latex
مُشْكِلَة \(3x+1\) الشَّهِيرَة لِL. Collatz لا تَحْتاج إِلَى مُقَدِّمَة؛ وَمَعَ ذٰلِكَ، يَتَنَاوَل هٰذا البَحْث مُشْكِلَة سابِقَة أَقَلَّ شُهْرَة وَلَم تُحَل بَعْد: التَخْمِين الأَصْلِي لكولاتز، أَو OCC (Lag85).
نُوَضِّح أَنَّ المُشَغِّل الحِسابِيّ الأَساسِيّ في OCC، عِنْدَ دَمْجه مَعَ تَقَاطُع J.-Y. Girard من نِظامِهِ للهَنْدَسَةِ التَفاعُلِيَّة (GOI1, GOI2)، يُؤَدِّي إِلَى تَحْقِيق مَجْمُوعَة R. Thompson \(\mathcal F\) كَدَوالٍّ تَطابُقِيَّة، بِمَعْنَى J. Conway (JC72).
نُقَدِّم أَيْضاً النَظَرِيَّة الفِئَوِيَّة الكامِنَة الَّتِي تُفَسِّر ذٰلِكَ، وَنَصِف المُشَغِّل الأَساسِي في OCC كَتَطابُق تَماسُكِي قِياسِي.
نَبْدَأ بِفَرْضِيَّة كولاتز الأَصْلِيَّة، كَما وَرَدَت في (Lag85).
نَرْمُز لِلمَجْمُوعَةِ المُتَنَاظِرَة عَلَى \(\mathbb N\) بـ\(\SN\)، وَنُعَرِّف تَحْوِيل كولاتز الأَصْلِي \(\rho\in \SN\) بـ\(\rho (n) = \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} \frac{2n}{3} & & n\ (mod\ 3) = 0, \\ \vspace{0.3em} \frac{4n-1}{3} & & n \ (mod \ 3) = 1, \\ \vspace{0.3em} \frac{4n+1}{3} & & n \ (mod \ 3) = 2. \end{array}\right.\)
النِقاط الثابِتَة الوَحِيدَة لِ\(\rho\) هِيَ \(\{ 0,1\}\subseteq \mathbb N\)، وَمَدارات جَمِيع \(\{ 0,\ldots , 9 \} \setminus \{ 8\}\) مَحْدُودَة.
الجَبْر الأَوَّل يُعْطِي \(\{0,1\}\) كَحُلُول فَرِيدَة لِ\(\rho(n)=n\). بِالحِساب المُباشِر، \(2\rightarrow 3 \rightarrow 2\) وَ \(4\rightarrow 5\rightarrow 7\rightarrow 9\rightarrow 6\rightarrow 4\) هِيَ مَدارات مَحْدُودَة.
كَمَا وَرَدَ في (Lag85)، ظَهَرَ التَحْوِيل أَعْلاه في دَفاتِر غَيْرِ مَنْشُورَة لكولاتز، بِتارِيخ \(1^{st}\) مايُو، 1932، كَجَوْهَر الفَرْضِيَّة التالِيَة (غَيْرِ المَحْلُولَة حالِيّاً):
مَدار العَدَد \(8\) تَحْت \(\rho\) لا نِهائِي.
نَجْمَع بَيْن المُشَغِّل الأَساسِي لِفَرْضِيَّة كولاتز الأَصْلِيَّة مَعَ نَمُوذَج التَقَاطُع المَنْطِقِي الَّذِي يَسْتَخْدِمُه جان-إِيف جيرارد (GOI1, GOI2). كَمَا أُشِير في (PHD, HA, AHS)، كان نِظام جيرارد يَعْتَمِد عَلَى الزُمْرَة الجُزْئِيَّة \(\mathcal I(\mathbb N)\) لِلتَّحْوِيلات الجُزْئِيَّة عَلَى \(\mathbb N\)؛ نَحْنُ نَقْتَصِر عَلَى الزُمْرَة الفَرْعِيَّة \(\SN\subseteq \mathcal I(\mathbb N)\).
تَقَاطُع جيرارد هُوَ الدالَّة \(\_\star \_ : \SN\times \SN\rightarrow \SN\) المُعْطاة بـ\((a\star b)(n) = \left\{ \begin{array}{lcr}
\vspace{0.3em}
2.a\left( \frac{n}{2}\right) & \ \ & n \ \mbox{even,} \\
2.b\left( \frac{n-1}{2}\right)+1 & \ \ & n \ \mbox{odd.} \\
\end{array} \right.\)
مِن المَعْرُوف (مثلاً PHD, HA, AHS) أَنَّ هٰذِهِ دالَّة تُشْبِه حقنيه.
يَنْظُر مَفْهُوم OCC إِلَى مَدارات الأَعْداد الطَبِيعِيَّة تَحْت التَحْوِيل \(\rho\). نُقُوم بتعديل \(\rho\) بِوَظِيفَة الإزاحة / عَكْسِها (المُعَرَّفَة جُزْئِيّاً) لِلتَخَلُّص مِن التَفاهَة \(\rho(0)=0\)، وَلٰكِن لِلحِفاظ عَلَى سُلُوك جَمِيع المَدارات الأُخْرَى:
[rcb-def] نُعَرِّف التَحْوِيل المُخَفَّض لكولاتز \(\lambda\in \SN\) بِأَنَّ \(\lambda(n)=\rho(n+1)-1\). هٰذا تَحْوِيل مُحَدَّد جَيِّداً عَلَى \(\mathbb N\)، نَظَراً لِأَنَّ \(\rho(0)=0\). تَوْسِيع التَعْرِيف يُعْطِي صِيغَة صَرِيحَة: \[\lambda (n) = \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} \frac{4n}{3} & & n\ (\text{mod}\ 3) = 0, \\ \vspace{0.3em} \frac{4n+2}{3} & & n \ (\text{mod} \ 3) = 1, \\ \vspace{0.3em} \frac{2n-1}{3} & & n \ (\text{mod} \ 3) = 2. \end{array}\right.\] بِناءً عَلَى التَعْرِيف، \( \lambda^K(n)=\rho^K(n+1)-1\)، لِذٰلِكَ فَإِنَّ الأَسْئِلَة حَوْل المَدارات غَيْر التافِهَة لِ\(\rho\) وَتِلْكَ الخاصَّة بـ\(\lambda\) قابِلَة للتَبَادُل؛ يُصْبِح مَفْهُوم OCC بَعْد ذٰلِكَ الفَرْضِيَّة الَّتِي تَقُول بِأَنَّ مَدار العَدَد 7 تَحْت \(\lambda\) لا نِهائِي.
