على الأرجح يتطلّب تحقيق الحوسبة الكمّوميّة القابلة للتوسّع تثبيتاً طوبولوجياً، ومن ثمّ برمجةً كمّوميّة مُدركةً للطوبولوجيا والتحقّق من الدوائر الكمّوميّة الطوبولوجيّة. غير أنّ تركيب هذه الاستراتيجيات في لغاتٍ مُخصّصة للبرمجة الكمّوميّة الطوبولوجيّة لم يحظَ بعدُ بالاهتمام الكافي.
نقدّم هنا مخطّطاً أساسيّاً وطبيعيّاً لبرمجةٍ كمّوميّةٍ طوبولوجيّة وظيفيّة ذات أنماط (وبالتالي قابلة للتحقّق)، تكون مُدركةً للطوبولوجيا الفيزيائيّة للأجهزة، بحيث تعكس بصورةٍ أصيلة التفاصيلَ التقنيّة العالميّة الدّقيقة للكيوبتات الطوبولوجيّة، أي الحالات الأرضيّة للأنيونات من نوع لافلين، المحميّة أو المُعزَّزة بالتناظر، في الأطوار الطوبولوجيّة للمواد الكمّوميّة.
يعتمد هذا العمل على:
لا يقتصر الأمر على أنّ محاكاة وظائف الأجهزة الطوبولوجيّة الأنيونيّة عبر TED-K المُنفَّذة في HoTT المتماسِكة توفّر أدواتِ تحقّقٍ برمجيٍّ متقدّمةً للبرمجة الكمّوميّة الطوبولوجيّة المُدركة للأجهزة، بل إنّ الطبيعة البِنائيّة لعمليّة التحقّق النَّوْعيّ لبرنامجٍ كموميّ TED-K في HoTT المتماسِكة على حاسوبٍ كلاسيكي باستخدام البرمجيّات المتاحة (مثل Agda-\flat) قد تتيح في الوقت ذاته محاكاةً كلاسيكيّةً للحوسبة الكمّوميّة المقصودة على المستوى الفيزيائي العميق للكيوبتات الطوبولوجيّة.
يجعل هذا من TED-K في HoTT المتماسِكة مُختبراً برمجيّاً مثالياً للحوسبة الكمّوميّة الطوبولوجيّة على أنواع الكيوبتات الطوبولوجيّة القابلة للتطبيق تكنولوجيّاً، مع إمكان الترجمة الفوريّة إلى دوائر كمّوميّة طوبولوجيّة متى توفّرت الأجهزة المناسبة.
في هذه المذكرة القصيرة نعرض الأفكار الأساسية، ونُراجع سريعاً النتائج الجوهرية، ونُشير بإيجازٍ إلى البُنى اللغويّة الأساسيّة لتضفير الأنيونات عبر TED-K في HoTT المتماسِكة. نظام اللغة قيد التطوير في مركز الأنظمة الكمّوميّة والطوبولوجيّة في معهد أبحاث جامعة نيويورك أبوظبي. للمزيد من المواد التكميلية حول هذا الإعلان، انظر: ncatlab.org/schreiber/show/TQCinTEDK.
<ccs2012> <concept> <concept_id>10003752.10003753.10003758.10010626</concept_id> <concept_desc>نظرية الحوسبة — نظرية المعلومات الكمّوميّة</concept_desc> <concept_significance>100</concept_significance> </concept> <concept> <concept_id>10011007.10011006.10011008.10011009.10011012</concept_id> <concept_desc>البرمجيات وهندستها — لغات البرمجة الوظيفيّة</concept_desc> <concept_significance>300</concept_significance> </concept> <concept> <concept_id>10010583.10010786.10010813.10011726.10011728</concept_id> <concept_desc>الأجهزة — تصحيح الأخطاء الكمّوميّة والتحمّل للأخطاء</concept_desc> <concept_significance>500</concept_significance> </concept> </ccs2012>
الحافز. يكمن المفتاح لتحويل الحوسبة الكمّوميّة (انظر ) إلى واقعٍ عمليّ في تثبيت الدوائر الكمّوميّة ضدّ الضوضاء وفقدان التماسك (التحمّل للأخطاء، انظر ). يمكن تحقيق ذلك عبر تصحيح الأخطاء الكمّوميّة (، انظر )، لكنّ الأفضل اتّقاءُ الخطأ قبل وقوعه: فالوعدُ الكبير لـالحوسبة الكمّوميّة الطوبولوجيّة (TQC) (؛ مراجعة في ) هو استغلال الظواهر الطوبولوجيّة في المواد الكمّوميّة (انظر ) لتقييد مسارات فقدان التماسك الكمومي. ويمكن القول 1 إنّ الحماية الطوبولوجيّة ليست خياراً بل ضرورةً لحوسبةٍ كمّوميّةٍ ذات معنى.
