latex
نحسب الإشعاع المنبعث من جسيمات مشحونة عالية الطاقة تعبر سلسلة منتظمة من الألواح البلورية الرقيقة المستطيلة على سطح بلورة واحدة. تبلغ سماكة كل لوح نصف طول مسار التوجيه الخطي داخل البلورة. عند دخول الجسيم الموجب إلى اللوح الأول بزاوية أقل من الزاوية الحرجة للتوجيه، يُحجز في القناة البلورية ويعكس مكون سرعته العرضي. بين الألواح يتحرك الجسيم بحركة مستقيمة، أما داخل الألواح فمساره شبه موجي. ندرس خصائص الإشعاع المنبعث أثناء عبور هذا "الموجه متعدد البلورات". يَتميز طيف الإشعاع في كل اتجاه بهيكل متقطع، حيث تعتمد ترددات التوافقيات وعددها على مسافة الألواح وطاقة الجسيم ومستوى الجهد البلوري المتوسط. يقتصر الإشعاع ضمن مخروط ضيق حول اتجاه السرعة المتوسطة للجسيم ويكون مستقطبًا بشكل رئيسي في المستوى العمودي على المستويات البلورية.
استُخدمت منذ زمن بعيد الجسيمات فائقة النسبية الموجهة في بلورة واحدة كمصدر للإشعاع الكهرومغناطيسي عالي الطاقة. وأحد أهم عيوب هذا المصدر القدرة المحدودة على ضبط تردد الإشعاع. للتغلب على هذا القصور، جرى اقتراح مخططات تجمع بين مزايا إشعاع القنوات والإشعاع الموجه. من بين هذه المخططات الأشهر بلورات منحنية دورياً، حيث يمكن إحداث انحناء في المستويات البلورية بواسطة موجات فوق صوتية (Kaplin1980, Baryshevsky1980)، أو عبر تقطيع دوري دقيق للوحة بلورية واحدة تنحني بفعل الإجهادات الداخلية (Baryshevsky:2013jja, Bagli, Bellucci2003, Biryukov2004). للحصول على إشعاع ذي طاقة أكبر، قدِّمت فكرة الموجهات البلورية (Kostyuk2013, Sushko2015341) وتم تحقيقها تجريبياً (Wistisen2014, Uggerhoj2015) بفترات أقصر بكثير من تلك الخاصة بقنوات الجسيمات وبانحناءات أقل بكثير من المسافة بين المستويات البلورية.
من ناحية أخرى، إذا كان الهدف الحصول على إشعاع بطول موجي أطول ولكن بكثافة عالية، يبقى استخدام شعاع عالي الطاقة مناسبًا. في هذه الحالة يمكن استخدام بلورة منحنية دورياً، أو كما اقترح في (Vorobiev1982_pat)، مجموعة من الألواح البلورية الرقيقة التي تعكس المكون العرضي لسرعة الجسيمات، فتبدو مساراتها متعرجة. نركز في هذه الدراسة على حساب الإشعاع الصادر من جهاز يُسمى موجه متعدد البلورات.
استُخدمت الطرق العددية في (Pivovarov_2014) لدراسة مسارات الإلكترونات والبوزيترونات في لوح بلوري سماكته نصف فترة مسار التوجيه الخطي. كما تناولت الدراسة التجريبية (Takabayashi2015) مرور الإلكترونات عبر لوح نصف موجة. وقد دُرست خصائص الإشعاع المنبعث من لوح نصف موجة واحد عدديًا، وأظهرت أن الخصائص الأساسية للإشعاع تشبه نظيرتها في إشعاع القوس الدائري (Bagrov1983, Polozkov2015212). يؤدي التراكب المتماسك لحقول الإشعاع المولدة في سلسلة الألواح نصف الموجة إلى طيف مميز، وقد تحققنا نظريًا من خصائصه في هذه الورقة.
نعتبر نظام موجه متعدد البلورات المكوَّن من سلسلة منتظمة من الألواح البلورية الرقيقة المستطيلة الشكل، وسماكة كل منها نصف طول مسار التوجيه الخطي. تكون المستويات البلورية الموجّهة للجسيمات الموجبة الشحنة عمودية على سطح هذه الألواح، بينما يمكن إهمال بقية بنية البلورة نظرًا لصغر سماكة الألواح مقارنة بامتدادها. بناءً على ذلك، نتعامل مع الألواح كألواح بلورية رقيقة نصف موجة. وقد استُخدم تصميم مشابه في تجارب (Kaplin2000,Kaplin2001) لإنتاج إشعاع الانتقال المشتت والإشعاع البارامتري عند زاوية براج، ولكن مع سماكات ألواح أكبر بكثير من نصف فترة التوجيه.