[noCoincidence-lem] \(\lambda\neq\rho\)، وَ\(\lambda(n)=\rho(n) \ \Leftrightarrow \ n=0\)، لِجَمِيع \(n\in \mathbb N\).
بِشَكْل بَدِيهِي، \(\lambda\neq\rho\). كِتابَة الحالات الثَلاث بِشَكْل مُنْفَصِل تُعْطِي \[\lambda(n)\ = \ \left\{ \begin{array}{lcr} 4n/3 & \ \ \ \ n=3M \ \ \ \ & 2n/3 \\ % & & \\ (4n+2)/3 & \ \ \ \ n=3M+1 \ \ \ \ & (4n-1)/3\\ % & & \\ (2n-1)/3 & \ \ \ \ n=3M+2 \ \ \ \ & (4n+1)/3 \\ \end{array}\right\} \ = \ \rho(n)\] مِمّا يُعْطِي، عَلَى التَوالِي، \(n=0\)، تَناقُض، وَ \(n=-1\notin \N\).
يُمْكِن إِعْطاء معكوسات \(\lambda,\rho\in \SN\) بِشَكْل صَرِيح كَما يَلِي: \[\lambda ^{-1}(n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} \frac{3n}{4} & n \ (mod \ 4) = 0, \\ \vspace{0.3em} \frac{3n-2}{4} & n \ (mod \ 4)=2, \\ \frac{3n+1}{2} & n \ \mbox{ فَرْدِي,} \end{array} \right. \ \mbox{ وَ } \ \rho^{-1} (n) = \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} \frac{3n}{2} & & n\ (mod\ 2) =0, \\ \vspace{0.3em} \frac{3n+1}{4} & & n \ (mod \ 4) = 1, \\ \frac{3n-1}{4} & & n \ (mod \ 4) = 3. \end{array}\right.\] تَرْكِيب التَحْوِيل المُخَفَّض لكولاتز مَعَ مَعْكُوس التَحْوِيل الأَصْلِي لكولاتز يُنْتِج تَحْوِيلًا سَبَقَ رُؤْيَتُه في نَظَرِيَّة الفِئات وَالمَنْطِق:
[assoc-def] نُعَرِّف المُقْتَرِن \(\alpha\in \SN\) بِأَنَّه \(\alpha=\lambda\rho^{-1}\in \SN\)؛ بِمَعْنًى آخَر، \(\alpha(n) = \rho(\rho^{-1}(n) +1)-1\). تَوْسِيع التَعْرِيف يُعْطِي: \[\alpha (n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} 2n & n\ (mod \ 2)=0, \\ \vspace{0.3em} n+1 & n \ (mod \ 4) =1, \\ \frac{n-1}{2} & n \ (mod \ 4) =3, \end{array} \right. \ \ \mbox{ وَ } \ \ \alpha^{-1}(n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} \frac{n}{2} & n \ (mod \ 4) = 0, \\ \vspace{0.3em} n-1 & n \ (mod \ 4) = 2, \\ 2n+1 & n \ (mod \ 2) = 1. \end{array}\right.\]
يُمْكِننا التَفْكِير في المُقْتَرِن عَلَى أَنَّه “التَحْوِيل المُخَفَّض لكولاتز، مَرْكَب مَعَ مَعْكُوس التَحْوِيل الأَصْلِي”. بِالمُقارَنَة مَعَ أَيٍّ مِن تَحْوِيلات كولاتز، فَإِنَّ مَدارات الأَعْداد الطَبِيعِيَّة تَحْت المُقْتَرِن سَهْلَة التَوْصِيف جِدًّا.
[assocOrbits-lem] لِلمُقْتَرِن نُقْطَة ثابِتَة فَرِيدَة، \(\alpha(0)=0\). مَدار كُل \(n>0\in\mathbb N\) لَهُ حَدٌّ أَدْنَى مَحَلِّي واحِد إِذا وَفَقَط إِذا كان \(n>0\) زَوْجِيًّا؛ لا يُوجَد مَدار لَهُ حَدٌّ أَقْصَى مَحَلِّي، وَبِالتالِي فَإِنَّ مَدار كُل \(n>0\) لا نِهائِي.
مِن الأَسْهَل (لٰكِنَّه مُكافِئ) إِثْبات ذٰلِكَ لِلمَعْكُوس، \(\alpha^{-1}=\rho\lambda^{-1}\).
بَدِيهِيًّا، \(\alpha^{-1}(0)=0\)؛ هٰذِهِ فَرِيدَة، حَيْثُ أَنَّ \(\alpha^{-1}(n)=n \ \Leftrightarrow \ r(n)=l(n)\)، مِمّا يَتَناقَض مَعَ الليما [noCoincidence-lem] لِجَمِيع \(n\neq 0\). عِنْدَما يَكُون \(n\in \mathbb N\) فَرْدِيًّا، \(\alpha^{-1}(n)= 2n+1>n\)؛ وَهُوَ بِدَوْرِهِ فَرْدِيّ. وَبِالتالِي، \(n< \alpha^{-1}(n)\) لِأَي \(n\) فَرْدِي. عِنْدَما يَكُون \(n>0\) زَوْجِيًّا، \(\alpha^{-1}(n)<n\) قَد يَكُون زَوْجِيًّا أَو فَرْدِيًّا، وَلٰكِن لا يُمْكِن أَن يَكُون صِفْرًا لِأَن \(\alpha^{-1}\) هُوَ تَحْوِيل. وَبِالتالِي، أَي مَسار يَبْدَأ بِعَدَد زَوْجِي غَيْر صِفْرِي يَنْخَفِض حَتَّى يَصِل إِلَى عَدَد فَرْدِي (الحَدِّ الأَدْنَى المَحَلِّي)، وَمِن ثُمَّ يَزْداد بِلا حُدُود.