وبما أنّ المكوّن الأساسي للأجهزة في TQC — أي النظام الطوبولوجي الأنيوني في أطوار المواد الكمّوميّة () — قد ثُبِّت تجريبيّاً مؤخّراً ()، ولا سيّما في تجسيدٍ تبادليّ واعدٍ عبر عقدِ الحُزَم في فضاء العزم ، فلا يبدو أنّ ثمّة عائقاً تقنيّاً أساسياً يحول دون بناء أجهزة TQC في نهاية المطاف، وإنْ ظلّ ذلك طموحاً. لذا، وبينما ينشغل المهندسون ببناء الأجهزة الكمّوميّة الطوبولوجيّة، ينبغي للمنظِّرين أخذُ ممارسة البرمجة الكمّوميّة الطوبولوجيّة القادمة على محمل الجدّ.
تتطلّب الكفاءة أن تكون لغةُ البرمجة مُدركةً للأجهزة، بحيث تنسجم مبادئُ تصميمها مع الوظائف التي توفّرها الآلة. وهذا أمرٌ أصبح مألوفاً في الحواسيب الكمّوميّة المتاحة أو التجريبيّة ()، لكن ومع الثورة الطوبولوجيّة الكمّوميّة المرتقبة يبرز السؤال:
كيف يمكن للغةِ برمجةٍ كمّوميّة أن تكون مُدركةً للأجهزة الكمّوميّة الطوبولوجيّة؟
نعني بذلك أن تعكس بنيةُ اللغة النموذجَ التطبيقيَّ المعتمد للحوسبة الكمّوميّة الطوبولوجيّة (انظر )، بما يشمل:
إدراكُ الأجهزة الطوبولوجيّة ضمن اللغة لم يُدرَس بعدُ بما يكفي، باستثناء مسألة الترجمة النظريّة من برامج الدوائر إلى بوّابات التضفير ().
نُقدِّم هنا إجابةً أساسيّةً بالعودة إلى الجذور المشتركة في:
\(\left. \mbox{ \begin{tabular}{ll} (أ) & {\bf الحوسبة} \\ (ب) & {\bf الطوبولوجيا الجبريّة} \\ (ج) & {\bf الفيزياء الكمّوميّة} \end{tabular} } \right\} \mbox{ \hspace{-.1cm} في صورتها كـ \hspace{-.05cm} } \left\{ \mbox{ \begin{tabular}{lll} (أ) & {\bf نظرية الأنواع المتماسِكة} & \cite{UFP13} \\ (ب) & {\bf التوافقيّة العامّة} & \cite{TamakiKono06} \\ (ج) & {\bf تَكْمِيَة الشحنة} & \cite{FSS20Character}, \end{tabular} } \right.\)
حيث نحصل على مخطّطِ برمجةٍ يربط بصورةٍ أصيلة بين:
الرابطُ بين هذه المفاهيم هو نظريّةُ التوافقيّة العامّة المتماسِكة المعروفة باسم (بتتبّع ):
نظرية K التفاضليّة المُلتوية المُتَّكافئة (اختصاراً: TED‑K‑theory).
تعكسُ نظرية TED‑K بصورةٍ طبيعيّةٍ ودقيقة (كما سيتّضح لاحقاً):
ويوجد للإنشاء التركيبي في هذا السياق الغني من الطوبولوجيا المتماسِكة لغة برمجة، وهي نظرية الأنواع المتماسِكة ؛ انظر للمزيد من الشرح والمراجع.
