LaTeX
مُلخَّص
يسهل التحقُّق من بُرهان نِيفِن الموجَز على أنَّ \(\pi\) غيرُ نِسبيّ؛ غير أنّه يبدأ بصيغةٍ تبدو وكأنّها انبثقت من العدم، ولا تتّضح أصولُها حتى بعد الاطّلاع على البرهان. تهدف هذه الورقة إلى إظهار مسارٍ واقعيّ للتفكير يمكن أن يسلكه رياضيّ للوصول إلى البرهان من الصفر، من دون حاجة إلى عبقريةٍ خاصة. بالمقارنة مع العرض التقليدي لبرهان نِيفِن، يكمن الجديد هنا في إعادة توظيف حسابٍ بسيط مرتبط بكثيرات الحدود المتعامدة، وهو ما يقود بصورةٍ طبيعية إلى التأمّل في تكاملاتٍ قد لا تبدو أهميّتُها واضحةً للوهلة الأولى.
مُقدِّمة
نعرف منذ وقتٍ مبكّر أنَّ \(\pi\) عددٌ غيرُ نِسبيّ. ومع ذلك، فكثيرٌ من الرياضيّين إمّا لم يطّلعوا على برهانٍ يُثبت ذلك، أو إن اطّلعوا وجدوه غير مُحفِّز وصعب الاستذكار. وليس ذلك لندرة البراهين الموجَزة؛ فبُرهان نِيفِن الشهير، أو صِيَغه المختصرة كما في أعمال بورباكي، وهاردي–رايت، وجيفريس، لا يتجاوز صفحةً واحدة، كما يسهل التحقّق من كلّ خطوةٍ فيه. ومع هذا، لا يُعَدّ هذا البرهان “طبيعيًّا” بالمعنى الذي يقصده دونالد نيومان.
المقصود بـ“الطبيعي” غيابُ البناءات المصطنعة والحِيَل. فالبُرهان الطبيعي هو الذي يفرض نفسه ويكون في متناول “الرياضيّ العاديّ في الشارع”.
قد يكون البُرهان الأطول أحيانًا أكثرَ “طبيعيّةً” إذا أخفق القصير في الكشف عن الأسس الكامنة. فمثلًا، يبدأ بُرهان نِيفِن بطرح تكاملٍ يبدو وكأنّه صِيغ من فراغ. وقد حاول عددٌ من المؤلّفين (مثل جونز، مولر، وتشو) تقديم دوافع أوفى لهذا البرهان، لكنّني ظللتُ أشعر بأنّ الوصول حقًّا إلى جذره سيبقى بعيد المنال.
لم يتغيّر هذا الانطباع إلا قريبًا، حين أفدتُ من كتابٍ رائع لأنْجِل (angell) ومن إجابة kostya على سؤالي في MathOverflow؛ عندها لمعَتْ فكرة. وغاية هذه الورقة هي عرض طريقةٍ عمليّة تُمكِّن “الرياضيّ في الشارع” — بتعبير نيومان — من اكتشاف بُرهانٍ على أنَّ \(\pi\) غيرُ نِسبيّ دون حاجةٍ إلى نُبوغٍ خارق.
ولجَعْلِ الورقة في متناولٍ أوسع، لا نفترض لدى القارئ خبرةً مسبقة ببراهين اللّانِسبيّة. وتتوزّع مناقشتُنا على مراحل:
نشرح الفلسفة العامة وراء براهين اللّانِسبيّة، مستعينين ببرهانٍ مباشر على أنّ \(e\) غيرُ نِسبيّ مثالًا.
نُقدِّم بُرهانًا على أنّ \(e^r\) غيرُ نِسبيّ لكلّ عددٍ صحيحٍ موجب \(r\) مع تقليل الحِيَل قدرَ الإمكان؛ بحيث يمكن للقارئ استنباطُه بنفسه — على الأقل بعد الرجوع إلى “حقائق معياريّة” في مراجع موثوقة.
بفكرةٍ بسيطة نُبسِّط البرهان بحيث يسهل حفظُه (أو إعادة بنائه) دون الرجوع إلى مراجع.
وأخيرًا، نُبيّن أنّ برهان اللّانِسبيّة لـ\(e^r\) عندما \(r\) عددٌ صحيحٌ موجب يمكن تكييفُه مباشرةً لإعطاء بُرهان نِيفِن بأنّ \(\pi\) غيرُ نِسبيّ.