كُل مَدار مَحْدُود يَصِل إِلَى حَدٍّ أَقْصَى وَأَدْنَى؛ وَبِالتالِي فَإِنَّ المَدار الوَحِيد المَحْدُود تَحْت \(\alpha^{-1}\) (وَبِالتالِي تَحْت \(\alpha\)) هُوَ النُقْطَة الثابِتَة \(\alpha^{-1}(0)=0=\alpha(0)\).
تَقَاطُع جيرارد وَالمُقْتَرِن (وَبِالتالِي التَحْوِيل الأَصْلِي لكولاتز) مُرْتَبِطانِ بِخاصِّيَّتَيْن أَكْثَر شُيُوعًا في نَظَرِيَّة الفِئات:
[nat-lemma] \(\alpha (f\star (g\star h)) \ = \ ((f\star g)\star h) \alpha\), لِجَمِيع \(f,g,h\in\SN\).
الحِساب المُباشِر يُعْطِي، لِجَمِيع \(n\in \N\), \[\alpha (f\star (g\star h)) (n) \ = \ ((f\star g)\star h) \alpha (n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lcr} 4f\left(\frac{n}{2}\right) & \ \ & n\ (mod \ 2) =0 \\ 4g\left(\frac{n-1}{4}\right)+2 & \ \ & n\ (mod \ 4) =1 \\ 2h\left(\frac{n-3}{4}\right)-1 & \ \ & n\ (mod \ 4) =3 \\ \end{array}\right.\]
مَوْضُوع دِراسَة هامّ في نَظَرِيَّة المَجْمُوعات التوافقيَّة هُوَ مَجْمُوعَة تومسون \(\mathcal F\)؛ نُشِير إِلَى (CFP,MB96) لِلحُصُول عَلَى نَظْرَة عامَّة. لَهَا العَدِيد مِن التَحْقِيقَات العَمَلِيَّة؛ نَبْدَأ بِتَعْرِيف مُجَرَّد كَمُوَلِّدات وَعَلاقات.
[F-def] مَجْمُوعَة تومسون \(\mathcal F\) تُوَلَّد بِواسِطَة المَجْمُوعَة \(\{ x_j \}_{j\in \mathbb N}\) مَعَ العَلاقات \(x_i^{-1} x_j x_i = x_{j+1}\)، لِكُل \(i<j\). مِن المَعْرُوف (مثلاً (CFP)) أَنَّ هٰذِهِ لَيْسَت مَجْمُوعَة مَوْلِّدَة دنيا؛ المَجْمُوعَة الفَرْعِيَّة \(\{x_0,x_1\}\) تُوَلِّد كَامِل \(\mathcal F\)، وَلٰكِنَّ العَلاقات المَطْلُوبَة أَقَل بَدِيهِيَّة.
المَجْمُوعَة الَّتِي تُوَلَّد بِواسِطَة \(\{ \alpha \ ,\ Id\star \alpha \}\) مُتَماثِلَة مَع \(\mathcal F\).
نُعَرِّف \(\{ X_k \}_{k\in \mathbb N}\subseteq \SN\) بِواسِطَة \(X_0=\alpha\) وَ\(X_{j+1}=Id \star X_j\)، لِكُل \(j>0\). بِما أَنَّ \((\_ \star \_)\) هُوَ تَماثُل جَماعِي، القاعِدَة [nat-lemma] (الطَبِيعِيَّة) تُوحِي \[\alpha (Id\star (Id\star f)) \alpha^{-1} \ =\ (Id\star Id) \star f \ = \ Id \star f \ \ \ \ \forall f\in \SN\] عِنْدَ تَطْبِيق هٰذا عَلَى التَعْرِيف الاِسْتِقْرائِي لِ\(X_j\) يُعْطِي \(X_j = X_i X_{j+1}X_i^{-1}\)، لِكُل \(i<j\)، وَبِالتالِي المَجْمُوعَة الفَرْعِيَّة مِن \(\SN\) الَّتِي تُوَلَّد بِواسِطَة \(\{ X_j\}_{j\in \mathbb N}\) هِيَ صُورَة تُماثُلِيَّة لِ\(\mathcal F\)، مُعْطاة بِواسِطَة \(x_j\mapsto X_j\)، لِكُل \(j\in \mathbb N\). ثُمَّ نَسْتَنْتِج مِن الخاصِّيَّة المَعْرُوفَة (مثلاً (CFP)) أَنَّ كُل صُورَة تُماثُلِيَّة كَهٰذِهِ إِمّا أَن تَكُون جَماعِيَّة أَو مُتَماثِلَة مَع \(\mathcal F\) نَفْسِها، لِنَسْتَنْتِج أَنَّ هٰذِهِ المَجْمُوعَة الفَرْعِيَّة مُتَماثِلَة مَع \(\mathcal F\).
أَخِيراً، عَرْض القاعِدَة [F-def] لَيْسَ دنيا وَ\(\{ x_0,x_1 \}\) يَكْفِي لِتَوْلِيد كُل \(\mathcal F\)؛ يَتْبَع نَتِيجَتنا.