وعليه تصبح TED‑K مخطّطاً طبيعيّاً للبرمجة الكمّوميّة الطوبولوجيّة عند التعامل معها على النحو المناسب: فتنفيذُها في HoTT المتماسِكة يجعلها بِنْيةً لغويّة برمجيّة، وانعكاسُها للنظام الكمّومي الطوبولوجي للأنيونات يجعلها لغةَ برمجةٍ كمّوميّةً مُدركةً للأجهزة الطوبولوجيّة (كما سنوضّح):
للمقارنة، لاحِظْ أنّ لغات البرمجة الكمّوميّة الحاليّة (انظر ) هي في جوهرها لغاتٌ رسميّةٌ لـالجبر الخطي (كما تنبّأ به )، حيث أنواعُ البيانات هي أنواعٌ خطيّة (مثل فضاءات هيلبرت) للحالات الكمّوميّة وخوارزميّاتها تطبيقاتٌ خطيّة (مؤثّرات وحدويّة) بينها: أي دوائر كمّوميّة .
أمّا في الصياغة الطوبولوجيّة لهذا الوضع، فإنّ نظرية الأنواع المتماسِكة تُعدّ () لغةً (تحديداً: وظيفيّة مثل QML أو Quipper ) لـنظرية الطوبولوجيا المتماسِكة الخطيّة المعروفة تقليديّاً باسم نظرية الطيف المتماسِك، حيث تشمل أنواعُ البيانات "أنواعَ طوبولوجيا خطيّة" تُسمّى الأطياف، ومن أبرز أمثلتها الطيف \(\mathrm{KU}\) الذي يُمثّل نظرية K الطوبولوجيّة (انظر ).
| البُعد/المكوّن | البرمجة الكمّوميّة التقليديّة | TED‑K في HoTT المتماسِكة |
|---|---|---|
| نظرية الأنواع | نظرية الأنواع الخطيّة (الجبر الخطي) | نظرية الأنواع الطوبولوجيّة الخطيّة (نظرية الطيف المتماسِك) |
| أنواع البيانات | أنواع خطيّة (فضاءات متّجهية) | أنواع طوبولوجيّة خطيّة (أطياف متماسِكة) |
| تحكّم كلاسيكي أدياباتِيّ | أنواع خطيّة مُعتمِدة (حُزَم متّجهية) | أنواع طوبولوجيّة خطيّة مُعتمِدة (أطياف متماسِكة مُعتمِدة) |
| وحدة المعلومات | كيوبِت في \(\mathbb{C}\) | حرف في \(\mathrm{KU}_G^\tau(-;\,\mathbb{C})\) |
ويتضمّن ذلك أيضاً أنواعَ الطوبولوجيا الخطيّة المُعتمِدة ، التي تُرمِّز نظريّاتِ التوافقيّة العامّة المُلتوية (انظر )، مثل نظرية TED‑K. حسابيّاً، تعكسُ التبعيّةُ لِأنواع البيانات الخطيّة على الأنواع العاديّة (الـ"حدسيّة") تحكّم الحوسبة الكمّوميّة بواسطة حواسيب كلاسيكيّة (على غرار )، وبخاصّة الحوسبة الكمّوميّة الأدياباتِيّة عبر التغيّر البطيء للمعاملات الخارجيّة، مثل تضفير الأنيونات (انظر )، وسنعود لهذا لاحقاً.
لتبيان طبيعيّة هذا المخطّط البرمجي، لاحِظْ أنّ الانتقال من العمود الأيسر إلى الأيمن في الجدول أعلاه يمكن فهمُه كـطوبولوجيّة تليها تكمية لثلاثيّةٍ حوسبيّةٍ كلاسيكيّة (I أدناه، وفق بعد ؛ مراجعة في ) تربط بين: (1) الحوسبة، (2) نظرية الأنواع، (3) نظرية التصنيف.
وبخاصّة، فإنّ الكيوبتات الطوبولوجيّة في فضاءات هيلبرت لدوالّ موجة الأنيونات، المُعتمدة على مواضع العيوب (الدوّامات)، تُجسِّد أنواعَ البيانات الخطيّة المُعتمِدة التي تمثّل الحالات الكمّوميّة للأنيونات مع حركتها الأدياباتِيّة عبر بوّابات التضفير الكمّوميّة الطوبولوجيّة (انظر الرسوم في ):
لاحظ أنّ مجموعة ميزات اللغة الكاملة لـأنواع البيانات الخطيّة المُعتمِدة في نظرية الأنواع المتماسِكة ضروريّةٌ وكافيةٌ لتمثيل هذا الوضع على نحوٍ دقيق. ونختتم بالإشارة2 إلى صياغة TED‑K في HoTT المتماسِكة التي تُوفّر انعكاساً لغويّاً برمجيّاً لمثل هذه البوّابات الكمّوميّة الطوبولوجيّة. هذا مشروعٌ بحثيٌّ في مركز الأنظمة الكمّوميّة والطوبولوجيّة (CQTS)، وستُنشر نتائجه التفصيليّة لاحقاً.
