latex

مُلخّص

نقدّم استنتاجًا أوليًا للانتروبيا المجهرية لفئة عامة جدًا من الثقوب السوداء المتماثلة فائقًا والمتسارعة والدّوّارة في AdS\(_4\). يتم تحقيق ذلك من خلال تحليل الحد الأعلى لمؤشر الغزل، ويكمّل بناء أول مثال على تكافؤ هولوغرافي يتضمّن نظريات حقلية متماثلة فائقًا معرفة على مدارج مع تفردات مخروطية.

مقدمة

تفسير الأصل المجهري لانتروبيا الثقوب السوداء المتماثلة فائقًا في فضاء ضد دي سيتير (AdS) هو أحد أبرز النجاحات لثنائية الهولوغرافيا. تم تحقيق ذلك لأول مرة في (Benini:2015eyy) لفئة من الثقوب السوداء AdS\(_4\) من خلال دراسة الحد الأعلى-\(N\) لمؤشر الملتوى الطوبولوجي (Benini:2015noa). تم توسيع مشهد الثقوب السوداء المتماثلة فائقًا بشكل كبير في (Ferrero:2020twa)، حيث تم بناء ثقب أسود متماثل فائقًا، دوار ومتسارع مع أفق مغزل، مع عرض عدد من الميزات الملحوظة. الأكثر إثارة للدهشة، في هذا الحل تم الحفاظ على التماثل الفائق من خلال آلية جديدة تُعرف باسم مضاد الالتواء. لوحظ لاحقًا أنه يمكن الحفاظ على التماثل الفائق على المغزل من خلال التواء طوبولوجي أكثر تقليدية (Ferrero:2021etw,Ferrero:2021ovq). باستخدام البصيرة من (Cabo-Bizet:2018ehj), تم إظهار في (Cassani:2021dwa) أن الفعل على القشرة لتشويه معقد ومتماثل فائقًا لثقب أسود من (Ferrero:2020twa) يأخذ شكل دالة الانتروبيا، والتي يؤدي تطرفها إلى انتروبيا بيكنشتاين-هوكينغ. تم اقتراح تعميم لهذه الدالة في (Faedo:2021nub)، حيث اقترح أنه يمكن التعبير عنها من حيث الكتل الجاذبية (Hosseini:2019iad)، كما في جميع الأمثلة السابقة للثقوب السوداء. تم إثبات تحليل الكتل لدالة الانتروبيا الجاذبية في (Boido:2022mbe) باستخدام النموذج الرسمي لـ (Couzens:2018wnk) ثم في (BenettiGenolini:2024kyy) باستخدام التوطين المكافئ في الجاذبية الفائقة.

استلهامًا من هذه التطورات، قام (Inglese:2023wky,Inglese:2023tyc) بحساب الدالة التقسيمية الموضعية لنظريات تشيرن-سيمونز-المادة ذات \({\cal N} = 2\) المعرفة على \(\spindle \times S^1\)، حيث \(\spindle = \mathbb{WCP}^1_{[n_+,n_-]}\) هو المغزل، مع إما التواء أو مضاد الالتواء لاتصال التماثل \(R\) \(A\): \[\begin{aligned} \label{twistantitwistdef} \int_{\spindle} \f{\dd A}{2\pi} = \frac{1}{2}\p{\frac{1}{\nS} + \frac{\st}{\nN} } \equiv \frac{\chi_\st}{2} ~ , \end{aligned}\] يمكن التعبير عن النتيجة بمعادلة واحدة، تُعرف بـ مؤشر المغزل (Inglese:2023wky)، والذي يمكن تعريفه (Cassani:2021dwa) كمؤشر ويتن المنكه \[\begin{aligned} \label{traceformula} Z_{\spindle \times S^1} = {\rm Tr}_{\mathscr H\comm{\spindle}} \comm{\ee^{ - \im \sum_{\alpha=1}^{\nglobsym} \varphi_ \alpha Q_\alpha+ \ii \upomega J}} \, , \end{aligned}\] حيث \(Q_\alpha\) هي مولدات التماثلات العالمية ذات الرتبة \(\nglobsym\)، \(J\) هو مولد الزخم الزاوي على \(\spindle\)، \(\mathscr H\comm\spindle\) هو فضاء هيلبرت للحالات BPS على المغزل والمحفزات الكيميائية مرتبطة بالقيد \[\begin{aligned} \label{lovelyconstraint} \sum_{\alpha=1}^{\nglobsym} \varphi_\alpha + \frac{\chi_{-\st} }{2} \upomega = 2 \pi n \, , \qquad n \in \mathbb{Z} \, .\end{aligned}\] في هذه الرسالة سنوضح أن الحد الأعلى-\(N\) لمؤشر المغزل يعيد إنتاج دوال الانتروبيا المرتبطة بالثقوب السوداء AdS\(_4\) المتماثلة فائقًا والمتسارعة. في حالة \(n_+=n_-=1\)، تشمل نتيجتنا الحد الأعلى-\(N\) لكل من المؤشر الملتوى الطوبولوجي والمؤشر الفائق التوافقي المعمم. سيتم مناقشة المزيد من التفاصيل والتعميمات في (toappear).

