latex
نقدم هنا حلولاً تحليلية دقيقة لثلاثة أقراص محدودة ذات كثافة سطحية \(\Sigma_n = \sigma_0 (1-R^2/\alpha^2)^{n-1/2}\) مع \(n=0, 1, 2\). تمّ الحصول على حلول مغلقة في الإحداثيات الأسطوانية باستخدام الدوال الأولية فقط لكل من الجهد الجاذبي والمجال الجاذبي لهذه الأقراص.
القرص \(n=0\) هو غشاء مسطح متجانس الكثافة، بحيث تكون كثافته السطحية \(\Sigma_{hom} = \sigma_0/\sqrt{1-R^2/\alpha^2}\). نقدم هنا نتائج محسّنة لهذا القرص. أما القرص \(n=1\)، فهو قرص ماكلورين في الحالة الحدية للجسم البيضاوي لماكلورين، وتكون كثافته السطحية \(\Sigma_{Mac} = \sigma_0 \sqrt{1-R^2/\alpha^2}\). نستخلص جهد هذا القرص من خلال تكامل جهد القرص \(n=0\) بالنسبة إلى \(\alpha\)، مستفيدين من خطية معادلة بواسون. أما القرص \(n=2\)، فتكون كثافته السطحية \(\Sigma_{D2} = \sigma_0 (1-R^2/\alpha^2)^{3/2}\)، ونستخلص جهده عبر تكامل جهد القرص \(n=1\).
توفر الملاحظات الجانبية للمجرات معلومات بنيوية وحركية ثلاثية الأبعاد بتفصيل دقيق. ومع ذلك، لم يفلح استغلال هذه البيانات بالكامل في استنتاج توزيع الكتلة. تكمن إحدى الصعوبات في حساب الجهد ومتجهات القوة للأقراص المحدودة. هناك حاجة ملحة إلى نماذج أقراص محدودة محلولة بالكامل تُستخدم في الدراسات النظرية، ومعايرة برامج الحاسوب، وكخطوة أولى في نمذجة الملاحظات ثلاثية الأبعاد مباشرة.
تستفيد الدراسات ثلاثية الأبعاد، مثل تلك الخاصة ببنية وحركية الغاز في هالات المجرات، من استخدام أزواج الكثافة-الجهد الجاذبي الجديدة. لإيضاح ذلك، بُني نموذج مجرة بسيط. يتألف النموذج من قرص n=2 ونواة/حدبة ممثلة بكتلة نقطية. يُعرّف هذا النموذج بثلاثة معلمات: كتلة القرص، وكتلة النواة/الحدبة، ونصف قطر القرص. كما هو موضح في الشكل، تبقى السرعة الدائرية، المحسوبة كـ \(V_c=\sqrt{-R\,F_R(R,z)}\)، ثابتة تقريبًا على امتداد معظم القرص. أيضًا، يظل التغير في السرعة الدائرية مع الارتفاع \(z\) تقريبًا ثابتًا عبر مدى واسع من قيم كل من \(R\) و\(z\).