مُلَخَّص

تشكل الثقوب السوداء البدائية الخفيفة جداً، التي تتبخر قبل بدء التخليق النووي، استثناءً من القيود ما لم تترك المتحللة منها بقايا مستقرة. نبيّن أن الجرافيتونات المشعّة عبر إشعاع هوكينغ الصادر من هذه الثقوب تشكل مصدرًا لخلفية عشوائية قوية من الموجات الثقالية عالية التردد (\(10^{12}\) Hz أو أكثر) في الكون الراهن. قد تؤدي هذه الثقوب إلى مرحلة قصيرة يهيمن فيها توسع المادة. في هذه الحالة، قد تتكون مؤقتًا تجمعات ضخمة من "نجوم هوكينغ"، ويصبح طيف الموجات الثقالية الناتج مستقلًا عن الكثافة العددية الأولية للثقوب السوداء البدائية.

مُقَدِّمَة

الثقوب السوداء البدائية (PBH) التي تشكّلت مباشرة بعد الانفجار العظيم (Hawking:1971ei,Carr:1974nx) يمكنها أن تتحلّل عبر إصدار إشعاع هوكينغ (Hawking:1974sw,Hawking:1974rv). يتحدد تعداد هذه الثقوب الأولي بطيف الاضطراب البدائي. وتفرض قيود على هذا التعداد حدودًا على نماذج التضخم وسيناريوهات الكون المبكر الأخرى التي تولّد هذا الطيف (Green:1997sz,Leach:2000ea,Kohri:2007qn,Peiris:2008be). تستند هذه القيود إلى عدم وجود دليل على الثقوب السوداء البدائية حاليًا، ولأن الثقوب المتحللة تعطل عملية التخليق النووي، وإعادة التركيب، وإعادة التأين (Mack:2008nv). عند التكوّن، يجب أن يكون الثقب الأسود البدائي أصغر من أفق هابل، وتزداد كمية المادة داخل أفق هابل – وبالتالي الكتلة القصوى وعمره – مع توسع الكون. تتحلّل الثقوب السوداء البدائية الخفيفة جدًا بالكامل قبل التخليق النووي، لذا لا تخضع لأي قيود. يشع الثقب جميع الجسيمات التي كتلتها الساكنة أقل بكثير من درجة حرارته، بما في ذلك الجرافيتونات. إذا أشعّ جسيمات ثقيلة وطويلة الأمد، نحصل على حدود صارمة على تعدادها الأولي (MacGibbon:1987my,Barrow:1992hq,Green:1999yh,Lemoine:2000sq,Khlopov:2004tn)، لكنّ هذه الحدود تعتمد على افتراضات في فيزياء الجسيمات والجاذبية الكمومية، كما أن الجسيمات المشعّة الأخرى تصل إلى التوازن الحراري، مما يمحي أي ذاكرة لأصلها. ومع ذلك، فإن الجرافيتونات المنبعثة أثناء تبخّر الثقب لا يمكنها الوصول إلى التوازن، وستبقى حتى اليوم، مما يولد خلفية قوية من الموجات الثقالية. علاوة على ذلك، لبعض قيم المعلمات، يمر الكون المبكر بمرحلة مهيمنة مادية عابرة، يمكن خلالها تشكّل تجمعات كبيرة من هذه الثقوب. في هذه الحالة، يصبح طيف الموجات الثقالية المتولّد مستقلًا عن النسبة الأولية للثقوب السوداء البدائية.

نرمز إلى نسبة كتلة الثقب الأسود البدائي بـ \(Omega_{BH}\). في البداية تكون \(Omega_{BH} = \\beta\) مع \(0 < \\beta < 1\). نفترض أن المادة المتبقية هي إشعاع. تتكوّن الثقوب السوداء البدائية إذا كان \(\\delta \\rho/\\rho \\gtrsim 10^{-2}\) على مقاييس صغيرة جدًا، وتتوافر هذه الخاصية في عدة نماذج تضخم (GarciaBellido:1996qt، Saito:2008jc والمراجع المذكورة فيهما). بعد تجاوز هذه العتبة، تقترب \\beta سريعًا من الوحدة. تُولَّد خلفية الموجات الثقالية المرصودة حتى لو كانت \\beta صغيرة جدًا، لذا عند دراسة أي نموذج يتنبأ بإنتاج ثقوب سوداء بدائية صغيرة، تكون الإشارة التي نناقشها هنا عامة.

