latex
تُعطى الحلول التحليلية الدقيقة لثلاثة أقراص محدودة بكثافة سطحية \(\Sigma_n = \sigma_0 (1-R^2/\alpha^2)^{n-1/2}\) مع \(n=0, 1, 2\). تُقدَّم حلول مغلقة في الإحداثيات الأسطوانية باستخدام الدوال الأولية فقط لكل من الجهد الكهربائي والمجال الجاذبي لكل من هذه الأقراص.
القرص \(n=0\) هو الهومويد المسطح الذي له \(\Sigma_{hom} = \sigma_0/\sqrt{1-R^2/\alpha^2}\). تُقدَّم نتائج محسنة لهذا القرص. القرص \(n=1\) هو قرص Maclaurin الذي له \(\Sigma_{Mac} = \sigma_0 \sqrt{1-R^2/\alpha^2}\). قرص Maclaurin هو الحالة الحدية للجسم الكروي Maclaurin. يُستخرج جهد قرص Maclaurin هنا من خلال دمج جهد القرص \(n=0\) على مدى \(\alpha\)، مستفيدًا من خطية معادلة Poisson. أما القرص \(n=2\) فله كثافة سطحية \(\Sigma_{D2} = \sigma_0 (1-R^2/\alpha^2)^{3/2}\). يُستخرج الجهد من خلال دمج جهد القرص \(n=1\).
توفر ملاحظات المجرات المرصودة من الجانب معلومات بنيوية وحركية ثلاثية الأبعاد بتفصيل كبير. ومع ذلك، لم تكن المحاولات لاستخدام هذه البيانات لاستنتاج توزيع الكتلة ناجحة تمامًا. إحدى المشكلات هي صعوبة حساب الجهد ومتجهات القوة للأقراص المحدودة. هناك حاجة إلى أقراص محدودة محلولة بالكامل يمكن استخدامها في الدراسات النظرية، ومعايرة برامج الحاسوب، وكدوال أساسية لنمذجة الملاحظات ثلاثية الأبعاد مباشرة.
يُفترض في نمذجة الكتلة عادة أن كتلة القرص موجودة في قرص لا نهائي. تشمل هذه الأقراص القرص الأسي (fre70)، وقرص ميستل (mes63)، وقرص كوزمين-تومري (too63, bin08, eva92, con00::1)، وقرص ريبيكي (eva93).
تم حل عدد قليل من الأقراص المحدودة تحليليًا لجميع \((R,z)\). يقدم (las83) و(vok98) حلاً لجميع \((R,z)\) لقرص رقيق محدود بكثافة ثابتة. تقترب الجاذبية من اللانهاية عند حافة هذا القرص. جاذبية قرص ميستل المحدود (mes63, lyn78, hun84) والقرص الأسي المقطوع (cas83) محدودة عند حافة القرص ولكن لم يتم حل هذه الأقراص بشكل مغلق للنقاط خارج القرص. يصف (hur08, hur05::1) طريقة لتقريب الجهد لقرص قانون القوة للنقاط على القرص وخارجه.
ترتبط عائلة الأقراص المحدودة ذات الكثافة السطحية \( \Sigma_n(R;\alpha) = \left(1- {R^2}/{\alpha^2}\right)^{n-1/2}\) بالكروي ماكلورين الذي تمت دراسته منذ زمن نيوتن. تمت دراسة هذه العائلة مؤخرًا بواسطة (gon06) و(ped08). يستخدم (gon06) طريقة (hun63) للحصول على الحل العام كمجموع لمتعددات الحدود ليغندر في الإحداثيات البيضوية ويعطي تعبيرات مقيمة للجهود للأقراص 1، 2، و3. هنا نشتق حلولًا مغلقة الشكل كاملة في إحداثيات أسطوانية للجهد والمجالات الجاذبية للأقراص n=0، 1، و2. نبسط التكامل بالانتقال إلى المجال التخيلي بطريقة مشابهة لطريقة الإزاحة المركبة التي قدمها أوبيل. انظر (cio08, cio07) والمراجع المذكورة فيها.
