِحْصائِيَّةُ لِلتَشَوُّهات الصَغِيرَةِ لِلمَجَرّات الخَلْفِيَّةِ، أَيّ بَياناتٍ العَدَسَةُ الضَعِيفَةُ، إِلَى اِسْتِخْدامِ صُور مُتَعَدِّدَةِ، وَرُبَّما مُشَوَّهَةٌ بِشِدَّةٍ، وَالَّتِي تَعْرِف أَيْضاً بِاِسْمِ سِينارِيو العَدَسَةُ القَوِيَّةِ. يُمْكِن تَمْثِيلِ سَبَبُ الاِنْحِرافِ، تَوْزِيعِ مادَّةِ العَدَسَةُ نَفْسِها، بِعَدَدٍ نِسْبِيّاً صَغِيرٍ مِن مِلَفّاتِ الكَثافَةِ، عادَةً ما تَكُون متوافقه مَعَ المادَّةُ المَرْئِيَّةِ (مِثْلَ أَداةٌ العَدَسَةُ (LensTool)، (2007NJPh....9..447J)), بِمَجْمُوعَةِ كَبِيرَةٍ مِن الوَظائِفِ الأَساسِيَّةِ، المَقْصُودَ بِها أَنَّ تَكُون قادِرَةٍ عَلَى تَمْثِيلِ مَجْمُوعَةِ واسِعَةً مِن التَوْزِيعات (مِثْلَ بيكسلينس (PixeLens)، (2004AJ....127.2604S)، (2008ApJ...679...17C)), أَو حَتَّى بُكَلاً الخِيارَيْنِ، فِي نَهْجٍ أَكْثَرَ هَجِينا (مِثْلَ دَبِلْيُو إِس ال آيَة بِي بلس (wslap+)، (2014MNRAS.437.2642S)). وَمَعَ ذٰلِكَ، لا يَزال البَعْضُ الآخَرِ لا يُمَثِّل تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ مُباشَرَةً، وَلٰكِن بَدَلاً مِن ذٰلِكَ يُمَثِّل الجُهْدِ الجاذبي لِلعَدَسَة (مِثْلَ إِعادَةِ العَدَسَةُ (relensing)، (2023MNRAS.518.4494T)).
بِغَضِّ النَظَرِ عَن الإِجْراءَ وَالبَياناتِ المدخله المُسْتَخْدَمَةِ، مِن المُهِمِّ أَنَّ نُدْرِك أَنَّ حَلٍّ مُشْكِلَةِ العَكْسِ لَيِسَ مُحَدَّداً بِشَكْلٍ فَرِيد، وَأَنَّ هُناكَ أَنْواعاً مُخْتَلِفَةٍ مِن الحُلُولِ المُتَزامِنَة الَّتِي يُمْكِن أَنَّ تُفَسِّر المُلاحَظاتِ بِنَفْسِ القَدَرُ مِن الجُودَةِ. بِعَضِّ هٰذِهِ الحُلُولِ دَقِيقَةً بِطَبِيعَتها، بَيْنَما تَخْتَلِف الأُخْرَى مِن حَيْثُ المَبْدَأِ وَلٰكِنَّها تَسَبَّبَ فَقَط تَغْيِيراتٍ لا تَزال ضِمْنَ عَدَمِ اليَقِينِ المَعْرُوفُ فِي المُلاحَظاتِ. اِعْتِماداً عَلَى كَيْفِيَّةِ تَمْثِيلِ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ، يُمْكِن أَنَّ تُظْهِر هٰذِهِ التَزامُنات بِطُرُقٍ مُخْتَلِفَةٍ. قَد يَبْدُو حَتَّى أَنَّهُ لا تُوجَد مِثْلَ هٰذِهِ التَزامُنات مَوْجُودَةٌ، إِذا لَم تُوَفِّر تَقْنِيَّةٍ العَكْسِ المُسْتَخْدَمَةِ الحُرِّيَّةِ اللازِمَةِ لِوَصْفِ الحُلُولِ المُكافِئَةِ. وَمَعَ ذٰلِكَ، فَإِنَّ وُجُودِ حُلُولٍ مُتَعَدِّدَةِ متوافقه بِنَفْسِ القَدَرُ أَمْرٌ أَساسِيٌّ، لُذّاً يَجِب تَوَخَّى الحِذْرِ عِنْدَ تَفْسِيرٍ نَتائِجِ العَكْسِ.
فِي هٰذِهِ المَقالَة، نُوَضِّح كَيْفَ يُمْكِن أَنَّ يُساعِد التَفْكِيرِ فِي عَكْسَ العَدَسَةُ لَيِسَ عَلَى مُسْتَوَى تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ نَفْسِهِ، وَلٰكِن الجُهْدِ الَّذِي يُسَبِّبه، فِي الحُصُولِ عَلَى رُؤَى إِضافِيَّةً حَوْلَ الخَصائِص الَّتِي يُمْكِن تَقْيِيدها بِشَكْلٍ جَيِّدٍ. بِفَرْضِ أَنَّ حَلّاً لِمُشْكِلَةِ عَكْسَ العَدَسَةُ مَعْرُوفٌ، يَتِمّ تَقْدِيمِ أَداةٌ تُسْتَخْدَم البَرْمَجَة التَرْبِيعِيَّة لِلبَحْثِ عَن نَماذِجَ العَدَسات المتوافقه بِنَفْسِ القَدَرُ مَعَ البَياناتِ المَلْحُوظَةِ.
بُعْدَ إِعادَةِ تَكْرارِ الصِيغَةِ الرَسْمِيَّةِ لَعَدَسَة الجاذِبِيَّة بِإِيجاز فِي القِسْمِ [sec:formalism]، سَيَتِمّ تَقْدِيمِ نَمُوذَجَ لُعْبَةِ فِي القِسْمِ [sec:toymodel] لِدِراسَةِ تَأْثِيرِ يُواجِه غالِباً عِنْدَ أَداءِ عَكْسَ العَدَسات بِاِسْتِخْدامِ طَرِيقَتِنا الخاصَّةِ grale، وَهُوَ قِمَمَ كَثافَةُ الكُتْلَةِ خارِجَ المِنْطَقَةِ الَّتِي تُغَطِّيها أَنْظِمَةِ الصُوَرِ المُتَعَدِّدَةِ. يَتِمّ شَرْحِ فِكْرَةَ الطَرِيقَةِ وَتَطْبِيقِها العَمَلِيِّ بِاِسْتِخْدامِ البَرْمَجَة التَرْبِيعِيَّة فِي الأَقْسام [sec:extrap] وَ [sec:qp]. سَيَتِمّ تَطْبِيقِها عَلَى نَمُوذَجَ اللُعْبَةِ لَقِمَم الكَثافَةِ الخارِجِيَّةِ، فَضْلاً عَن إِعادَةِ زِيارَةِ التَزامُنات المَعْرُوفَةِ بِاِسْتِخْدامِ هٰذِهِ الطَرِيقَةِ فِي القِسْمِ [sec:apps]، وَيَنْتَهِي المَقالِ بِمُناقَشَة نِهائِيَّةٍ فِي القِسْمِ [sec:discussion].
فِيما يَلِي، يَتِمّ اِسْتِعْراضِ الصِياغَةُ الخاصَّةِ بِوَصْفِ عَدَسَةِ الجاذِبِيَّة بِإِيجاز – لِلحُصُولِ عَلَى تَفاصِيلَ كامِلَةٍ، يُحال القارِئَ المُهْتَمّ إِلَى (SchneiderBook). فِي التَقْرِيبِ المُعْتادُ، يَتِمّ نمذجه كَثافَةُ الكُتْلَةِ لَعَدَسَة الجاذِبِيَّة نَفْسِها عَلَى أَنَّها ثُنائِيَّةٍ الأَبْعاد، وَتَقَع فِي ما يُسَمَّى بِمُسْتَوَى العَدَسَةُ. تَتَسَبَّب هٰذِهِ الكَثافَةِ الكتليه \(\Sigma(\Vec{\theta})\)، حَيْثُ يَصِف \(\Vec{\theta}\) اِتِّجاهِ الرُؤْيَةِ، فِي اِنْحِرافٍ أَشِعَّة الضَوْء مِن المَصْدَرُ إِلَى المُراقِبُ. مُعادَلَةِ العَدَسَةُ، \[\Vec{\beta} = \Vec{\theta} - \frac{D_{\rm ds}}{D_{\rm s}} \Vec{\hat{\alpha}}(\Vec{\theta}) \mcm \label{eq:lenseqn}\] تَصِف هٰذا التَعْيِينِ: عِنْدَ النَظَرِ فِي اِتِّجاهِ \(\Vec{\theta}\)، يَتَلَقَّى المَرْء الضَوْء الَّذِي كانَ سَيَتَلَقّاه مِن الاِتِّجاهِ \(\Vec{\beta}\) لَو أَنَّهُ كانَ مِن المُمْكِنِ تَعْطِيلِ اِنْحِرافٍ الضَوْء بِطَرِيقَةٍ ما. يَصِف زاوِيَةِ الاِنْحِرافِ \(\Vec{\hat{\alpha}}(\Vec{\theta})\) الطَرِيقَةِ الَّتِي يَتَغَيَّر بِها اِتِّجاهِ شُعاعُ الضَوْء بِسَبَبِ تَأْثِيرِ العَدَسَةُ، وَيَتِمّ تَحْدِيدِها بِواسِطَةِ الكَثافَةِ الكتليه المُتَوَقَّعَةِ \(\Sigma(\Vec{\theta})\) بِأَكْمَلِها. يَتِمّ إِعادَةِ تَحْجِيم زاوِيَةِ الاِنْحِرافِ هٰذِهِ بِواسِطَةِ \(D_{\rm ds}\) وَ \(D_{\rm s}\)، المَسافات الزاوِيَةِ القَطَرِيَّةِ مِن عَدَسَةِ الجاذِبِيَّة إِلَى المَصْدَرُ وَمِن المُراقِبُ إِلَى المَصْدَرُ عَلَى التَوالِي. بِالمِثْلِ، سَيَتِمّ الإِشارَةُ إِلَى المَسافَةِ الزاوِيَةِ القَطَرِيَّةِ مِن المُراقِبُ إِلَى العَدَسَةُ بِواسِطَةِ \(D_{\rm d}\). لِتَسْهِيلِ الصِياغَةُ، غالِباً ما يَسْتَخْدِم المَرْء زاوِيَةِ الاِنْحِرافِ المُعاد تَحْجِيمها \(\Vec{\alpha} = D_{\rm ds}/D_{\rm s}\; \Vec{\hat{\alpha}}\). يُمْكِن تَفْسِيرٍ المُعادَلَةَ عَلَى أَنَّها تَصِف كَيْفِيَّةِ تَحْوِيلِ شَكْلٍ مَصْدَرٌ ثُنائِيٍّ الأَبْعاد، الَّذِي يَقَع فِي ما يُسَمَّى بِمُسْتَوَى المَصْدَرُ وَيُوصَف بِفَضاء \(\Vec{\beta}\)، إِلَى صُور مُتَعَدِّدَةِ مُحْتَمَلَةٍ تَقَع فِي مُسْتَوَى الصُورَةِ، وَيُوصَف بِمُتَّجِهات \(\Vec{\theta}\).