نموذج مصفوفة مؤشر المغزل

ننظر في نظريات تشيرن-سيمونز-المادة ذات النمط \({\cal N}=2\) مع مجموعة قياس \(\mathcal G=\prod_{a=1}^{|\mathcal{G}|}\)U\((N)_a\) والمضاعفات الكايرالية التي تتحول في تمثيلات ثنائية الأساس أو الجوهرية لعوامل مجموعة القياس. بشكل مخطط، يُكتب المؤشر على أنه نموذج مصفوفة \[\begin{aligned} \label{eq: zs1spindlefull} Z_{\spindle \times S^1}\p{\varphi,\mathfrak{n},\epsilon} = \!\!\sum_{\mathfrak m \in \Gamma_{\mathfrak h} }\!\! \oint_{\mathcal C} \!\tfrac{\dd \ugot}{|W_{\mathcal G}|} \, \widehat Z \p{\ugot, \mathfrak m |\varphi,\mathfrak{n},\epsilon } ~ ,\end{aligned}\] حيث \(\mathfrak h\)، \(\Gamma_{\mathfrak h}\) و \(W_{\mathcal G}\) تشير إلى جبر كارتان، شبكة الجذر المشتركة ومجموعة وايل لمجموعة القياس \(\mathcal G\)، على التوالي؛ بينما \(\mathcal C\) هو مسار تكامل مناسب لـ \(\ugot\). هنا عبّرنا جماعيًا عن \(u\in\mathfrak h\) و \(\mathfrak m\in\Gamma_{\mathfrak h}\) التجانسات القياسية على \(S^1\) والتدفقات من خلال \(\spindle\)، على التوالي. بالمثل، \(\varphi\) و \(\mathfrak n\) هي شحنات/تدفقات النكهة/الطوبولوجية، مع ([eq: zs1spindlefull]) تعتمد ضمنيًا على بيانات المغزل \(n_+,n_-\) ومعامل الالتواء \(\st\).

نركز على النظريات التي يمكن تمثيل مجموعتها القياسية ومحتواها المادي بواسطة رسم بياني للسهم مع \(|\mathcal G|\) عقد، حيث يتوافق السهم من العقدة \(a\) إلى العقدة \(b\) مع حقل ثنائي الأساس في التمثيل \(\mathbf{N}_{a} \otimes \overline{ \mathbf{N}}_{b}\)، و \(a=b\) يشير إلى التمثيل الجوهري. لكل عامل U\((N)_a\) هناك \(N\) تجانسات وتدفقات، \((u_i^a,\mathfrak m_i^a)_{i=0}^{N-1}\)؛ لكل سهم نعيّن شحنات النكهة والتدفقات \((\varphi_I,\mathfrak n_I)\)، حيث يمتد الفهرس \(I\) على جميع المضاعفات الكايرالية للنظرية. إذا كان السهم المقابل يمتد من العقدة \(a\) إلى العقدة \(b\)، نكتب \(I\in(a,b)\). علاوة على ذلك، لكل عقدة نعيّن شحنات/تدفقات \((\varphi_m^a,\mathfrak n_m^a)\) للتماثلات الطوبولوجية. لمضاعف كايرالي بشحنة R \(r_I\)، يرتبط الجهد الكيميائي \(\varphi_I\) بالتجانس النكهة \(u_I^F\) عبر \[\begin{aligned} \varphi_{I}=2\pi u_{I}^F+ \left( \pi n-\frac\epsilon4 \chi_{-\st} \right) r_{I}\: ,\end{aligned}\] حيث، لكل حد أحادي \(W\) في الجهد الفائق، \[\begin{aligned} \sum_{I\in W} u_{I}^F= \sum_{I\in W} \mathfrak n_I =0 \, , \qquad \sum_{I\in W} r_{I} =2 \: ,\end{aligned}\] بحيث \[\begin{aligned} \sum_{I\in W}\varphi_I + \frac{\chi_{-\sigma}}{2}\epsilon = 2\pi n \: .\end{aligned}\] لاحظ أن الفهرس \(I\) يمتد على الحقول التي تنتمي إلى مصطلح الجهد الفائق، بينما في ([lovelyconstraint]) يشير الفهرس \(\alpha\) إلى مولدات التماثلات العالمية للنظرية. بالنسبة لنموذج ABJM، وهو التركيز الرئيسي في هذه الرسالة، تتطابق هاتان المجموعتان. سيتم مناقشة الرسوم البيانية الأكثر عمومية في (toappear).

