البرمجة الكمومية الطوبولوجية في TED-K

الحاجة إلى البرمجة الكمومية الطوبولوجية. يكمن المفتاح لتحقيق فكرة الحوسبة الكمومية (انظر ) كواقع عملي في تثبيت الدوائر الكمومية ضد الضوضاء وفقدان التماسك (التحمل للأخطاء، انظر ). يمكن تحقيق ذلك لاحقاً عبر تصحيح الأخطاء الكمومية (، انظر )، لكن من الأفضل تجنب هذه الأخطاء من الأساس: الوعد الكبير لـالحوسبة الكمومية الطوبولوجية (TQC، ، مراجعة في ) هو استغلال الظواهر الطوبولوجية في المواد الكمومية الأساسية (انظر ) لتقييد مسارات فقدان التماسك الكمومي. يمكن القول ¹ إن الحماية الطوبولوجية ليست خياراً بل ضرورة لتحقيق حوسبة كمومية ذات معنى.

وبما أن المكون الأساسي للأجهزة في TQC — أي الترتيب الطوبولوجي الأنيوني في الأطوار الطوبولوجية للمواد الكمومية () — قد تم إثباته تجريبياً مؤخراً (، خاصة في تجسيد متبادل جديد واعد عبر عقد الحزم في فضاء العزم )، فلا يبدو أن هناك عائقاً تقنياً أساسياً أمام بناء أجهزة TQC في نهاية المطاف، رغم أن ذلك لا يزال طموحاً. لذا، بينما ينشغل المهندسون ببناء الأجهزة الكمومية الطوبولوجية، يجب على المنظرين أن يأخذوا بجدية ممارسة البرمجة الكمومية الطوبولوجية القادمة.

طبيعة البرمجة الكمومية الطوبولوجية. تتطلب الكفاءة أن تكون لغة البرمجة مدركة للأجهزة، بحيث تتماشى مبادئ تصميمها مع الوظائف التي توفرها الآلة. أصبح هذا أمراً شائعاً في الحواسيب الكمومية المتوفرة أو التجريبية ()، لكن في ظل الثورة الكمومية الطوبولوجية المرتقبة يبقى السؤال:

نعني بذلك أن تعكس بنية اللغة النموذج التطبيقي المعتمد للحوسبة الكمومية الطوبولوجية (انظر للمزيد)، بما في ذلك:

• كيوبتات طوبولوجية مشفرة في حالات أرضية مرتبة طوبولوجياً تعتمد على مواضع عيوب الأنيونات من نوع \(\widehat{\mathfrak{su}_{2}}^{k}\) عند أي مستوى Chern-Simons مسموح \(k\)،
• بوابات منطقية كمومية تعمل عبر التضفير البطيء (adiabatic) لهذه المواضع.

لكن مسألة إدراك الأجهزة الطوبولوجية لم تحظَ بعد بالاهتمام الكافي، باستثناء السؤال النظري حول ترجمة البرامج الكمومية من دوائر بوابات التضفير ().

نقدم هنا إجابة أساسية على هذا السؤال بالعودة إلى جذور المفاهيم في:

\(\left. \mbox{ \begin{tabular}{ll} (أ) & {\bf الحوسبة} \\ (ب) & {\bf الطوبولوجيا الجبرية} \\ (ج) & {\bf الفيزياء الكمومية} \end{tabular} } \right\} \mbox{ \hspace{-.1cm} في صورتها كـ \hspace{-.05cm} } \left\{ \mbox{ \begin{tabular}{lll} (أ) & {\bf نظرية الأنواع المتماسكة} & \cite{UFP13} \\ (ب) & {\bf التوافقية العامة} & \cite{TamakiKono06} \\ (ج) & {\bf تكمية الشحنة} & \cite{FSS20Character}, \end{tabular} } \right.\)

حيث نجد مخطط برمجة جديد يربط بشكل أصيل بين:

• المبادئ الفيزيائية المتوسطة للحالات الكمومية المرتبة طوبولوجياً
• لغة منطق الكمومية عالية المستوى في صورة نظرية الأنواع الخطية المعتمدة .