نختار نظام إحداثيات بحيث يكون محور \(x\) موازياً للمستويات البلورية، ومحور \(y\) عمودياً عليها. ومحور \(z\) عمودياً على السرعة الابتدائية للجسيم الساقط. سماكة كل لوح هي \(d_1\)، والمسافة بين الألواح \(d_2\)، والمسافة بين الطبقات البلورية تساوي \(2a\). نستخدم تقريب التوافقي للجهد المتوسط بين الطبقات البلورية: \[U(y)=\frac{U_0}{a^2}y^2,\] حيث \(U_0\) هو عمق بئر الجهد. معادلات الحركة النسبية للجسيم في المستوى \(z=0\) هي: \[\frac{d p_x}{d t}=0,\quad \frac{d p_y}{d t}=-\frac{2eU_0}{a^2}y.\] هنا \(p_x\) و\(p_y\) هما مكونا الزخم \[p_i=\gamma m\dot x_i,\quad x_i=x,y,\quad \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2},\quad \beta^2=\beta_x^2+\beta_y^2,\] و\(m\) و\(e\) هما كتلة الجسيم وشحنته، و\(\beta_i=\dot x_i/c\)، والنقطة تدل على المشتقة الزمنية، و\(c\) هي سرعة الضوء.
نفترض أن الجسيم فائق النسبية (\(\gamma\gg 1\)) ومستوفٍ لشرط تقريب الدوامة (Bordovitsyn-SR): \[\beta_y\ll\gamma^{-1},\quad \delta\beta_x\ll \gamma^{-2},\] حيث \(\delta\beta_x\) هي سعة تغير \(\beta_x\). في هذه الحالة، يمكن اعتبار \(\gamma\) ثابتة. تكامل المعادلات في هذا التقريب يعطي: \[\begin{aligned} x(t)&=vt,\\ y(t)&=\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)+y_{0}\cos(\omega_{0}t), \end{aligned}\] حيث \(v\) و\(v_{0y}\) هما سرعة الجسيم الابتدائية ومكونها في \(y\)، و\(\omega_{0}\) هو تردد تذبذبات الجسيم: \[\omega_{0}^2=\frac{2U_0}{a^2m\gamma}.\]
شرط التوجيه هو أن تكون سعة التذبذبات \(y_0^2+(v_{0y}/\omega_0)^2\) أقل من نصف المسافة بين الطبقات البلورية. وبالتالي، إذا سقط شعاع متوازي من الجسيمات على سطح اللوح البلوري، فالجسيمات ذات الإحداثي الابتدائي \(y_0\) التي تحقق
\[y_0^2
سماكة كل لوح بلوري تساوي نصف فترة المسار: \(d_1=\pi v/\omega_{0}\). عند مغادرة اللوح البلوري الأول يكون \(y_1=-y_0\) ومكون السرعة \(v_{y1}=-v_{0y}\). بين اللوح الأول والثاني يتحرك الجسيم باتجاه مستقيم. ولكي يتم التقاط جميع الجسيمات المحوَّلة بواسطة اللوح الأول في اللوح الثاني، يجب أن يكون موضع سقوط الجسيم على اللوح الثاني: \[d_2=2a n\frac{v}{v_{0y}}=\frac{2a n}{\alpha},\quad n=0,1,2,\dots\] وهو ما نفترضه من الآن فصاعدًا. عندها يأخذ قانون حركة الجسيم داخل اللوح البلوري الثاني الشكل: \[\begin{aligned} x&=vt,\\ y&=-\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin\bigl[\omega_{0}(t-t_2)\bigr] -y_{0}\cos\bigl[\omega_{0}(t-t_2)\bigr]-2a n, \end{aligned}\] حيث \(t_2=(d_1+d_2)/v\). إذا كانت زاوية السقوط \(\alpha=0\)، فتُلتقط جميع جسيمات الشعاع في التوجيه مهما كانت المسافة \(d_2\).
اللوحان البلوريان الأولان والثغرتان اللتان تليانهما تشكلان الفترة المكانية للموجه متعدد البلورات، بينما تساوي الفترة الزمنية للحركة \(T=2(d_1+d_2)/v\).