المتكاملة هي حاصل ضرب جزء كلاسيكي ومحددات حلقة واحدة للمضاعفات الكايرالية والمتجهية. لكتابتها بشكل صريح نحتاج إلى تقديم بعض الرموز الإضافية (Inglese:2023wky): أولاً، نعرف الرموز \(\sigma_+=\sigma\) و \(\sigma_-=-1\). ثم، نضع \[\begin{aligned} \label{bc_def} \fkb_{ij}^{I}=&\,1-\frac{\fkm_i^{a}-\fkm_j^{b}}{n_+n_-}-\frac{\fkn_I}{n_+n_-}-\frac{r_I}2\chi_\fks -\cA^-_{I;\,ij}-\fks\:\cA^+_{I;\,ij}\:, \nonumber\\ \fkc_{ij}^{I}=&\,\cA^-_{I;\,ij}-\fks\:\cA^+_{I;\,ij}\:, \end{aligned}\] لكل سهم \(I\in(a,b)\)، مع \[\begin{aligned} \label{A_def} \fkl^\pm_{a;\,i} & =n_\pm\left\{\frac{\spm a_\pm\fkm^a_i}{n_\pm}\right\}\, ,\nonumber\\ \cA^\pm_{I;\,ij}&= \,\left\{\frac{\fkl^\pm_{a;\,i}-\fkl^\pm_{b;\,j}+ \spm a_\pm \fkn_I - r_I/2}{n_\pm}\right\}\:, \end{aligned}\] و \(a_\pm \in \mathbb{Z}\) بحيث \(n_+ a_- - n_- a_+=1\). علاوة على ذلك \(\{x\}\equiv x - \ff{x}\). لاحظ أن \(\fkb_{ij}^{I}\in\mathbb Z\)، بينما \(\fkl_{a;\,i}^\pm,n_\pm \cA^\pm_{I;\,ij}\in \mathbb{Z}_{n_\pm}\). مشيرًا إلى \[\begin{aligned} \label{y_def} & y_{ij}^{I}=\mathrm{e}^{-\ii \varphi_I-2\pi \ii (u_i^{a}-u_j^{b})}\cdot q^{\frac12\fkc_{ij}^{I}}~, & q=\mathrm{e}^{\im \epsilon} ~ , \end{aligned}\] التجانسات القياسية، يمكن كتابة مساهمة محدد الحلقة الواحدة للمضاعفات الكايرالية كـ \[\begin{aligned} \label{CM1-loop} Z_{\text{1-L}}^{\rm CM} = \prod_{I=1}^{\numbchirals} \prod_{i,j=0}^{N-1} \Zcm^\sigma_q (y_{ij}^{I},\fkb_{ij}^{I} )~ ,\end{aligned}\] من حيث الدالة \[\begin{aligned} \label{trick} \Zcm^\sigma_q (y,\fkb) \equiv(-y)^{\frac{1-\fks-2\fkb}4}q^{\frac{(1-\fks)(\fkb-1)}{8}} \frac{(q^\frac{1+\fkb}{2} y^{-1};q)_\infty} {(q^{\frac{1-\fkb}{2\sigma}} y^{-\fks};q)_\infty}\, , \end{aligned}\] حيث \(\p{z;q}_\infty\) هو رمز \(q\)-Pochhammer، \(y,q\in\bC\)، \(\fkb\in\bZ\) و \(\fks=\pm1\). هذا هو محدد الحلقة الواحدة لمضاعف كايرالي في نظرية أبيليه، ويلبي \[\begin{aligned} \label{Zcm_symmetry} \Zcm^\fks_q(y,\fkb)= \Zcm_q^\fks(y^{-\fks},1-\fks-\fkb)^{-\fks}\, .\end{aligned}\] محدد الحلقة الواحدة لجميع المضاعفات المتجهية يُقرأ \[\begin{aligned} \label{VM1-loop} Z_{\text{1-L}}^{\rm VM } = \prod_{a=1}^{|\mathcal G|} \prod_{i,j=0}^{N-1} \Zcm_q^\fks(y_{ij}^{a},\fkb_{ij}^{a})~ ,\end{aligned}\] حيث \(y_{ij}^{a}\)، \(\fkb^a_{ij}\)، \(\fkc^a_{ij}\)، و \(\cA_{a;\,ij}^\pm\) معرفة كما في , , و ، مع استبدال جميع حالات \(I\) و \(b\) بـ \(a\)، ومع التعريفات التالية: \(r_a\equiv2\), \(\fkn_a\equiv0\), \(\varphi_a\equiv2\pi n-\frac\epsilon2\chi_{-\st}\).

الجزء الكلاسيكي يتلقى مساهمات من شروط تشيرن-سيمونز، والتي يمكن كتابتها كـ (toappear) \[\begin{aligned} \label{eq: zcseff} Z^{\rm CS}_{\rm eff} = \prod_{a=1}^{|{\mathcal G}|} \prod_{i=0}^{N-1} \p{- y_{i}^{a}}^{\kcs_a \, (\fkb_{i}^{a} -1)} \, ,\end{aligned}\] حيث عرفنا \[\begin{aligned} y_i^{a}&=\mathrm{e}^{-2\pi \ii u_i^a}\cdot q^{\frac{\fkl^-_{a;\,i}}{2 n_-}- \sigma\frac{\fkl^+_{a;\,i}}{2 n_+}}\:, \nonumber\\ \fkb_i^{a}&=1-\frac{\fkm_i^a}{n_+n_-}-\frac{\fkl^-_{a;\,i}}{n_-}- \sigma \frac{\fkl^+_{a;\,i}}{n_+}\:.\end{aligned}\] في هذه الورقة نقتصر على الحالة التي \(\sum_a k_a=0\)، المقابلة لنظريات تشيرن-سيمونز-المادة ذات النمط \({\cal N}=2\) مع نظير نظرية M في AdS\(_4\times M_7\). التماثلات الطوبولوجية تساهم في الجزء الكلاسيكي لكن التعبير الصريح لن يكون مطلوبًا في هذه الرسالة.