يُمْكِن أَظْهار أَنَّهُ فِي هٰذا التَقْرِيبِ العَدَسِيّ الرَقِيقِ، تُنْشَأ زاوِيَةِ الاِنْحِرافِ مِن نُسْخَةً ثُنائِيَّةٍ الأَبْعاد مِن الجُهْدِ الجاذبي، وَالَّتِي تُشار إِلَيها عادَةً بِاِسْمِ جُهْدٍ العَدَسَةُ أَو الجُهْدِ المُتَوَقَّعِ \(\psi(\Vec{\theta})\): \[\Vec{\alpha}(\Vec{\theta}) = \Vec{\nabla} \psi(\Vec{\theta}) \mpt \label{eq:gradpsi}\]
يَتَعَلَّق هٰذا الجُهْدِ العَدَسِيّ أَيْضاً بِنُسْخَةٍ مِقْياسه \(\kappa(\Vec{\theta})\) مِن تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ \[\kappa(\Vec{\theta}) = \frac{1}{2}\nabla^2 \psi(\Vec{\theta}) \mcm \label{eq:nablapsi}\] حَيْثُ يُطْلَق عَلَى \(\kappa(\Vec{\theta}) = \Sigma(\Vec{\theta})/\Sigma_{\rm crit}\) أَيْضاً اِسْمَ التَقارُبِ، وَ\(\Sigma_{\rm crit} = c^2 D_{\rm s}/4\pi G D_{\rm d} D_{\rm ds}\) يَعْرِف بِاِسْمِ الكَثافَةِ الحَرِجَةِ.
إِذا كانَت مَواقِعِ صُورَتَيْنِ \(\Vec{\theta}_i\) وَ \(\Vec{\theta}_j\) تَتَوافَق مَعَ نَفْسِ مَوْقِعِ المَصْدَرُ \(\Vec{\beta}\)، فَسَيَكُون هُناكَ تَأْخِيرٍ زَمَنِيٍّ \(\Delta t_{ij} = t(\Vec{\theta_i},\Vec{\beta}) - t(\Vec{\theta_j},\Vec{\beta})\) بَيِّنَ هٰذِهِ الصُوَرِ، وَالَّذِي قَد يَكُون قابِلاً لِلقِياس لِمَصْدَرٍ ذُو تَقَلُّباتِ ذاتِيَّةٍ. هُنا، \[t(\Vec{\theta},\Vec{\beta}) = \frac{1+z_d}{c} \frac{D_{\rm d} D_{\rm s}}{D_{\rm ds}} \left(\frac{1}{2}(\Vec{\theta}-\Vec{\beta})^2 - \psi(\Vec{\theta}) \right) \label{eq:timedelay}\] حَيْثُ يُمَثِّل \(z_d\) الانزياح الأَحْمَرِ لَمُسْتَوَى العَدَسَةُ.
الحالَةِ الَّتِي تُنْشَأ فِيها صُور مُتَعَدِّدَةِ مِن مَصْدَرٌ واحِدٍ تُسَمَّى نِظامِ العَدَسَةُ القُوَى، وَلٰكِن حَتَّى عِنْدَما يَكُون هُناكَ صُورَةِ واحِدَةٍ فَقَط، فَقَد تَكُون هٰذِهِ الصُورَةِ مُشَوَّهَةٌ إِلَى حَدٍّ ما. بَعِيداً عَن كُتْلَةِ العَدَسَةُ الرَئِيسِيَّةِ، يُواجِه المَرْء بُعْدَ ذٰلِكَ نِظامِ العَدَسَةُ الضَعِيفُ. تُوصَف التَشَوُّهاتِ بِواسِطَةِ مُكَوِّناتِ القَصّ \[\gamma_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta_x^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta_y^2}\right) \textrm{، وَ } \gamma_2 = \frac{\partial^2\psi}{\partial \theta_x \partial \theta_y} \mpt \label{eq:gamma}\] لِلأَسَفِ، لا تَسْتَطِيع التَحْلِيلاتِ الإِحْصائِيَّةُ لِلمَجَرّات الخَلْفِيَّةِ المُشَوَّهَةِ الكَشْفِ عَن هٰذِهِ القِيَمِ مُباشَرَةً، فَقَط مَزِيجٍ مِنها مَعَ التَقارُبِ يُمْكِن تَقْدِيرِهِ فِي نُقْطَةً. يُطْلَق عَلَى هٰذا بُعْدَ ذٰلِكَ اِسْمَ القَصّ المُخَفَّض \(g_i = \gamma_i/(1-\kappa)\).
لِبَقِيَّةِ المَقالِ، سَيُرَكِّز النِقاشُ عَلَى نِظامِ العَدَسَةُ القُوَى؛ تَنْطَبِق نَفْسِ الأَفْكارَ وَالإِجْراءات عَلَى نِظامِ العَدَسَةُ الضَعِيفُ كَذٰلِكَ.
فِي عَمَلِيّاتِ الاِسْتِقْصاءِ القَوِيَّةِ لِلعَدَسات الَّتِي نَقُوم بِها بِاِسْتِخْدامِ بَرْنامَجِ (Grale) (Liesenborgs, 2020MNRAS.494.3253L)، يَجِب تَحْدِيدِ المِنْطَقَةِ الَّتِي يَجِب اِسْتِرْدادِ الكُتْلَةِ فِيها. عادَةً، لا يَنْبَغِي أَنَّ تَتَجاوَز هٰذِهِ المِنْطَقَةِ الحُدُودِ الَّتِي تُحَدِّدها أَنْظِمَةِ الصُوَرِ المُتَعَدِّدَةِ بِشَكْلٍ كَبِيرٍ، وَلٰكِن القَدَرُ الَّذِي يَتِمّ بِهِ ذٰلِكَ فِي الواقِعِ قَد يَخْتَلِف قَلِيلاً: اِعْتِماداً عَلَى تَعْقِيدِ سِينارِيو العَدَسَةُ، قَد يَحْتاج المَرْء إِلَى جَعَلَ هٰذِهِ المِنْطَقَةِ أَكْبَرَ قَلِيلاً مِن التَقْدِيرِ الأُولَى لِيَتِمّكُنَّ مِن الحُصُولِ عَلَى إِعادَةِ بِناءَ يُمْكِن أَنَّ تُفَسِّر الصُوَرِ المَرْصُودَة بِشَكْلٍ كافٍ.
فِي مِثْلَ هٰذِهِ الحالاتِ، يُمْكِن لَتَقْنِيّه التَحْسِين الأَساسِيَّةِ أَنَّ تَضَع كُتْلَةِ إِضافِيَّةً بِالقُرْبِ مِن حُدُودِ مِنْطَقَةِ الاِسْتِقْصاءِ، حَيْثُ لا تُحِيط أَنْظِمَةِ الصُوَرِ المُتَعَدِّدَةِ بِهٰذِهِ الهَياكِل. لِلحَلِّ النِهائِيِّ، يَتِمّ توسيط عِدَّةٍ عَشَراتِ مِن نَتائِجِ التَحْسِين، وَالَّتِي تَمِيل إِلَى التَنْعِيم، وَلٰكِن لا تُزِيل هٰذِهِ الهَياكِل. يُظْهِر الشَكْلِ [fig:externalmassexamples] مِثالاً عَلَى هٰذا التَأْثِيرِ. يَفْهَم عُمُوماً أَنَّهُ نَظَراً لِأَنَّ مِيزاتِ كَثافَةُ الكُتْلَةِ هٰذِهِ لا تُحِيط بِها صُور مُكَبِّره بِشَكْلٍ قَوِيٍّ، فَإِنَّ مَوْقِعِها وَشَكْلَها الدَقِيقَيْنِ لا يَنْبَغِي أَنَّ يَحْمِلا وَزْناً كَبِيراً. بَدَلاً مِن ذٰلِكَ، يُمْكِن تَفْسِيرُها عَلَى أَنَّها خَصائِصِ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ الَّتِي يُقَدِّمها خوارزميه الاِسْتِقْصاءِ لَتَقْلِيد القَصّ الخارِجِيِّ، وَلٰكِن لا يُمْكِن تَقْيِيدِ أَصْلِ هٰذا القَصّ بِدِقَّةٍ.
لِتَوْضِيحِ الطَبِيعَةِ غَيْرِ المُقَيَّدَة لِلمَناطِقِ الخارِجِيَّةِ لَسِينارِيو العَدَسَةُ القَوِيَّةِ، سَيَتِمّ اِسْتِخْدامِ النَمُوذَجِ الأُولَى مِن الشَكْلِ [fig:simpeak]. يَسْتَلْهِم شَكْلٍ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ مِن عُنْقُود (Ares) المحاكي (2017MNRAS.472.3177M)، وَلٰكِن مَعَ وُجُودِ قِمَّةِ كُتْلَةِ إِضافِيَّةً فِي الزاوِيَةِ العَلَوِيَّة اليُمْنَى. العَدَسَةُ نَفْسِها تَقَع عِنْدَ أَزاحَهُ حَمْراءُ قَدْرُها \(z_d=0.5\) فِي نَمُوذَجَ كَوْنِيّ مُسَطَّح \(\Lambda\)CDM مَعَ \(H_0 = 70\) km s\(^{-1}\) Mpc\(^{-1}\) وَ \(\Omega_m = 0.3\)، وَتَسَبَّبَ الأَرْبَعَةِ مَصادِرُ دائِرَيْهِ المَعْرُوضَةِ فِي اللَوْحَةُ اليُمْنَى لِلشَكْل فِي تَحْوِيلِها إِلَى الصُوَرِ الَّتِي يُمْكِن رُؤْيَتَها فِي اللَوْحَةُ الوَسَطِيّ.