يُعطى التوزيع الطيفي والزاوي للطاقة المنبعثة من جسيم في حركة شبه دورية ضمن مسار مستوٍ بواسطة الصيغة (Bordovitsyn-SR):
\[\label{e59} \frac{d{\cal E}}{d\Omega\,d\omega} =\frac{4e^2\gamma^4}{c\tilde{\omega}^2} \frac{\sin^2(\pi\nu N)}{\sin^2(\pi\nu)}(\rho_\sigma+\rho_\pi) \bigl|\dot{\boldsymbol\beta}(\nu)\bigr|^2,\]
حيث \(N\) عدد دورات الموجه، وتعرف التوزيعات الزاوية لمكونات الاستقطاب \(\rho_\sigma\) و\(\rho_\pi\) بالمعادلات:
\[\begin{aligned} \label{e49ppp} \rho_\sigma&=\frac{(1-\psi^2\cos2\varphi)^2}{(1+\psi^2)^4},\quad \rho_\pi=\frac{\psi^4\sin^2 2\varphi}{(1+\psi^2)^4}, \end{aligned}\]
ويُعطى المكوّن الفوريي للتسارع بواسطة:
\[\begin{aligned} \label{e56} \dot{\boldsymbol\beta}(\nu) &=\frac{1}{T}\int_0^T \dot{\boldsymbol\beta}(t)\,e^{i\tilde{\omega}\nu t}dt,\quad \nu=\frac{\omega}{2\gamma^2\tilde{\omega}}(1+\psi^2). \end{aligned}\]
هنا \(\tilde{\omega}=2\pi/T\) هو تردد تذبذبات الجسيم، \(\psi=\gamma\theta\) مع \(\theta\) زاوية الإشعاع بالنسبة لمحور التوجيه (\(x\)-axis)، و\(\varphi\) زاوية السمت في المستوى \(yz\).
بحساب التسارع باستخدام المعادلات ([eq-motor-y2]) و([eq-mot-y2]) واستبدالهما في المعادلات ([e59]) و([e56])، نحصل على:
\[\begin{gathered} \label{e60} \frac{d{\cal E}}{d\Omega\,d\omega} =\frac{16e^2\gamma^4a^2\omega_0^2N^2}{\pi^2c^3} I_1(\nu)I_2(\nu)(\rho_\sigma+\rho_\pi)\times\\ \quad\times\Bigl[\bigl(\tfrac{y_0\nu\eta}{a}\bigr)^2+\phi^2\Bigr], \end{gathered}\]
حيث \(\phi=\alpha/\alpha_c\) هي نسبة زاوية السقوط إلى الزاوية الحرجة للتوجيه، و\(\eta=\tilde{\omega}/\omega_0<1\) هي نسبة تردد تذبذبات الجسيم إلى تردد توجيه محدد. الدوال الطيفية
\[\begin{aligned} I_1(\nu)&=\frac{\cos^2(\pi\nu\eta/2)}{(1-\eta^2\nu^2)^2},\\ I_2(\nu)&=\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{4N^2\cos^2(\pi\nu/2)} \end{aligned}\]
تحدد الخصائص الأساسية للإشعاع. في حالة \(N\gg 1\) تولّد \(I_2(\nu)\) خطوطاً طيفية ضيقة بعرض \(\Delta\nu=N^{-1}\) قرب القيم الفردية لـ \(\nu\)، بينما تشكّل \(I_1(\nu)\) القالب العام للطيف.
لإيجاد الكثافة الطيفية للإشعاع الصادر من موجه بلوري بعدد كبير من الدورات \(N\)، نأخذ الحد (Bordovitsyn-SR):
\[\lim_{N\to\infty}\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{N\sin^2(\pi\nu)}=\sum_{n=1}^\infty\delta(n-\nu)\]
ثم ندمج على الزاوية الصلبة \(d\Omega=\theta\,d\theta\,d\varphi\) لنحصل على الطيف التكاملي للإشعاع:
\[\begin{gathered} \label{e62} \frac{d{\cal E}}{d\omega} =\frac{4e^2a^2\omega_0^2\gamma^2\xi N}{\pi c^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{s_n\cos^2(\pi n\eta/2)}{n^4(1-n^2\eta^2)^2}\bigl[1-(-1)^n\bigr]G_n\Theta(n-\xi), \end{gathered}\]
حيث \(s_n=s_{n\sigma}+s_{n\pi}\) مجموع مكونات الاستقطاب الخطي، و\(\xi=\omega/(2\gamma^2\eta\omega_0)\) التردد المخفض، و\(G_n\) يحدد تأثير الإحداثي الابتدائي وزاوية السقوط على الطيف:
\[\xi=\frac{\omega}{2\gamma^2\eta\omega_0},\quad G_n=\Bigl(\tfrac{y_0 n\eta}{a}\Bigr)^2+\phi^2,\]
و\(\Theta(n-\xi)\) دالة هيفيسايد.