نَظَرِيّةُ العَدَدِ المُتَسامِيّ الأَساسيّة
هناك نكتةٌ معروفة تقول إنّ “النظرية الأساسية في نظرية الأعداد المُتَسامية تنصّ على أنّه لا يوجد عددٌ صحيح بين 0 و1”. والمفارقة أنّ هذه النكتة قريبة من الحقيقة، إذ يمكن تلخيص كثيرٍ من براهين اللّانِسبيّة على النحو الآتي:
نفترض — للوصل إلى تناقض — أنّ \(\alpha\) عددٌ نِسبيّ. ثم نكتب معادلةً مناسبةً تتضمّن \(\alpha\).
نقوم بـ“توسيع” المعادلة بضربِها في مضاعفٍ لمقام \(\alpha\).
نستنتج علاقةً من الشكل \(A = B\) حيث \(A\) عددٌ صحيح و\(0 < B < 1\).
نستخرج التناقض من “النظرية الأساسية” المذكورة.
يُمثِّل البرهان المدرسيّ الشهير على لاأنسبيّة \(e\) هذا النمط أوضح تمثيل. ولأغراضه نُعرِّف الدالّة \(e^x\) بسلسلة تايلور الخاصة بها:
\[ e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots \]ولنفترضْ خلافًا للمدّعى أنّ \(e = p/q\) لأعدادٍ صحيحة موجبة \(p\) و\(q\). بضرب كلا الطرفين في \(q!\) نحصل على:
\[ \underbrace{\frac{q!p}{q}}_{\in\mathbb{Z}} = \underbrace{q! + \frac{q!}{1!} + \cdots + \frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb{Z}} + \underbrace{\frac{q!}{(q+1)!} + \cdots}_{B} \]حيث \(B\) هو مجموع الحدود الباقية. ويسهل وضعُ حدٍّ هندسيٍّ علويّ:
\[ B < \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)^2} + \cdots = \frac{1}{q} \le 1. \]وهذا يتعارض مع “النظرية الأساسية” أعلاه؛ وبذلك تمَّ البرهان.
ومن المهمّ التصريح صراحةً بأنّ ما يجعل هذا البرهان يعمل هو التقارُب السريع للسلسلة: فبأيّما كانت القيمة المفترضة \(e=p/q\)، فإن “الباقي” بعد ضرب \(q!\) يقع بالفعل في الفترة \((0,1)\).
لاأنسبيّة \(e^r\)
وقد نُحاوِل — تشجيعًا بهذا النجاح — تعديل البرهان السابق لإثبات أنّ \(e^r\) غيرُ نِسبيّ متى كان \(r\) عددًا صحيحًا موجبًا. لنفترضْ كما قبل أنّ \(e^r = p/q\). عندئذٍ:
\[ \frac{p}{q} = 1 + \frac{r}{1!} + \frac{r^2}{2!} + \frac{r^3}{3!} + \cdots \]وأوّلُ ما يتبادر هو الضرب في \(q!\) كما فعلنا من قبل:
\[ \underbrace{\frac{q!p}{q}}_{\in\mathbb{Z}} = \underbrace{q! + \frac{q!r}{1!} + \cdots + \frac{q!r^q}{q!}}_{\in\mathbb{Z}} + \underbrace{\frac{q!r^{q+1}}{(q+1)!} + \cdots}_{B} \]لكنّنا نُواجِه الآن مشكلة؛ ذلك أنّ الحدَّ العلويَّ لـ\(B\) يكون
\[ B < \sum_{n=1}^\infty \frac{r^{q+n}}{(q+1)^n} = \frac{r^{q+1}}{(q+1)-r}, \]وهو لا يُفضي إلى تناقض إلا عندما \(r=1\). أمّا إذا \(r>1\) فالمقدار قد يتجاوز \(1\)، فتسقُط الحُجّة.
قد يكون من الممكن إصلاح هذه الحُجّة بطريقةٍ أخرى، لكنْ سنفترض هنا أنّنا عالقون. سلسلة تايلور لـ\(e^x\) لم تُفلِح معنا. فما البدائل؟
كثيراتُ الحدودِ المتعامِدةُ إلى الإنقاذ
نصل الآن إلى خطوةٍ محوريّة. نحن نبحث عن تقريبٍ يتقارَب بسرعة إلى \(e^x\). أين نرى شيئًا كهذا؟ الفكرة هي توسيع \(e^x\) على أساسٍ من كثيرات الحدود المتعامدة.