مِن النَظْرَةِ العامَّةِ عَلَى صِياغَةِ العَدَسَةُ فِي القِسْمِ [sec:formalism]، يُمْكِن مُلاحَظَةُ أَنَّ جَمِيعِ الخَصائِص يُمْكِن اِسْتِنْتاجها مِن إِمْكانِيَّةَ العَدَسَةُ \(\psi(\Vec{\theta})\). بِدِقَّةٍ أَكْثَرَ، إِذا كانَ لَدَى نَمُوذَجَيْنِ نَفْسِ القِيَمِ لَإِمْكانِيَّة العَدَسَةُ فِي المَناطِقِ الَّتِي تَحْتَوِي عَلَى جَمِيعِ الصُوَرِ، مِن المُعادَلَةَ ([eq:gradpsi]) سَيَكُون لَدَيهِما نَفْسِ زَوايا الاِنْحِرافِ فِي تِلْكَ المَواقِعِ، وَمِن خِلالَ مُعادَلَةِ العَدَسَةُ ([eq:lenseqn]) سَيَتِمّ تَعْيِينِها إِلَى نَفْسِ المَواقِعِ فِي مُسْتَوَى المَصْدَرُ. مَعَ مَواقِعِ الصُوَرِ، مَوْقِعِ المَصْدَرُ وَقِيَمِ إِمْكانِيَّةَ العَدَسَةُ دُونِ تَغْيِيرٍ، تُشِير المُعادَلَةَ ([eq:timedelay]) إِلَى أَنَّ التَأْخِيرات الزَمَنِيَّةِ بَيِّنَ الصُوَرِ سَتَظَلّ دُونِ تَغْيِيرٍ أَيْضاً. كَوْنُها خَصائِصِ مَحَلِّيَّةٍ جِدّاً مُشْتَقّه مِن إِمْكانِيَّةَ العَدَسَةُ، سَتَكُون قِيَمِ \(\gamma_i\) فِي مَواقِعِ الصُوَرِ نَفْسِها (المُعادَلَةَ ([eq:gamma])), كَذٰلِكَ قِيَمِ \(g_i = \gamma_i/(1-\kappa)\)، حَيْثُ أَنَّ التَقارُبِ \(\kappa\) يَظَلّ دُونِ تَغْيِيرٍ بِمُوجِبِ المُعادَلَةَ ([eq:nablapsi]).
الفِكْرَةِ المَرْكَزِيَّةِ لِحَلِّ وُجُودِ قِمَّةِ الكُتْلَةِ فِي النَمُوذَجِ الأُولَى، هِيَ إِذا إِنْشاءِ نَمُوذَجَ جَدِيدٍ يَحْتَوِي عَلَى نَفْسِ قِيَمِ إِمْكانِيَّةَ العَدَسَةُ داخِلَ المِنْطَقَةِ الدائِرِيَّةِ المُشارِ إِلَيها فِي الشَكْلِ. بِما أَنَّ كُلّاً النَمُوذَجَيْنِ لَدَيهِما نَفْسِ القِيَمِ المُحْتَمَلَةِ داخِلَ المِنْطَقَةِ الدائِرِيَّةِ، سَتَحْفَظ جَمِيعِ خَصائِصِ العَدَسَةُ هُناكَ. خارِجَ الدائِرَةِ، سَيَكُون لِلنَمُوذَج الجَدِيدِ قِيَمِ مُخْتَلِفَةٍ: سَنَبْدَأ مِن قِيَمِ إِمْكانِيَّةَ العَدَسَةُ داخِلَ الدائِرَةِ، وَنَقُوم بِتَوْسِيعِ هٰذِهِ القِيَمِ لِلخارِج. الهَدَفَ هُوَ القِيامِ بِذٰلِكَ بِطَرِيقَةٍ تَجْعَل قِمَّةِ الكُتْلَةِ أَقَلَّ وُضُوحاً أَو حَتَّى مَحْوها.
لِكَي نَتَمَكَّن مِن إِجْراءِ مِثْلَ هٰذِهِ الحِساباتِ بِناءَ عَلَى \(\psi(\Vec{\theta})\) رَقَمِيّا، سَيَكُون مِن الضَرُورِيِّ تَقْرِيبِ هٰذا المَجالِ القِياسِيَّ المُسْتَمِرِّ بِواسِطَةِ شَبَكَةِ مُنْفَصِلَةٍ مِن القِيَمِ \(\psi_{ij}\). ضِمْنَ جُزْء النمذجه مِن بَرْنامَجِ Grale، مِن المُمْكِنِ تَحْدِيدِ نَمُوذَجَ عَدَسَةِ بِناءَ عَلَى مِثْلَ هٰذِهِ الشَبَكَةِ. لِحِسابِ قِيَمِ المُشْتَقّاتِ مِن الدَرَجَةِ الأُولَى وَالثانِيَةُ، لَيِسَ فَقَط فِي نِقاطٍ الشَبَكَةِ نَفْسِها، وَلٰكِن بَيِّنَ هٰذِهِ النِقاطِ أَيْضاً، يَتِمّ اِسْتِخْدامِ روتينات الاِسْتِيفاء ثُنائِيَّةٍ التَكْعِيب مِن مَكْتَبَةِ العُلُومِ العِلْمِيَّةِ لِ GNU (GSL).
فِي الخَطْوَةِ الأُولَى، يُلْزِم تَقْرِيبِ النَمُوذَجِ الأُولَى بِناءَ عَلَى شَبَكَةِ مِن قِيَمِ \(\psi_{ij}\). لِكَي نَتَمَكَّن مِن حِسابِ المُشْتَقّاتِ بِالقُرْبِ مِن الحُدُودِ المَعْرُوضَةِ فِي الشَكْلِ، يَتِمّ اِسْتِخْدامِ مِنْطَقَةِ أَكْبَرَ قَلِيلاً لِهٰذِهِ الشَبَكَةِ، فِي هٰذِهِ الحالَةِ مِنْطَقَةِ \(240\times240\) arcsec\(^2\) واحِدَةٍ. بِالنِسْبَةِ لِشَبَكَةِ \(32\times 32\) تُغَطِّي هٰذِهِ المِنْطَقَةِ، يُظْهِر الشَكْلِ [fig:phigridapprox] نَتائِجِ لِهٰذا النَمُوذَجِ التَقْرِيبِيِّ لِلعَدَسَة. فِي هٰذِهِ الحالَةِ، لا تَزال الاِخْتِلافاتِ مَلْحُوظَةٌ، وَلٰكِن كَما يُمْكِن رُؤْيَتِهِ أَيْضاً فِي الجَدْوَلُ [tab:phiapproxprops]، فَإِنَّ التَقْرِيبِ يَتَحَسَّن بِسُرْعَةٍ كَبِيرَةٍ لَدِقَّة شَبَكَةِ \(N_\psi \times N_\psi\) أَعْلَى.
فِيما يَلِي، سَيَتِمّ اِسْتِخْدامِ النَمُوذَجِ المَبْنِيَّ عَلَى قِيَمِ \(128\times 128\) مِن \(\psi_{ij}\) كَنُقَطه اِنْطِلاقِ. هٰذا يُمَثِّل النَمُوذَجِ الأُولَى الحَقِيقِيِّ بِدِقَّةٍ كَبِيرَةٍ، مَعَ تَوْفِيرِ عَدَدٍ قابِلٌ لِلإِدارَةِ مِن المُتَغَيِّراتِ الَّتِي سَتَحْتاج إِلَى التَعامُلِ مَعَها فِي طَرِيقَةِ الاِسْتِقْراء المَوْصُوفَة أَدَنّاهُ.
فِي سِينارِيو التقويس المحاكي قَيْدِ النَظَرِ، سَيَكُون النَهْجِ هُوَ الحِفاظِ عَلَى قِيَمِ \(\psi_{ij}\) داخِلَ المِنْطَقَةِ الدائِرِيَّةِ ثابِتَةٍ، وَتَحْسِينِ قِيَمِ الإِمْكاناتُ العَدَسِيَّة الأُخْرَى. سَيَتَّضِح أَنَّ هٰذا التَحْسِين يُمْكِن صِياغَته كَمُشْكِلَة بَرْمَجَةِ تَرْبِيعَيْهِ، وَالَّتِي تُوجَد لَها عِدَّةٍ حَزْمٍ بَرْمَجِيّات لِحِسابِ الحَلِّ بِكَفاءَة عالِيَةٍ.
فِي هٰذا النَوْعِ مِن المَشاكِلِ، يَتِمّ البَحْثِ عَن مُتَّجِه \(\Vec{x}\) مِن القِيَمِ المَجْهُولَة الَّتِي تُقَلِّل مِن التَعْبِيرِ \[\frac{1}{2} \Vec{x}^T \Vec{P} \Vec{x} + \Vec{q}^T\Vec{x}\mcm \label{eqn:quadprog}\] حَيْثُ \(\Vec{P}\) وَ \(\Vec{q}\) هُما مَصْفُوفه وَمُتَّجِه مَعْرُوفانِ عَلَى التَوالِي. يَسْمَح بِصِياغَة قُيُودٍ خَطَّيْهِ لِهٰذِهِ المَجْهُولات فِي \(\Vec{x}\)، \[\Vec{G}\Vec{x} \le \Vec{h} \mpt \label{eqn:linconstr}\] هُنا، \(\Vec{G}\) وَ \(\Vec{h}\) هُما مَصْفُوفه وَمُتَّجِه مَعْرُوفانِ أَيْضاً، وَيَجِب تَفْسِيرٍ عَلامَةً الأَقَلِّ مِن أَو يُساوِي عَلَى أَنَّها عَدَمِ تَجاوُزِ لِكُلِّ مُكَوِّن. بِالمِثْلِ، يَسْمَح بِفَرْضِ قَيْدِ خُطَى مُساواةِ \[\Vec{A}\Vec{x} = \Vec{b} \mcm \label{eqn:lineqconstr}\] فَضْلاً عَن الحُدُودِ الدُنْيا وَالعُلْيا الصارِمَةِ لِلقِيَمِ فِي \(\Vec{x}\).
لِلتَبْسِيط، دَعُونا نُفَكِّر أَوَّلاً فِي مِثالٌ أُحادِيٍّ البُعْدِ. أَفْتَرِض أَنَّ الإِمْكانِيَّة العَدَسِيَّة مَعْرِفَةُ عَلَى شَبَكَةِ مِن \(N\) نِقاطٍ، \(\psi_i\)، \(i=1,\ldots N\). سَيَتِمّ الاِحْتِفاظِ بِبَعْضِ هٰذِهِ القِيَمِ ثابِتَةٍ طِوالَ الإِجْراءَ، وَسَيَتِمّ الإِشارَةُ إِلَى ذٰلِكَ ب \(\psi_i = \tilde{\psi}_i\)، بَيْنَما القِيَمِ الأُخْرَى هِيَ القِيَمِ المُراد اِسْتِرْجاعها، وَالمَوْصُوفَة ب \(\psi_i = x_j\). سَيَكُون هُناكَ \(M\) مِن هٰذِهِ القِيَمِ المَجْهُولَة \(x_j\)، \(j=1,\ldots M\).