نُشِير إِلَى المَجْمُوعَة الفَرْعِيَّة مِن \(\SN\) الَّتِي تُوَلَّد بِواسِطَة \[\alpha (n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} {2n} & { n} \ (mod \ 2) = 0 \\ \vspace{0.3em} n+1 & n \ (mod \ 4) =1 \\ \frac{n-1}{2} & n \ (mod \ 4) =3 \end{array} \right. \ \ \ \ (Id\star \alpha) (n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} n & n \ (mod \ 2) = 0 \\ \vspace{0.3em} 2n-1 & n \ (mod \ 4)=1 \\ \vspace{0.3em} n+2 & n \ (mod \ 8) =3 \\ \frac{n-1}{2} & n \ (mod \ 8) =7 \end{array} \right.\] بِاِعْتِبارِها تَحْقِيق تَوافُقِي لِ\(\mathcal F\).
يُمْكِننا التَفْكِير في \((Id\star \alpha)\) كـ”تَكْرار \(\alpha=\rho \left( \rho^{-1}(n)+1\right)-1\) عَلَى الأَعْداد الفَرْدِيَّة فَقَط”. مِن خِلال البِناء، يُمْكِننا كِتابَة مُوَلِّدات هٰذا التَحْقِيق لِ\(\mathcal F\) بِناءً عَلَى التَحْوِيل الأَصْلِي لكولاتز، كَما يَلِي: \[n\ \mapsto \ \rho \left( \rho^{-1}(n)+1\right)-1 \ \ \mbox{وَ} \ \ n \mapsto \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} n & & n \ \mbox{even,} \\ 2 . \rho \left( \rho^{-1} \left( \frac{n-1}{2} \right) +1 \right) -1 & \ \ & n \ \mbox{ odd.} \end{array} \right.\]
نُلاحِظ أَنَّ هٰذا التَحْقِيق لِ\(\mathcal F\) يُمْكِن أَيْضًا أَن يُسْتَنْتَج مِن التَحْقِيق الَّذِي قَدَّمَه إِم.فِي. لوسون في (MVL06) مِن حَيْث الأُحادِيَّات الدَوْرِيَّة لِنَظَرِيَّة النِصْف مَجْمُوعات العَكْسِيَّة (MVL)، بِالاِعْتِماد عَلَى تَمْثِيل حِسابِي مُشْتَرَك وَمَعْرُوف لِهٰذِهِ النِصْف مَجْمُوعات العَكْسِيَّة (NP).
في (KB)، يَصِف ك. براون تَماثُل جَماعِي حَقْنِي \(\mu : \mathcal F \times \mathcal F \rightarrow \mathcal F\) وَهُوَ “متجمع حَتَّى التَقَارُن بِواسِطَة [المُوَلِّد] \(x_0\)”، لِذٰلِكَ \[\mu(\mu(a,b),c) \ = \ x_0 \mu(a , \mu(b,c)) x_0^{-1} \ \ \ \ \forall \ a,b,c\in \mathcal F\] هٰذِهِ بِالطَبْع خاصِّيَّتَا الطَبِيعِيَّة لِلقاعِدَة [nat-lemma]، وَالمُوَلِّد \(x_0\) في التَحْقِيق التوافقي هُوَ بِالضَبْط المُقْتَرِن، المُشْتَق مِن التَحْوِيل الأَصْلِي لكولاتز. بِالتالِي، يُمْكِننا تَحْدِيد تَقَاطُع جيرارد (عِنْد تَقْيِيده بِهٰذا التَحْقِيق لِ\(\mathcal F\)) مَعَ تَماثُل براون، وَنَسْتَنْتِج أَنَّ التَحْقِيق التوافقي لِ\(\mathcal F\) مُغْلَق تَحْت تَقَاطُع جيرارد.
المُصْطَلَحات المَذْكُورَة أَعْلاه تَعْتَمِد عَلَى التَعْرِيف التالِي لِجون كونواي:
[cf-def] دالَّة \(f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N\) تُعْتَبَر تَطابُقِيَّة عِنْدَما يُوجَد مَجْمُوعَة مُفَهْرَسَة \(\{ (x_j,y_j) :x_j,y_j<K \}_{j=0,\ldots,K-1}\) بِحَيْث \(f(Km+i) \ = \ x_jm+y_j\).
النَتِيجَة الرَئِيسِيَّة لكونواي (JC72) (أَنْظُر أَيْضًا (SM)) – وَالَّتِي تَقُول بِأَنَّ الحِساب العام يُمْكِن التَعْبِير عَنه مِن خِلال مَشاكِل تَكْرارِيَّة بَسِيطَة عَلَى الدوال التَطابُقِيَّة – تَمَّ تَنْقِيحها وَتَبْسِيطها لاحِقًا بِواسِطَة إِس. بوركل (SB)، الَّذِي اِسْتَخْدَم مَجْمُوعَة فَرْعِيَّة صارِمَة مِن دَوال كونواي.
يُمْكِن التَحَقُّق بِسُهُولَة مِن أَنَّ التباديل \(\rho, \lambda\), وَ \(\alpha\) هِيَ تَطابُقِيَّة، وَهٰذِهِ الخاصِّيَّة مَحْفُوظة تَحْت التَرْكِيب، العَكْس، وَتَقَاطُع جيرارد. إِن تَحْقِيق \(\mathcal F\) المَذْكُور أَعْلاه كَدَوال تَطابُقِيَّة هُوَ بِالفِعْل تَحْقِيق كَذٰلِكَ.
يَبْقَى وَصْف بِنْيَة مَجْمُوعَة التباديل التَطابُقِيَّة الَّتِي تُوَلَّد بِواسِطَة \(\{ \lambda,\rho,(Id\star \lambda),(Id\star\rho)\}\). هٰذا يُفْتَرَض أَنَّه غَيْر تافِه، وَلٰكِنَّه يَسْتَحِق الدِراسَة؛ يَنْشَأ مُباشَرَة مِن النِظام المَرْكَزِي المَفْتُوح وَيَحْتَوِي عَلَى \(\mathcal F\) لتومسون بِطَرِيقَة طَبِيعِيَّة. قَد تَسْتَنْتِج بَعْض الهُوِيَّات الَّتِي تُلَبِّيها هٰذِهِ المَجْمُوعَة بِطَرِيقَة تَصْنِيفِيَّة، مِن الشَكْل [pentagram-fig].