القرّاء الذين لا أُلفةَ لهم مع هذه الكائنات ربّما صادفوا كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأوّل (ولو من غير اسمها) في الرياضيات المدرسيّة. فإذا عبّرنا \(\cos(n\theta)\) على صورة كثيرِ حدودٍ في \(\cos\theta\)، فإنّ كثيرات الحدود الناتجة \(T_n\) هي بالضبط كثيرات حدود تشيبيشيف؛ مثلًا:
\[ \begin{aligned} T_2(x)&=2x^2-1 &&\quad\text{لأن}\;\cos(2\theta)=2(\cos\theta)^2-1,\\ T_3(x)&=4x^3-3x &&\quad\text{لأن}\;\cos(3\theta)=4(\cos\theta)^3-3\cos\theta,\\ T_4(x)&=8x^4-8x^2+1 &&\quad\text{لأن}\;\cos(4\theta)=8(\cos\theta)^4-8(\cos\theta)^2+1. \end{aligned} \]نُسمّي \(T_n\) كثيراتِ حدودٍ متعامدة لأنّها متعامدةٌ بالنسبة للضرب الداخلي
\[ \langle f,g\rangle:=\int_{-1}^1 f(x)\,g(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]وكما في أيّ فضاءٍ داخليّ، يمكن توسيع الدوالّ (المتجهات) على أساسٍ متعامد؛ وإذا كان الأساس “جيّدًا”، فإنّ الدوالّ “الجيّدة” تُقارَب جيّدًا.
حالما تخطر لنا فكرةُ حساب معاملات \(e^x\) بالنسبة إلى مثل هذا الأساس، يبرز سؤال: أيُّ مجموعةٍ نختار؟ في غياب سببٍ قويٍّ لتفضيل ضربٍ داخليٍّ على آخر، يبدو معقولًا البدءُ بالاختيار الظاهر الأبسط — أي الضرب الداخليّ المرتبط بتشيبيشيف — ثمّ نُبدِّل إن لم يُجدِ. وهكذا نصل إلى تأمّل تعبيرٍ من قبيل
\(\int f(x)\,e^x\,dx\) حيث \(f(x)\) مُتعدِّد حدود.
قبل أن نستعين بالنتائج القياسيّة (مثل دليل NIST) عن كثيرات الحدود المتعامدة، نلحظ أنّ تقييم \(\int f(x)\,e^x\,dx\) سيستلزم — على الأرجح — التكامل بالأجزاء. فلنَتْبَعْ هذا الحدْس. إذ ينبغي أن يظهر المُعامل \(r\) بطريقةٍ ما، لذا سنحوِّل فترة التكامل من \([-1,1]\) إلى \([0,r]\):
\[ \begin{aligned} \int_0^r f(x)\,e^x\,dx &=\bigl[f(x)e^x\bigr]_0^r-\int_0^r f'(x)\,e^x\,dx\\ &=\bigl[(f(x)-f'(x))\,e^x\bigr]_0^r+\int_0^r f''(x)\,e^x\,dx\\ &=\bigl[(f(x)-f'(x)+f''(x))\,e^x\bigr]_0^r-\int_0^r f'''(x)\,e^x\,dx, \end{aligned} \]وهكذا دواليك. إذا عرّفنا \(F(x):=f(x)-f'(x)+f''(x)-f'''(x)+\cdots\) (ولا إشكال في التقارُب لأنّ \(f\) مُتعدِّد حدود)، فإنّنا نحصل في النهاية — بعد زوال الحدّ المتبقّي لأنّ مشتقّات \(f\) تتلاشى — على
\[ \int_0^r f(x)\,e^x\,dx = F(r)\,e^r - F(0). \]إذا كانت “النظرية الأساسية” آنفة الذكر حاضرةً في الذهن، فهذه المعادلة تلفت انتباهنا فورًا. فلنفترض — للوصول إلى تناقض — أنّ \(e^r = p/q\). هل نستطيع اختيار \(f(x)\) بحيث، بعد الضرب في \(q\)، يُصبح الطرف الأيمن عددًا صحيحًا بينما يقع الطرف الأيسر بين 0 و1؟ أبسطُ طريقةٍ لضمان ذلك هي أن تكون معاملات \(f(x)\) صحيحة، فيكون \(F(r)\) و\(F(0)\) عددين صحيحين. غير أنّه إذا كانت معاملات \(f\) صحيحة، فلا يوجد ما يضمن صِغَر التكامل في الطرف الأيسر.