لتبسيط التحليل، نفترض أن تعداد الثقوب السوداء البدائية يوازي الطاقة الموجودة داخل حجم هابل عند لحظة الانهيار. باستخدام \(H^2 = 8\\pi \\rho/(3M_p^2)\) وتعريف \\rho = E_{init}^4، نحصل على \\[M_{BH} = \\sqrt{\\frac{3}{32 \\pi}} \\frac{M_p^3}{E_{init}^2}\\]، وهي الكتلة المحتواة داخل كرة نصف قطرها 1/H. عند احتساب تأثير الجسم الرمادي عبر \\Gamma_{sl}، يصدر ثقب شوارزشيلد جسيمات عديمة الكتلة بزخم k، ما يخفض طاقته الإجمالية كما يلي \\[\n \\frac{dE}{dtdk} = -\\frac{M_{BH}^2}{2\\pi M_p^4}k\\sum_{s,l}\\frac{(2l+1)h(s)\\Gamma_{sl}(\\frac{kM_{BH}}{M_p^2})}{\\exp{\\frac{8\\pi M_{BH}k}{M_p^2}}\\pm1} = -\\frac{2g}{\\pi}\\frac{M_{BH}^2}{M_p^4}\\frac{k^3}{e^{k/T}-1},\\quad T=\\frac{M_p^2}{8\\pi M_{BH}}\\]

حيث يقوم h(s) بحساب احتمالات الاستقطاب/الحلزونية لجسيم الدوران s (Page:1976df,FrolovBK). أما السطر الثاني فهو قانون الجسم الأسود المثالي، ويمثل g عدد الدرجات الفعالة البوزونية بعد تصحيحات الجسم الرمادي. تُكبَّح الانبعاثات عند الدورانات الأعلى، لذا يعتمد g على كليّ مزيج حالات الدوران وإجمالي عدد درجات الحرية الخفيفة. لكل حالة s=0,1/2,1,2، تكون مساهمة g على التوالي 7.18, 3.95, 1.62, 0.18، ولذلك فإن انبعاث الجرافيتون أقل كثيرًا من التقدير الساذج. نتجاهل الزخم الزاوي للثقب الأسود، الذي يعزز انبعاث الجرافيتونات (Page:1976ki). العدد الموجي الفيزيائي k يُعطى بـ \\tilde{k}/a(t)، حيث \\tilde{k} هو العدد المشترك وa(t) هو عامل المقياس. بالدمج نحصل على \\[\\frac{dM_{BH}}{dt} = -\\frac{g}{30,720\\pi}\\frac{M_p^4}{M_{BH}^2}\\] ومنه يحسب العمر \\[\\tau = \\frac{10,240\\pi}{g}\\frac{M_{BH}^3}{M_p^4} = \\frac{240}{g}\\sqrt{\\frac{3}{2\\pi}}\\frac{M_p^5}{E_{init}^6}\\]

ينحدر الحد الأعلى لـ E_{init} من مقياس طاقة التضخم، المقيد بعدم رصد خلفية الموجات الثقالية البدائية في الخلفية الكونية الميكروية، والتي نفترض – بسخاء – أنها تصل إلى \\sim10^{16} GeV. أما في الطرف الأدنى فنحن مهتمون بالثقوب التي تتحلل قبل التخليق النووي بزمن كافٍ لإعادة التوازن الحراري، لذا نحتاج \\tau\\lesssim100 ثانية. عند E_{init}=10^{12} GeV، نحصل على \\tau\\approx29/g ثانية، وتكون درجة الحرارة الابتدائية 18.8 TeV. نماذج قياسية وحدها تعطينا g\\sim\\mathcal{O}(10^2)، ولكن سنفترض (بحذر) أن g\\ge10^3. إنقاص E_{init} قليلاً يضمن بقاء الثقب حتى بعد التخليق النووي، لذا نفترض E_{init}\\ge10^{12} GeV.

