مُلَخَّص

تُشَكِّلُ مجموعةٌ من الثقوبِ السوداءِ البدائيةِ الخفيفةِ جداً، التي تتبخر قبل بدء النوسينثيز، استثناءً من القيود ما لم تترك الثقوب السوداء المتحللة بقايا مستقرة. نُبيِّن أن الجرافيتونات المُشعَّة بواسطة هوكينغ من هذه الثقوب السوداء ستكون مصدراً لخلفية عشوائية كبيرة من الموجات الثقالية عالية التردد (\(10^{12}\) Hz أو أكثر) في الكون الحالي. قد تؤدي هذه الثقوب السوداء إلى فترة عابرة من التوسع المهيمن عليه بالمادة. في هذه الحالة، قد تهيمن على الكون البدائي مؤقتاً تجمعات كبيرة من "نجوم هوكينغ"، ويكون طيف الموجات الثقالية الناتج مستقلاً عن الكثافة العددية الأولية للثقوب السوداء البدائية.

مُقَدِّمَة

الثقوب السوداء البدائية (PBH) التي تكوَّنت مباشرة بعد الانفجار العظيم (Hawking:1971ei,Carr:1974nx) يمكن أن تتحلل من خلال إصدار إشعاع هوكينغ (Hawking:1974sw,Hawking:1974rv). يُحدد تعداد الثقوب السوداء البدائية الأولية بواسطة طيف الاضطراب البدائي. تفرض القيود على تعداد الثقوب السوداء البدائية حدوداً على نظريات التضخم وسيناريوهات الكون المبكر الأخرى التي تولد هذا الطيف (Green:1997sz,Leach:2000ea,Kohri:2007qn,Peiris:2008be). تنبع هذه القيود من عدم وجود دليل على الثقوب السوداء البدائية في الوقت الحاضر، ولأن الثقوب السوداء المتحللة تعطل النوسينثيز، وإعادة التركيب وإعادة التأين (Mack:2008nv). عند التكوُّن، يجب أن يكون الثقب الأسود البدائي أصغر من أفق هابل، وكمية المادة داخل أفق هابل - والكتلة القصوى وعمر الثقب الأسود البدائي - تزداد مع توسع الكون. الثقوب السوداء البدائية الخفيفة جداً تتحلل تماماً قبل النوسينثيز، وبالتالي لا تخضع لأي قيود. يشع الثقب الأسود البدائي جميع الجسيمات التي تكون كتلتها الساكنة أقل بكثير من درجة حرارته الحالية، بما في ذلك الجرافيتونات. إذا كان الثقب الأسود البدائي يشع جسيمات ضخمة وطويلة العمر، فإننا نحصل على حدود صارمة على تعداده الأولي (MacGibbon:1987my,Barrow:1992hq,Green:1999yh,Lemoine:2000sq,Khlopov:2004tn)، لكن هذه الحدود تعتمد على افتراضات حول فيزياء الجسيمات والجاذبية الكمومية، وستصل الجسيمات الأخرى المشعة إلى التوازن الحراري، مما يمحو أي ذاكرة لأصلها. ومع ذلك، فإن الجرافيتونات المنبعثة أثناء تحلل الثقب الأسود لا يمكن أن تتوازن وستظل موجودة حتى الوقت الحاضر، مما ينتج خلفية توترية من الموجات الثقالية. بالإضافة إلى ذلك، لبعض اختيارات المعلمات، يمر الكون المبكر بمرحلة مهيمنة بالمادة عابرة، يمكن خلالها أن تتشكل تجمعات كبيرة من الثقوب السوداء البدائية. في هذه الحالة، يكون طيف الموجات الثقالية المتولد مستقلاً عن النسبة الأولية للثقوب السوداء.

يُشار إلى نسبة كتلة الثقب الأسود البدائي بـ \(\Omega_{BH}\). في البداية \(\Omega_{BH} = \beta\), \(0<\beta<1\). نفترض أن المادة المتبقية تتكون من الإشعاع. تتشكل الثقوب السوداء البدائية إذا كان \(\delta \rho/\rho \gtrsim 10^{-2}\) على مقاييس قصيرة جداً، وفي عدد من نماذج التضخم تتوفر هذه الخاصية (GarciaBellido:1996qt, Saito:2008jc والمراجع الواردة فيها). بعد هذا العتبة، تقترب \(\beta\) بسرعة من الوحدة. يتم توليد خلفية الموجات الثقالية الملحوظة حتى لو كانت \(\beta\) صغيرة جداً، لذا عند النظر في نموذج يتنبأ بوجود أي ثقوب سوداء بدائية صغيرة، فإن الإشارة المناقشة هنا عامة.