السَبَب في أَنَّ المَواضِيع الَّتِي تَبْدُو مُخْتَلِفَة بِشَكْل واضِح (تَخْمِين كولاتز، مَنْطِق جيرارد الخَطِّي، \(\mathcal F\) لتومسون) مُرْتَبِطَة هُوَ تَصْنِيفِي. جَمِيع العَمَلِيَّات الحِسابِيَّة الرَئِيسِيَّة (تَحْوِيل كولاتز، تَحْوِيل كولاتز المُخَفَّض، وَالمُقْتَرِن) هِيَ isomorphisms canonical، فِي مَعْنَى التَماسُك التَصْنِيفِي. عِلاوَة عَلَى ذٰلِكَ، تَقَاطُع جيرارد (أَو تَجانُس براون) هُوَ tensor تَصْنِيفِي، وَقَد عُرِف \(\mathcal F\) لتومسون مُنْذُ تَقْدِيمِه أَنَّ لَهُ عَلاقات وَثِيقَة مَعَ نَظَرِيَّة التَماسُك المَشْهُورَة لِمَأْكَلَيْنِ لِلاِرْتِباط (PD96).
نَصِف الآن الهَياكِل الَّتِي تَتَوَسَّط التَحْوِيلات الَّتِي دَرَسْناها فِي التَماسُك.
(نَفْتَرِض الإِلْمام بِأَساسِيَّات نَظَرِيَّة التَصْنِيف، نَظَرِيَّة تَماسُك مَأْكَلَيْنِ للارتباطية (MCL, GMK)، وَالعَلاقَة بَيْن التَماسُك وَمُتَعَدِّد السُطُوح الارتباطي لستاشيف (JLL).)
مِن المَعْرُوف، عَلَى الأَقَل في بَعْض مَجالات نَظَرِيَّة التَصْنِيف، أَنَّ مَجْمُوعَة تومسون \(\mathcal F\) تَصِف التَماسُك للارتباطية في السِياق التالِي:
تَطْلُب مِن الفِئَة شِبْهِ التجميعية \((\mathcal C,\otimes)\) أَن تُلَبِّي جَمِيع مُسَلَّمات مَأْكَلَيْنِ / كِيلِي لِفِئَة تَجْمِيعِيَّة بِاِسْتِثْناء وُجُود عُنْصُر وَحْدَة، لِذٰلِكَ يُوجَد تَطابُق طَبِيعِي بَيْن المُرافِق \[(\_ \otimes (\_ \otimes \_)) \ \ , \ \ ((\_ \otimes \_ ) \otimes \_ ) \ : \ \mathcal C \times \mathcal C \times \mathcal C \rightarrow \mathcal C\] وَمُكَوِّناتِها \(\{ \tau_{A,B,C} : A\otimes (B \otimes C) \rightarrow (A\otimes B) \otimes C \}_{A,B,C\in Ob(\mathcal C)}\) (المُرْتَبِطات المُفَهْرَسَة بالكائنات) تُلَبِّي شَرْط مَأْكَلَيْنِ الخُماسِي \[( \ \tau_{A,B,C}\otimes Id_D) \ \tau_{A,B\otimes C,D} \ (Id_A \otimes \tau_{B,C,D}) \ = \ \tau_{A\otimes B,C,D} \ \tau_{A,B,C\otimes D}\] يُمْكِن أَن تَكُون الفِئَة ذات الكائن الوَحِيد (أَي الزُمْرَة) \(\mathcal M\) شِبْهِ تَجْمِيعِيَّة، دُون أَن يُطْلَب مِن كائنها الفَرِيد أَن يَكُون كائن وَحْدَة. في هٰذا السِياق، سَيَكُون لِلتَحْوِيل الطَبِيعِي المطلوب مُكَوِّن فَرِيد (مُرْتَبِط) \(\tau\in \mathcal M\)، وَيُصْبِح شَرْط مَأْكَلَيْنِ الخُماسِي \(\tau^2=(\tau\otimes Id)\tau(Id\otimes \tau)\).
نُشِير إِلَى (K, JK) لِنَظَرِيَّة الفِئات شِبْهِ التجميعية، وَإِلَى (TAC, JHRS) لِلأَعْداد النَظَرِيَّة لِلزُمْرَة. التالِي مَعْرُوف جَيِّدًا:
[noSS-thm] لِتَكُن \((M,\star)\) زُمْرَة شِبْهِ تَجْمِيعِيَّة حَيْث المُرافِق (التَجانُسات) \((Id_M\star \_),(\_ \star Id_M):M\rightarrow M\) مُخْلِصَة. إِمّا أَنَّ
المُرْتَبِط لِ \(\_\star\_\) هُوَ الهُوِيَّة \(Id\in M\)، وَفِي هٰذِهِ الحالَة يَكُون الكائن الفَرِيد لِ \(M\) (اِسْتِرْجاع لِ) كائن الوَحْدَة لِ \(\_\star\_\)، أَو
مَجْمُوعَة جَمِيع التَطابُقات الارتباطية القِياسِيَّة هِيَ مَجْمُوعَة مُتَماثِلَة مَعَ مَجْمُوعَة تومسون \(\mathcal F\).
الجُزْء الأَوَّل قُدِّم في (JHRS). لُوحِظ الجُزْء الثانِي بِشَكْل مُسْتَقِل مِن قِبَل العَدِيد مِن الباحِثِينَ. يُعْطَى سَرْد تارِيخِي مَعَ بُرْهان (دُون المُطالَبَة بِالأَصالَة) في (OCL). تَشْمَل المُساهَمات الرَئِيسِيَّة، وَلٰكِن لا تَقْتَصِر عَلَى، (MVL06, JHRS, FL, MB96, PD96)؛ لَم تُصَغ جَمِيع هٰذِهِ المَراجِع تَصْنِيفِيًّا.
