latex
مُلَخَّص
من السهل التحقق من برهان نيفين المختصر على أن \(\pi\) غير نسبي، لكنه يبدأ بصيغة تبدو سحرية وكأنها جاءت من العدم، ولا يُكشَف عن أصولها بوضوح حتى بعد الاطلاع على البرهان. وتهدف هذه الورقة إلى توضيح عملية التفكير التي يمكن أن يتبعها رياضي للوصول إلى البرهان من الصفر، دون الحاجة لأن يكون عبقريًا. مقارنة بالعرض التقليدي لبرهان نيفين، يكمن التجديد هنا في الحساب الحالي لاستئناف نظرية كثيرات الحدود المتعامدة، الذي يقود بشكل طبيعي إلى التمعن في بعض التكاملات التي لا تبدو أهميتها واضحة للوهلة الأولى.
مُقَدِّمَة
أن \(\pi\) عدد غير نسبي هو أمر نعرفه جميعًا منذ الصغر. لكن الغريب أن معظم الرياضيين إما لم يطلعوا على دليل يثبت ذلك، أو إن اطلعوا وجدوه غير محفز وصعب الاستذكار. وليس هذا ناتجًا عن نقص الأدلة المختصرة؛ فدليل نيفين الشهير—المعروف أحيانًا باسم bbb—أو نسخه المقتضبة في بورباكي، Hardy-Wright، وJeffreys، لا يتجاوز صفحة نصية، ويسهل التحقق من كل خطوة فيه. ومع ذلك، لا يُعتبر هذا الدليل “طبيعيًا” حسب تعريف دونالد نيومان.
هذا المصطلح… يُقصد به عدم وجود أي بناءات مصطنعة أو براعات. الدليل “طبيعي”، إذًا، هو الذي يثبت نفسه، ويكون في متناول “الرياضي العادي في الشارع”.
في الواقع، قد يكون الدليل المطول أكثر “طبيعية” من المختصر إذا أخفق الأخير في توضيح الأسس الكامنة. فمثلاً، يبدأ دليل نيفين بطرح تكامل يبدو وكأنه استنبط من العدم. حاول مؤلفون مختلفون (Jones, Muller, Zhou1, Zhou2) تدعيم هذا الدليل، لكنني كنت دائمًا أشعر بأن الوصول إلى جذوره سيكون بعيد المنال.
لم يكن الأمر كذلك حتى وقت قريب، حين قرأتُ كتاب إنجل الرائع (angell) واستفدت من إجابة كوستيا_آي (kostya) على سؤالي في MathOverflow، عندها توهجت فكرة في ذهني. والغاية من هذه الورقة هي عرض طريقة عملية تُمكّن “الرياضي في الشارع”—كما يصفه نيومان—من اكتشاف دليل على أن \(\pi\) عدد غير نسبي دون حاجة لعبقرية فذة.
ولكي نجعل هذه الورقة في متناول أكبر عدد ممكن، لا نفترض أن القارئ لديه خلفية مسبقة بإثباتات اللا-نسبية. تمتد مناقشتنا على عدة مراحل.
نشرح الفلسفة العامة وراء إثباتات اللا-نسبية، باستخدام برهان فوري على أن \(e\) عدد غير نسبي كمثال.
نقدم برهانًا على أن \(e^r\) عدد غير نسبي للأعداد الصحيحة الموجبة \(r\) مع تقليل “البراعات”؛ بحيث يمكن للقارئ أن يصل إليه بنفسه—على الأقل بعد السماح له بالبحث عن “حقائق معيارية” في مراجع معتمدة.
بحيلة ذكية نبسط البرهان، لتمكين القارئ من الاحتفاظ به في الذاكرة (أو إعادة بنائه) دون الحاجة إلى الرجوع لأي مراجع.
أخيرًا، نظهر أن برهان اللا-نسبية لـ \(e^r\) للأعداد الصحيحة الموجبة \(r\) يمكن تكييفه مباشرة لإعطاء دليل نيفين بأن \(\pi\) عدد غير نسبي.