للبساطة، نفترض أن تعداد الثقوب السوداء البدائية يساوي الطاقة الموجودة داخل حجم هابل في اللحظة التي تنهار فيها. مع الأخذ في الاعتبار أن \(H^2 = 8\pi \rho /3M_p^2\)، وتعريف \(\rho = \Einit^4\)، \[M_{BH} = \sqrt{\frac{3}{32 \pi}} \frac{M_p^3}{\Einit^2}\] وهي الكتلة الموجودة داخل كرة نصف قطرها \(1/H\). مع تضمين عوامل الجسم الرمادي، \(\Gamma_{sl}\)، يصدر الثقب الأسود شوارزشيلد (جسيمات عديمة الكتلة) بزخم \(k\)، مما يقلل من طاقته الكلية كما يلي \[\begin{aligned} \label{eqn:kt} \frac{dE}{dtdk} &=& -\frac{M_{BH}^2 }{2 \pi M_p^4 } k \sum_{s,l} \frac{ (2l+1) h(s) \Gamma_{sl}(\frac{k M_{BH}}{M_p^2})}{\exp{\frac{8 \pi M_{BH} k}{M_p^2}} \pm 1} \\ &=& -\frac{2 g }{\pi } \frac{M_{BH}^2 }{M_p^4 } \frac{k^3}{ e^{k/T} -1} \, \\ T &=& \frac{M_p^2}{8\pi M_{BH}} \, .\end{aligned}\] حيث \(h(s)\) يحسب حالات الاستقطاب/الحلزونية لجسيم بدوران \(s\) (Page:1976df,FrolovBK). السطر الثاني هو تعبير الجسم الأسود النقي و\(g\) هو عدد الدرجات الفعالة (البوزونية) بعد تصحيحات الجسم الرمادي. تُقمع هذه الانبعاثات عند \(s\) الأكبر، لذا يعتمد \(g\) على كل من مزيج حالات الدوران وإجمالي عدد درجات الحرية الخفيفة. لكل حالة بـ \(s=0,1/2,1,2\)، المساهمة في \(g\) هي \(7.18, 3.95,1.62,0.18\)، لذا فإن انبعاث الجرافيتون أقل بكثير من التقدير الساذج. نتجاهل الزخم الزاوي، الذي يعزز انبعاث الجرافيتون (Page:1976ki). العدد الموجي الفيزيائي \(k\) هو \(\tilde{k}/a(t)\)، حيث \(\tilde{k}\) هو العدد الموجي المشترك و\(a(t)\) هو عامل القياس. بالدمج، \[\frac{d M_{BH}}{dt} = - \frac{g}{30,720 \pi} \frac{M_p^4}{ M_{BH}^2} \, ,\] منه يمكننا حساب العمر \[\label{eq:lifetime} \tau = \frac{10,240 \pi}{ g} \frac{M_{BH}^3}{M_p^4} = \frac{240}{g} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \frac{M_p^5}{\Einit^6} \, .\] الحد الأعلى لـ \(\Einit\) يأتي من مقياس الطاقة التضخمي، الذي يُقيد بعدم الكشف عن خلفية الموجات الثقالية البدائية في الخلفية الكونية الميكروية، والتي نأخذها (بسخاء) لتكون \(\sim 10^{16}\)GeV. في الطرف الأدنى، نحن مهتمون بالثقوب السوداء التي تتحلل قبل النوسينثيز بوقت كافٍ لتحقيق التوازن الحراري، لذا نحتاج \(\tau \lesssim 100\) ثانية. مع \(\Einit = 10^{12}\) GeV، \(\tau \approx 29/g\) ثانية، ودرجة الحرارة الأولية هي \(18.8\) TeV. حالات نموذج القياس وحدها تعطي \(g\sim {\cal O}(10^2)\) وفيما يلي نفترض (بحذر) أن \(g \ge 10^3\). خفض \(\Einit\) قليلاً يضمن أن الثقب الأسود البدائي سيبقى خلال النوسينثيز، لذا نفترض \(\Einit \ge 10^{12}\) GeV.