تحليل الكتل الهولومورفية

يتحلل مؤشر الدوار إلى جداء كتل هولومورفية مزدوجة (Beem:2012mb). من الملائم استخدام اختيار للتحليل يكسر تماثل وايل لمجموعة القياس، معممًا الطريقة المقدمة في (Choi:2019zpz) للمؤشر الفائق التوافقي. بدءًا من ، نقسم الجداء على \(i,j\) إلى جداء على \(i<j\) وآخر على \(i>j\)، متجاهلين الحدود القطرية التي هي تحت الرائدة عند \(N\) الكبيرة؛ ثم نطبق على الحدود \(i>j\) ونجد \[\begin{aligned} \label{factorization} Z_{\text{1-L}}^{\rm CM}\, = \, \prod_{I=1}^{\numbchirals}\pref_I\cdot \mathcal B^+_I\cdot \mathcal B^-_I\:,\end{aligned}\] حيث لـ \(I\in(a,b)\) قمنا بتعريف \[\begin{aligned} \nonumber \pref_I&=\prod_{i<j}(y_{ij}^I)^{\frac{1-\fks-2\fkb^I_{ij}}4}(y_{ji}^I)^{-\frac{1-\fks-2\fkb^I_{ji}}4}\cdot q^{\frac{(1-\fks)(\fkb^I_{ij}-\fkb^I_{ji})}8}\:,\\ \label{B_def} \mathcal B^\pm_I&=\underset{\mathcal B^+:\:i>j}{\prod_{\mathcal B^-:\:i<j}}\frac {\p{\Big(\frac{z^\pm_{a;\,i}}{z^\pm_{b;\,j}}\Big)^{\pm\spm}\mathrm{e}^{-\ii\spm\Delta^\pm_I}q^{1-\cA^\pm_{I;\,ij}};q}_\infty} {\p{\Big(\frac{z^\pm_{a;\,j}}{z^\pm_{b;\,i}}\Big)^{\mp\spm}\mathrm{e}^{\ii\spm\Delta^\pm_I}q^{\cA^\pm_{I;\,ji}};q}_\infty}\:.\end{aligned}\] لاحظ أننا هنا قد قلبنا دور \(i,j\) في الكتل للراحة. سيتضح أن \(\pref_I\) ستكون تحت الرائدة بعد إلغاء القوى طويلة المدى. تعتمد الكتل \(\mathcal B^\pm_I\) على التوليفات \[\begin{aligned} \label{z_def} \Delta^\pm_I & = \varphi_I \pm \frac{\epsilon}{2} \left(\frac{{\mathfrak n}_I} { \nN \nS} + \frac{\chi_{\st}}{2 }r_I \right) ~ ,\nn\\ z^\pm_{a;\,i} & = \mathrm{e}^{\mp2\pi \ii u_i^a}\:q^{-\frac{\fkm_i^a}{2n_+n_-}} ~ . \end{aligned}\] لاحظ أن المتغيرات \(\Delta_I^\pm\) تلبي القيود \[\begin{aligned} \sum_{I\in W} \Delta_I^{\pm} = 2 \pi n + \frac{\spm\epsilon}{n_\pm} \, .\end{aligned}\] نستنتج نظائر متعددة النواقل لـ وبتبديل الفهارس \(I\) و \(b\) مع \(a\) وتطبيق التعريفات القياسية.

استراتيجية للحد الأعلى من \(N\)

سنقوم بتنفيذ الحد الأعلى من \(N\) لمؤشر الغزل بالاعتماد على تحليله إلى كتل هولومورفية، معممَين النهج الذي قدمه (Choi:2019zpz, Choi:2019dfu, Hosseini:2022vho). بالنسبة لدوال التقسيم على \(S^2\times S^1\)، يتم عادة تقريب مجموع جميع القيم الممكنة لتدفقات القياس \(\fkm\in\Gamma_{\mathfrak h}\equiv\mathbb{Z}^{|\mathcal G|N}\) في الحد الأعلى من \(N\) بترقية تدفقات \(\fkm\) إلى متغيرات مستمرة. ومع ذلك، بالنسبة لـ \(\spindle\times S^1\)، يتم عرقلة هذا التقريب بوجود أجزاء كسرية في . للتعامل مع هذا، نقسم كل تدفق قياس كما \(\fkm_i^a\equiv n_+n_-(\fkm')_i^a+\fkr_i^a\)، مع \((\fkm')_i^a\in\mathbb Z\) و \(\fkr_i^a\in \mathbb{Z}_{n_+n_-}\). ثم نلاحظ أن هناك تطابقًا فرديًا بين القيم الممكنة لـ \(\fkl^\pm_{a;\,i}\) و \(\fkr_i^a\): \[\begin{aligned} \frac{ \fkl^\pm_{a;\,i}}{n_\pm}=\left\{\frac{\spm a_\pm\fkr^a_i}{n_\pm}\right\}\, ,\,\,\, \frac{\fkr_i^a}{n_+n_-}=\left\{-\frac{\fkl^-_{a;\,i}}{n_-}-\fks\frac{\fkl^+_{a;\,i}}{n_+}\right\}\, .\end{aligned}\] يمكننا بالتالي تقسيم المجموع على \(\fkm_i^a\) كما \[\begin{aligned} \sum_{\fkm_i^a\in\mathbb Z}=\sum_{\fkl_{a;\,i}^-=0}^{n_--1}\:\:\sum_{\fkl_{a;\,i}^+=0}^{n_+-1}\:\:\sum_{(\fkm')_i^a\in\mathbb Z}~ ,\end{aligned}\] وفي الحد الأعلى من \(N\)، قد نروج \((\fkm')_i^a\) لتكون متغيرات مستمرة مع الاحتفاظ بـ \(\fkl^\pm_{a;\,i}\) كمتغيرات منفصلة. وبالتالي، نقرب مقياس التكامل في بـ \[\begin{aligned} \label{large_N_measure} \sum_{\mathfrak m \in\Gamma_{\mathfrak h}}\!\! \oint_{\mathcal C} \!\tfrac{\dd \ugot}{|W_{\mathcal G}|} \,\, \longrightarrow \!\!\!\! \sum_{\fkl^\pm\in(\mathbb Z_{n_\pm})^{|\mathcal G|N}} \int_{\mathbb C^{|\mathcal G|N}}\dd z^+\int_{\mathbb C^{|\mathcal G|N}}\dd z^-,\end{aligned}\] في الحد الأعلى من \(N\)، حيث تم تعريف المتغيرات \(z^\pm\) في ويمكن تجاهل ترتيب مجموعة وايل لأن \(\log|W_{\mathcal G}|=\mathcal O(N\log N)\).