خلفية الموجات الثقالية: بالإشارة إلى كثافة عدد الثقوب السوداء البدائية بـ n(t)، تصبح كثافة الطاقة \\rho_{BH}=n(t)M_{BH}(t). لذا نحل المعادلات

\\[\n\\begin{aligned}\n\\frac{d\\rho_{BH}}{dt} &=& \\dot{n}(t)M_{BH} + n(t)\\dot{M}_{BH},\\\\\n&=& -3\\frac{\\dot{a}}{a}\\rho_{BH} + \\rho_{BH}\\frac{\\dot{M}_{BH}}{M_{BH}},\\\\\n\\frac{d\\rho_{rad}}{dt} &=& -4\\frac{\\dot{a}}{a}\\rho_{rad} - \\rho_{BH}\\frac{\\dot{M}_{BH}}{M_{BH}},\\\\\n\\frac{\\dot{a}}{a} &=& \\Bigl[\\frac{8\\pi}{3M_p^2}(\\rho_{BH}+\\rho_{rad})\\Bigr]^{1/2}\n\\end{aligned}\n\\] مع المعادلة (Eq.~\\ref{eqn:kt}).

يُستخلص \\Omega_{gw} عبر إعادة تحجيم مناسبة. أخيرًا، نحسب كثافة الطاقة الطيفية الحالية للإشعاع الجاذبي (Easther:2006gt, Price:2008hq):

\\[\\Omega_{gw}(f) = \\frac{1}{\\rho}\\frac{d\\rho_{gw}}{d\\ln f}\\]حيث \\rho هي الكثافة الكلية و\\rho_{gw} كثافة الطاقة في الموجات الجاذبية.¹

يظهر الطيف الحالي لكثافة الطاقة في الإشعاع الجاذبي كدالة لـ E_{init}. تكون إشارة الموجات الجاذبية قوية عند ترددات عالية للغاية. تقريبًا، تتناسب درجة حرارة الإشعاع عكسيًا مع a(t). يكون الثقب الأسود المتبخر أكثر حرارة من الوسط المحيط، ولكن الموجات الجاذبية المنبعثة تخضع لنفس معامل التمدد كغيرها من الإشعاع. ونتيجةً لذلك، فإن تردداتها أعلى من ترددات الخلفية الكونية الميكروية الحالية. إنقاص E_{init} يطيل عمر الثقب، مما يزيد من هذا الفرق ويدفع إشارة الموجة الجاذبية نحو ترددات أعلى. ويظهر الانخفاض في أعلى الترددات لأن هذه الأطياف تنشأ فقط من ثقوب سوداء صغيرة، وينتج عنها عدد محدود. في المقابل، فإن زيادة g تقلل نسبة الانبعاث في الموجات الجاذبية، ما يخفض \\Omega_{gw}. وبما أن \\tau يتناسب عكسيًا مع g, تنبعث الموجات الجاذبية في مراحل يكون فيها الكون أصغر، مما يزيد عامل الانزياح الأحمر وخفض ترددها الحالي.

في الكون البدائي، يسود الإشعاع بينما يتصرف الثقب الأسود البدائي كمادة. في البداية يكون \\Omega_{BH}\\propto a(t) حتى تصل إما \\Omega_{BH}\\approx1 أو يبلغ الثقب مرحلة التبخر الأخيرة فيبدأ \\Omega_{rad} في الازدياد. ما أن يهيمن الثقب الأسود على الكون، يصبح معظم الإشعاع "المتأخر" صادرًا منه مع مساهمة ضئيلة من الإشعاع "الأولي". في هذه الحالة تكون \\Omega_{gw}=0.36/g بعد انتهاء التبخر. يمثل هذا النسبة الكلية المنبعثة من الجرافيتونات، ويكون \\Omega_{gw}(f) مستقلًا عن \\beta. إذا كانت \\beta صغيرة جدًا أو كانت g كبيرة جدًا، يبقى الكون مهيمنًا بالإشعاع وتكون \\Omega_{gw}<0.36/g. بافتراض \\rho_{rad}\\approx E_{init}^4، تحدث مرحلة هيمنة المادية إذا

\\[\\beta\\gtrsim\\frac{1}{8}\\sqrt{\\frac{g}{15}}\\frac{E_{init}^2}{M_P^2}\\,.\] تذكّر أنّ H^2=1/4t^2 في كون مهيمن عليه الإشعاع. وإن ظل الكون مشعًا حتى تبخر الثقب، فإن العامل a(\\tau+t_{init})\\approx(\\tau/t_{init})^{1/2} مع a(t_{init})\\equiv1. بالتالي، تقل \\Omega_{gw}(f) مع \\beta إذا لم تتحقق تلك اللا مساواة.