TED‑Kفي نظرية الأنواع المتماسِكة يتوفّر نوعُ البيانات \(\mathbb{R}^1\) للأعداد الحقيقيّة مع طوبولوجيتها التفاضليّة . ومنه تُبنى أنواعُ بياناتٍ تمثّل كائناتٍ مألوفةً في الطوبولوجيا التفاضليّة والتحليل، مثل فضاءات هيلبرت المركّبة القابلة للفصل \(\mathscr{H}\)، ومجموعاتها الوحدويّة الإسقاطيّة \(\mathrm{PU}\)، وفضاءات المؤثّرات من نوع فريدولم \(\mathrm{Fred}^0_{\mathbb{C}}\)، إلخ، جميعُها مع طوبولوجيتها المناسبة (انظر للتفاصيل).
وبذلك تُرمَّز مجموعاتُ نظرية K الطوبولوجيّة المركّبة لأي نوع بياناتٍ متماسِك \(\mathcal{X}\) كنوعٍ من أصناف الهوموتوبي المتماسِكة لدوالّ بقيم مؤثّرات فريدولم: \[\label{KTheoryCodedInTypeTheory} \mathcal{X} \,\colon\, \mathrm{Type} \quad \vdash \quad \mathrm{KU} \big(\mathcal{X}\big) \;\equiv\; \big\vert \, \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \big( \mathcal{X} \xrightarrow{\;} \mathrm{Fred} ^0_{\mathbb{C}} \big) \big\vert_0 \,\colon\, \mathrm{Type} \,.\] حيث يُرمز بمُعامِل الشَّكل في HoTT المتماسِكة بالرمز ʃ، و\(\vert-\vert_0\) هو مُعامِل القطع عند الدرجة صفر في HoTT العاديّة (انظر ).
علاوةً على ذلك، يخضع نوعُ مؤثّرات فريدولم (ذات التدرّج الفردي الذاتي) لفعلِ الترافُق الطبيعي بواسطة المجموعة الوحدويّة الإسقاطيّة (ذات التدرّج) \(\mathrm{PU}\)، ومن ثمّ (انظر ) يظهر كنوعٍ فُضائيٍّ مُعتمِد \(\mathrm{Fred}^0_{\mathbb{C}} \!\sslash\! \mathrm{PU}\) فوق نوع التصنيف \(\mathbf{B}\mathrm{PU}\). وباعتبار دالّةٍ من أيّ نوع \(\mathcal{X}\) إلى \(\mathbf{B}\mathrm{PU}\) كـ"twist"، نحصل على نوع نظرية K المُلتوية كقطعٍ عند الصفر لشكل جداء الدوالّ المُعتمدة: \[\label{TwistedKTheoryCodedInTypeTheory} \mathcal{X} \,\colon\, \mathrm{Type} ;\, \tau \,\colon\, \mathcal{X} \xrightarrow{\;} \mathbf{B}\mathrm{PU} \quad \vdash \quad \mathrm{KU}^\tau \big(\mathcal{X}\big) \,\equiv\, \bigg\vert \, \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \, {\prod}_{\mathbf{B}\mathrm{PU}} \Big( \mathcal{X} \xrightarrow{\;} \mathrm{Fred} ^0_{\mathbb{C}} \!\sslash\! \mathrm{PU} \Big) \bigg\vert_0 \;:\; \mathrm{Type}\] إذا كان \(\mathcal{X}\) غيرَ مقطوعٍ عند الدرجة صفر، فهذا هو نظرية K المُلتوية على الأوربيفولد. وعلى وجه التحديد، إذا كان \(\mathcal{X} \,\simeq\, \mathrm{X} \!\sslash\! G\) لمجموعةٍ منفصلة \(G\) تؤثّر على نوع \(\mathrm{X}\)، فهذه هي نظرية K المُلتوية المتكافئة مع \(G\).