بما أن الكتل \(\mathcal B_I^\pm\) تعتمد بشكل منفصل على \(z^\pm\)، سنكون قادرين على أداء تقريب نقطة السرج في \(z^-\) و \(z^+\) بشكل مستقل عن بعضهما البعض. ومع ذلك، فإن الجانب الأيمن من يتضمن أيضًا مجموعًا على متجهات الأعداد الصحيحة \(\fkl^\pm\)، والتي يمكن أن تأخذ ما مجموعه \((n_+n_-)^{|\mathcal G|N}\) من القيم الممكنة، والتي تنمو بشكل أسي مع \(N\). في الحد الأعلى من \(N\)، من المتوقع أن تهيمن قيمة واحدة من \(\fkl^\pm\) في أي منطقة معينة من فضاء المعلمات: على وجه الخصوص، ستكون هناك قيمة مرتبطة بنقطة السرج التي تعيد إنتاج الثقوب السوداء المتسارعة AdS\(_4\). من الضروري ملاحظتان لإيجاد الفرضية الصحيحة لـ \(\fkl^\pm\): أولاً، نحتاج إلى تقييد انتباهنا إلى مجموعة الخيارات الممكنة لـ \(\fkl^\pm\) التي، بتبديل مناسب للفهرس \(i\)، تكون دورية تحت التحولات \(i\to i+T\) لبعض \(T\ll N\). هذا الافتراض ضروري لكي نكون قادرين على أخذ (جزئيًا) الحد المستمر: تقسيم الفهرس \(i\) كـ \(i=Ti'+\wti\) مع \(\wti\in\{0,\ldots,T-1\}\)، يجعل تدفقات \(\fkl_{a;\,i}^\pm\) تعتمد فقط على الفهرس \(\wti\)، \(\fkl_{a;\,i}^\pm\equiv \fkl_{a;\,\wti}^\pm\). وبالتالي، في الحد الأعلى من \(N\)، يمكن استبدال الفهرس \(i'\) بمتغير مستمر \(t\). ثانيًا، جميع الطرق المعروفة لحساب دوال التقسيم ثلاثية الأبعاد في الحد الأعلى من \(N\) (Herzog:2010hf, Martelli:2011qj, Benini:2015eyy) تتطلب أن تهيمن الشروط مع \(i\sim j\) على الشروط مع \(i\ll j\). يُطلق على الأخيرة “القوى طويلة المدى” ومع الافتراضات المناسبة تُلغى في الرتبة الأولى، على الأقل لفئة من نظريات الكوير التي سنناقشها على الفور. إلغاء القوى طويلة المدى يقيد الخيارات الممكنة لـ \(\fkl^\pm\)، على الرغم من أن القيد بشكل عام معقد ويتضمن قيمة \(z^\pm\) أيضًا. بشكل ملحوظ، القيمة الخاصة \[\begin{aligned} \label{fkl_ansatz} \fkl^\pm_{a;\,i}\,= \, i \mod \,\, n_\pm \end{aligned}\] تجعل القوى طويلة المدى تختفي لأي \(z^\pm\). نتوقع أيضًا أن ([fkl_ansatz])، جنبًا إلى جنب مع فرضية بسيطة لـ \(z^\pm\)، تعيد إنتاج الانتروبيا للثقوب السوداء المتسارعة AdS\(_4\). من الغريب، يظهر تشابه قوي مع الفرضية التي تعيد إنتاج الانتروبيا للثقوب السوداء AdS\(_5\) مع زخم عشوائي، كما نوقش في (Benini:2020gjh, Colombo:2021kbb).

إلغاء القوى طويلة المدى

في ، تشفر العوامل المسبقة \(\pref_I\) القوى طويلة المدى بين المتغيرات \(z^\pm\) التي يمكن أن تفسد الحد الأعلى من \(N\). كما في الأعمال السابقة على النظريات ثلاثية الأبعاد، نلغي القوى طويلة المدى بالتقييد إلى “الكوير غير الكايريه”، حيث لكل ثنائي الأساس الذي يربط العقدة \(a\) و \(b\) هناك ثنائي الأساس يربط \(b\) و \(a\) و \[\begin{aligned} \label{ABJ} \sum_{I\in(a)} \mathfrak{n}_I = \sum_{ I\in(a)} u^F_I = \sum_{ I\in(a)} (r_I-1) +2=0\,,\end{aligned}\] في كل عقدة \(a\)، حيث يتم أخذ الجمع على جميع الأسهم في الكوير مع نقطة نهاية في العقدة \(a\)، مع احتساب الكايرالات المشتركة مرتين. في كوير رباعي الأبعاد، سيكون هذا الشرط مكافئًا لعدم وجود تشوهات ABJ لأي تماثل. الشروط تعني أيضًا أن Tr \(Q = 0\) لأي تماثل عالمي أو تماثل \(R\) مع مولد \(Q\)، حيث يتم أخذ الأثر على جميع الفرميونات في النظرية.