نظرية K-TED للبرمجة الكمومية الطوبولوجية. الرابط بين هذه المفاهيم هو () نظرية التوافقية العامة المتماسكة المعروفة باسم ( تبعاً لـ):

حيث تعكس نظرية K-TED بشكل طبيعي ودقيق (وسنوضح ذلك لاحقاً):

• المبادئ الأساسية للفيزياء الكمومية الطوبولوجية (كما أوضح لأول مرة في ، انظر للمزيد)، وبالأخص الحالات الأرضية المرتبة طوبولوجياً للأنيونات ().

• في رياضيات الطوبولوجيا المتكافئة الهندسية والمتكافئة والثابتة ونظرية الطوبولوجيا المتكافئة .

لكن توجد لغة برمجة للبناء التركيبي في هذا الشكل الغني من نظرية الطوبولوجيا المتكافئة، وهي نظرية الأنواع المتماسكة ؛ انظر للمزيد من الشرح والمراجع.

وبذلك، تصبح نظرية K-TED مخططاً طبيعياً للبرمجة الكمومية الطوبولوجية عند التعامل معها بشكل مناسب: فتنفيذها في HoTT المتماسكة يجعلها بنية لغوية برمجية، وانعكاسها للترتيب الكمومي الطوبولوجي للأنيونات يجعلها لغة برمجة كمومية مدركة للأجهزة الطوبولوجية (وسنوضح ذلك لاحقاً):

\[\begin{tikzcd}[ column sep={between origins, 69pt} ] \mbox { \bf منصة البرمجة: } &[+10pt]& \mbox {\bf مكتبة/وحدة:} && \mathclap{ \mbox {\bf منصة الأجهزة:} } \\[-20pt] \mathllap{ \scalebox{.7}{ \def\arraystretch{.9} \begin{tabular}{c} \cite{Schreiber14} \\ \cite{RileyFinsterLicata21} \end{tabular} } \hspace{-2pt} } \fbox{ \hspace{-10pt} \small \begin{tabular}{c} نظرية الأنواع المتماسكة \\ مع الأنواع الخطية المعتمدة \end{tabular} \hspace{-10pt} } \ar[ rr, "{ \color{greenii} \footnotesize \bf \mbox{تنفذ} }", "{ \scalebox{.8}{ \cite{SS20OrbifoldCohomology}\cite{SS21EPB} } }"{swap, yshift=-2pt} ] \ar[ drrrr, rounded corners, to path={ ([yshift=-3pt]\tikztostart.south) -- ([yshift=-40pt]\tikztostart.south) -- node[above] { \scalebox{1}{ \color{greenii} البرمجة الكمومية الطوبولوجية } } ([xshift=-4pt]\tikztotarget.west) } ] &[+2pt]& \fbox{ \hspace{-10pt} \small \begin{tabular}{c} {\color{orangeii}توافقية TED-K} لتكوينات العيوب \\ في أوربيفولدات البلورة \end{tabular} \hspace{-10pt} } \ar[ rr, "{ \color{greenii} \footnotesize \bf \mbox{تحاكي} }"{yshift=2pt}, "{ \scalebox{.8}{ \cite{SS22AnyonictopologicalOrder} } }"{swap} ] &[+2pt]& \fbox{ \hspace{-10pt} \small \begin{tabular}{c} حالات كمومية أنيونية \\ في الأطوار الطوبولوجية \\ للمواد الكمومية \end{tabular} \hspace{-10pt} } \ar[ d, "{ \color{greenii} \footnotesize \bf \mbox{تشغل} }"{xshift=-1pt, yshift=1pt, swap}, "{ \scalebox{.8}{ \hspace{-.2cm} \def\arraystretch{.9} \begin{tabular}{l} \cite{Kitaev03}\cite{FKLW01} \\ \cite{NSSFS08} \end{tabular} } }" ] \\[+0pt] && && \fbox{ \hspace{-10pt} \small \begin{tabular}{c} دوائر \\ كمومية \\ طوبولوجية \end{tabular} \hspace{-10pt} } \end{tikzcd}\]

للمقارنة، لاحظ أن لغات البرمجة الكمومية الحالية (انظر ) هي في جوهرها لغات رسمية لـالجبر الخطي (كما تنبأ به )، حيث أنواع البيانات هي أنواع خطية (مثل فضاءات هيلبرت) للحالات الكمومية وخوارزمياتها هي تطبيقات خطية (مؤثرات وحدوية) بينها: أي دوائر كمومية .