حتى الآن بحثنا خصائص إشعاع جسيم واحد. لإيجاد الكثافة الطيفية المنبعثة من شعاع متوازي من الجسيمات، نوسّط التعبير ([e62]) بالنسبة للإحداثي الابتدائي \(y_0\) على النطاق \(2y_m\) المعطى بالمعادلة ([trajj]). وبما أن \(y_0\) يظهر فقط في \(G_n\)، يكفي احتساب المتوسط:
\[{\overline G}_n=\frac{1}{2a}\int_{-y_m}^{y_m}G_n\,dy_0 =\sqrt{1-\phi^2}\Bigl[\tfrac{n^2\eta^2}{3}(1-\phi^2)+\phi^2\Bigr]\]
ثم استخدام \(\overline G_n\) مكان \(G_n\) في ([e62]).
يعرض الشكل spectrum طيف الإشعاع لشعاع متوازي من الجسيمات للمعاملات \(\eta=0.5\) و\(\alpha=0\). وللمقارنة مع النتائج التجريبية المحتملة، يبين الشكل spectrum1 عدد الفوتونات \(dn\) لكل فرق ترددي \(d\omega\). يتكون الطيف بشكل رئيسي من التوافقيين الأول والثالث. يحدّد العامل \(\cos^2(\pi n\eta/2)/(1-n^2\eta^2)^2\) عدد التوافقيات المساهمة، إذ يكون قريباً من الواحد عند القيم المنخفضة لـ \(n\eta\) وينخفض بسرعة إذا \(n\eta\gtrsim3\). وهكذا يقع الجزء الرئيسي من الطيف حول \(n\sim3/\eta\). علاوة على ذلك، يعتمد الطيف على زاوية سقوط حزمة الجسيمات على البلورة.
\[\begin{aligned} &{\cal E}=\sum_{n=1}^\infty({\cal E}_{n\sigma}+{\cal E}_{n\pi}),\quad {\cal E}_{n\sigma}=\tfrac{7}{8}{\cal E}_n,\quad {\cal E}_{n\pi}=\tfrac{1}{8}{\cal E}_n,\\ &{\cal E}_n=\frac{16e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N\eta}{3\pi c^3}S(n\eta). \label{e611} \end{aligned}\]
توزيع الطاقة المنبعثة على التوافقيات يُعطى بواسطة الدالة:
\[\label{Sn} S(n\eta)=\frac{\cos^2(\pi n\eta/2)}{(1-n^2\eta^2)^2}\bigl[1-(-1)^n\bigr]{\overline G}_n.\]
هذه دالة متقطعة للقيم الفردية لـ \(n\). تعتمد \(\overline G_n(\phi)\) على زاوية السقوط \(\phi\) فقط. إذا كانت \(\phi=0\)، فتأخذ القيمة \(\overline G_n(0)=n^2\eta^2/3\). مع زيادة زاوية السقوط تزداد \(\overline G_n(\phi)\) في نطاق التردد المنخفض (\(n^2\eta^2<2\)) وتبلغ الحد الأقصى عند \(\phi=\phi_m\):
\[\overline G_n(\phi_m) =\frac{2}{3\sqrt{3-n^2\eta^2}},\quad \phi_m=\sqrt{\frac{2-n^2\eta^2}{3-n^2\eta^2}}.\]
ثم تنخفض هذه الدالة وتصل إلى الصفر عند \(\phi=1\). أما في نطاق التردد العالي (\(n^2\eta^2\ge2\)) فلا تتغير \(\overline G_n(\phi)\) إلا بانخفاض أحادي مع زيادة زاوية السقوط.