خلفية الموجات الثقالية: بالإشارة إلى كثافة عدد الثقوب السوداء البدائية بـ \(n(t)\)، تكون كثافة الطاقة \(\rho_{BH} = n(t) M_{BH}(t)\). وبالتالي نحل \[\begin{aligned} \frac{d \rho_{BH}}{dt} &=& \dot{n}(t) M_{BH} + n(t) \dot{M_{BH}} \, , \\ &=& -3 \frac{\dot{a}}{a} \rho_{BH} + \rho_{BH} \frac{\dot{M_{BH}}{M_{BH}} \, ,\\ \frac{ d \rho_{rad}}{dt} &=& -4\frac{\dot{a}}{a}\rho_{rad} - \rho_{BH} \frac{\dot{M_{BH}}{M_{BH}} \, ,\\ \frac{\dot{a}}{a} &=& \left[\frac{8 \pi }{3 M_p^2} (\rho_{BH}+ \rho_{rad}) \right]^{1/2} \, \end{aligned}\] مع المعادلة ([eqn:kt]).

يتم الحصول على \(\Omega_{gw}\) من خلال إعادة تحجيم مناسبة. وأخيراً، نحسب كثافة الطاقة الطيفية الحالية للإشعاع الجاذبي (Easther:2006gt, Price:2008hq), \[\Omega_{gw}(f) = \frac{1}{\rho} \frac{d \rho_{gw}}{d \ln f}\] حيث \(\rho\) هي الكثافة الكلية و\(\rho_{gw}\) هي كثافة الطاقة في الموجات الجاذبية.¹

يظهر الطيف الحالي لكثافة الطاقة للإشعاع الجاذبي كدالة لـ \(\Einit\). قوة الموجة الجاذبية كبيرة، وعند ترددات عالية جداً. تقريباً، تتناسب درجة حرارة الكون عكسياً مع \(1/a(t)\). الثقب الأسود المتحلل أكثر سخونة من الكون المحيط، لكن الموجات الجاذبية المنبعثة تتأثر بنفس العامل كباقي الإشعاع. ونتيجة لذلك، تكون ترددات هذه الموجات الجاذبية أعلى من ترددات الخلفية الكونية الميكروية الحالية. خفض \(\Einit\) يزيد من عمر الثقب الأسود، مما يزيد هذا الاختلاف ويدفع إشارة الموجة الجاذبية إلى ترددات أعلى. الانخفاض في الترددات العالية جداً ينشأ لأن هذه الكميات يمكن أن تنشأ فقط من ثقب أسود صغير، ويتم إنتاجها بأعداد أقل. على العكس، زيادة \(g\) تقلل من نسبة الانبعاث في الموجات الجاذبية، مما يخفض \(\Omega_{gw}\). بما أن \(\tau\) يتناسب عكسياً مع \(g\)، فإن الموجات الجاذبية تنبعث عندما يكون الكون أصغر، مما يزيد من عامل الانزياح الأحمر للإشعاع المنبعث، وبالتالي يخفض تردده الحالي.

الكون البدائي يهيمن عليه الإشعاع، بينما يتصرف الثقب الأسود البدائي كمادة. في البداية، \(\Omega_{BH} \propto a(t)\) حتى إما أن \(\Omega_{BH} \approx 1 \)، أو يصل الثقب الأسود البدائي إلى المرحلة النهائية من تبخره ويبدأ \(\Omega_{rad}\) في النمو. إذا أصبح الكون يهيمن عليه الثقب الأسود البدائي، فإن كل الإشعاع في الكون "المتأخر" سيكون قد صدر من الثقب الأسود البدائي، مع إسهام ضئيل من الإشعاع "الأصلي". في هذه الحالة \(\Omega_{gw} = .36/g\) بعد التبخر. هذه ببساطة نسبة الانبعاث الكلي في الجرافيتونات و\(\Omega_{gw}(f)\) مستقل عن \(\beta\). إذا كان \(\beta\) صغيراً جداً أو \(g\) كبيراً جداً، فإن الكون يظل يهيمن عليه الإشعاع و\(\Omega_{gw} <.36/g\). بتحديد \(\rho_{rad} \approx \Einit^4\)، تحدث مرحلة تهيمن عليها المادة إذا \[\beta \gtrsim \frac{1}{8} \sqrt{\frac{g}{15}} \frac{\Einit^2}{M_P^2} \, .\] تذكّر أن \(H^2 = 1/4t^2\) في كون يهيمن عليه الإشعاع. إذا ظل الكون يهيمن عليه الإشعاع حتى يتحلل الثقب الأسود البدائي، فإنه ينمو بواسطة \(a(\tau+\tinit) \approx (\tau/\tinit)^{1/2}\) مع \(a(\tinit) \equiv 1\). وبالتالي، \(\Omega_{gw}(f)\) يقل مع \(\beta\) إذا لم تتحقق عدم المساواة المذكورة أعلاه.