يتبع الجهد الجاذبي معادلة بواسون \(\nabla^2\Phi = 4\pi\G\rho\). معادلة بواسون خطية بحيث يمكن جمع الحلول. أي، إذا كان \(\nabla^2\Phi_1=4\pi\G\rho_1\) و \(\nabla^2\Phi_2=4\pi\G\rho_2\) إذًا \(\nabla^2(\Phi_1+\Phi_2)=4\pi\G(\rho_1+\rho_2)\). بالمثل، يمكن تمييز الحلول بالنسبة لمعاملها للحصول على حل جديد. استغل (too63) و(lyn89) هذه الخطية لإيجاد عائلة من أزواج السرعة-الكثافة عن طريق تمييز نموذج (kuz56). وبنفس الطريقة، استمد (sat80) نماذج جديدة من مجموعة أزواج الجهد-الكثافة (miy75) عن طريق التمييز بالنسبة لمعاملها. هنا نستخدم نهجًا مماثلًا عن طريق دمج حل معروف بالنسبة لمعامله. إذا كان التكامل قابلًا للتنفيذ، فالنتيجة هي زوج جهد-كثافة جديد.
تم استخدام Maple 11 في هذا العمل. كان Maple لا غنى عنه في تبسيط النتائج الوسيطة المعقدة لكنه احتاج إلى الكثير من التوجيه للتعامل مع المعادلات الأكثر تعقيدًا. تم التحقق من نتائج Maple بعدة طرق.
يتم استخدام تدوين موحد في جميع أنحاء النص. تُستخدم الإحداثيات الأسطوانية \((R,z)\)؛ \(\Sigma\) هي الكثافة السطحية للقرص؛ \(\sigma_0\) هي الكثافة السطحية عند \(R=0\)؛ و\(\alpha\) هو نصف قطر القرص. \(\Phi\) هو الجهد حيث \(\Phi\) دائمًا سالب و\(\Phi(\infty) =0\)؛ \(F_R\) و\(F_z\) هما متجها المجال الجاذبي مع اتفاقية الإشارة القياسية، أي: \(\vec{F} = - \vec{\nabla} \Phi\) .
تُستخدم القيم الرئيسية للوظائف الأولية بحيث، على سبيل المثال، لـ \(z=x+\I y=r \cos(\theta) + \I r \sin(\theta)\)؛ \(\sqrt{z}=\sqrt{r}\cos(\theta/2) +\I \sqrt{r}\sin(\theta/2)\)، صالح لـ \(-\pi<\theta<\pi\). بهذه الطريقة، تكون الدالة \(\sqrt{z}\) غير غامضة مع مشتقات مستمرة باستثناء المحور الحقيقي السالب حيث تكون غير مستمرة.
القشرة المتجانسة هي قشرة ذات كثافة موحدة محدودة بواسطة السفيرويدات المتشابهة. كان نيوتن أول من أثبت أن القوة الصافية تساوي 0 (أي أن الجهد ثابت) داخل هذه القشرات. انظر (cha87) للخلفية التاريخية. القشرة المتجانسة الرقيقة لا نهائية هي عنصر تفاضلي من سفيرويد. القرص المتجانس هو الحالة الحدية التي يقترب فيها المحور الصغير من 0. كثافة الانهيار للقشرة المتجانسة الرقيقة هي:
\[\label{eq:HomSurfDens} \Sigma_{hom}(R;\alpha) = \begin{cases} {\sigma_0} /{\sqrt{1-R^2/\alpha^2}} & \textrm{لِ } R<\alpha \\ 0 & \textrm{لِ } R>\alpha \end{cases}\]
(lyn89) يعطي صيغة للجهد الخارجي للقشرة المتجانسة الرقيقة. أخذ الحد \(c=(1-e^2)^{1/2} \alpha\rightarrow0\) يعطي حلاً للقرص صالحًا في جميع \(R\) و \(z\).
(cud93) يعطي تعبيرًا عن جهد هذا القرص وهو أبسط من الحلول السابقة: \[\label{eq:CudPhi} \Phi_{hom}(R,z;\alpha) = -2\pi\alpha\sigma_0\G\arcsin\left[\frac{2\alpha}{\sqrt{z^2+(R+\alpha)^2} + \sqrt{z^2+(R-\alpha)^2} }\right]\] يمكن تبسيط المعادلة [eq:CudPhi] أكثر. أولاً قم بالتحويل البسيط: \[\label{eq:CudPhi1} \Phi_{hom}(R,z;\alpha) = -2\pi\alpha\sigma_0\G\arcsin\left[\frac{\sqrt{z^2+(R+\alpha)^2} - \sqrt{z^2+(R-\alpha)^2}}{2R} \right]\] الآن استخدم الهوية [eq:IdentA1] للحصول على \[\label{eq:HomPhi} \Phi_{hom}(R,z;\alpha) = -\pi\alpha\sigma_0\G~\left[\arcsin\left(\frac{ \alpha-\I z}{R}\right)+\arcsin\left(\frac{\alpha+\I z}{R}\right) \right]\]
يمكن دمج المعادلة [eq:HomPhi] على \(\alpha\) بينما تؤدي المعادلة [eq:CudPhi1] إلى تكامل مستحيل. يجب أن تكون المعادلة [eq:HomPhi] ذات قيمة حقيقية بناءً على الأسس الفيزيائية. من السهل إثبات ذلك بملاحظة أن (x) دالة فردية في x وبالتالي تلغي القوى الفردية لـ \(\I z\) في توسع المتسلسلة للمعادلة [eq:HomPhi]، مما يترك نتيجة ذات قيمة حقيقية.