تَقَاطُع جيرارد \(\_ \star \_\) هُوَ تَنسور عَلَى \(\SN\)، وَتَطابُق ارتباطيته الفَرِيد هُوَ المُرْتَبِط \(\alpha\in\SN\) مِن التَعْرِيف [assoc-def].
هٰذا مَعْرُوف جَيِّدًا (أَنْظُر (PHD, AHS)) مَعَ صِيَغ جَبْرِيَّة / حِسابِيَّة وَحَدِيَّة مُعْطاة في (RC). لاحِظ أَنَّ أَيًّا مِن هٰذِهِ المَراجِع لَم يُلاحِظ التَحَلُّل إِلَى التَطابُق مِن فَرْضِيَّة كولاتز الأَصْلِيَّة.
كَنَتِيجَة لِذٰلِكَ، قَد نُعْطِي العَلاقَة بَيْن تَقَاطُع جيرارد وَالمُرْتَبِط كَمُخَطَّط خُماسِي متداخل (خُماسِي مَأْكَلَيْنِ) – المُخَطَّط الفَرْعِي المَعْرُوض في الأَحْمَر؛ تَشْتَق الهُوِيَّات المَطْلُوبَة لِهٰذا المُخَطَّط الفَرْعِي جَبْرِيًّا أَيْضًا في (RC).
نُلاحِظ أَنَّ الليما [noCoincidence-lem] قَد تُسْتَنْتَج تَصْنِيفِيًّا مِن النَظَرِيَّة [noSS-thm]؛ سَتَعْنِي الهُوِيَّة \(\lambda=\rho\) أَنَّ تَقَاطُع جيرارد كان تَنسورًا صارِمًا ارتباطيًّا عَلَى \(\SN\)، وَبِالتالِي أَنَّ \(\SN\) كان زُمْرَة تَبادُلِيَّة – تَناقُض!
بَدَلًا مِن ذٰلِكَ، قَد نَسْتَخْدِم تَحْلِيل هٰذا المُرْتَبِط مِن حَيْث التَطابُق البيجكتيفي لكولاتز، \(\alpha=\lambda\rho^{-1}\)، لِتَحْلِيل كُل حافَة مِن خُماسِي مَأْكَلَيْنِ؛ بِالاِعْتِماد عَلَى الدالِيَّة للتنسور، يُعْطِي هٰذا الحَواف الإِضافِيَّة المَعْرُوضَة في الأَخْضَر. بِناءً عَلَى التَصْمِيم، يَتَداخَل المُخَطَّط الفَرْعِي مَعَ الحَواف الحَمْراء وَ الخَضْراء.
نُقَدِّم حِسابًا تَصْنِيفِيًّا لِهٰذا التَحْلِيل:
[star3-def] نُعَرِّف التَجانُس \((\_ \star \_ \star \_):\SN^{\times 3}\rightarrow \SN\) بـ\[(f\star g\star h)(n) \ = \ \left\{\begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} 3f\left( \frac{n}{3} \right) & \ \ & n \ (mod \ 3) = 0 \\ \vspace{0.3em} 3g\left( \frac{n-1}{3} \right)+1 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 1 \\ %\vspace{0.3em} 3h\left( \frac{n-2}{3} \right)+2 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 2 \\ \end{array}\right.\]
تُوجَد تَطابُقات طَبِيعِيَّة
\((\_ \star \_ \star \_ ) \Rightarrow ( (\_ \star \_) \star\_ )\)
\((\_ \star \_ \star \_ ) \Rightarrow ( \_ \star (\_ \star\_ ))\)
وَمُكَوِّناتِها الفَرِيدَة هِيَ
التَطابُق البيجكتيفي المُخَفَّض لكولاتز \(\lambda\in \SN\)
التَطابُق البيجكتيفي الأَصْلِي لكولاتز \(\rho\in \SN\)
عَلَى التَوالِي.
يَتْبَع هٰذا بِحِساب مُباشِر؛ نُلاحِظ أَنَّ \[\rho(f\star g\star h)(n) = (f\star(g\star h))\rho^{-1}(n) = \left\{\begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} 2f\left( \frac{n}{3} \right) & \ \ & n \ (mod \ 3) = 0 \\ \vspace{0.3em 4g\left( \frac{n-1}{3} \right)+1 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 1 \\ %\vspace{0.3em 4h\left( \frac{n-2}{3} \right)+3 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 2 \\ \end{array}\right.\] وَبِالمِثْل \[\lambda(f\star g\star h)(n) = ((f\star g)\star h)\lambda^{-1}(n) = \left\{\begin{array}{lcr} \vspace{0.3em 4f\left( \frac{n}{3} \right) & \ \ & n \ (mod \ 3) = 0 \\ \vspace{0.3em 4g\left( \frac{n-1}{3} \right)+2 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 1 \\ %\vspace{0.3em 2h\left( \frac{n-2}{3} \right)+1 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 2 \\ \end{array}\right.\]
نُشِير بـ\(({\bf Grp},\times )\) إِلَى الفِئَة التجميعية (الارتباطية الصارِمَة) لِلمَجْمُوعات وَالتَجانُسات مَعَ الجِداء الديكارتي، وَنُشِير إِلَى الأوبراد النِهائِي لِ \(\SN\) بـ\(Endo(\SN)\).
[freeOperad-lem] كُلًّا مِن \((\_\star \_):\SN^{\times 2}\rightarrow \SN\) وَ\((\_\star \_\star\_):\SN^{\times 3}\rightarrow \SN\) هُما عَمَلِيَّات في \(Endo(\SN)\)، والأوبراد الفَرْعِي الَّذِي يُوَلِّدُونَه يُوَلَّد بِحُرِّيَّة.