مِمّا يُؤَدِّي إِلَى قِياسُ كَثافَةُ الكُتْلَةِ مِن خِلالَ المُعادَلَةَ ([eq:nablapsi])، سَيَكُون المَشْغَل اللابلاسي مَحَلَّ اِهْتِمامَ خاصٍّ. لَنُسَخه مجزاه مِن قِيَمِ الإِمْكانِيَّة العَدَسِيَّة، يُمْكِن تَقْرِيبِ ذٰلِكَ بِواسِطَةِ نَواةِ \(R\)-نُقْطَةً \(L_k\)، \(k=1,\ldots R\)، وَالَّتِي مِن خِلالَ التَحْوِيلَةِ تُعْطِي تَقْدِيراً لِلكَثافَة المَحَلِّيَّةِ. كَمِثال، بِاِسْتِخْدامِ الفِرَقِ بَيِّنَ الفُرُوقِ \[\left( \psi_3 - \psi_2 \right) - \left( \psi_2 - \psi_1 \right) = \psi_1 - 2 \psi_2 + \psi_3\] لِتَقْرِيبِ المَشْغَل اللابلاسي فِي سِينارِيو أُحادِيٍّ البُعْدِ، يُمْكِن اِسْتِخْدامِ نَواةِ الثَلاثِ نِقاطٍ \(\Vec{L} = [1,-2,1]\).
فِي سَعْيِ لِلحُصُولِ عَلَى تَوْزِيعات كَثافَةُ سَلِسَةِ، فَإِنَّ التَدَرُّج الكَثافَةِ هُوَ جُزْء مِن عَمَلِيَّةِ التَقْلِيلُ. لِتَحْسِينِ هٰذا التَدَرُّج فِي إِعْدادِ مُتَقَطِّع، سَيَتِمّ مُقارَنَةً مِثْلَ هٰذِهِ التَحْوِيلاتِ حَوْلَ النِقاطِ المُجاوِرَةِ، مِمّا يُؤَدِّي إِلَى تَقْلِيلِ دالَّةٍ التَكْلِفَةِ التالِيَةِ: \[\Sigma_i \left(\Sigma_{k=1}^R \psi_{i+k-1} L_k - \Sigma_{k=1}^R \psi_{i+k} L_k \right)^2 \mcm\] حَيْثُ لِلتَبْسِيط، يُفْتَرَض أَنَّ حُدُودِ المَجْمُوعِ عَلَى \(i\) هِيَ بِحَيْثُ تَظَلّ الفَهارِس صالِحَةٌ. يُمْكِن إِعادَةِ تَجْمِيعِ الشُرُوطِ بِسُهُولَةٍ لِتُعْطِي \[\Sigma_i \left(\Sigma_{k=1}^{R+1} \psi_{i+k-1} K_k\right)^2 \label{eq:1doptproblem}\] لَنَواهُ الآنَ أَكْبَرَ قَلِيلاً \(K\). بَيْنَما كانَت هٰذِهِ الاِشْتِقاق مُسْتَوْحاة مِن تُدْرِج المَشْغَل اللابلاسي، يُمْكِن أَنَّ تَكُون هٰذِهِ الصِيغَةِ العامَّةِ مُفِيدَةٌ لِلعَدِيد مِن الحالاتِ. عَلَى سَبِيلِ المِثالِ، يُمْكِن أَيْضاً اِسْتِخْدامِ نَواةِ المَشْغَل اللابلاسي مُباشَرَةً لِتَقْلِيلِ الكَثافَةِ، نَواةِ بَسِيطَةً \([-1, 1]\) لِتَقْلِيلِ تُدْرِج الإِمْكانِيَّة العَدَسِيَّة، أَو حَتَّى اِسْتِخْدامِ نَوَى مُتَعَدِّدَةِ باوزان مُخْتَلِفَةٍ. الأَخِيرَةِ سَتُضِيف فَقَط المَزِيدِ مِن الشُرُوطِ إِلَى المَجْمُوعِ الخارِجِيِّ، مَعَ وَزْنَها اِخْتِيارِيّا بِعامِل مُخْتَلِفِ، وَلٰكِن المُشْكِلَةِ تَظَلّ كَما هِيَ فِي الأَساسِ.
هٰذِهِ مُشْكِلَةِ التَحْسِين مِن نَوْعٍ البَرْمَجَة التَرْبِيعِيَّة الَّتِي وَصَفَت أَعْلاه. لِرُؤْيَةِ ذٰلِكَ، دَعُونا نُرَكِّز عَلَى مُصْطَلَحُ مُعَيَّنٍ مِن المَجْمُوعِ الخارِجِيِّ، عَلَى سَبِيلِ المِثالِ \(i=7\). اِفْتِراضِ بِعَضِّ قِيَمِ \(\psi\) ثابِتَةٍ وَبِعَضُّها يَتِمّ تَحْسِينِها، يُمْكِن أَنَّ يَبْدُو هٰذا المُصْطَلَحِ كَما يَلِي: \[(\psi_7 K_1 + \psi_8 K_2 + \psi_9 K_3)^2 = (\tilde{\psi_7} K_1 + x_1 K_2 + x_2 K_3)^2 \mpt \label{eq:1dsingleterm}\] بُعْدَ حِسابِ المُرَبَّعِ وَتَرْكُ القِيمَةِ الثابِتَةِ الَّتِي لا تَلْعَب دَوْراً خِلالَ عَمَلِيَّةِ التَحْسِين، يُمْكِن كِتابَةِ ذٰلِكَ ك \[\begin{array}{r} \frac{1}{2}\left[ x_1 \; x_2\right] \left[\begin{array}{cc} 2 K_2^2 & 2 K_2 K_3 \\ 2 K_2 K_3 & 2 K_3^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] \\ + \left[ 2 \tilde{\psi}_7 K_1 K_2 \; 2 \tilde{\psi_7} K_1 K_3 \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] \mpt \end{array}\] لِلعَدَد الكامِلِ مِن \(M\) المَجْهُولات \(x_j\)، يُمْكِن تَخَيَّلَ المَصْفُوفات الَّتِي تَحْتَوِي عَلَى عَوامِلِ \(K_k\) مَمْلُوءه بالاصفار. لِحِسابِ المَجْمُوعِ الخارِجِيِّ عَلَى \(i\)، تَحْتاج المَصْفُوفات لِكُلِّ مِن الشُرُوطِ بِبَساطَة إِلَى أَنَّ تُضاف مَعاً. ثُمَّ يَنْتَهِي بَك الأَمْرُ بِمُشْكِلَة التَحْسِين كَما صيغت فِي ([eqn:quadprog]). لاحَظَ أَنَّ المَصْفُوفَة \(\Vec{P}\) سَتَكُون مَصْفُوفه مُتَناثِرَةً، فِي هٰذا المِثالِ أُحادِيٍّ البُعْدِ مَصْفُوفه الفُرْقَةِ.
هُناكَ أَيْضاً قَيْدِ يَجِب آخُذه فِي الاِعْتِبارِ: كُتْلَةِ الكُتْلَةِ
\[\Sigma_k \psi_{i+k-1} L_k \ge 0\]
حَيْثُ \(i\) هِيَ أَيّ قِيمَةَ تُؤَدِّي إِلَى قَيْدِ فِعْلِيٍّ عَلَى بِعَضِّ قِيَمِ \(x_j\) (أَيّ لَيِسَت كُلِّ قِيَمِ \(\psi_i\) ثابِتَةٍ). يُمْكِن تَنْظِيمِ مَجْمُوعَةِ القُيُودِ الناتِجَةِ بِسُهُولَةٍ فِي شَكْلٍ ([eqn:linconstr]). يُمْكِن بِالطَبْعِ صِياغَةِ قُيُودٍ إِضافِيَّةً بِهٰذِهِ الطَرِيقَةِ لَكَثافَة الكُتْلَةِ أَيْضاً: رُبَّما يَرْغَب المَرْء فِي أَنَّ تَكُون الكُتْلَةِ فِي مَناطِقِ مُعَيَّنَةٍ ضِمْنَ حُدُودِ مُعَيَّنَةٍ، أَو حَتَّى تَكُون مُساوِيَةً لَقِيَم مُحَدَّدَةٍ. بِالمِثْلِ، يُمْكِن إِضافَةً قُيُودٍ لِتَدَرُّجِ \(\psi_i\)، أَيّ زاوِيَةِ الاِنْحِرافِ، بِاِسْتِخْدامِ نَواةِ \([-1, 1]\). سَتُضِيف هٰذِهِ الخَصائِص المَرْغُوبَة صُفُوفاً فَقَط إِلَى المُعادَلات ([eqn:linconstr]) أَو ([eqn:lineqconstr]).
فِي حالَةِ البُعْدَيْنِ، بِالطَبْعِ سَتَكُون هُناكَ حاجَةٍ إِلَى تَحْوِيلِ ثُنائِيٍّ الأَبْعاد، وَسَيَحْتاج المَجْمُوعِ الخارِجِيِّ إِلَى اِسْتِبْدالُهُ بِمَجْمُوعَيْنِ، واحِدٍ لِكُلِّ بُعْدَ شَبَكِيّ. هٰذا يَعْنِي أَنَّ المُعادَلَةَ ([eq:1doptproblem]) سَتُعَدِّل إِلَى ما يَلِي: \[\Sigma_i \Sigma_j \left(\Sigma_k\Sigma_l \psi_{i+k-1,j+l-1} K_{kl}\right)^2\mpt\] عِنْدَ كِتابَةِ مُصْطَلَحُ واحِدٍ فَقَط يَتِمّ تَرْبِيعه، سَيَكُون لَهُ شَكْلٍ مُماثِلٍ لِلمُعادَلَة ([eq:1dsingleterm])، مِمّا يَعْنِي أَنَّ تَنْظِيما مُشابِها جِدّاً فِي مُشْكِلَةِ البَرْمَجَة الرُباعِيَّةِ يُمْكِن أَنَّ يَحْدُث. لَن تَكُون بِنْيَةَ مَصْفُوفه \(\Vec{P}\) عَلَى شَكْلٍ مَصْفُوفه شَرِيطَيْهِ بُعْدَ الآنَ، وَلٰكِن نَظَراً لِأَنَّ النَواةُ عادَةً ما تَكُون صَغِيرَةٌ جِدّاً مُقارَنَةً بِحَجْمِ الشَبَكَةِ الكامِلِ لَقِيَم إِمْكاناتِ العَدَسَةُ، فَسَوْفَ تَظَلّ مَصْفُوفه مُتَناثِرَةً.