بجمع المعادلة ([e611]) على التوافقيات نحصل على الطاقة الكلية المنبعثة من شعاع الجسيمات لكل جسيم:
\[\label{ful} {\cal E} =\frac{2\pi e^2 a^2\omega_0^3\gamma^4N}{9c^3}\sqrt{1-\phi^2}\,(1+2\phi^2), \]
وهي لا تعتمد على \(\eta\) وتتوزع بين مكونات الاستقطاب بنسبة 1:7. كدالة لزاوية السقوط تكون الطاقة المنبعثة قصوى عند \(\phi=1/\sqrt{2}\)، أي عندما تكون زاوية السقوط أقلّ بمقدار \(\sqrt{2}\) مرات من الزاوية الحرجة للتوجيه.
إذا كان الهدف الحصول على مصدر إشعاع بتردد أقل من تردد الإشعاع الموجه، فإن الطريقة المقترحة تملك مزايا معينة مقارنة بالإشعاع الموجه الصادر من جسيمات منخفضة الطاقة. فعليًا، لتقليل تردد إشعاع الجسيمات الموجهة بمعامل \(k\) ينبغي استخدام جسيمات بطاقة أقلّ بمقدار \(k^{2/3}\). يؤدي ذلك إلى اتساع مخروط الإشعاع بمقدار \(k^{2/3}\)، كما تنخفض كثافة الطيف الزاوي، التي تتناسب طرديًا مع \(\gamma^4\)، بمقدار \(k^{8/3}\). أما في الموجه البلوري المتعدد، فيمكن تحقيق نفس التخفيض في التردد بشرط أن تكون المسافة بين الألواح \(d_2=(k-1)d_1\). مع ذلك، يبقى مخروط الإشعاع دون تغيير، وقد تزيد أو تنقص كثافة الطيف الزاوي للإشعاع حسب زاوية سقوط الشعاع.
هناك ميزة مثيرة للاهتمام في كثافة الطيف الزاوي للإشعاع. إذا زادت المسافة بين ألواح البلورة، فإن تردد الإشعاع عند كل توافقي يقل، بينما يزيد عدد التوافقيات الممثلة في الجزء الأساسي من الطيف (\(n\eta\lesssim3\)) بنفس النسبة. وفقًا للمعادلة ([ful]) لا تعتمد الطاقة الكلية المنبعثة على \(\eta\)، لذا تنخفض الطاقة المنبعثة عند كل توافقي بعامل \(\eta\) كما يظهر في المعادلة ([e611]). مع ذلك قد لا تنخفض كثافة الطيف الزاوي وكثافة الطيف وفقًا لـ \(\eta\) بالضرورة، لأنه لا يظهر عامل \(\eta\) في المعادلات ([e60]) و([e62]). يتضح ذلك من منحنى الشكل spectrum: مع انخفاض \(\eta\) يتغير المقياس الأفقي لمحور \(\xi\) وتتحرك قمم التوافقيات نحو اليسار بالنسبة لمحور \(\omega\). هذا يؤدي حتمًا إلى تقليل المساحة تحت المنحنى، لكن كثافة الطيف نفسها تتغير ببطء وفقًا لأنماط المعادلة ([e62]). إذا كان \(\phi>2/\sqrt{3\pi^2-20}\approx0.645\) فإن انخفاض \(\eta\) يؤدي إلى زيادة كثافة الطيف الزاوي وكثافة الطيف لكل توافقي، رغم ظهور توافقيات إضافية.
لقد نظرنا في نموذج مثالي لدراسة الخصائص العامة للإشعاع. على سبيل المثال، الجهد المتوسط حول المستوى البلوري ليس تربيعي الشكل، ونتيجة لذلك ستقل فترة المذبذبات ذات السعة العالية وتخرج بعض الجسيمات من لوح "نصف الموجة" بزوايا مختلفة. بعبارة أخرى، قد لا يكون اللوح نصف موجة لجميع الجسيمات، مما يؤدي إلى تشتت طفيف لحزمة الجسيمات الموازية. في الواقع، تُظهر نمذجة المسارات في جهد أكثر واقعية وجود قممين جانبيين في التوزيع الزاوي للإشعاع (Pivovarov_2014). إضافة إلى ذلك، عوامل مثل عدد فترات الموجه المحدود، وانتشار طاقة الجسيمات، وأخطاء التصنيع تلعب دورًا في توسيع خطوط الطيف وتمويه حدود التوافقيات في الشكل spectrum. ومع ذلك، لا تغير هذه العوامل بشكل كبير توزيع الطاقة المنبعثة عبر التوافقيات.
تم دعم هذا العمل بمنحة من وزارة التعليم والعلوم للاتحاد الروسي تحت مشروع رقم 3.867.2014/K