نَظَرِيَّةُ العَدَدِ المُتَسَامِيّ الأَسَاسِيَّة
من الطرفة القديمة أن النظرية الأساسية في نظرية الأعداد المتسامية تنص على أنه لا يوجد عدد صحيح بين 0 و 1. في الواقع، هذه الطرفة ليست بعيدة عن الحقيقة، لأن العديد من براهين اللا-نسبية يمكن تلخيصها كما يلي:
افترض للتناقض أن \(\alpha\) عدد نسبي. اكتب معادلة مناسبة تتضمن \(\alpha\).
“وسع” المعادلة بضربها في مضاعف لمقام \(\alpha\).
استنتج أن \(A=B\) حيث \(A\) عدد صحيح و \(0
طبق النظرية الأساسية لاستخراج التناقض.
يُظهر البرهان الكلاسيكي (Stainville) على عدم نسبية \(e\) هذا النمط بجلاء. لأغراضه، نعرّف الدالة \(e^x\) عبر سلسلة تايلور الخاصة بها:
\[ e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots \]افترض للتناقض أن \(e = p/q\) للأعداد الصحيحة الموجبة \(p\) و \(q\). بإكثار \(q!\) نحصل على:
\[ \underbrace{\frac{q!p}{q}}_{\in\mathbb{Z}} = \underbrace{q! + \frac{q!}{1!} + \cdots + \frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb{Z}} + \underbrace{\frac{q!}{(q+1)!} + \cdots}_{B} \]حيث \(B\) هو مجموع الحدود المتبقية. من السهل وضع حد هندسي أعلى:
\[ B < \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)^2} + \cdots = \frac{1}{q} \le 1. \]وهذا يتناقض مع النظرية الأساسية؛ تَمَّ البرهان.
من المهم أن نصرح صراحةً بأن ما يجعل هذا البرهان يعمل هو التقارب السريع للمسلسل. أي أنه مهما كانت قيمة \(e\) الافتراضية \(p/q\)، فإن “الباقي” بعد ضرب \(q!\) يقع فعلاً بين 0 و 1.
عَدَمُ النِسْبِيَّةِ لِ \(e^r\)
مشجعين بهذا النجاح، قد نحاول تعديل البرهان الفوري لإثبات أن \(e^r\) غير نسبي عندما يكون \(r\) عددًا صحيحًا موجبًا. لنفترض كما سابقًا أن \(e^r = p/q\). ثم:
\[ \frac{p}{q} = 1 + \frac{r}{1!} + \frac{r^2}{2!} + \frac{r^3}{3!} + \cdots \]المحاولة الأولى هي توسيع بواسطة \(q!\) كما في السابق:
\[ \underbrace{\frac{q!p}{q}}_{\in\mathbb{Z}} = \underbrace{q! + \frac{q!r}{1!} + \cdots + \frac{q!r^q}{q!}}_{\in\mathbb{Z}} + \underbrace{\frac{q!r^{q+1}}{(q+1)!} + \cdots}_{B} \]لكن الآن نواجه مشكلة: الحد الأعلى لـ \(B\) يكون
\[
B < \sum_{n=1}^\infty \frac{r^{q+n}}{(q+1)^n}
= \frac{r^{q+1}}{(q+1)-r}.
\]
يُعطي تناقضًا فقط عندما \(r=1\)، أما إذا \(r>1\) فالحد مقيد بما قد يكون أكبر من 1، وتنتهي الحجة بالفشل.
من الممكن جدًا أن تُصلح هذه الحجة بطريقة أخرى، لكننا سنفترض هنا أننا عالقون عند هذه النقطة. سلسلة تايلور لـ \(e^x\) لم تنفعنا. فما البدائل المتاحة؟
المُتَعَامِدَاتُ كَثِيرَاتُ الحُدُودِ إلى الإِنْقاذ
لقد وصلنا الآن إلى خطوة حيوية في البرهان. تذكّر أننا نرغب في تقريب يتقارب سريعًا إلى \(e^x\). أين نجد مثل هذا الشيء؟ الفكرة هي توسيع \(e^x\) على أساس من المتعامدات كثيرات الحدود.