عِنْدَ اِسْتِخْدامِ نَواةِ بِقِيَمِ مِثْلَ \([-1, 1]\)، فَإِنَّ النَتِيجَةُ هِيَ مُجَرَّدَ تَقْدِيرٍ لِلتَدَرُّج حَتَّى عامِلٍ مِقْياسِ مُعَيَّنٍ، اِعْتِماداً عَلَى دِقَّةٍ الشَبَكَةِ. يَصِف المُلْحَقِ [app:calib] طَرِيقَةِ عَمَلِيَّةِ فِي كَيْفِيَّةِ تَحْدِيدِ هٰذا العامِلِ المِقْياسُ فِي الكود.
لِحَلِّ مُشْكِلَةِ البَرْمَجَة الرُباعِيَّةِ عَدَدِيّا، اُسْتُخْدِمْنا وَحْدَةِ بايثون qpsolvers (Caron_qpsolvers_Quadratic_Programming_2023). هٰذِهِ لا تُوَفِّر تَنْفِيذاً لِتَحْسِينِ البَرْمَجَة الرُباعِيَّةِ بِحَدِّ ذاتِها، وَلٰكِنَّها تَقُوم بِتَوْحِيدِ صِياغَةِ المُشْكِلَةِ وَلا تَزال تَسْمَح لِلمَرْء بِاِخْتِيارِ أَحَدُ تَنْفِيذات المُحَلِّلُ المَدْعُومَةِ، سَواءُ كانَت مَصادِرُ مَفْتُوحَةً أَو تِجارِيَّةٍ. المُحَلِّلات الفِعْلِيَّةِ الَّتِي تَمَّ اِسْتِخْدامُها فِي الأَمْثِلَة أَدَنّاهُ، هِيَ بَرْمَجِيّات mosek (mosek) وَمُحَلِّل الكَوْنِيّ المُنْقَسِم (scs, ocpb:16, odonoghue:21).
بِالنِسْبَةِ لَنَواهُ التَحْوِيلِ الَّتِي تُسْتَخْدَم كَعامِلِ تَفْرِيق لابلاسي، يُمْكِن اِسْتِخْدامِ نَوَى مُخْتَلِفَةٍ بِأَحْجام مُتَنَوِّعَةٍ. فِي المُمارِسَةِ العَمَلِيَّةِ، النَواةُ المُسْتَخْدَمَةِ عادَةً \[\Vec{L} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4& 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \label{eq:bbkernel}\] لَم تَعْمَل بِشَكْلٍ جَيِّدٍ كَما فَعَلَت النَواةُ التالِيَةِ مِن \(5\times 5\) مِن (PrincImProc): \[\Vec{L} = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 &-16 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \mpt \label{eq:bbkernel}\]
فِي الأَعْمِدَةِ اليُسْرَى وَالوَسَطِيّ مِن الشَكْلِ، تُظْهِر نَتائِجِ تَحْسِينِ QP عِنْدَ الحِفاظِ عَلَى قِيَمِ الجُهْدِ المُتَوَقَّعِ داخِلَ الدائِرَةِ ثابِتَةٍ عَلَى تِلْكَ المَوْجُودَةِ فِي تَقْرِيبِ \(128\times 128\) لَعَدَسَة نَمُوذَجَ اللُعْبَةِ. فِي كُلّاً المَوْقِفَيْنِ، كانَت الاوزان لَمُساهَمات النَواةُ مُتَماثِله، وَلٰكِن كُلِّ مِنهُما كانَ لَهُ قَيْدِ حُدُودِيٌّ مُخْتَلِفِ لِشَبَكَةِ \(\psi_{ij}\). فِي المَوْقِفِ الأَيْسَر، كانَ هُناكَ مُتَطَلِّب بِأَنَّ الكَثافَةِ المَحْسُوبَة مِن الجُهْدِ يَجِب أَنَّ تُساوَى الأَصْلِيَّةِ عِنْدَ الحُدُودِ. فِي المَوْقِفِ الوَسَطِيّ، تَمَّ تَثْبِيتُ قِيَمِ الجُهْدِ نَفْسِها عِنْدَ الحُدُودِ بِالإِضافَةِ إِلَى تِلْكَ المَوْجُودَةِ فِي المِنْطَقَةِ الدائِرِيَّةِ.
الحُرِّيَّةِ الإِضافِيَّة لِلمَوْقِفِ مِن اللَوْحَةُ اليُسْرَى سَمَحَت لِلمُحَلِّل (mosek تَمَّ اِسْتِخْدامه هُنا) بِمَحْو ذُرْوَةِ الكُتْلَةِ العَلَوِيَّة اليُمْنَى تَقْرِيباً بِالكامِلِ. كَما تُظْهِر الجُزْء السُفْلِيِّ مِن الشَكْلِ، فَإِنَّ بِنْيَةَ الخَطِّ الحَرَج الناتِجَةِ أَصْبَحَت غَرِيبه بِعَضِّ الشَيْء، وَتَخْتَلِف بِوُضُوحٍ عَن الأَصْلِيَّةِ. هٰذا أَقَلَّ الحالِ بِكَثِيرٍ بِالنِسْبَةِ لِمَوْقِفِ اللَوْحَةُ الوَسَطِيّ. القَيْد الإِضافِيّ عَلَى قِيَمِ الحُدُودِ لَجَهْد العَدَسَةُ مَنْعِ التَحْسِين مِن القَضاءِ التامِّ عَلَى ذُرْوَةِ الكُتْلَةِ العَلَوِيَّة اليُمْنَى، عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّها قَد تَمَّ تَقْلِيلها بِشَكْلٍ كَبِيرٍ بِالفِعْلِ.
لاحَظَ أَنَّهُ نَظَراً لِأَنَّ قِيَمِ جُهْدٍ العَدَسَةُ ظَلَّت دُونِ تَغْيِيرٍ داخِلَ المِنْطَقَةِ الدائِرِيَّةِ الَّتِي تَحْتَوِي عَلَى الصُوَرِ، فَإِنَّ RMS لَمُسْتَوَى الصُورَةِ هُوَ نَفْسِهِ كَما فِي الجَدْوَلُ [tab:phiapproxprops] لِشَبَكَةِ \(128\times 128\)، وَالَّتِي تَمَّت عَلَى أَساسِها هٰذِهِ التَحْسِيناتِ.
بَيْنَما يُؤَدِّي الحِفاظِ عَلَى قِيَمِ الجُهْدِ العَدَسِيّ داخِلَ المِنْطَقَةِ الدائِرِيَّةِ إِلَى الحِفاظِ عَلَى جَمِيعِ الخَصائِص فِي هٰذِهِ المِنْطَقَةِ القَوِيَّةِ لِلعَدَسَة، يُمْكِن أَيْضاً الاِكْتِفاءُ بِالحِفاظِ عَلَى قِيَمِ الجُهْدِ فِي مَواقِعِ الصُوَرِ فَقَط. سَيُحافِظ ذٰلِكَ أَيْضاً عَلَى جَمِيعِ الخَصائِص فِي تِلْكَ المَواقِعِ، لٰكِنَّهُ يَسْمَح بِالتَغْيِيراتِ بَيِّنَ الصُوَرِ أَيْضاً. فِي هٰذا المَعْنَى، فَهُوَ مُشابِهٍ جِدّاً لِتُعْدِد الأَقْطابِ الأُحادِيَّة مِن (Liesenborgs4)، حَيْثُ تَمَّ اِسْتِخْدامِ دَوال أَساسِيَّةٍ مُحَدَّدَةٍ لِلتَلاعُبِ بِكَثافَةٍ الكُتْلَةِ بَيِّنَ الصُوَرِ دُونِ التَأْثِيرِ عَلَى الخَصائِص فِي مَواقِعِ الصُوَرِ نَفْسِها. يُظْهِر العَمُودِ الأَيْمَن مِن الشَكْلِ المحذوف نَتائِجِ النَمُوذَجِ الأُولَى، حَيْثُ كانَت الإِعْدادات هِيَ نَفْسِها كَما فِي اللَوْحَةُ الوَسَطِيّ وَلٰكِن تَمَّ اِسْتِبْدالِ قَيْدِ المِنْطَقَةِ الدائِرِيَّةِ بِقُيُود فِي مَواقِعِ الصُوَرِ. كَما يُظْهِر المُلْحَقِ (app:cl0024)، بِالنِسْبَةِ لِ CL0024+1654 النَتِيجَةُ مُشابِهَةٍ جِدّاً لِتِلْكَ مِن (Liesenborgs4).
مِن المُثِيرِ لِلاِهْتِمامِ بُعْدَ ذٰلِكَ تَطْبِيقِ هٰذا الإِجْراءَ عَلَى نَمُوذَجَ كُتْلَةِ لِ SDSS J1004+4112 الَّذِي تَمَّ نَشَرَهُ مُؤَخَّراً (2024MNRAS.527.2639P)، حَيْثُ أَظْهَرَ تَرْكِيزا غَرِيباً لِلكُتْلَة. لِلإِشارَة، يَتِمّ إِعادَةِ إِنْتاجِ النَمُوذَجِ فِي اللَوْحَةُ العَلَوِيَّة، حَيْثُ يُمْكِن رُؤْيَةٍ مِيزَةً كَثافَةُ الكُتْلَةِ حَوْلَ \((6,-1)\) ثانِيَةً قَوْسَيْهِ. يُمْكِن بُعْدَ ذٰلِكَ اِسْتِخْدامِ إِجْراءِ التَقْدِيرِ المَوْصُوف أَعْلاه لِإِعادَةِ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ بَيِّنَ مَواقِعِ الصُوَرِ. نَظَراً لِأَنَّهُ يَجِب الحِفاظِ عَلَى قِيَمِ الجُهْدِ المُتَوَقَّعَةِ فِي مِنْطَقَةِ صَغِيرَةٌ حَوْلَ كُلِّ صُورَةِ (لِلحِفاظِ عَلَى جَمِيعِ المُشْتَقّاتِ ذاتِ الصِلَةِ)، فَإِنَّ دِقَّةٍ شَبَكَةِ الجُهْدِ \(\psi_{ij}\) تُؤَثِّر عَلَى مِقْدارٍ الحُرِّيَّةِ المُتَبَقِّيَةُ لِإِعادَةِ تَوْزِيعِ تَجْمَع الكُتْلَةِ المَعْنِيَّ. هُنا، تَمَّ اِسْتِخْدامِ شَبَكَةِ دَقِيقَةً جِدّاً مِن \(1536\times 1536\) نُقْطَةً، مِمّا أَدَّى إِلَى النَمُوذَجِ العَدَسِيّ المُكافِئ المَعْرُوضِ فِي الجُزْء السُفْلِيِّ مِن الشَكْلِ. لَم يَكُن الإِجْراءَ ناجِحاً كَما هُوَ الحالِ فِي حالَةِ CL0024+1654، عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّ المِيزَة أَصْبَحَت أَقَلَّ وُضُوحاً. كانَ مِن المُتَوَقَّعِ أَنَّ يَكُون مِن الصَعْبِ إِزالَتِها تَماماً بِسَبَبِ قُرْبَ الصُوَرِ: نَظَراً لِأَنَّ الجُهْدِ المُتَوَقَّعِ مَحْفُوظ فِي مِنْطَقَةِ صَغِيرَةٌ حَوْلَ كُلِّ صُورَةِ، فَإِنَّ الكَثافَةِ وَحَتَّى تُدْرِجها مَحْفُوظه أَيْضاً. لاحَظَ أَنَّهُ فِي مُحاوَلَةٍ لِمَحْوِ بِعَضِّ المِيزاتِ، أَدَّى تَطْبِيقِ الإِجْراءَ أَيْضاً إِلَى إِدْخالُ بِعَضِّ المِيزاتِ الأَقَلِّ رَغْبَةِ: يُمْكِن رُؤْيَةٍ تَأْثِيرِ القَرْصَة عَلَى سَبِيلِ المِثالِ حَوْلَ الصُوَرِ (8,10) وَ (7,3).