في كون يهيمن عليه الإشعاع، \(H(t) \sim 1/a(t)^2\). كما هو الحال دائماً \(1/H\) يحدد مقياس هابل الفيزيائي بينما المسافة الهابلية المشتركة هي \(a(t)/\Hinit\). عدد الثقوب السوداء البدائية لكل حجم هابل أولي هو \(\beta\)، لذا قبل الهيمنة المادية، عدد الثقوب السوداء البدائية لكل حجم هابل هو \(\beta a(t)^3\). يمكن أن يكون هذا العدد كبيراً: في الشكل \(\beta = 10^{-8}\)، و\(a(t)= 10^8\) قبل الهيمنة بالثقب الأسود البدائي، لذا هناك \(10^{16}\) ثقب أسود بدائي داخل أفق هابل واحد. تنمو الاضطرابات في كون يهيمن عليه المادة. الوضع الذي يكون داخل الأفق وأطول من طول جينز له سعة \(\delta \propto \eta^2 \)، \(\eta = \int{dt/a(t)} \) (Peacock:1999ye). خلال الهيمنة المادية، \(\delta \sim a(t)\)، وتصبح النطاقات القصيرة غير خطية. بالإضافة إلى ذلك، من أجل ضمان تكوين الثقب الأسود البدائي، من المفترض أن تكون السعة الأولية للاضطرابات أكبر بكثير من القيمة القياسية \(10^{-5}\) الموجودة في النطاقات الفلكية. قد تصاحب مرحلة الهيمنة بالثقب الأسود البدائي بنمو الهياكل غير الخطية على نطاقات دون الأفق، مما يؤدي إلى تكوين تجمعات كبيرة من الثقوب السوداء البدائية. هذا الوضع يذكرنا بالكون الحالي، حيث يلعب الثقب الأسود البدائي المتحلل دور "نجوم هوكينغ".

إمكانية أن يسبب الثقب الأسود البدائي مرحلة هيمنة مادية نوقشت سابقاً (على سبيل المثال (Barrow:1990he)) وكون يهيمن عليه الثقب الأسود البدائي المتحلل في توازن حراري وبالتالي موقع محتمل للباريوجينيز (Sakharov:1967dj, Barrow:1990he, Baumann:2007yr). بشكل حاسم، يمكن أن يعزز تكوين الكثافات الزائدة غير الخطية بشكل كبير معدلات التفاعل (بين) الثقوب السوداء (Kotok:1998rp, Chisholm:2005vm). إذا اندمج ثقبان أسودان بدائيان، فإن الثقب الأسود الناتج يعيش تقريباً ثمانية أضعاف عمر الأجسام الأم. إذا نجا الثقب الأسود البدائي النموذجي حتى قبل بداية التخليق النووي، فإن عدداً صغيراً من الثقوب السوداء ذات العمر الأطول قد يكون مشكلة. نظراً لأن عمر الثقب الأسود البدائي يعتمد بشدة على الطاقة الأولية، نرى من المعادلة أن عامل 10 في \(\tau\) يمكن إزالته بزيادة \(\Einit\) بعامل \(10^{1/6} \approx 1.5\) ولكن الحد الأدنى لـ \(\Einit\) لن يتغير بشكل كبير إلا إذا اندمج العديد من الثقوب السوداء البدائية في كائنات فردية.

لوضع حد أدنى تقريبي على معدل الاندماج، تذكّر أن الثقب الأسود البدائي بكتلة الأفق لديه نصف قطر شوارزشيلد \(r_s = 2M/M_p^2\) والذي يساوي طول هابل الأولي، \(1/H\). افترض أن الثقب الأسود البدائي المفصول بمسافة مشتركة أولية \(c r_S\) سيندمج، حيث \(c\) هو رقم من الدرجة الأولى. في منطقة مشتركة بنصف قطر \(c r_S\)، نتوقع العثور على \(\sim c^3 \beta\) ثقب أسود بدائي، لذا في الأحجام التي تحتوي على \(N\) ثقب أسود بدائي ستكون \(\sim (c^3 \beta)^{(N-1)}\) أندر من الأحجام التي تحتوي على ثقب أسود بدائي واحد فقط. وبالتالي، إذا وصلنا إلى مرحلة تهيمن عليها المادة، فإن نسبة الكون المكونة من الثقوب السوداء البدائية بكتلة \(N M_{BH}(\tinit)\)، هي \(\sim (c^3 \beta)^{(N-1)}\). ما لم تكن \(\beta\) قريبة من الوحدة، فإن هذه المرحلة الأولى من الاندماج لن تؤدي إلى تكوين مجموعة من الثقوب السوداء البدائية طويلة العمر.