أما في الصياغة الطوبولوجية لهذا الوضع، فإن نظرية الأنواع المتماسكة هي بالأخص () لغة (تحديداً: وظيفية، مثل QML أو Quipper ) لـنظرية الطوبولوجيا المتماسكة الخطية المعروفة تقليدياً باسم نظرية الطوبولوجيا المتماسكة الثابتة، حيث تشمل أنواع البيانات "أنواع الطوبولوجيا الخطية" المعروفة باسم الطيف، ومن أبرز أمثلتها الطيف \(\mathrm{KU}\) الذي يمثل نظرية K الطوبولوجية (انظر ).

في الواقع، يشمل ذلك أنواع الطوبولوجيا الخطية المعتمدة ، التي ترمز لنظريات التوافقية العامة الملتوية (انظر )، مثل نظرية K-TED. حسابياً، تعكس التبعية (dependency) لأنواع البيانات الخطية على الأنواع العادية (أي "الحدسية") تحكم الحوسبة الكمومية بواسطة الحواسيب الكلاسيكية (على غرار )، وبشكل خاص الحوسبة الكمومية البطيئة (adiabatic) عبر التغير البطيء للمعاملات الخارجية، مثل تضفير الأنيونات (انظر )، وسنعود لذلك لاحقاً.

ثلاثية الحوسبة الكمومية الطوبولوجية. لفهم مدى طبيعية هذا المخطط البرمجي المطور، لاحظ أنه يمكننا فهم الانتقال من العمود الأيسر إلى الأيمن في الجدول أعلاه كـطوبولوجية تليها تكمية للثلاثية الحوسبية الكلاسيكية (I أدناه، وفق بعد ، مراجعة في ) التي تربط بين نظريات
(1) الحوسبة، (2) نظرية الأنواع (3) نظرية التصنيف:

• أولاً (في II) تحدد الثلاثية الحوسبية الطوبولوجية (انظر مع ) ما يلي:
  (1) الحوسبة المعتمدة/السياقية، (2) نظرية الأنواع الطوبولوجية، (3) نظرية الطوبولوجيا المتكافئة؛
• ثم (في III) تحدد الثلاثية الحوسبية الكمومية ما يلي:
  (1) الحوسبة الكمومية المتحكم بها كلاسيكياً، (2) نظرية الأنواع الطوبولوجية الخطية المعتمدة، (3) الطوبولوجيا الجبرية.

وبشكل خاص، فإن الكيوبتات الطوبولوجية في فضاءات هيلبرت لدوال موجة الأنيونات المعتمدة على موضع العيوب (الدوامات) تشكل نوع البيانات الخطية المعتمدة التي تجسد الحالات الكمومية للأنيونات مع حركتها البطيئة عبر بوابات التضفير الكمومية الطوبولوجية (انظر الرسوم في ):

لاحظ أن مجموعة ميزات اللغة الكاملة لأنواع البيانات الخطية المعتمدة في نظرية الأنواع المتماسكة ضرورية وكافية لتمثيل هذا الوضع بدقة. نختتم هذه المذكرة بالإشارة² إلى صياغة TED-K في HoTT المتماسكة التي توفر انعكاساً لغوياً برمجياً لمثل هذه البوابات الكمومية الطوبولوجية. هذا مشروع بحثي في مركز الأنظمة الكمومية والطوبولوجية (CQTS)، وسيتم نشر نتائجه التفصيلية لاحقاً.

لغة TED-K. في نظرية الأنواع المتماسكة، تتوفر نوع البيانات \(\mathbb{R}^1\) للأعداد الحقيقية مع طوبولوجيتها التفاضلية . ومن ذلك، يمكن بناء أنواع بيانات تمثل كائنات مألوفة في الطوبولوجيا التفاضلية والتحليل، مثل فضاءات هيلبرت المركبة القابلة للفصل \(\mathscr{H}\)، ومجموعاتها الوحدوية الإسقاطية \(\mathrm{PU}\) وفضاءات المؤثرات فريدولم \(\mathrm{Fred}^0_{\mathbb{C}}\)، إلخ، جميعها مع طوبولوجيتها المناسبة (انظر للتفاصيل).