تَعْرِف التَحَلُّلُ النِسْبِيّ البَسِيطِ عادَةً بِتَحَلُّل وَرَقَةً الكُتْلَةِ (FalcoMassSheet) أَو تَحْلِل الاِنْحِدارِ (SahaSteepness). اِسْتِبْدالِ كَثافَةُ \(\Sigma(\Vec{\theta})\) لَنَمُوذَج العَدَسَةُ ب \[\Sigma'(\Vec{\theta}) = \lambda \Sigma(\Vec{\theta}) - (1-\lambda)\Sigma_{\rm cr} \label{eq:masssheetsimple}\] يُنْتِج نَمُوذَجاً جَدِيداً حَيْثُ يَتَوافَق مُسْتَوَى المَصْدَرُ المقيس فِي كُلِّ بُعْدَ بِالعامِل \(\lambda\) مَعَ نَفْسِ مُسْتَوَى الصُورَةِ. لاحَظَ أَنَّ هٰذا البِناءِ يُمْكِن أَنَّ يَتِمّ لِمَصْدَرٍ واحِدٍ فَقَط للانزياح الأَحْمَرِ، حَيْثُ تَعْتَمِد وَرَقَةً الكُتْلَةِ \(\Sigma_{\rm cr}\) عَلَى المَسافات الزاوِيَةِ القَطَرِيَّةِ لِهٰذا المَصْدَرُ. هٰذا التَحَلُّلُ لا يُحافِظ عَلَى جَمِيعِ الخَصائِص: نَظَراً لِأَنَّهُ يَقِيس مُسْتَوَى المَصْدَرُ، فَإِنَّ تَكْبِيرَ الصُوَرِ يَتَغَيَّر بِعامِل \(\lambda^2\) (لاحَظَ أَنَّ التَكْبِيرات النِسْبِيَّةِ لا تَتَأَثَّر). يُمْكِن أَيْضاً أَظْهار أَنَّ التَأْخِيرات الزَمَنِيَّةِ المَعْنِيَّةِ تَقِيس بِعامِل \(\lambda\).
إِحْدَى تَعْمِيمات هٰذا التَحَلُّلُ، بِاِسْتِخْدامِ إِجْراءِ التَقْدِيرِ مِن قِبَلَ، سَتَكُون لِإِيجادِ بَدِيلٍ لِلوَرَقَةِ نَفْسِها: فِي مَناطِقِ الصُوَرِ، يُمْكِن تَحْدِيدِ قِيَمِ الإِمْكانِيَّة المُتَوَقَّعَةِ لَوَرَقه الكُتْلَةِ \(\Sigma_{\rm cr}\). بِالحِفاظِ عَلَى هٰذِهِ القِيَمِ ثابِتَةٍ، يُمْكِن تَقْدِيرٍ إِمْكانِيَّةَ العَدَسَةُ فِي مَناطِقِ أُخْرَى، مِمّا يُنْتِج نَمُوذَجَ \(\Sigma_{\rm cr,eq}(\Vec{\theta})\) الَّذِي لَهُ تَأْثِيرِ مُكافِئ كَوَرَقه الكُتْلَةِ فِي هٰذِهِ الحالَةِ بِالذاتِ. اِسْتِخْدامِ هٰذا بِطَرِيقَةٍ مُماثِلَةٍ كَما فِي المُعادَلَةَ ([eq:masssheetsimple]) يُنْتِج مَرَّةً أُخْرَى \(\Sigma'\) الَّذِي لَهُ نَفْسِ تَأْثِيرِ تَحْلِل وَرَقَةً الكُتْلَةِ الأَصْلِيُّ. نَظَراً لِأَنَّ التَقْدِيرِ يُمْكِن أَنَّ يَتِمّ بِطُرُقٍ عَدِيدَةٍ، حَتَّى لِقِيمَةِ \(\lambda\) واحِدَةٍ، فَإِنَّ هٰذا يُؤَدِّي إِلَى تَعَدُّدِ نَماذِجَ الكُتْلَةِ المُكافِئَةِ.
لَقَد تَمَّ أَظْهار سابِقاً أَنَّ هٰذا التَحَلُّلُ يُمْكِن تَمْدِيده إِلَى انزياحات حَمْراءُ مُتَعَدِّدَةِ لِلمَصادِرِ، وَلٰكِن مَعَ نَفْسِ عامِلٍ القِياس \(\lambda\) (Liesenborgs3)، وَحَتَّى أَنَّهُ يُمْكِن اِسْتِخْدامِ عَوامِلِ قِياسُ مُخْتَلِفَةٍ (2012MNRAS.425.1772L). يُمْكِن أَيْضاً فَحْص هٰذا السِينارِيو الأَكْثَرَ عُمُومِيَّةٍ بِاِسْتِخْدامِ إِجْراءِ التَقْدِيرِ، عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّ التَرْكِيزِ فِي هٰذِهِ الحالَةِ سَيَكُون أَكْثَرَ عَلَى القُيُودِ مِن قِيَمِ الإِمْكانِيّات نَفْسِها. لِتَوْضِيحِ ذٰلِكَ، ضع فِي اِعْتِباركَ الوَضْعِ فِي العَمُودِ الأَيْسَر مِن الشَكْلِ (fig:msdspt)، الَّذِي يَسْتَخْدِم نَفْسِ الإِعْدادات كَما فِي المِثالِ مِن (2012MNRAS.425.1772L): تَوْزِيعِ كُتْلَةِ القِطَعِ الناقِص غَيْرِ المُفْرَد (NSIE) عِنْدَ انزياح أَحْمَر قَدَّرَهُ \(0.5\)، يَحُول المَصادِرُ البَيْضاوِيَّةِ الاِثْنَيْنِ عِنْدَ انزياحات حَمْراءُ قَدْرُها \(1.2\) وَ \(1.8\) مِن اللَوْحَةُ السُفْلِيَّة إِلَى صُور اللَوْحَةُ الوَسَطِيّ.
مُؤَقَّتاً، بِالتَرْكِيزِ عَلَى المَصْدَرُ الأَوَّلِ فَقَط، يُمْكِن إِنْشاءِ نَمُوذَجَ جَدِيدٍ بِاِسْتِخْدامِ المُعادَلَةَ ([eq:masssheetsimple]) وَعامِلٌ \(\lambda_1\) الَّذِي يَتَسَبَّب فِي نُسْخَةً مقيسه مِن المَصْدَرُ تَتَوافَق مَعَ نَفْسِ الصُوَرِ. دَعُونا نُحَدِّد مَناطِقِ الصُوَرِ ك \(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,1}\}\)، وَنَحْفَظ زَوايا الاِنْحِرافِ لِهٰذا النَمُوذَجِ الجَدِيدِ فِي هٰذِهِ المَناطِقِ، \(\Vec{\hat{\alpha}}'_1(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,1}\})\)، لِاِسْتِخْدامِها لاحِقاً. بِالطَبْعِ، بِالنِسْبَةِ لِلمَصْدَرِ الثانِي يُمْكِن تَنْفِيذِ نَفْسِ الإِجْراءَ، مَعَ \(\lambda_2\) مُخْتَلِفِ، مِمّا يُنْتِج مَرَّةً أُخْرَى زَوايا اِنْحِرافٍ \(\Vec{\hat{\alpha}}'_2(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,2}\})\)، الآنَ فِي مَناطِقِ الصُوَرِ الأُخْرَى.
الهَدَفَ الآنَ هُوَ إِنْشاءِ نَمُوذَجَ عَدَسَةِ واحِدٍ يَحْتَوِي كُلّاً مِن \(\Vec{\hat{\alpha}}'_1(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,1}\})\) وَ \(\Vec{\hat{\alpha}}'_2(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,2}\})\) كَزَوايا اِنْحِرافٍ، وَهٰذا ما يُمْكِن أَنَّ يُنْتِجه أُسْلُوبِ التَقْدِيرِ. لَن تَكُون هُناكَ قِيَمِ لَإِمْكانِيَّة العَدَسَةُ ثابِتَةٍ، سَيَتِمّ حِسابِ الكُلُّ. بِصَرْفِ النَظَرِ عَن القَيْد الَّذِي يُحافِظ عَلَى كَثافَةُ الكُتْلَةِ إِيجابِيَّةً، هُناكَ الآنَ أَيْضاً قُيُودٍ لَتَدَرُّجات الإِمْكانِيَّة المُتَوَقَّعَةِ، حَيْثُ تَتَوافَق هٰذِهِ مَعَ زَوايا الاِنْحِرافِ \(\Vec{\hat{\alpha}}'\) لِلنَمُوذَج الجَدِيدِ. بِالنِسْبَةِ لِمِثْلِ هٰذِهِ التَدَرُّجات، يُمْكِن اِسْتِخْدامِ النَواةُ \([-1, 1]\) فِي اِتِّجاهاتٍ \(x\)- وَ \(y\)-، مِمّا يُنْتِج تَقْدِيراتِ \(\Vec{\hat{\alpha}}'\).