يُمْكِن التَحَقُّق مِن العَمَلِيَّات حَتَّى الرُتْبَة 5 بِحِساب مُباشِر. الإلحاق والاِسْتِدْلال الطَبِيعِي يُعْطِيان الحالَة العامَّة.
مُكَوِّن التَطابُق الطَبِيعِي مِن \((\_ \star (\_ \star \_ ))\) إِلَى \(((\_ \star \_ )\star \_ )\) يُعْطَى بِتَرْكِيب مُكَوِّنات:
التَطابُق الطَبِيعِي مِن \((\_ \star (\_ \star \_ ))\) إِلَى \((\_ \star \_ \star \_ )\)
التَطابُق الطَبِيعِي مِن \((\_ \star \_ \star \_ )\) إِلَى \(((\_ \star \_) \star \_ )\)
وَبِالتالِي \(\alpha = \lambda\rho^{-1}\).
يُمْكِننا أَيْضًا إِضافَة حَواف بَيْن “المُثَلَّثات الداخِلِيَّة” لِلشَكْل [pentagram-fig]، بِبَساطَة عَن طَرِيق أَخْذ المَرْكَبَات عَلَى طُول المَسارات بِاللَوْن الأَخْضَر، لِنُعْطِي الخُماسِي المتداخل المُوَضَّح بِاللَوْن الأَزْرَق. إِمّا عَن طَرِيق البِناء، أَو الحِساب المُباشِر، أَو كَنَتِيجَة لِلقَضِيَّة [freeOperad-lem]، يَتِم تَوَاصُل الرَسْم البَيانِي بِأَكْمَلِهِ، بِحَواف بِاللَوْن الأَحْمَر، وَالأَخْضَر، وَالأَزْرَق بِشَكْل مُتَنَاسِق.
تَفْسِير خُماسِي مَأْكَلَيْنِ (المَسارات الحَمْراء) كَهَيْكَل عَظْمِي أَوَّل لَرُباعِي الأوجه الرابِع لستاشيف مَعْرُوف جَيِّدًا؛ حَيْثُ تَتَوافَق العُقَد مَعَ الرُؤُوس (أَي التقويس الثُنائِي الجَيِّد لأَرْبَعَة رُمُوز)، وَالحَواف تَتَوافَق مَعَ التَعْيِينات بَيْنها. في الشَكْل [pentagram-fig]، تَكُون التَسْمِيات عَلَى المَسارات الزَرْقاء (أَي الخُماسِي الداخِلِي) هِيَ المُكَوِّنات الفَرِيدَة لِلتَحْوِيلات الطَبِيعِيَّة بَيْن التَطْبِيقَات الحقنيه التالِيَة مِن \(\SN^{\times 4}\) إِلَى \(\SN\): \[\{ \ \ (\_ \star (\_ \star \_ \star \_ )) \ , \ ((\_ \star \_ \star \_ ) \star \_ ) \ , \ ((\_ \star \_ ) \star \_ \star \_ ) \ , \ (\_ \star (\_ \star \_ ) \star \_ ) \ , \ (\_ \star \_ \star (\_ \star \_ )) \ \ \}\] بِالطَبْع، يُمْكِننا تَفْسِير هٰذِهِ التَطْبِيقَات كَحَواف لِ \(\mathcal K_4\)، وَالمَسارات الزَرْقاء كَتَعْيِينات بَيْن حَواف الرُباعِي الأوجه الرابِع.
أَخِيرًا، نَحْتاج إِلَى تَقْدِيم تَفْسِير لِلمَسارات الخَضْراء. مَرَّة أُخْرَى، مِن خِلال تَفْسِيرها عَبْر الرُباعِي الأوجه الرابِع \(\mathcal K_4\)، يَجِب أَن نَفْهَم هٰذِهِ كـتَعْيِينات بَيْن الحَواف وَالرُؤُوس؛ فَهِيَ مُكَوِّنات التَحْوِيلات الطَبِيعِيَّة مِثْل \[(\_ \star (\_ \star (\_ \star \_ ))) \ \Rightarrow (\_ \star (\_ \star \_ \star \_ )) \ \ \ \ \mbox{مَعَ مُكَوِّن فَرِيد} \ \ Id \star \rho^{-1}\] وبالمِثْل، فَإِنَّها تَتَوافَق مَعَ حَذْف/إِدْراج زَوْج مُتَطابِق مِن الأَقْواس في سِلْسِلَة مِن أَرْبَعَة رُمُوز. هٰذا يُوَفِّر لَنا بِالتالِي تَفْسِير تَبادُلِي لكولاتز: فَهِيَ تُدْرِج زَوْجًا مُتَطابِقًا (مُرْتَبِطًا بِاليَمِين) مِن الأَقْواس في مِثْل هٰذِهِ السِلْسِلَة؛ تَبادُلِي كولاتز المُخَفَّض يُؤَدِّي نَفْس المُهِمَّة لِزَوْج مُرْتَبِط بِاليَسار. تَقُوم عكسياتها بِحَذْف مِثْل هٰذِهِ الأَزْواج المُتَطابِقَة مِن الأَقْواس.
تَتَعَلَّق فَرْضِيَّة كولاتز الأَصْلِيَّة بِنِقاط الثَبات لِقُوَى \(\rho\) — بِشَكْل ضِمْنِي، هِيَ مَبْنِيَّة عَلَى التَشابُه مِن \((\mathbb N , +)\) إِلَى \(\SN\) وَالَّذِي يُعْطَى بِواسِطَة \(n\mapsto \rho^n\). نَعْتَبِر \(\SN\) كَمَجْمُوعَة فَرْعِيَّة مُمَيَّزَة بِبَساطَة مِن المونويد المُتَماثِل العَكْسِي \(\IN\) وَنُقَدِّم التَعْرِيف التالِي:
نُعَرِّف تَشابُهات كولاتز اليُسْرَى وَاليُمْنَى كَتَشابُهات المونويد مِن \((\N,+)\) إِلَى \(\IN\) وَالَّتِي تُعْطَى بِواسِطَة \[\Cz_L(n)=\lambda^n \ \ \mbox{ وَ } \ \ \Cz_R(n)= \rho^n\]
تُوجَد تَحْوِيلَة طَبِيعِيَّة \(\Cz_L\Rightarrow \Cz_R\) وَالَّتِي يَكُون مُكَوِّنها الفَرِيد هُوَ دالَّة الإزاحة \(succ\in \IN\).