باستخدام علاقة الدورية \(\fkl_{a;\,i}^\pm=\fkl_{a;\,i+T}^\pm\) التي افترضناها، بالنسبة للكوير غير الكايريه التي تلبي يمكن تبسيط جداء جميع شروط العامل المسبق في الحد الأعلى من \(N\) إلى \[\begin{aligned} \label{long_range_simplified} \prod_{I=1}^{\numbchirals}\pref_I\cdot\prod_{a=1}^{|\mathcal G|}\pref_a \, \, \longrightarrow\, \, \prod_{I=1}^{\numbchirals}\widetilde\pref_I\cdot\prod_{a=1}^{|\mathcal G|}\widetilde\pref_a~ ,\end{aligned}\] حيث لـ \(I\in(a,b)\) \[\begin{aligned} \widetilde\pref_I=\prod_{s=\pm}\prod_{i,j=0}^{N-1}\p{\frac{z^s_{a;\,i}}{z^s_{b;\,j}}}^{\frac{\fks_s}4\p{1-\frac1{n_s}-2\cA^s_{I;\,ij}} \cdot\,\text{sign}(i-j)}\end{aligned}\] وتعريف مماثل ينطبق على \(\widetilde\pref_a\). مطالبة الجانب الأيمن من بأن يختفي ينتج قيدًا مختلطًا على \(\fkl^\pm\) و \(z^\pm\). بشكل حاسم، الفرضية هي الوحيدة التي تلبي الخاصية \[\begin{aligned} \frac1{n_\pm}\sum_{j=j_0}^{j_0+n_\pm-1}\cA_{I;\,ij}^\pm=\frac12\p{1-\frac1{n_\pm}}\end{aligned}\] (وعلاقة مماثلة مع \(i\)، \(j\) معكوسه) مما يضمن أن القوى طويلة المدى الناتجة عن تختفي لأي \(z^\pm\). بفضل عامل تحطيم تماثل وايل الذي استخدمناه، فإن الكتل \(\mathcal B^\pm_I\) لن تنتج أي مصطلح طويل المدى في الرتبة الأولى، كما سنوضح الآن.

الكتل الهولومورفية عند الحد الأعلى لـ \(N\)

لحساب الحد الأعلى لـ \(N\) للكتل \(\mathcal B_I^\pm\)، سنبدأ أولاً بالنظر في الفرضية المعتادة لتوزيع نقطة السرج لـ \(z^\pm\) (Herzog:2010hf,Martelli:2011qj,Benini:2015eyy), \[\begin{aligned} \log z^\pm_{a;\,i} = -\spm N^\alpha t_i \mp \ii \ys y_a^\pm(t_i)\:,\end{aligned}\] حيث \(t_i\), \(y_a(t_i)\) حقيقية ويفترض أنها مرتبة بحيث \(t_i\leq t_j\) لـ \(i<j\). يجب تحديد قوة \(N\) إلى \(\alpha=\frac12\)، وإلا فإن مساهمات الحلقة الواحدة وشروط تشيرن-سيمونز ستنمو بقانون قوة مختلف عند الحد الأعلى لـ \(N\) ولن يكون من الممكن العثور على نقاط حرجة غير تافهة. عندما نأخذ الحد المستمر نقسم الفهرس \(i\equiv Ti'+\wti\): بافتراض أن القيم الذاتية \(t_i\) تتوافق مع توزيع مستمر واحد عند الحد الأعلى لـ \(N\) يسمح بإجراء الاستبدالات \(t_i\equiv t_{i'}\equiv t\) وتعريف كثافة القيمة الذاتية \(\rho^\pm(t)\) بحيث \[\begin{aligned} & \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}\bullet\longrightarrow\frac1 T\sum_{\wti=0}^{T-1}\int\dd t\rho^\pm(t)\bullet\:, & \int\dd t\rho^\pm(t) = 1 .\end{aligned}\] توسيع رموز \(q\)-Pochhammer من حيث البولي لوغاريتمات في جميع الأوامر في \(\epsilon\) وأخذ الحد الأعلى لـ \(N\) لكل مصطلح كما في (Herzog:2010hf,Martelli:2011qj,Benini:2015eyy) يعطي \[\begin{aligned} \log \mathcal B_I^\pm=&N^{\frac32}\sum_{k=0}^2\epsilon^{k-1}\frac{B_k}{k!}\,\frac{1}{T^2}\sum_{\wti,\wtj=0}^{T-1}\int\dd t\rho^\pm(t)^2 \cdot\\ \nonumber &\cdot g_{3-k}(-\spm\ys \delta y^\pm_{ab}(t)-\spm\Delta_I^\pm-\epsilon\cA^\pm_{I;\,\wti\wtj})+o(N^{\frac32})\:,\end{aligned}\] مع \(B_k = B_k\p{1}=\{1,\frac12,\frac16,\ldots\}\) و \[\begin{aligned} g_{n}(x)=\frac{(2\pi)^n}{n!} B_n\p{\frac x{2\pi}-\left\lfloor\frac{\text{Re }x}{2\pi}\right\rfloor}\:,\end{aligned}\] حيث \(B_k\p{x}\) هي متعددات الحدود برنولي. نحن نستخدم التدوين \(\delta y^\pm_{ab}(t)\equiv y^\pm_a(t)-y^\pm_b(t)\).