يتم الحصول على المجال الجاذبي للقشرة المتجانسة المنهارة من الجهد. تعطي المعادلة [eq:HomPhi] تعبيرات بسيطة بشكل خاص لمتجهي الحقل \( F_{R,hom}\) و \( F_{z,hom}\): \[\begin{aligned} F_{R,hom}(R,z;\alpha) &= -\frac{\pi\alpha\sigma_0\G}{R} \left[ \frac{\alpha-\I z}{\sqrt{R^2 - (\alpha- \I z)^2} } + \frac{\alpha+\I z}{\sqrt{R^2 + (\alpha -\I z)^2} }\right]\\ F_{z,hom}(R,z;\alpha) &= -{\pi\alpha\sigma_0\G} \left[ \frac{\I}{\sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2}} - \frac{\I}{\sqrt{R^2 - (\alpha+\I z)^2} }\right]\end{aligned}\]
يمكن التعبير عن هذه متجهات القوة كدوال حقيقية بالكامل باستخدام الهويات [eq:IdentA8] و [eq:IdentA9]: \[\begin{aligned} F_{R,hom}(R,z;\alpha) &= -{\sqrt{2}\pi\alpha\sigma_0\G}~\frac{\alpha\sqrt{f_1 f_2 -f_3} - \abs{z}\sqrt{f_1 f_2 +f_3}}{ R f_1 f_2}\\ F_{z,hom}(R,z;\alpha) &= -{\sqrt{2}\pi\alpha\sigma_0\G}~\frac{\sgn(z)\sqrt{f_1 f_2 +f_3} } {f_1 f_2 }\end{aligned}\] حيث \[\begin{aligned} \label{eq:Define-f1-f2-f3} f_1 &= \sqrt{z^2+(R +\alpha)^2} \nonumber \\ f_2 &= \sqrt{z^2+(R -\alpha)^2} \\ f_3 &= \alpha^2 -R^2 -z^2 \nonumber \end{aligned}\]
بدأ كولين ماكلورين، بالإضافة إلى جيمس إيفوري والعديد من الآخرين، في دراسة خصائص الأجسام البيضوية في أوائل القرن الثامن عشر (cha87). انظر أيضًا (bin08, ber00, sch56, mih68, kal71, kal72).
الكروي المسطح المتجانس هو أبسط حالة لجسم دوار يتوازن فيه الجذب الجاذبي مع القوة الطاردة المركزية. قرص ماكلورين، المعروف أيضًا باسم قرص كالنايس (kal72)، هو الحالة الحدية التي يكون فيها المحور الصغير صفرًا. يُعرف قرص ماكلورين بالكثافة السطحية: \[\label{eq:MacSurfDens} \Sigma_{Mac}(R;\alpha) = \begin{cases} \sigma_0 \sqrt{1-R^2/\alpha^2} & \textrm{لِ} R<\alpha \\ 0 & \textrm{لِ} R>\alpha \end{cases}\]
هناك بعض الحلول لإمكانية قرص ماكلورين في الأدبيات. يقدم (mih68) تعبيرًا عن إمكانية الكروي المتجانس المسطح استنادًا إلى الاشتقاق في (sch56). يمكن العثور على إمكانية قرص ماكلورين عن طريق السماح للشذوذ \( e \rightarrow 1\) مع الحفاظ على الكتلة ثابتة. يقدم (hun63) الحل لقرص ماكلورين كسلسلة من متعددات حدود ليغندر في الإحداثيات البيضوية. يقدم (neu95, mei01, gon06) حلاً مغلقًا لإمكانية قرص ماكلورين في الإحداثيات البيضوية.
