latex

مُلَخَّص

مُشْكِلَة \(3x+1\) الشهيرة لِL. Collatz لا تَحْتاج إِلَى مُقَدِّمَة؛ إِلَّا أَنَّ هذا البَحْث يَتَنَاوَل مُشْكِلَةً أَقَلَّ شُهْرَةً وَلَم تُحَلَّ بَعْدُ: التَّخْمِينُ الأَصْلِيُّ لِكولاتز، أَو OCC (Lag85).

نُوضِّحُ أَنَّ المُشَغِّلَ الحِسابِيَّ الأَساسِيَّ الهامَّ في OCC، عند دمجه مع تقاطع J.-Y. Girard من نِظامِهِ للهَنْدَسَةِ التَّفاعُلِيَّة (GOI1, GOI2)، يُؤَدِّي إِلَى تَحْقِيق مَجْمُوعَة R. Thompson \(\mathcal F\) كَدَوالٍّ تَطابُقِيَّة، بِمَعْنَى J. Conway (JC72).

نُقَدِّمُ أَيْضاً النَّظَرِيَّةَ الفِئَوِيَّةَ الكامِنَةَ الَّتِي تُفَسِّرُ ذلك، وَنَصِفُ المُشَغِّلَ الأَساسِيَّ المَتَعَلِّقَةَ في OCC كَتَطابُقٍ تَماسُكِيٍّ قِياسِيٍّ.

تَعْرِيفَات أَساسِيَّة: فَرْضِيَّة كولاتز الأَصْلِيَّة وَتَقَاطُع جيرارد

نَبْدَأُ بِفَرْضِيَّةِ كولاتز الأَصْلِيَّة، كَمَا وَرَدَت في (Lag85).

نُرْمِزُ للمَجْمُوعَةِ المُتَنَاظِرَةِ عَلَى \(\mathbb N\) بـ\(\SN\)، ونُعَرِّفُ تَحْوِيلَ كولاتز الأَصْلِيِّ \(\rho\in \SN\) على النحو التالي: \(\rho(n) = \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} \frac{2n}{3} & & n\equiv 0\pmod 3, \\ \vspace{0.3em} \frac{4n-1}{3} & & n\equiv 1\pmod 3, \\ \vspace{0.3em} \frac{4n+1}{3} & & n\equiv 2\pmod 3. \end{array}\right.\)

النِّقاطُ الثابتَةُ الوَحِيدَةُ لِ\(\rho\) هِيَ \(\{0,1\}\subseteq \mathbb N\)، كما أنَّ مدارات جميع الأعداد في \(\{0,\ldots ,9\}\setminus\{8\}\) محدودة.

يُبرِزُ الجَبْرُ الأَوَّلُ أنّ \(\{0,1\}\) هي الحلول الوحيدة لمعادلة \(\rho(n)=n\). وبالحساب المباشر، \(2\rightarrow 3 \rightarrow 2\) و \(4\rightarrow 5\rightarrow 7\rightarrow 9\rightarrow 6\rightarrow 4\) مداراتٌ محدودة.

كما ورد في (Lag85)، ظهر هذا التحويل في دفاتر ملاحظات غير منشورة لكولاتز بتاريخ \(1^{\mathrm{st}}\) مايُو 1932 كأساسٍ للفرضية التالية (غير المحلولة حتى الآن):

مدارُ العدد \(8\) تحت \(\rho\) غير منتهٍ.

نَجْمَعُ بَيْنَ المُشَغِّلِ الأَساسِيِّ لِفَرْضِيَّةِ كولاتز الأَصْلِيَّةِ ومفهوّمِ التَّقَاطُعِ المنطقيِّ في نموذج جان-إيف جيرارد (GOI1, GOI2). كما أُشيرَ إليه في (PHD, HA, AHS)، اعتمد نظام جيرارد على الزمرة الجزئية \(\mathcal I(\mathbb N)\) للتحويلات الجزئية على \(\mathbb N\)؛ ونحن نقتصر على الزمرة الفرعية \(\SN\subseteq \mathcal I(\mathbb N)\).

تَقَاطُع جيرارد هو الدالة \(\star : \SN\times \SN\rightarrow \SN\) المعطاة بـ\((a\star b)(n) = \left\{ \begin{array}{lcr} 2\,a\!\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr) & & n\text{ زوجي}, \\ 2\,b\!\bigl(\tfrac{n-1}{2}\bigr)+1 & & n\text{ فردي}. \end{array}\right.\)
ومن المعروف (مثلاً PHD, HA, AHS) أنّ هذه الدالة تشبه الحقنية.