الحد الأعلى لـ \(N\) لمؤشر الغزل

نفترض أن المؤشر يهيمن عليه التكوين ، والذي يؤدي إلى حد أعلى ثابت لـ \(N\). الحد الأعلى لـ \(N\) لشروط تشيرن-سيمونز الكلاسيكية يبسط إلى \[\begin{aligned} \log Z^{\rm CS}_{\rm eff} = \ys N^{3/2} \sum_a \sum_{s=\pm} \frac{\fks_s}{\epsilon} k_a \int \dd t \, t \rho^s(t) y_a^s(t) \,. \end{aligned}\] متسقًا مع حقيقة أن السروج ذات الثنائيات الجاذبية تعني تقدير الفلكس \(N/(n_+n_-)\in \mathbb{N}\) (Ferrero:2020twa), يمكننا أخذ \(T=n_+ n_-\). علاوة على ذلك، من أجل المقارنة مع حلول الثقوب السوداء، نحتاج إلى أخذ \(n=1\) (Cassani:2021dwa). أخيرًا، نحتاج أيضًا إلى اختيار تحديد ونفترض أن \(0\le \ys \delta y^\pm_{ab}(t)+\Delta_I^\pm+\sigma_\pm \mathrm{Re} (\epsilon)\cA^\pm_{I;\,\wti\wtj}\le 2\pi\). بعد بعض الجبر، يعطي التعبير الصريح لـ \(\fkl^{\pm}_{a;\,i}\) والشروط \[\begin{aligned} \label{gravblock} \log Z_{\spindle \times S^1} = -\sum_{s=\pm} \sigma_s \frac{F(\rho^s,\delta y_{ab}^s,\Delta^s_I)}{\epsilon} \end{aligned}\] مع \[\begin{aligned} \label{blockF} &\frac{F(\rho^{\pm},\delta y_{ab}^{\pm},\Delta_I^{\pm})} {N^{3/2}} = -\ys\sum_a k_a \int \dd t \, t \rho^\pm(t) y_a^\pm(t) \nonumber \\ &+\sum_{I\in (a,b)}\int \dd t \rho^\pm(t)^2 G_3^\pm( \ys \delta y_{ab}^\pm(t)+\Delta_I^\pm)\, , \end{aligned}\] حيث \(G_3^\pm(x)=\frac 16 x(x - \sum_{I\in W} \Delta^\pm_I/2)(x - \sum_{I\in W} \Delta^\pm_I)\). الدوال \(G_3^\pm(x)\) مستمدة من \(g_3(x)\) في النطاق \(x\in[0,2\pi]\) بتبديل جميع حالات \(\pi\) بـ \(\sum_{I\in W} \Delta^\pm_I/2\). الشروط الثنائية في تعتمد على متغيرات مختلفة ويمكن تقصيها بشكل مستقل.

على سبيل المثال، بالنسبة لنظرية ABJM المزدوجة لـ AdS\(_4\times S^7\)، مع \(|\mathcal{G}|=2\)، مستوى تشيرن-سيمونز \(k_1=1\) و\(k_2=-1\) وأربعة حقول ثنائية الأساس تتحول كـ \(\mathbf{N}_{1} \otimes \overline{ \mathbf{N}}_{2}\) لـ \(I=1,2\) وكـ \(\mathbf{N}_{2} \otimes \overline{ \mathbf{N}}_{1}\) لـ \(I=3,4\)، نجد \[\begin{aligned} & \eqref{blockF} = \ys\int \dd t t \rho^\pm \delta y^\pm-\frac 12\int \dd t (\rho^\pm)^2\Big (\sum_I \Delta_I^\pm (\delta y^\pm)^2 \nonumber \\ & -\ys 2(\Delta_1^\pm\Delta_2^\pm- \Delta_3^\pm\Delta_4^\pm)\delta y^\pm-\sum_{I<J<K} \Delta_I^\pm \Delta_J^\pm \Delta_K^\pm \Big )\end{aligned}\] هذه الدالة تتطابق مع الحد الأعلى لـ \(N\) للجهد الفائق الملتوى الفعال لنظرية ABJM المشتقة في (Benini:2015eyy)، المعبر عنها من حيث الكميات \(\pm\)، وتقصيها بسيط ¹. العبارات الصريحة لـ \(\rho^\pm\) و \(\delta y^\pm\) يمكن العثور عليها على سبيل المثال في (Benini:2015eyy[(2.70)-(2.75)]). القيمة الحرجة هي \[\begin{aligned} & F(\rho^{\pm},\delta y_{ab}^{\pm},\Delta_I^{\pm}) \Big |_{\text{crit}}= \frac 23 N^{3/2} \sqrt{2 \Delta_1^\pm \Delta_2^\pm \Delta_3^\pm \Delta_4^\pm} \, .\end{aligned}\] باستخدام نستعيد شكل الكتلة الجاذبية (Faedo:2021nub) ² لدالة الانتروبيا التي تم الحصول عليها في (Cassani:2021dwa) والمفترضة بشكل عام في (Ferrero:2021ovq).