نقطة البداية هنا هي زوج الكثافة-الإمكانية للقرص n=0، الهومويد المسطح الذي \(\Sigma_{hom}(R;\alpha)=\sigma_0/\sqrt{1-R^2/\alpha^2}\). يتم العثور على كثافة الكتلة السطحية لقرص ماكلورين من التحويل: \[\Sigma_{Mac}(R;\alpha) = \frac{1}{\alpha} \int^\alpha_0{ \Sigma_{hom}(R; \hat{\alpha} ) ~d\hat{\alpha}} = \frac{1}{\alpha} \int^\alpha_0{\frac{\sigma_0}{\sqrt{1-R^2/\hat{\alpha}^2} } ~d\hat{\alpha}}= \sigma_0\sqrt{1-R^2/\alpha^2}\]
الإمكانية المقابلة هي: \[\Phi_{Mac}(R,z;\alpha) = \frac{1}{\alpha} \int^{\alpha}_0{ \Phi_{hom}(R;\hat{\alpha}) ~d\hat{\alpha}} = \frac{-\pi \sigma_0 \G }{\alpha} \int^{\alpha}_0 { \hat{\alpha} \left[\arcsin\left(\frac{\hat{\alpha}- \I z }{R}\right)+\arcsin\left(\frac{\hat{\alpha}+ \I z }{R}\right) \right] d\hat{\alpha}}\] حيث يُعطى التعبير عن \(\Phi_{hom}\) بواسطة المعادلة [eq:HomPhi] أعلاه. استُخدم التكامل 2.813 و 2.833 من (gra94) للحصول على:
\[\label{eq:MacPhi-Im} \begin{split} \Phi_{Mac}(R,z;\alpha)&= -\frac{\pi\sigma_0 \G}{4\alpha}\bigg[ ( 2\alpha^2 -R^2 +2z^2 )\left(\arcsin\left(\frac{\alpha+\I z}{R}\right)+\arcsin\left(\frac{\alpha-\I z}{R}\right)\right)\\ &+\alpha \left( \sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2} +\sqrt{R^2-(\alpha+\I z)^2} \right)\\ &-3\ z \left( \I\sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2} -\I\sqrt{R^2-(\alpha+\I z)^2} \right)\bigg] \end{split}\]
يمكن تحويل المعادلة [eq:MacPhi-Im] إلى تعبير واقعي بالكامل باستخدام الهويات [eq:IdentA1], [eq:IdentA6] و [eq:IdentA7]: \[\label{eq:MacPhi-Re} \begin{split} \Phi_{Mac}(R,z;\alpha) =-\frac{\pi\sigma_0 \G}{4\alpha}\bigg[& 2( 2\alpha^2 -R^2 +2z^2)\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right)\\ &+\sqrt{2}\alpha \sqrt{f_1 f_2 -f_3} -3\sqrt{2}\abs{z} \sqrt{f_1 f_2 +f_3} \bigg] \end{split}\] حيث يُعطى \(f_1, f_2, f_3\) بواسطة المعادلة [eq:Define-f1-f2-f3] أعلاه.
يتم العثور على المجال الجاذبي لقرص ماكلورين من الإمكانية باستخدام \(\Phi\) كما هو معطى بواسطة المعادلة [eq:MacPhi-Im]. تم التعبير عن العبارات الناتجة كدوال واقعية بالكامل باستخدام الهويات [eq:IdentA1], [eq:IdentA8]، و [eq:IdentA9]: \[\label{eq:MacFR-Re}\begin{split} F_{R,Mac}(R,z;\alpha)=& -\frac{\pi\sigma_0\G}{2 R \alpha} \Bigg[ 2 R^2\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right)\\ & +\sqrt{2}\alpha ( \alpha^2 -R^2 +z^2) \frac{\sqrt{f_1 f_2 -f_3}}{f_1 f_2}\\ & -\sqrt{2}\abs{z} ( \alpha^2 +R^2 +z^2) \frac{\sqrt{f_1 f_2 +f_3}}{f_1 f_2} \Bigg] \end{split}\] \[\label{eq:MacFz-Re}\begin{split} F_{z,Mac}(R,z;\alpha) = & -\frac{\pi\sigma_0 \G}{ \alpha} \Bigg[ -2z\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right) \\ & + 2 \sqrt{2} \alpha z \frac{ \sqrt{f_1 f_2 -f_3}}{f_1 f_2} \\ & +\sqrt{2}~\sgn(z)~( \alpha^2 -R^2 -z^2) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 +f_3}}{f_1 f_2} \Bigg] \end{split}\] حيث يُعطى \(f_1, f_2, f_3\) بواسطة المعادلة [eq:Define-f1-f2-f3] أعلاه.