تَبْسِيطٌ طَفِيف

يركز مفهوم OCC على مدارات الأعداد الطبيعية تحت التحويل \(\rho\). نقوم بتعديل \(\rho\) عبر دالة الإزاحة وعكسها (المعرفة جزئيًّا) للتخلّص من التفاهة \(\rho(0)=0\)، مع الحفاظ على سلوك المدارات الأخرى:

[rcb-def] نُعَرِّفُ التَحْوِيلَ المُخَفَّضَ لكولاتز \(\lambda\in \SN\) بأنّ \(\lambda(n)=\rho(n+1)-1\). هذا تحويلٌ محدّدٌ جيّدًا على \(\mathbb N\)، نظرًا لأنّ \(\rho(0)=0\). وعند توسيع التعريف نحصل على الصيغة الصريحة:

\[\lambda (n) = \ \left\{ \begin{array}{lcr} \frac{4n}{3} & & n\equiv 0\pmod 3, \\ \frac{4n+2}{3} & & n\equiv 1\pmod 3, \\ \frac{2n-1}{3} & & n\equiv 2\pmod 3. \end{array}\right.\]

بناءً على التعريف، \(\lambda^K(n)=\rho^K(n+1)-1\)، لذلك فإنّ الأسئلة حول المَدارَات غير التافهة لـ\(\rho\) وتلك الخاصة بـ\(\lambda\) قابلة للتبادل؛ ويصبح مفهوم OCC بعدها الفرضية القائلة بأن مدار العدد 7 تحت \(\lambda\) لا نهائي.

[noCoincidence-lem] \(\lambda\neq\rho\)، و\(\lambda(n)=\rho(n)\iff n=0\)، لكل \(n\in\mathbb N\).

بديهيًّا، \(\lambda\neq\rho\). كتابة الحالات الثلاث بشكل منفصل تؤدي إلى ظهور الحاجة إلى \(n=0\) ثم \(n=-1\notin\N\)، وهو تناقض.

دَمْجُ التَحْوِيلَيْنِ الأَصْلِيِّ وَالمُخَفَّضِ لكولاتز

يمكن إعطاء معكوسات \(\lambda,\rho\in \SN\) بشكل صريح كما يلي: \[\lambda^{-1}(n) = \begin{cases} \frac{3n}{4} & n\equiv 0\pmod 4, \\ \frac{3n-2}{4} & n\equiv 2\pmod 4, \\ \frac{3n+1}{2} & n\text{ فردي}, \end{cases} \quad\text{و}\quad \rho^{-1}(n) = \begin{cases} \frac{3n}{2} & n\equiv 0\pmod 2, \\ \frac{3n+1}{4} & n\equiv 1\pmod 4, \\ \frac{3n-1}{4} & n\equiv 3\pmod 4. \end{cases}\] تركيب التحويل المخفَّض مع معكوس التحويل الأَصْلِي ينتج تحويلًا سبق أن ظهر في نظرية الفئات والمنطق:

[assoc-def] نُعَرِّفُ المُقْتَرِن \(\alpha\in \SN\) بأنّ \(\alpha=\lambda\,\rho^{-1}\)؛ بمعنى آخر، \(\alpha(n)=\rho\bigl(\rho^{-1}(n)+1\bigr)-1\). وعند التوسيع نحصل على:

\[\alpha(n)=\begin{cases} 2n & n\equiv 0\pmod 2, \\ n+1 & n\equiv 1\pmod 4, \\ \frac{n-1}{2} & n\equiv 3\pmod 4, \end{cases} \quad\text{و}\quad \alpha^{-1}(n)=\begin{cases} \frac{n}{2} & n\equiv 0\pmod 4, \\ n-1 & n\equiv 2\pmod 4, \\ 2n+1 & n\text{ فردي}. \end{cases}\]

يمكن اعتبار المُقتَرِنَ «التحويل المخفَّض لكولاتز المركب مع معكوس التحويل الأَصْلِي». بالمقارنة مع أي من تحويلات كولاتز، فإن مدارات الأعداد تحت المُقتَرِن سهلة الوصف للغاية.

[assocOrbits-lem] للمُقْتَرِنِ نقطة ثابتة وحيدة، \(\alpha(0)=0\). مدار كل \(n>0\in\mathbb N\) له حدٌّ أدنى موضعي إذا وفقط إذا كان \(n\) زوجيًا؛ لا يُوجد حدٌّ أقصى موضعي، ولذلك فإن مدار كل \(n>0\) لا نهائي.

من الأسهل (لكنّه مكافئ) إثبات ذلك للمعكوس، \(\alpha^{-1}=\rho\,\lambda^{-1}\).

بديهيًّا، \(\alpha^{-1}(0)=0\)؛ وهذه وحيدة، حيث إنّ \(\alpha^{-1}(n)=n\iff \rho(n)=\lambda(n)\)، ممّا يتناقض مع البيان [noCoincidence-lem] لأي \(n\neq0\). عندما يكون \(n\) فرديًّا، \(\alpha^{-1}(n)=2n+1>n\)؛ وهو أيضًا فردي. ولذلك \(n<\alpha^{-1}(n)\) لكل \(n\) فردي. عندما يكون \(n>0\) زوجيًّا، \(\alpha^{-1}(n) قد يكون زوجيًّا أو فرديًّا، ولكن لا يمكن أن يكون صفرًا لأنّ \(\alpha^{-1}\) تحويل. ولذلك، أي مدار يبدأ بعددٍ زوجيٍّ غير صفري ينخفض حتى يصل إلى عددٍ فردي (الحدّ الأدنى الموضعي)، ومن ثمّ يزداد بلا حدود.

كل مدار محدود يصل إلى حدٍّ أقصى وأدنى؛ ولذلك فإن المدار الوحيد المحدود تحت \(\alpha^{-1}\) (وبالتالي تحت \(\alpha\)) هو النقطة الثابتة \(\alpha^{-1}(0)=0=\alpha(0)\).