يمكننا توسيع النتيجة إلى مشابك أكثر عمومية: في الواقع، مصطلح الأمر صفر من \(F\) في توسع \(\epsilon\) يتطابق مع الحد الأعلى لـ \(N\) للجهد الفائق الملتوى الفعال لنظرية \({\cal N}=2\) (Hosseini:2016tor) \[\begin{aligned} \label{twistedW} &\ii \frac{{\cal W}(\rho,\delta y_{ab},\Delta_I)} {N^{3/2}} = -\ys\sum_a k_a \int \dd t \, t \rho(t) y_a(t) \nonumber \\ &+\sum_{I\in (a,b)}\int \dd t \rho(t)^2 g_3(\ys \delta y_{ab}(t)+\Delta_I) \, ,\end{aligned}\] حيث \(\Delta_I= \Delta^\pm_I|_{\epsilon=0}=2\pi u_I^F+\pi r_I\) ونحن نتجاهل التماثلات الطوبولوجية للبساطة. هذا يتفق مع السلوك المعروف للكتل الهولومورفية (Beem:2012mb): \(\log\)(block)\(= \ii\frac{{\cal W}}{\epsilon} +O(\epsilon)\). ثم نلاحظ أن هو شكل متجانس من الحد الأعلى لـ \(N\) للجهد الفائق الملتوى الفعال \({\cal W}\) المحصل عليه بتبديل \(\Delta_I\) بـ \(\Delta_I^\pm\) وجميع حالات \(\pi\) بـ \(\sum_{I\in W} \Delta_I^\pm/2\). تقصي يعادل بعد ذلك تقصي \({\cal W}\) مع

\[\begin{aligned} \label{gravblock2} \log Z_{\spindle \times S^1} = \frac{F_{\text{crit}}(\Delta^-_I)}{\epsilon} -\sigma \frac{F_{\text{crit}}(\Delta^+_I)}{\epsilon}\, .\end{aligned}\]

يمكننا أيضًا أن نري أن الدالة الكتلية \(F_{\text{crit}}(\Delta_I)\)، بعد تجاهل العوامل، هي الشكل المتجانس لقيمة الحد الأكبر \(N\) للقيمة الفعالة الملتوية للإمكانية الفائقة \({\cal W}\). وقد تم حساب هذا للعديد من الأمثلة في (Hosseini:2016ume). عند الحد الأكبر \(N\)، تتطابق \({\cal W}\) مع دالة التجزئة \(S^3\) لنظرية \({\cal N}=2\) (Hosseini:2016tor)، وبالنسبة للنظريات التي لها مزدوج AdS\(_4\times M_7\)، فإن الأخيرة مرتبطة بدورها (Herzog:2010hf,Martelli:2011qj) بحجم ساساكي (Martelli:2005tp,Martelli:2006yb) لـ \(M_7\). باستخدام هذه السلسلة من المساويات، يوفر المرء استنتاجًا نظريًا للمجال لتحليل الكتل الجاذبية الذي تم الحصول عليه في (Boido:2022iye,Boido:2022mbe,BenettiGenolini:2024kyy) للتكوينات التي تحتوي على التواء “مميز” (أو “نكهة”) (Hosseini:2019ddy). سيتم مناقشة المزيد من التفاصيل حول التماثلات الطوبولوجية والمشكلات المتعلقة بالتماثلات الباريونية في (toappear).

المناقشة

في هذه الرسالة، قمنا بحل المشكلة الأساسية المتمثلة في توضيح المنشأ المجهري لانتروبيا بيكنشتاين-هوكينغ لأكثر فئات الثقوب السوداء الدوارة BPS تعميمًا المعروفة حاليًا في الأبعاد الأربعة. على وجه التحديد، تظهر نتائجنا أن الحالات المجهرية التي تسهم في انتروبيا الثقوب السوداء المتسارعة في الزمكان المضاد لدي سيتير ذو الأبعاد الأربعة تعكس بدقة الدرجات الفيزيائية للحرية التي تميز نظريات القياس المكممة على مغزل. لحل هذه المشكلة بنجاح، طورنا نهجًا جديدًا مصممًا للتعامل مع درجات الحرية لنظريات القياس على الأوربيفولدات. يحمل هذا الأسلوب تأثيرًا كبيرًا محتملًا حيث ينطبق على الأنظمة المتماثلة في أي عدد من الأبعاد، بما في ذلك على سبيل المثال دوال تقسيم الأوربيفولد ثلاثية الأبعاد (Inglese:2023tyc) ومؤشرات الأوربيفولد رباعية الأبعاد (Pittelli:2024ugf). تكمل نتائجنا بناء أول تكافؤ بين نظرية الجاذبية ونظرية الحقل الكمومي معرفة على أوربيفولد، مما يمهد الطريق لبرنامج بحثي متجدد في الهولوغرافيا.

الشكر والتقدير

يدعم عمل EC و DM جزئيًا بمنحة ترابيزيو (2023) من مؤسسة فوندازيوني كومبانيا دي سان باولو. يدعم AZ جزئيًا بمنحة MUR-PRIN رقم 2022NY2MXY. يعترف EC، DM، AP و AZ بالدعم الجزئي من INFN. يدعم SMH جزئيًا بمنح STFC الموحدة ST/T000791/1 و ST/X000575/1.