يمكن العثور على الإمكانية على محور \(z\) وعلى مستوى \(z=0\) بأخذ حدود المعادلة [eq:MacPhi-Re]: \[\label{eq:MacPhizaxis} \Phi_{Mac}( 0,z;\alpha) = - \frac{\pi\sigma_0\G}{\alpha}\left[ \left( \alpha^2+ z^2 \right)\arcsin\left( \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+z^2}} \right) -\alpha \abs{z} ~\right]\]
\[\label{eq:MacPhiOnDisk} \Phi_{Mac}(R, 0;\alpha) = \begin{cases}-\frac{\pi^2\sigma_0\G}{4\alpha} \left( 2\alpha^2-R^2\right) & \textrm{لِ} R \leq \alpha \\ -\frac{\pi \sigma_0\G}{2\alpha} \left[ (2\alpha^2-R^2)\arcsin(\frac{\alpha}{R}) +\alpha\sqrt{R^2-\alpha^2}\right] &\textrm{لِ} R \geq \alpha \end{cases}\]
يتم العثور على متجه القوة الشعاعية في مستوى \(z=0\) بأخذ حد المعادلة [eq:MacFR-Re] أو عن طريق التفاضل في المعادلة [eq:MacPhiOnDisk] بالنسبة لـ \(R\).
\[\label{FRMac_in_plane} F_{R,Mac}(R, 0;\alpha) = \begin{cases} - \frac{\pi^2 R\sigma_0\G} {2 \alpha}& \textrm{لِ} R\leq\alpha\\ - \frac{\pi\sigma_0\G} {\alpha}\left[ {R\arcsin({\alpha}/{R}} )-\alpha\sqrt{1-\alpha^2/R^2}\right] & \textrm{لِ} R\geq\alpha \end{cases}\]
يتم العثور على متجه القوة المحورية على محور \(z\) بأخذ حد المعادلة [eq:MacFR-Re] أو التفاضل في المعادلة [eq:MacPhizaxis] بالنسبة لـ \(z\).
\[\label{FzMac_in_plane} F_{z,Mac}( 0,z ;\alpha) = -\frac{2\pi\sigma_0\G} {\alpha}\left[z\arcsin\left( \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+z^2}}\right) -\alpha~\sgn(z)\right]\]
(gon06) يقدمون حلاً مغلقًا لإمكانية القرص n=2 في الإحداثيات الإهليلجية.
كثافة سطح القرص للقرص n=2 هي \[\label{eq:D2SurfDens} \Sigma_{D2}(R;\alpha) = \begin{cases} {\sigma_0} { (1-R^2/\alpha^2)^{3/2}} & \textrm{لِ} R<\alpha \\ 0 & \textrm{لِ} R>\alpha \end{cases}\]
يمكن الحصول على توزيع الكتلة هذا من المعادلة [eq:MacSurfDens]، كثافة سطح القرص للقرص n=1، بالتحويل: \[\Sigma_{D2}(R;\alpha) = \frac{3}{\alpha^3} \int^\alpha_0{ \hat{\alpha}^2 \Sigma_{Mac}(R; \hat{\alpha} ) d\hat{\alpha}}\]
الإمكانية المقابلة هي: \[\label{eq:D2PhiTransform} \Phi_{D2}(R,z;\alpha) = \frac{3}{\alpha^3} \int^{\alpha}_0{ \hat{\alpha}^2 \Phi_{Mac}(R,z;\hat{\alpha}) ~d\hat{\alpha}}\] حيث يُعطى التعبير عن \(\Phi_{Mac}\) بواسطة المعادلة [eq:MacPhi-Im] أعلاه. تحتوي المعادلة [eq:D2PhiTransform] على مصطلحات يمكن حلها باستخدام (gra94) 2.262، 2.813، و 2.833 بعد جمع المصطلحات، والنتيجة مضغوطة بشكل معقول:
\[\label{eq:D2Phi-Im} \begin{split} \Phi_{D2}(R,z;\alpha) &= -\frac{\pi\sigma_0\G}{64\alpha^3}\Bigg[ 3( 8{\alpha}^4 -8{\alpha}^2{R}^2 +16\alpha^2{z}^2 +3{R}^4 -24{R}^2{z}^2 +8{z}^4 ) \left(\arcsin\left(\frac{\alpha+\I z}{R}\right)+\arcsin\left(\frac{\alpha-\I z}{R}\right)\right) \\ &+\alpha ( 18\alpha^2 -9{R}^2 +26{z}^2 ) \left( {\sqrt{R^2-(\alpha+\I z)^2}} + {\sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2}}\right) \\ &-z(58\alpha^2 -55{R}^2 +50{z}^2 ) \left( {\I}{\sqrt{R^2-(\alpha+\I z)^2}} - {\I}{\sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2}}\right) \bigg] \end{split}\]
يمكن تحويل المعادلة [eq:D2Phi-Im] إلى تعبير واقعي بالكامل باستخدام الهويات [eq:IdentA1], [eq:IdentA6] و [eq:IdentA7]: \[\label{eq:D2Phi-Re}\begin{split} \Phi_{D2}(R,z;\alpha) =&-\frac{\pi\sigma_0\G}{64\alpha^3}\Bigg[ 6( 8{\alpha}^4 -8{\alpha}^2{R}^2 +16\alpha^2{z}^2 +3{R}^4 -24{R}^2{z}^2 +8{z}^4 )\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right)\\ &+\sqrt{2}\alpha ( 18\alpha^2 -9{R}^2 +26{z}^2 ) \sqrt{f_1 f_2 -f_3}\\ &-\sqrt{2}\abs{z} (58\alpha^2 -55{R}^2 +50{z}^2 ) \sqrt{f_1 f_2 +f_3} \Bigg] \end{split}\] حيث \(f_1, f_2, f_3\) معطاة بواسطة المعادلة [eq:Define-f1-f2-f3] أعلاه.