فِي الأَساسِ، يُمْكِن لِلمُعادَلَة ([eqn:lineqconstr]) أَنَّ تَفْرِض هٰذِهِ القِيَمِ فِي مَناطِقِ الصُوَرِ لِتَكُون عَلَى التَوالِي \(\Vec{\hat{\alpha}}'_1(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,1}\})\) وَ \(\Vec{\hat{\alpha}}'_2(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,2}\})\)، وَلٰكِن وَجَدْنا أَنَّ هٰذا القَيْد الدَقِيقِ لا يَعْمَل بِشَكْلٍ جَيِّدٍ فِي الواقِعِ. بَدَلاً مِن ذٰلِكَ، يَسْمَح بِبَعْضِ الاِنْحِرافات الصَغِيرَةِ، وَالَّتِي يُمْكِن صِياغَتها كَقُيُود عَدَمِ المُساواةُ بِاِسْتِخْدامِ المُعادَلَةَ ([eqn:linconstr]). تُظْهِر العَمُودِ الأَوْسَطِ مِن الشَكْلِ (fig:msdspt) نَمُوذَجاً تَمَّ الحُصُولِ عَلَيهِ بِاِسْتِخْدامِ هٰذا الإِجْراءَ، لِ \(\lambda_1 = 0.9\) وَ \(\lambda_2 = 0.8\). تُظْهِر اللَوْحَةُ السُفْلِيَّة المَصادِرُ الَّتِي تَمَّ تَحْجِيمها بِهٰذِهِ العَوامِلُ وَتَسَبَّبَ نَفْسِ الصُوَرِ كَما كانَ مِن قِبَلَ، كَما يُمْكِن رُؤْيَتِهِ فِي اللَوْحَةُ الوَسَطِيّ.
تُعْتَبَر تَحْوِيله الكُتْلَةِ الوَرَقِيَّةِ حالَةِ خاصَّةٍ مِن تَحْوِيله مَوْضِعَ المَصْدَرُ (SPT) المَوْصُوفَة فِي (2014A&A...564A.103S). فِي هٰذِهِ النُسْخَةَ الأَكْثَرَ عُمُومِيَّةٍ، لا يَخْضَع مُسْتَوَى المَصْدَرُ لِإِعادَةِ تَحْجِيم بَسِيطَةً فَحَسْب، بَل يُمْكِن تَحْوِيلُهُ بِطَرِيقَةٍ أَكْثَرَ عُمُومِيَّةٍ. فِي حالَةِ تَحْجِيم بُعْدَ \(y\) فَقَط لَمُسْتَوَى المَصْدَرُ بِعامِل \(\lambda\)، يُمْكِن كِتابَةِ \[\beta'_y = \lambda \beta_y = \theta_y - \frac{D_{\rm ds}}{D_{\rm s}} \hat{\alpha}'_y \mcm\] حَيْثُ \[\hat{\alpha}'_y = \frac{D_{\rm s}}{D_{\rm ds}}\theta_y(1-\lambda) + \lambda \hat{\alpha}_y \mpt\] اِسْتِناداً إِلَى زَوايا الاِنْحِرافِ الأَصْلِيَّةِ فِي مَناطِقِ الصُورَةِ، يُمْكِن بِهٰذِهِ الطَرِيقَةِ حِسابِ القُيُودِ لِ \(\Vec{\hat{\alpha}}'_1(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,1}\})\) وَ \(\Vec{\hat{\alpha}}'_2(\{\Vec{\theta}_{\rm reg,2}\})\)، وَالَّتِي يُمْكِن حَلِّها بُعْدَ ذٰلِكَ بِنَفْسِ الطَرِيقَةِ كَما كانَ مِن قِبَلَ. يُظْهِر العَمُودِ الأَيْمَن مِن الشَكْلِ (fig:msdspt) كَيْفَ أَنَّ الشَكْلَيْنِ المُصَدِّرِينَ اللَّذَيْنِ تَمَّ تَحْجِيمهما فِي اِتِّجاهِ \(y\) بِعامِل \(\lambda=0.85\) يُنْتَجانِ نَفْسِ الصُوَرِ مَرَّةً أُخْرَى. فِي الواقِعِ، تَبَيَّنَ أَنَّ الحُصُولِ عَلَى نَتائِجِ تَتَوافَق مَعَ هٰذا النَوْعِ مِن SPT كانَ صَعْباً لِلغايَةِ. عَلَى وَجْهِ الخُصُوصِ، عِنْدَما يَتِمّ تَقْلِيلِ \(\lambda\) أَكْثَرَ فَأَكْثَرَ، كانَ مِن الضَرُورِيِّ السَماحِ بِالمَزِيدِ وَالمَزِيدِ مِن الاِنْحِرافات فِي القِيَمِ المُسْتَهْدَفَة \(\Vec{\hat{\alpha}}'\) لِكَي يَجِد إِجْراءِ QP حَلّاً. تَمَّت مُلاحَظَةُ صُعُوباتٍ مُماثِلَةٍ أَيْضاً فِي (2014A&A...564A.103S)، حَيْثُ لَم تَعُد التَغْيِيراتِ التَعَسُّفِيَّةُ لَمُسْتَوَى المَصْدَرُ مَضْمُونه لِتَكُون متوافقه مَعَ زَوايا الاِنْحِرافِ الَّتِي تَكُون تُدْرِج الجُهْدِ العَدَسِيّ.
كَما هُوَ الحالِ مَعَ MSD نَفْسِها، بَيْنَما لا تَزال هٰذِهِ التَغْيِيراتِ تُولَد (تَقْرِيباً) نَفْسِ الصُوَرِ، فَإِنَّ الخَصائِص الأُخْرَى لَم تَعُد مَحْفُوظه. سَتَتَغَيَّر التَأْخِيرات الزَمَنِيَّةِ بِطَرِيقَةٍ أَقَلَّ قابِلِيَّةِ لِلتَنَبُّؤ، وَتَتَغَيَّر التَكْبِيرات أَيْضاً.
فِي هٰذِهِ المَقالَة، نَظَرِنا فِي مُشْكِلَةِ التَكافُؤات فِي العَدَسات مِن مَنْظُورٍ الإِمْكانِيَّة المُتَوَقَّعَةِ. بَدْءاً مِن نَمُوذَجَ عَدَسَةِ فَعّالٌ وَالحِفاظِ عَلَى قِيَمِ الإِمْكانِيَّة الخاصَّةِ بِالعَدَسَة ثابِتَةٍ فِي المَناطِقِ ذاتِ الصِلَةِ، أَيّ عَلَى الأَقَلِّ المَناطِقِ الَّتِي تُظْهِر فِيها الصُوَرِ فِي النِظامِ، يُمْكِن الحُصُولِ عَلَى العَدِيدَ مِن نَماذِجَ العَدَسات المُكافِئَةِ الَّتِي تُحافِظ عَلَى جَمِيعِ خَصائِصِ العَدَسات. إِذا رَكَّزَ المَرْء فَقَط عَلَى الاِحْتِفاظِ بِزَوايا الاِنْحِرافِ، يُمْكِن الحُصُولِ عَلَى نَماذِجَ متوافقه مَعَ الصُوَرِ المَرْصُودَة نَفْسِها، وَلٰكِن هٰذِهِ لَن تُحافِظ بِالضَرُورَةِ عَلَى خَصائِصِ أُخْرَى. هٰذا يُوَضِّح أَيْضاً القُوَّةِ المُخْتَلِفَةِ لِلتَقْيِيد لِأَنْواعِ مُخْتَلِفَةٍ مِن المُلاحَظاتِ. قِياسات تَأْخِيرٍ الوَقْتِ تُساعِد فِي اِسْتِكْشافٍ الإِمْكانِيَّة المُتَوَقَّعَةِ مُباشَرَةً وَلِذٰلِكَ فَهِيَ مُهِمَّةً بِشَكْلٍ خاصٍّ. الصُوَرِ المَرْصُودَة تُوَفِّر مَعْلُوماتٍ حَوْلَ تُدْرِج الإِمْكانِيَّة، وَهُوَ ما يُوَضِّح لِماذا، دُونِ تَثْبِيتُ الشَكْلِ الأَساسِيُّ لَنَمُوذَج العَدَسَةُ، يَتَطَلَّب العَدِيدَ مِن أَنْظِمَةِ الصُوَرِ المُتَعَدِّدَةِ لِبِناءِ الإِمْكانِيَّة العَدَسِيَّة مِن تَدَرُّجاتها. قِياسُ العَدَسَةُ الضَعِيفَةُ يَسْتَكْشِف تَقَعَّرَ الإِمْكانِيَّة، مِمّا يُوَفِّر أَقَلَّ المَعْلُوماتِ تَفْصِيلاً.
تَمَّ وَصَفَ طَرِيقَةِ بِاِسْتِخْدامِ البَرْمَجَة التَرْبِيعِيَّة يُمْكِن مِن خِلالَها اِسْتِكْشافٍ هٰذِهِ التَكافُؤات عَمَلِيّاً. تُؤَدِّي القُيُودِ المُخْتَلِفَةِ أَو اوزان نَوَى التَحْوِيلِ إِلَى نَتائِجِ مُخْتَلِفَةٍ، وَحَتَّى المُحَلِّلُونَ المُخْتَلِفُونَ مَعَ الإِعْدادات نَفْسِها عادَةً لا يَتَقارَبُونَ إِلَى الحَلِّ نَفْسِهِ بِالضَبْطِ. جَمِيعِ الحُلُولِ تُحافِظ عَلَى خَصائِصِ العَدَسات المَرْغُوبَة، مِمّا يُشِير إِلَى أَنَّ العَدِيدَ مِن الحُلُولِ يُمْكِن أَنَّ تُفَسِّر المُلاحَظاتِ نَفْسِها.
عَلَى الأَقَلِّ بِاِسْتِخْدامِ هٰذِهِ الطَرِيقَةِ بِالذاتِ، لَيِسَ مِن السَهْلِ دائِماً القَضاءِ عَلَى مِيزاتِ الكُتْلَةِ الخالِيَةِ مِن الضَوْء الَّتِي يُعِيد بِناءها Grale. يُمْكِن تَنْعِيمها جُزْئِيّاً عَن طَرِيقِ إِعادَةِ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ عَبْرَ مُسْتَوَى العَدَسَةُ، وَلٰكِنَّها لا تَخْتَفِي بِالضَرُورَةِ تَماماً. العَمَلِ المُقَدَّمُ هُنا يُظْهِر أَنَّهُ بِسَبَبِ تَكافُؤات العَدَسات، يَجِب عَدَمِ أَخَذَ الأَشْكال المُحَدَّدَةِ لِمِثْلِ هٰذِهِ المِيزاتِ الكتليه عَلَى مَحْمَلِ الجِدِّ، وَلٰكِن مِن ناحِيَةٍ أُخْرَى يَجِب عَدَمِ رَفْضِها بِبَساطَة كَمُخَلَّفات لِإِعادَةِ البِناءِ الحُرَّةِ الشَكْلِ. هٰذا يُدَعِّم أَيْضاً واقِعٍ تَكَتُّلات المادَّةُ المُظْلِمَة فِي SDSS J1004+4112 وَكَذٰلِكَ فِي Abell 1689 (2023MNRAS.525.2519G)، وَالَّتِي يُمْكِن أَنَّ تَكُون مُشابِهَةٍ، وَلٰكِن أَقَلَّ كُتْلَةِ بِعَضِّ الشَيْء مِن تِلْكَ الَّتِي وَجَدَت فِي مَجْمُوعَةِ Coma بِاِسْتِخْدامِ العَدَسَةُ الضَعِيفَةُ (2010ApJ...713..291O).