القراء الذين لم يعتادوا كثيرات حدود المتعامدات ربما صادفوا كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول (حتى لو لم يتعرفوا عليها بالاسم) في الرياضيات المدرسية. فإذا عبّرنا \(\cos n\theta\) كثنائية حدود في \(\cos\theta\)، فإن كثيرات الحدود \(T_n\) الناتجة هي بالضبط شيبيشيف؛ على سبيل المثال،
\[ \begin{aligned} T_2(x)&=2x^2-1 &&\quad\text{لأن}\;\cos 2\theta=2(\cos\theta)^2-1,\\ T_3(x)&=4x^3-3x &&\quad\text{لأن}\;\cos 3\theta=4(\cos\theta)^3-3\cos\theta,\\ T_4(x)&=8x^4-8x^2+1 &&\quad\text{لأن}\;\cos 4\theta=8(\cos\theta)^4-8(\cos\theta)^2+1. \end{aligned} \]نسمي \(T_n\) كثيرات حدود متعامدة لأنها متعامدة بالنسبة للضرب الداخلي:
\[ \langle f,g\rangle:=\int_{-1}^1 f(x)\,g(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]كما في أي فضاء داخلي، يمكننا توسيع الدوال (المتجهات) على أساس من متعامدات؛ وإذا كان الأساس “جيدًا”، فإن الدوال “الجيدة” تُقارب جيدًا.
بمجرد أن نحصل على فكرة حساب معاملّات \(e^x\) بالنسبة إلى أساس من هذه المتعامدات، يظهر السؤال: أي مجموعة منها نختار؟ في غياب سبب قوي لاختيار ضرب داخلي على آخر، من المنطقي البدء بالاختيار الظاهر الأبسط—ضرب ليجاندر الداخلي—والتبديل لاحقًا إذا لم تنجح المحاولة. بهذه الطريقة نصل إلى فكرة النظر في التعبير
\(\int f(x)\,e^x\,dx\) حيث \(f(x)\) متعدد حدود.
قبل أن نستخرج من دليل NIST النتائج القياسية عن كثيرات حدود ليجاندر، دعونا نلحظ أن تقييم \(\int f(x)\,e^x\,dx\) سيتطلب على الأرجح التكامل بالأجزاء. فلنرَ ماذا ينتج إذا اتبعنا حدسنا. يحتاج المعامل \(r\) إلى أن يظهر بطريقة ما، فسنعوّض فترة التكامل من \([-1,1]\) إلى \([0,r]\):
\[ \begin{aligned} \int_0^r f(x)\,e^x\,dx &=\bigl[f(x)e^x\bigr]_0^r-\int_0^r f'(x)\,e^x\,dx\\ &=\bigl[(f(x)-f'(x))\,e^x\bigr]_0^r+\int_0^r f''(x)\,e^x\,dx\\ &=\bigl[(f(x)-f'(x)+f''(x))\,e^x\bigr]_0^r-\int_0^r f'''(x)\,e^x\,dx, \end{aligned} \]إلخ. إذا عرفنا \(F(x):=f(x)-f'(x)+f''(x)-f'''(x)+\cdots\) (لا مشاكل في التقارب لأن \(f\) متعدد حدود)، فإننا نحصل على:
\[ \int_0^r f(x)\,e^x\,dx = F(r)\,e^r - F(0). \]إذا كانت النظرية الأساسية متجذرة في أذهاننا، فإن هذه المعادلة تنبهنا فورًا. لنفترض للتناقض أن \(e^r = p/q\). هل يمكننا اختيار \(f(x)\) بحيث، بعد الضرب في \(q\)، يصبح الجانب الأيمن عددًا صحيحًا بينما يقع الجانب الأيسر بين 0 و1؟ أبسط طريق لضمان ذلك هو أن يكون \(f(x)\) ذا معاملات صحيحة، مما يجعل \(F(r)\) و \(F(0)\) أعدادًا صحيحة. لكن إن كانت معاملات \(f\) صحيحة، فلا يبدو أن هناك سببًا لأن يكون التكامل في الجانب الأيسر صغيرًا.