لِنُعِيد كِتابَة الهُوِيَّة الرَئِيسِيَّة لِلتَعْرِيف [rcb-def] كَالتالِي \(1+\left(\lambda\right)(n)=\rho(n+1)\)، لِكُل \(n\in \N\). ثُمَّ \(1+\left(\lambda^K\right)(n)=\rho^K(n+1)\) لِكُل \(k\in \N\), مِمّا يُعْطِي، لِكُل \(k\in \N\), \[succ .\Cz_R(k ) \ = \ \Cz_L(k ). succ \ \ \ \forall n\in (\mathbb N,+)\] كَما هُوَ مَطْلُوب.
وَبِالتالِي، تُوجَد تَحْوِيلَة طَبِيعِيَّة بَيْن تَشابُهات كولاتز اليُسْرَى وَاليَمِين، وَالَّتِي يَكُون مُكَوِّنها الفَرِيد هُوَ بِبَساطَة دالَّة الإزاحة.
لَم يَفُت القارِئ أَن يُلاحِظ أَنَّ التَطابُق الإيزومورفي، وَتَقَاطُع جيرارد، وَالتَعْرِيف [star3-def] يُعَمَّمُون إِلَى عائِلَة لا نِهائِيَّة قابِلَة للعَدّ مِن تَحْوِيلات الزُمْر المُفَهْرَسَة بـ\(\N^+\).
[stark-def] لِكُل \(k>0\)، نُعَرِّف \(\mu_{(k)}:\SN^{\times k}\rightarrow \SN\) لِيَكُون تَحْوِيل الزُمْر الإلحاقي المُعْطَى بـ، لِكُل \(F=(f_0,f_1,\ldots , f_{k-1})\in \SN^{\times k}\), \[\mu_{(k)}\left(F\right) (n) \ = \ k.f_{n \ (mod \ k)} \left( \frac{n - (n \ (mod \ k))}{k}\right)+ (n \ (mod \ k))\] مُعْطًى التَطابُق كـ\(Id_N=\mu_{(1)} : \SN\rightarrow \SN\)، وَتَقَاطُع جيرارد كـ\((\_ \star \_) =\mu_{(2)}:\SN\times \SN\rightarrow \SN\)، وَ\((\_ \star \_ \star \_) = \mu_{(3)}:\SN^{\times 3}\rightarrow \SN\)، …
بِشَكْل غَيْر رَسْمِي، \(\mu_{(k)}\left(F\right)\) يُكَرِّر عَمَل كُل عُنْصُر مِن \(\{ f_0 , f_1,\ldots ,f_{k-1} \}\) عَلَى العُنْصُر المُقابِل مِن نِظام التَغْطِيَة الدَقِيق \(\{ k\mathbb N + j \}_{j=0 .. k-1}\).
اِدِّعاؤنا – الَّذِي سَيَتِم تَبْرِيرُه في (PH22,PH22c) – هُوَ أَنَّ هٰذِهِ العائِلَة المُفَهْرَسَة مِن العَمَلِيَّات تُوَلِّد عَمَلِيَّة فَرْعِيَّة مِن \(Endo(\SN)\) مُتَطابِقَة مَعَ العَمَلِيَّة (الحُرَّة، الرَسْمِيَّة) \(RPT\) لِ’الأَشْجار المُسْتَوِيَة المتجذرة’، وَهٰذِهِ المُلاحَظَة تُتِيح لَنا تَقْدِيم مُخَطَّطات تَبادُلِيَّة لِلوَظائِف التَكافُؤِيَّة بَيْن جَوانِب مُتَعَدِّدَة الأَبْعاد مِن الاسوشيهدرا.
في هٰذا الإِعْداد، تُعْتَبَر التباديل الأَصْلِيَّة وَالمُخَفَّضَة لكولاتز \(\rho,\lambda\in \SN\) خاصَّة، حَيْثُ تُمَثِّل الاسوشيهدرون الثالِث – الَّذِي يَتَكَوَّن بِبَساطَة مِن رَأْسَيْن وَحافَة – كَما يَلِي: \[\begin{tikzcd} ( ( \bullet \bullet ) \bullet) & & ( \bullet \bullet \bullet ) \ar{ll}[swap]{\lambda} \ar{rr}{\rho} & & ( \bullet( \bullet \bullet ) ) \end{tikzcd}\] كَما نَحْنُ قادِرُون أَيْضًا عَلَى إِنْشاء تَضْمِينات تُحافِظ عَلَى التَسْمِيَة \(\mathcal K_a\hookrightarrow \mathcal K_{a+b}\)، لِكُل \(a,b\in \mathbb N\)، وَبِالتالِي قَد تُوجَد في مُخَطَّطات تَبادُلِيَّة عَلَى \(\SN\) مُشْتَقَّة مِن اسوشيهدرا ذات أَبْعاد مُتَعَدِّدَة.
وَصْف أَكْثَر تَفْصِيلًا لِهٰذا مَوْجُود في (PH22,PH22c)، اِسْتِنادًا إِلَى الجَبْر الأَساسِي المَوْصُوف في (PH22b).
عَلَى الرَغْم مِن أَنَّه لا يُوجَد إِنْسان هُوَ جَزِيرَة بِمُفْرَدِهِ، أُفَضِّل أَن أُضِيف الشُكْر – وَالَّذِي سَيَكُون كَثِيرًا – إِلَى النُسَخ النِهائِيَّة المَنْشُورَة مِن الأَوْراق.