مجال الجاذبية للقرص n=2 هو التدرج للإمكانية باستخدام \(\Phi\) كما هو معطى بواسطة المعادلة [eq:D2Phi-Im]. تم التعبير عن الصيغ الناتجة كدوال حقيقية بالكامل باستخدام الهويات [eq:IdentA1], [eq:IdentA8]، و [eq:IdentA9] :
\[\label{eq:D2FR-Re} \begin{split} F_{R,D2}(R,z;\alpha) &= - \frac{3\pi\sigma_0\G}{16 R \alpha^3} \Bigg[ 2R^2 (4\alpha^2R^2 -3R^4 +12 R^2z^2 )\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right) \\ &+ \sqrt{2}\alpha( 2\alpha^4 -5\alpha^2R^2 +4\alpha^2z^2 +3R^4 -25R^2z^2 +2z^4 ) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 -f_3}}{f_1 f_2} \\ &+ \sqrt{2}\abs{z}( 2\alpha^4 +9\alpha^2R^2 +4\alpha^2z^2 -13R^4 -11R^2z^2 +2z^4 ) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 +f_3}}{f_1 f_2} \Bigg] \end{split}\]
\[\label{eq:D2Fz-Re} \begin{split} F_{z,D2}(R,z;\alpha) & = - \frac{\pi\sigma_0\G}{4 \alpha^3} \Bigg[ -6z( 2\alpha^2 -3R^2 +2z^2 )\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right) \\ & + \sqrt{2} \alpha z ( 13\alpha^2 -13R^2 +17z^2 ) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 -f_3}}{f_1 f_2} \\ & + \sqrt{2} ~\sgn(z) (( 4\alpha^4 -8\alpha^2R^2 -3\alpha^2z^2 +4R^4 -7R^2z^2 -11z^4 ) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 +f_3} } {f_1 f_2} \Bigg] \end{split}\]
حيث \(f_1, f_2, f_3\) معطاة بواسطة المعادلة [eq:Define-f1-f2-f3] أعلاه.
الإمكانية على محور \(z\) وعلى مستوى \(z=0\) يمكن العثور عليها بأخذ الحد من المعادلة [eq:D2Phi-Re]: \[\label{eq:D2Phizaxis} \Phi_{D2}( 0,z;\alpha) = - \frac{\pi\sigma_0\G}{4\alpha^3}\left[ 3\left( \alpha^4+2\alpha^2 z^2 + z^4 \right)\arcsin\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+z^2}}\right) -\alpha \abs{z}(5\alpha^2+3z^2) ~\right]\]
\[\label{eq:D2PhiOnDisk} \Phi_{D2}(R,0;\alpha) = \begin{cases}-\frac{3\pi^2\sigma_0\G}{64\alpha^3} \left( 8\alpha^4 -8\alpha^2R^2+3R^4\right) & \textrm{لِ} R \leq \alpha \\ -\frac{3\pi\sigma_0\G}{32\alpha} \left[ ( 8\alpha^4 -8\alpha^2R^2+3R^4)\arcsin(\frac{\alpha}{R}) +3\alpha(2\alpha^2-R^2)\sqrt{R^2-\alpha^2}\right] &\textrm{لِ} R \geq \alpha \end{cases}\]
متجه القوة الشعاعية في مستوى \(z=0\) يتم العثور عليه بأخذ الحد من المعادلة [eq:D2FR-Re] أو بالتفاضل من المعادلة [eq:D2PhiOnDisk] بالنسبة لـ \(R\).