وبذلك، تُرمز مجموعات نظرية K الطوبولوجية المركبة لأي نوع بيانات متماسك \(\mathcal{X}\) كنوع من أصناف الهوموتوبي المتماسكة لدوال بقيم مؤثرات فريدولم: \[\label{KTheoryCodedInTypeTheory} \mathcal{X} \,\colon\, \mathrm{Type} \quad \vdash \quad \mathrm{KU} \big(\mathcal{X}\big) \;\equiv\; \big\vert \, \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \big( \mathcal{X} \xrightarrow{\;} \mathrm{Fred} ^0_{\mathbb{C}} \big) \big\vert_0 \,\colon\, \mathrm{Type} \,.\] هنا " " ترمز لمعامل شكل في HoTT المتماسكة و\(\vert-\vert_0\) ترمز لمعامل القطع عند الصفر الموجود في HoTT العادية (انظر ).

علاوة على ذلك، فإن نوع مؤثرات فريدولم (ذات التدرج الفردي الذاتي) يخضع لفعل تقارن طبيعي بواسطة المجموعة الوحدوية الإسقاطية (ذات التدرج) \(\mathrm{PU}\)، وبالتالي (انظر ) يظهر كليف من نوع معتمد \(\mathrm{Fred}^0_{\mathbb{C}} \!\sslash\! \mathrm{PU}\) فوق نوع التدوير \(\mathbf{B}\mathrm{PU}\). باعتبار دالة من أي نوع \(\mathcal{X}\) إلى \(\mathbf{B}\mathrm{PU}\) كـ"twist"، نحصل على نوع نظرية K الملتوية كقطع عند الصفر لشكل جداء الدوال المعتمدة: \[\label{TwistedKTheoryCodedInTypeTheory} \mathcal{X} \,\colon\, \mathrm{Type} ;\, \tau \,\colon\, \mathcal{X} \xrightarrow{\;} \mathbf{B}\mathrm{PU} \quad \vdash \quad \mathrm{KU}^\tau \big(\mathcal{X}\big) \,\equiv\, \bigg\vert \, \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \, {\prod}_{\mathbf{B}\mathrm{PU}} \Big( \mathcal{X} \xrightarrow{\;} \mathrm{Fred} ^0_{\mathbb{C}} \!\sslash\! \mathrm{PU} \Big) \bigg\vert_0 \;:\; \mathrm{Type}\] إذا كان \(\mathcal{X}\) غير مقطوع عند الصفر، فهذا هو نظرية K الملتوية للأوربيفولد. تحديداً، إذا كان \(\mathcal{X} \,\simeq\, \mathrm{X} \!\sslash\! G\) لمجموعة منفصلة \(G\) تؤثر على نوع \(\mathrm{X}\)، فهذا هو نظرية K الملتوية المتكافئة مع \(G\).

نعني بذلك أنه عند تفسير نظرية الأنواع المتماسكة في \(\infty\)-توبوس (انظر )، وهنا تحديداً في \(\infty\)-توبوس المتماسك للمجموعة اللانهائية الناعمة (، تفاصيل في )، تتطابق الأنواع أعلاه مع مجموعات نظرية K الملتوية المتكافئة المعروفة في الأدبيات التقليدية (، انظر ).