في كون مهيمن عليه الإشعاع، H(t)\\sim1/a(t)^2. كما هو الحال دائمًا، يحدد 1/H مقياس هابل الفيزيائي، بينما تكون المسافة الهابليّة المشتركة a(t)/H_{\\rm init}. عدد الثقوب السوداء البدائية في كل حجم هابل أولي هو \\beta، وبالتالي قبل الهيمنة المادية يصل هذا العدد إلى \\beta\\,a(t)^3. قد يكون هذا هائلاً: فعلى سبيل المثال، عند \\beta=10^{-8} وa(t)=10^8 قبل الهيمنة، يصبح هناك 10^{16} ثقبًا أسودٍ أوليًا في أفق هابل واحد. تنمو الاضطرابات في كون يهيمن عليه المادة، ويصبح النطاق الداخلي للأفق الذي يتجاوز طول جينز غير خطي حيث \\delta\\propto\\eta^2 مع \\eta=\\int dt/a(t) (Peacock:1999ye). خلال الهيمنة المادية، \\delta\\sim a(t)، فتدخل المقاييس الصغيرة إطار اللاخطية. ولضمان تشكّل الثقوب البدائية، يُفترض أن تكون السعة الأولية للاضطرابات أكبر بكثير من القيمة الفلكية القياسية 10^{-5}. قد تصاحب مرحلة الهيمنة بالثقوب السوداء نمو هياكل لاخطية تحت الأفق، مما يؤدي إلى تكوين تجمعات ضخمة من الثقوب. يذكّرنا هذا الوضع بالكون الحاضر، حيث تُشبه هذه التجمعات "نجوم هوكينغ".

لقد نوقش سابقًا احتمال أن يسبب الثقب الأسود البدائي مرحلة هيمنة مادية (Barrow:1990he)، ووجود كون مهيمن عليه الثقب المتحلل في حالة توازن حراري مما يوفر مكانًا محتملاً لتوليد الباريون (Sakharov:1967dj, Barrow:1990he, Baumann:2007yr). بشكلٍ حاسم، قد تعزز الكثافات الزائدة اللاخطية بشكل كبير معدلات التصادم بين الثقوب (Kotok:1998rp, Chisholm:2005vm). عند اندماج ثقبين ابتدائيين، يعيش الناتج نحو ثماني مرّات عمر الثقوب الأم. وإذا نجت بعض الثقوب من تبخرها حتى ما قبل التخليق النووي، فقد تطرح مشكلة الثقوب طويلة العمر. وبما أن عمر الثقب يتناسب بقوة مع الطاقة الابتدائية، يُظهر المعادلة أنّ عامل 10 في \\tau يمكن تعويضه بزيادة E_{init} بمقدار 10^{1/6}\\approx1.5، لكن الحد الأدنى لـ E_{init} يبقى تقريبًا ثابتًا ما لم يحدث اندماج واسع للثقوب في أجسام فردية.

لتقدير الحد الأدنى لمعدل الاندماج، تذكر أن ثقبًا بدائيًا بكتلة الأفق له نصف قطر شوارزشيلد r_s=2M/M_p^2، وهو يعادل طول هابل الابتدائي 1/H. افترض أن ثقبًا أوليًا مفصولًا بمسافة مشتركة c r_s سيندمج، حيث c هو عدد من الرتبة الوحدة. ضمن حجم نصف قطره c r_s، نتوقع وجود ما يقارب c^3\\beta ثقب، وبالتالي في الأحجام التي تحتوي على N ثقوب سيكون احتمالها (c^3\\beta)^{(N-1)}، وهو أندر بكثير من وجود ثقب واحد. بالتالي، عند حدوث هيمنة مادية، تكون نسبة الكون المؤلف من ثقوب كتلتها N M_{BH}(t_{init}) حوالي (c^3\\beta)^{(N-1)}. ما لم تقترب \\beta من الوحدة، فإن هذه المرحلة المبكرة من الاندماج لا تفضي إلى نشوء ثقوب بدائية طويلة العمر.