\[\label{FRD2_in_plane} F_{R,D2}(R, 0;\alpha) = \begin{cases} -\frac{3\pi^2 R\sigma_0\G} {16\alpha^3}(4\alpha^2-3R^2)& \textrm{لِ} R\leq\alpha\\ -\frac{3\pi\sigma_0\G} {8\alpha^3}\left[ R(4\alpha^2-3R^2)\arcsin({\alpha}/{R} ) -\alpha(2\alpha^2-3R^2)\sqrt{1-\alpha^2/R^2}\right] & \textrm{لِ} R\geq\alpha \end{cases}\]
متجه القوة المحورية على محور \(z\) يتم العثور عليه بأخذ الحد من المعادلة [eq:D2Fz-Re] أو بالتفاضل من المعادلة [eq:D2Phizaxis] بالنسبة لـ \(z\).
\[\begin{split}\label{eq:FzD2_OnZaxis} F_{z,D2}( 0,z ;\alpha) = - \frac{\pi\sigma_0\G}{2 \alpha^3( \alpha^{2}+{z}^{2}) } \bigg[ & -6(\alpha^2+z^2)^2 z \arcsin\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+z^2}}\right)\\ & +\alpha z^2(13\alpha^2+17z^2) & +\alpha\,\sgn(z)(4\alpha^4-3\alpha^2z^2-11z^4) \bigg] \end{split}\]
يقارن الجدول 1 الخصائص المهمة للقرصين. يتميز القرص n=2 بأنه أكثر تركيزًا في المركز من قرص ماكلورين. تزداد السرعة الدورانية بشكل أسرع في القرص الداخلي وتبدأ في الانخفاض قبل الوصول إلى حافة القرص. كما هو واضح، مشتقة السرعة الدائرية لقرص ماكلورين غير مستمرة عند حافة القرص بينما القرص n=2 يتصرف بشكل أفضل.
l r l l
الخاصية&& قرص ماكلورين & القرص n=2
الكثافة السطحية &\( \Sigma(R) =\)&\( \sigma_0\sqrt{1 - {R^2}/{\alpha^2}} \)&\(= \sigma_0 (1 - {R^2}/{\alpha^2})^{3/2} \)
الكتلة الكلية &\( M =\)&\( \frac23 \pi\alpha^2\sigma_0 \)&\(= \frac25\pi \alpha^2\sigma_0 \)
السرعة الدائرية &\( V_c^2(R,0) =\)&\( \dfrac{\pi^2 R^2\sigma_0\G} {2\alpha} \)&\(= \dfrac{3\pi^2 R^2\sigma_0\G (4\alpha^2 -3 R^2) } {16\alpha^3} \)
&= &\( \dfrac{3\pi R^2 M\G}{4\alpha^3} \)&\(= \dfrac{15\pi R^2 M \G(4\alpha^2 -3 R^2)}{32\alpha^3} \)
سرعة حافة القرص &\( V_c^2(\alpha,0) =\)&\( \dfrac{\pi^2 \alpha \sigma_0\G} {2} \)&\(= \dfrac{3\pi^2 \alpha \sigma_0\G} {16} \)
&= &\( \dfrac{3 \pi M\G}{4\alpha} \)&\(= \dfrac{15\pi M\G}{32\alpha} \)
المشاكل ثلاثية الأبعاد مثل تلك المتعلقة ببنية وحركية الغاز خارج القرص ستستفيد من استخدام أزواج الكثافة-الجهد الجديدة. تم بناء نموذج مجرة بسيط للتوضيح. يتكون النموذج من قرص بمعامل n=2 ومنطقة لب/انتفاخ ممثلة بكتلة نقطية. يُعرّف هذا النموذج بثلاثة معاملات: كتلة القرص، وكتلة منطقة اللب/الانتفاخ، وقطر القرص. كما هو موضح في الشكل، فإن السرعة الدائرية، المحسوبة كـ \(V_c=\sqrt{(-V F_R(R,z)}\)، تبقى ثابتة تقريبًا على معظم القرص. أيضًا، مشتقة السرعة الدائرية مع \(z\) تقريبًا ثابتة على نطاق واسع من كل من \(R\) و\(z\).
يتوافق الشكل بشكل مدهش مع الشكل 5 من (fra05::1) الذي يُظهر أن السرعة المقاسة لـ HI لـ NGC891 تقل خطيًا مع الارتفاع فوق القرص. انظر أيضًا (ran97, swa97, kam07, oos07, fra06::3, bar06). من المخطط القيام بمزيد من العمل حول هذا الموضوع.