الصياغة الكمومية الطوبولوجية. النقطة الأساسية هنا : عند أخذ النوع \(\mathrm{X}\) كفضاء تكوين نقاط على الطور، فإن مجموعات K الملتوية المتكافئة [TwistedKTheoryCodedInTypeTheory] تشمل طبيعياً (من حيث الشروط الكتلية) فضاءات الحالات الأرضية المرتبة طوبولوجياً للأنيونات من نوع \(\mathfrak{su}(2)\) ()، وتفعل ذلك كأنواع خطية معتمدة على المعامل الكلاسيكي/الخارجي/الحدسي لمواضع عيوب الأنيونات: \[\label{AnyonsCodedInTypeTheory} \underset{ \mathrlap{ \hspace{-1.8cm} \raisebox{-.5pt}{ \tiny \color{orangeii} \bf مواضع عيوب الأنيونات } } }{ \overset{ \mathrlap{ \hspace{-1.8cm} \raisebox{2pt}{ \tiny \color{darkblue} \bf عنصر من نوع القاعدة } } }{ \{ k_I \}_{I=1}^N \,:\, \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,N\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \big) \!\sslash\! G } } \quad \vdash \quad \underset{ \mathrlap{ \hspace{-5.1cm} \raisebox{-1pt}{ { \tiny \color{greenii} \bf يحدد} \; { \tiny \color{orangeii} \bf فضاء هيلبرت لدوال الموجة الأرضية المرتبة طوبولوجياً } } } }{ \overset{ \mathrlap{ \hspace{-4.65cm} \raisebox{0pt}{ {\color{greenii} \tiny \bf يؤدي إلى} \; \quad {\tiny \color{darkblue} \bf نوع خطي معتمد من TED-K } } }{ \Big\vert \, \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \, {\prod}_{\mathbf{B}\mathrm{PU}} \Big( \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,n\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \setminus \{k_I\}_{I=1}^M \big) \!\sslash\! G \xrightarrow{\;} \mathrm{Fred} ^0_{\mathbb{C}} \!\sslash\! \mathrm{PU} \Big) \Big\vert_0 } } : \mathrm{Type}\] ويتبين أن ذلك يعتمد فقط على شكل الفضاء التماسك \(\raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh}\) لفضاء التكوين — والذي يعادل (تدوير) مجموعة التضفير (انظر ): \[\label{ShapeOfConfigurationSpaceOfPoints} \mathllap{ \mbox{ \tiny \color{darkblue} \bf \def\arraystretch{.9} \begin{tabular}{c} الشكل التماسك \\ لنوع القاعدة \end{tabular} } } \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \, \Big( \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,N\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \big) \Big) \;\simeq\; \mathbf{B} \big( \mathrm{Br}_{{}_{\widehat{\mathbb{T}}{}^{2}}}(N) \big) \mathrlap{ \tiny \color{orangeii} \bf \def\arraystretch{.9} \begin{tabular}{c} \bf تدوير حزمة \\ \bf لمجموعة التضفير {\color{black}.} \end{tabular} }\] وبالتالي، توفر نظرية الأنواع المتماسكة الموحدة الآن عملية النقل () للنوع المعتمد [AnyonsCodedInTypeTheory] على الهويات في الشكل التماسك لقاعدة نوعه [ShapeOfConfigurationSpaceOfPoints]: \[\underset{ \mathclap{ \hspace{-.5cm} \raisebox{-0pt}{ \tiny \color{orangeii} \bf تضفير مسارات عيوب الأنيونات } } }{ \overset{ \mathclap{ \hspace{-12pt} \raisebox{2pt}{ \tiny \color{darkblue} \bf عنصر من نوع الهوية لقاعدة النوع } } }{ \gamma \,: \bigg( (k_I)_{I =1}^N \underset { \mathclap{ \raisebox{-6pt}{ \scalebox{.7}{$ \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \mathrm{Conf}_N\big(\widehat{\mathbb{T}}{}^{2}\big) \!\sslash\! G $} } } }{ \;\; = \;\; } (k_I)_{I =1}^N \bigg) } } \;\; \vdash \;\; \underset{ \mathrlap{ \hspace{-3.35cm} \raisebox{-6.2pt}{ {\color{greenii} \tiny \bf يؤدي إلى} \; {\tiny \color{orangeii} \bf عملية بوابة كمومية وحدوية على الكيوبتات الطوبولوجية } } } }{ \overset{ \mathrlap{ \hspace{-3.35cm} \raisebox{5.5pt}{ {\color{greenii} \tiny \bf يؤدي إلى} \; {\tiny \color{darkblue} \bf عملية نقل نوع معتمد على أنواع TED-K } } } }{ U(\gamma) \,:\, \mathrm{KU}^\tau_G \Big( \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,n\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \setminus (k_I)_{I=1}^N \big) \Big) } } \xrightarrow{\;} \mathrm{KU}^\tau_G \Big( \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,n\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \setminus (k_I)_{I=1}^N \big) \Big).\] وبحسب ما سبق، فإن هذا العنصر يرمز لعملية من مجموعة التضفير على فضاء الحالات الأرضية للأنيونات، وبهذا يرمز للبوابات الكمومية التضفيرية كما هو موضح في ص. 4.