لَيِسَ دائِماً ما تَكُون مَرْئِيَّةٍ فِي الأَشْكال كَما هِيَ مَعْرُوضه هُنا، بِعَضِّ التَقَلُّبات غَيْرِ الفِيزيائِيَّة فِي الكَثافَةِ بِالقُرْبِ مِن الصُوَرِ حَيْثُ يَتِمّ الاِحْتِفاظِ بِقِيَمِ الإِمْكانِيَّة. يُوَضِّح الشَكْلِ [fig:densmismatch] هٰذا التَأْثِيرِ: بِالنِسْبَةِ لِلصُورَةِ فِي نِظامِ SDSS J1004+4112 المُشارِ إِلَيها فِي اللَوْحَةُ اليُسْرَى، تُظْهِر اللَوْحَةُ الوَسَطِيّ الكَثافَةِ وِفْقاً لِلنَمُوذَج الَّذِي يَعْتَمِد عَلَى قِيَمِ الإِمْكانِيَّة العَدَسِيَّة المستقاه. تُحَدِّد تَقاطُعاتِ الخُطُوطِ الأُفُقِيَّة وَالعَمُودِيَّة الشَبَكَةِ الَّتِي تَعْرِف فِيها هٰذِهِ القِيَمِ الإِمْكانِيَّة. لِلحِفاظِ عَلَى خَصائِصِ العَدَسات بِالقُرْبِ مِن الصُوَرِ، تَمَّ الاِحْتِفاظِ بِبَعْضِ هٰذِهِ القِيَمِ ثابِتَةٍ؛ هٰذِهِ تُؤَدِّي إِلَى مِنْطَقَةِ الكَثافَةِ الَّتِي تُشْبِه المُسْتَطِيل المُدَوَّر. بِجِوارِ هٰذِهِ المِنْطَقَةِ، حَيْثُ تَبْدَأ الاِسْتِقْراء، يُمْكِن مُلاحَظَةُ بِعَضِّ التَقَلُّبات فِي الكَثافَةِ.
يَبْدُو أَنَّ هٰذا يُمْكِن تَفْسِيرُهُ، عَلَى الأَقَلِّ جُزْئِيّاً، بِسَبَبِ اِخْتِلافِ طَفِيفٍ بَيِّنَ النَمُوذَجِ النِهائِيِّ الَّذِي يَسْتَخْدِم التَقْرِيبِ الثُنائِيِّ المُكَعَّب لَقِيَم الشَبَكَةِ وَإِجْراءِ التَحْسِين الَّذِي يُقَدَّر الكَثافَةِ بِاِسْتِخْدامِ نَواةِ التَحْوِيلِ. الأَوَّلِ يَسْتَخْدِم لِاِمْتِلاكِ نَمُوذَجَ عَدَسَةِ يُمْكِن حِسابِ جَمِيعِ خَصائِصه فِي أَيّ نُقْطَةً، حَتَّى بَيِّنَ نِقاطٍ الشَبَكَةِ. الثانِي مَطْلُوبٌ لَتَكْوِين التَحْسِين كَمُشْكِلَة بَرْمَجَةِ تَرْبِيعَيْهِ. تُظْهِر اللَوْحَةُ اليُمْنَى الكَثافَةِ المُقَدَّرَةِ مِن التَحْوِيلِ، مِمّا يَعْنِي أَنَّ هٰذا هُوَ الوَضْعِ الَّذِي يَعْتَبِره إِجْراءِ البَرْمَجَة التَرْبِيعِيَّة. بَيْنَما لَم تَعُد الكثافات مَعْرِفَةُ فِي كُلِّ مَكانٍ، وَلٰكِن فَقَط عَلَى نِقاطٍ الشَبَكَةِ، يَبْدُو النَتِيجَةُ أَنَّها تُعانِي أَقَلَّ بِكَثِيرٍ مِن التَقَلُّبات مِن اللَوْحَةُ الوَسَطِيّ. حَتَّى مَعَ ذٰلِكَ، لا يَزال مِن المُمْكِنِ التَعَرُّفُ بِوُضُوحٍ عَلَى المِنْطَقَةِ الَّتِي يَتِمّ الحِفاظِ فِيها عَلَى قِيَمِ الإِمْكانِيَّة، مِمّا يَعْنِي أَنَّ نَتِيجَةَ الاِسْتِقْراء لَيِسَت جَيِّدَةٍ كَما كانَ مُتَوَقَّعاً.
لَم يَتَّضِح بُعْدَ كَيْفَ يَجِب مُعالَجَةِ هٰذا التَأْثِيرِ بِشَكْلٍ أَفْضَلَ. رُبَّما يُمْكِن العُثُورِ عَلَى نَواةِ تَحْوِيلِ أَفْضَلَ مِن تِلْكَ المَوْجُودَةِ فِي المُعادَلَةَ ([eq:bbkernel])، عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّ المُحاوَلاتِ الأَوَّلِيَّةِ لَم تَكُن ناجِحَةً. يُمْكِن أَنَّ يَكُون نَهْجاً آخَرِ.
سَيَتِمّ مُشارَكَةِ البَياناتِ الأَساسِيَّةِ لِهٰذِهِ المَقالَة بِناءَ عَلَى طَلَبَ مَعْقُولٍ لِلمُؤَلِّف المُراسِلُ.
يَعْتَرِف JL بِاِسْتِخْدامِ المَوارِدِ وَالخَدَماتِ الحِسابِيَّة الَّتِي قَدَّمَها مَرْكَزِ الحَواسِيب العِمْلاقَةِ الفَلَمَنْكِيّ (VSC)، المُمَوَّلِ مِن قِبَلَ مُؤَسَّسَةِ البَحْثِ - فلاندرز (FWO) وَحُكُومَةِ فلاندرز.
لِلحُصُولِ عَلَى عامِلٍ المِقْياسُ المُسْتَخْدِمُ لَتَقْدِير صَحِيحٌ لِتَدَرُّجِ شَبَكَةِ \(\psi_{ij}\)، وَالَّتِي تَتَوافَق مَعَ زَوايا الاِنْحِرافِ، يُمْكِن اِسْتِخْدامِ حَقِيقَةِ أَنَّهُ بِالنِسْبَةِ لَنَمُوذَج عَدَسَةِ الكُرَةِ الايزوثيرميه المُفْرَدَة (SIS)، فَإِنَّ زاوِيَةِ الاِنْحِرافِ ثابِتَةٍ فِي الحَجْمِ \[\hat{\alpha} = 4\pi\sigma_v^2/c^2\mcm \label{eq:sisalpha}\] حَيْثُ \(\sigma_v\) هُوَ تَشَتَّتَ السُرْعَةِ لِلنَمُوذَج. يَتِمّ أَخَذَ عَيِّناتٍ مِن قِيَمِ الجُهْدِ العَدَسِيّ لِهٰذا النَمُوذَجِ عَلَى شَبَكَةِ بِدِقَّةٍ مُحَدَّدَةٍ، وَمَزْجها مَعَ نَواةِ التَدَرُّج وَمُقارَنَة النَتِيجَةُ بِالقِيمَةِ المُتَوَقَّعَةِ مِن المُعادَلَةَ ([eq:sisalpha])، وَمِن ثُمَّ يُنْتِج عَن ذٰلِكَ عامِلٍ المِقْياسُ.
يُمْكِن اِسْتِخْدامِ نَهْجٍ مُماثِلٍ لِلحُصُولِ عَلَى عامِلٍ المِقْياسُ المَطْلُوبِ عِنْدَ اِسْتِخْدامِ نَواةِ لابلاس، مِثْلَ المُعادَلَةَ ([eq:bbkernel]). فِي هٰذِهِ الحالَةِ، يُمْكِن بِناءَ نَمُوذَجَ يَتَوافَق مَعَ صَفِيحَةِ ذاتِ كَثافَةُ ثابِتَةٍ مُحَدَّدَةٍ \(\Sigma_{\rm s}\). مَرَّةً أُخْرَى، الحُصُولِ عَلَى قِيَمِ الجُهْدِ المُتَوَقَّعَةِ عَلَى شَبَكَةِ بِدِقَّةٍ مُعَيَّنَةٍ، وَمَزْج القِيَمِ مَعَ نَواةِ لابلاس وَمُقارَنَة النَتِيجَةُ ب \(\Sigma_{\rm s}\) المَرْغُوبَة يَكْشِف عَن عامِلٍ المِقْياسُ المَطْلُوبِ لِلنَواة.
يُقارِن الشَكْلِ [fig:cl0024revis] النَتائِجِ مِن (Liesenborgs4) مَعَ تِلْكَ الَّتِي تَمَّ الحُصُولِ عَلَيها بِاِسْتِخْدامِ طَرِيقَةِ تَقْدِيرٍ الجُهْدِ العَدَسِيّ مِن هٰذِهِ المَقالَة. يُظْهِر الجُزْء الأَيْسَر نَتائِجِ عَكْسَ العَدَسَةُ الَّتِي تَمَّ الحُصُولِ عَلَيها لِ CL0024+1654، حَيْثُ يُمْكِن مُلاحَظَةُ ذُرْوَةِ صَغِيرَةٌ حَوْلَ \((10,-10)\) ثانِيَةً قَوْسَيْهِ. نَظَراً لِأَنَّ هٰذا كانَ بَعِيداً نِسْبِيّاً عَن مَواقِعِ الصُوَرِ، تَمَّ اِسْتِخْدامِ التَجانُس الأُحادِيّ لِإِعادَةِ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ، وَالحُصُولِ عَلَى النَتائِجِ مِن الجُزْء الأَوْسَطِ. ثُمَّ يُظْهِر الجُزْء الأَيْمَن النَتائِجِ بِاِسْتِخْدامِ الطَرِيقَةِ مِن هٰذِهِ المَقالَة، حَيْثُ تَمَّ اِسْتِخْدامِ مُحَلِّل (mosek). يُظْهِر خَرِيطَةِ الكُتْلَةِ الناتِجَةِ تَوافُقاً مُثِيراً لِلاِهْتِمامِ مَعَ النَتائِجِ مِن الجُزْء الأَوْسَطِ حَيْثُ تَمَّ إِعادَةِ تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ بِشَكْلٍ صَرِيحٍ.
[lastpage]