لقد قدمنا حلولًا جديدة لعائلة من الأقراص المنتهية. تُعطى التعبيرات الصريحة في الإحداثيات الأسطوانية باستخدام الدوال الأولية للجهد والقوة الجاذبية للأقراص ذات الكثافة السطحية \(\Sigma_n=\sigma_0 (1-R^2/\alpha^2)^{n-1/2} \textrm{ مع } n=0, 1, 2\). كما تُعطى التعبيرات للحالات الحدية عند \(R=0\) و \(z=0\).
تسد هذه الحلول حاجة وينبغي أن تسهل نمذجة ظاهرة الجاذبية ثلاثية الأبعاد التي تشمل مجرات الأقراص. هذا مهم بشكل خاص بسبب توفر بيانات حركية مفصلة مؤخرًا فوق مستوى القرص.
أنا ممتن للمراجع المجهول على اقتراحاته وتعليقاته المفيدة التي ساهمت في تحسين العرض.
تم جمع عدد من الهويات هنا. في جميع الحالات \( x, y \in \Re\) يجب تجنب نطاقات الصلاحية التي تحتوي على عدم استمرارية القيمة الرئيسية لدالة الجذر التربيعي على المحور الحقيقي السالب.
يمكن إثبات المعادلة [eq:IdentA1] بأخذ جيب الزاوية لكلا الجانبين؛ وتبسيط الحدود باستخدام الهويات \(\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\) و \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(b)\)؛ واستبدال \(\cos = \sqrt{1-\sin^2}\). يمكن العثور على الهويات الأخرى بالاستبدال في العلاقة \[\sqrt{x+\I y}=\frac{ \sqrt{ \sqrt{x^2+y^2} + x} + \sgn(y) \I \sqrt{ \sqrt{x^2+y^2} - x}} {\sqrt{2}}\] وفي التعبير الموجود بأخذ المعكوس لكلا الجانبين.
\[\begin{aligned} \label{eq:IdentA1}\arcsin(x-\I y) +\arcsin\left(x+\I y\right) &~=~ 2\arcsin\left[ \onehalf\sqrt{(x+1)^2+y^2} - \onehalf\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right]\\ \label{eq:IdentA2} \sqrt{x-\I y}+\sqrt{x+\I y} &~=~ \sqrt{2}\sqrt{ \sqrt{x^2+ y^2} +x}\\ \label{eq:IdentA3} \I\sqrt{x-\I y} - \I\sqrt{x+\I y} &~=~ \sgn(y) \sqrt{2} \sqrt{ \sqrt{x^2+ y^2} -x}\\ \label{eq:IdentA4} \frac{1}{\sqrt{x+\I y}}+ \frac{1}{\sqrt{x-\I y}} &~=~ \sqrt{2}\frac{ \sqrt{\sqrt{x^2+ y^2}+x}}{\sqrt{x^2+ y^2} }\\ \label{eq:IdentA5} \frac{\I}{\sqrt{x+\I y}} -\frac{\I}{\sqrt{x-\I y}} &~=~ \sgn(y)\sqrt{2} \frac{\sqrt{ \sqrt{x^2+ y^2} -x} } {\sqrt{x^2+ y^2}}\\ \label{eq:IdentA6} {\sqrt{1- \left( x+\I y \right) ^2}}+ {\sqrt{1-\left( x-\I y \right) ^2}}&~=~ \sqrt{2} {\sqrt{ \sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4} +1 -x^2 +y^2}} \\ \label{eq:IdentA7} \I {\sqrt{1- \left( x+\I y \right) ^2}}- {\I }{\sqrt{1-\left( x-\I y \right) ^2}} &~= \sgn(xy)\sqrt{2} {\sqrt{ \sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4} -1 +x^2 -y^2}} \\ \label{eq:IdentA8} \frac{1}{\sqrt{1- \left( x-\I y \right) ^2}}+\frac {1}{\sqrt{1-\left( x+\I y \right) ^2}}&~=~ \sqrt{2}\frac{\sqrt{ \sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4} +1 -x^2 +y^2}} {\sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4}}\\ \label{eq:IdentA9} \frac{\I }{\sqrt{1- \left( x-\I y \right) ^2}}- \frac {\I }{\sqrt{1-\left( x+\I y \right) ^2}} &~= \sgn(xy)\sqrt{2}\frac{\sqrt{ \sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4} -1 +x^2 -y^2}} {\sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4}} \end{aligned}\]