المناقشة: نبيّن أن الثقوب السوداء البدائية الخفيفة التي تتبخر قبل التخليق النووي تولد خلفية موجات جاذبية بتردد عالٍ. في الوقت الراهن، تظل هذه الخلفية موضوعًا ذا اهتمام نظري، إذ تقع تردداتها أعلى بكثير من نطاق حساسية مرصد ليغو أو مقترحات مقاييس الفضاء مثل ليزا، التي تمثل من أكثر التجارب حساسيةً لموجات الجاذبية تحت التطوير. ومع ذلك، فإن إمكانية وجود خلفيات عند ترددات عالية تشجع على تطوير تقنيات رصد جديدة. قد تتفوّق كثافة طيف هذه الخلفية على تلك الناتجة عن التحولات الطورية أو اصطدامات الفقاعات (Kamionkowski:1993fg، Easther:2006gt). علاوة على ذلك، قد تحفز مجموعة الثقوب البدائية الخفيفة مرحلة قصيرة من الهيمنة المادية قبل التخليق النووي، حيث يتشكل ما يشبه كونًا باردًا تهيمن فيه تجمعات "نجوم هوكينغ".

لقد حظيت موجات الجاذبية المولَّدة خلال التسخين المسبق أو الرنين البارامتري في نهاية التضخم باهتمام كبير مؤخرًا (Easther:2006gt، Easther:2006vd، Dufaux:2007pt). وبذلك، توفر الثقوب السوداء البدائية المتحللة آلية إضافية لتوليد خلفية موجات جاذبية عالية التردد إذا أسفر التضخم أولًا عن اضطرابات تكوّن هذه الثقوب. لا تنتج نماذج التضخم البسيطة جدًا ثقوبًا بدائية، وتكون \\beta\\equiv0، ولكن القيود الحالية على انحناء الطيف \\alpha = d n_s/d\\ln{k} تبقى متوافقة مع إنتاج الثقوب البدائية (Peiris:2008be). علاوة على ذلك، تُستمد هذه القيود من استقراء قدرات التضخم في نطاقات الفلك أثناء توليد الاضطرابات، وينقص ذلك صلاحية النماذج التي ينتهي فيها التضخم فجأة؛ إذ قد تؤدي تلك السيناريوهات إلى إنتاج وفير من الثقوب البدائية (GarciaBellido:1996qt)، رغم أن نماذجها غالبًا ما تتنبأ بأن n_s>1 وهو ما يتعارض مع البيانات الراهنة. لذلك نتعامل مع \\beta كمعلمة حرة، مع الإشارة إلى إمكان حسابها في سيناريو تضخم محدد. ومع ذلك، يُلاحظ أنه ليس شرطًا أن تكون كبيرة – فالمرحلة المادية المطولة ممكنة حتى لو كانت \\beta<10^{-10}، شرط أن تقع E_{init} في الطرف الأدنى من النطاق المسموح.

تشتمل التحليلات هنا على عدد من الافتراضات المبسطة. ومع ذلك، فإنها لا تُنقض استنتاجنا الرئيسي، وهو أن خلفية الموجات الجاذبية عالية التردد الناتجة عن إشعاع هوكينغ تشكل البصمة الوحيدة الواضحة للثقوب السوداء البدائية التي تتبخر سريعًا وتلازم وجودها حتى العصر الراهن.

الشكر والتقدير

نشكر دي-تشانغ داي، أندرو ليدل، دايسوكي ناغاي، دون بيج وديجان ستوجكوفيتش على المناقشات القيمة. وقد حظي عمل RE بدعم جزئي من وزارة الطاقة الأمريكية (منحة DE-FG02-92ER-40704) ومن جائزة NSF Career Award PHY-0747868.