النقاش: نُبيِّن أن الثقوب السوداء البدائية الخفيفة التي تتبخر قبل النوسينثيز تؤدي إلى خلفية موجات جاذبية ذات تردد عالٍ. في الوقت الحالي، هذا موضوع ذو اهتمام نظري، نظراً لأن هذه الخلفية تقع في ترددات تتجاوز بكثير نطاق حساسية مرصد ليغو أو المقترحات للمقاييس الفضائية مثل ليزا، والتي تُعد من أكثر التجارب حساسية لموجات الجاذبية قيد التطوير حالياً. ومع ذلك، فإن وجود خلفيات ذات تردد عالٍ معقولة يحفز تطوير تقنيات كشف جديدة. كثافة الطيف لهذه الخلفية كبيرة، وقد تتجاوز تلك التي يمكن الحصول عليها من التحولات الطورية أو تصادمات الفقاعات (Kamionkowski:1993fg, Easther:2006gt). بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن تؤدي مجموعة الثقوب السوداء البدائية الخفيفة إلى فترة مؤقتة من الهيمنة المادية قبل بداية النوسينثيز، خلالها يمكن أن تتشكل تجمعات من الثقوب السوداء البدائية، مما يؤدي إلى مرحلة باردة يهيمن خلالها الكون البدائي على تجمعات من "نجوم هوكينغ".

موجات الجاذبية المتولدة خلال التسخين المسبق أو الرنين البارامتري في نهاية التضخم حظيت باهتمام كبير مؤخراً (Easther:2006gt, Easther:2006vd, Dufaux:2007pt). وبالتالي، توفر الثقوب السوداء البدائية المتحللة آلية أخرى يمكن من خلالها أن يولد التضخم - إذا كان يولد اضطرابات تؤدي إلى تشكيل الثقوب السوداء البدائية - خلفية موجات جاذبية ذات تردد عالٍ. النماذج البسيطة جداً للتضخم لا تنتج الثقوب السوداء البدائية وبالتالي لديها \(\beta \equiv 0\)، لكن الحدود الحالية على تشغيل مؤشر الطيف \(\alpha = d n_s/d\ln{k}\) متوافقة مع إنتاج الثقوب السوداء البدائية (Peiris:2008be). بالإضافة إلى ذلك، يتم الحصول على هذه الحدود من خلال استقراء الإمكانية الكاملة للتضخم من المنطقة التي تمر بها الاضطرابات الفلكية أثناء توليدها. وهذا ليس صالحاً للنماذج التي ينتهي فيها التضخم فجأة، ويمكن أن تؤدي هذه السيناريوهات إلى إنتاج كبير للثقوب السوداء البدائية (GarciaBellido:1996qt)، على الرغم من أن النماذج البسيطة لهذا النوع غالباً ما تتنبأ بأن \(n_s>1\)، وهو ما يتعارض مع البيانات الحالية. ونتيجة لذلك، نتعامل ببساطة مع \(\beta\) كمعلمة حرة، على الرغم من أنه يمكن حسابها في أي سيناريو تضخم محدد جيداً. ومع ذلك، لاحظ أنه لا يجب أن يكون كبيراً - حتى لو كان \(\beta< 10^{-10}\)، قد يكون لا يزال لدينا مرحلة طويلة من الهيمنة المادية، بشرط أن يكون \(\Einit\) في الطرف الأدنى من النطاق المسموح به.

تحتوي التحليلات هنا على عدد من الافتراضات المبسطة. ومع ذلك، فإن هذه لا تؤثر على استنتاجنا الأساسي، وهو أن خلفية موجات الجاذبية ذات التردد العالي التي تولدها إشعاعات هوكينغ هي التوقيع الوحيد لمجموعة الثقوب السوداء البدائية التي تتحلل بسرعة والتي بالتأكيد تبقى حتى العصر الحالي.

الشُّكْرُ وَالتَّقْدِيرُ

نشكر دي-تشانغ داي، أندرو ليدل، دايسوكي ناغاي، دون بيج وديجان ستوجكوفيتش على المناقشات. يدعم RE جزئياً من قبل وزارة الطاقة الأمريكية، منحة DE-FG02-92ER-40704 وبواسطة جائزة NSF Career Award PHY-0747868.