نعني بذلك أنّه عند تفسير نظرية الأنواع المتماسِكة في \(\infty\)-توبوس (انظر ) — وهنا تحديداً في \(\infty\)-توبوس متماسِك للتجمّعات اللانهائيّة الملساء (؛ تفاصيل في ) — تتطابق الأنواعُ أعلاه مع مجموعات نظرية K المُلتوية المتكافئة المعروفة في الأدبيّات التقليديّة (؛ انظر ).
النقطةُ الأساسيّة هنا : عند أخذ النوع \(\mathrm{X}\) كفضاء تركيب نقاطٍ على الطور، فإنّ مجموعات K المُلتوية المتكافئة في [TwistedKTheoryCodedInTypeTheory] تشمل طبيعيّاً (من حيث الشروط الكتليّة) فضاءاتِ الحالات الأرضيّة المرتّبة طوبولوجيّاً للأنيونات من نوع \(\mathfrak{su}(2)\) ()، وتفعل ذلك كأنواعٍ خطيّة مُعتمِدة على المعامل الكلاسيكي/الخارجي/الحدسي لمواضع عيوب الأنيونات: \[\label{AnyonsCodedInTypeTheory} \underset{ \mathrlap{ \hspace{-1.8cm} \raisebox{-.5pt}{ \tiny \color{orangeii} \bf مواضع عيوب الأنيونات } } }{ \overset{ \mathrlap{ \hspace{-1.8cm} \raisebox{2pt}{ \tiny \color{darkblue} \bf عنصر من نوع القاعدة } } }{ \{ k_I \}_{I=1}^N \,:\, \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,N\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \big) \!\sslash\! G } } \quad \vdash \quad \underset{ \mathrlap{ \hspace{-5.1cm} \raisebox{-1pt}{ { \tiny \color{greenii} \bf يحدد} \; { \tiny \color{orangeii} \bf فضاء هيلبرت لدوال الموجة الأرضية المرتبة طوبولوجياً } } } }{ \overset{ \mathrlap{ \hspace{-4.65cm} \raisebox{0pt}{ {\color{greenii} \tiny \bf يؤدي إلى} \; \quad {\tiny \color{darkblue} \bf نوع خطي معتمد من TED-K } } }{ \Big\vert \, \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \, {\prod}_{\mathbf{B}\mathrm{PU}} \Big( \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,n\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \setminus \{k_I\}_{I=1}^M \big) \!\sslash\! G \xrightarrow{\;} \mathrm{Fred} ^0_{\mathbb{C}} \!\sslash\! \mathrm{PU} \Big) \Big\vert_0 } } : \mathrm{Type}\] ويتبيّن أنّ ذلك يعتمد فقط على شكل الفضاء (مُعامِل الشَّكل \(\raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh}\)) لفضاء التكوين — والذي يعادل (تصنيف) مجموعة التضفير (انظر ): \[\label{ShapeOfConfigurationSpaceOfPoints} \mathllap{ \mbox{ \tiny \color{darkblue} \bf \def\arraystretch{.9} \begin{tabular}{c} الشكل المتماسك \\ لنوع القاعدة \end{tabular} } } \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \, \Big( \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,N\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \big) \Big) \;\simeq\; \mathbf{B} \big( \mathrm{Br}_{{}_{\widehat{\mathbb{T}}{}^{2}}}(N) \big) \mathrlap{ \tiny \color{orangeii} \bf \def\arraystretch{.9} \begin{tabular}{c} \bf تصنيف حزمة \\ \bf لمجموعة التضفير {\color{black}.} \end{tabular} }\] وبناءً عليه، تُوفّر نظرية الأنواع المتماسِكة النقل () للنوع المُعتمِد في [AnyonsCodedInTypeTheory] على الهويّات في الشكل المتماسك لقاعدة نوعه [ShapeOfConfigurationSpaceOfPoints]: \[\underset{ \mathclap{ \hspace{-.5cm} \raisebox{-0pt}{ \tiny \color{orangeii} \bf تضفير مسارات عيوب الأنيونات } } }{ \overset{ \mathclap{ \hspace{-12pt} \raisebox{2pt}{ \tiny \color{darkblue} \bf عنصر من نوع الهوية لقاعدة النوع } } }{ \gamma \,: \bigg( (k_I)_{I =1}^N \underset { \mathclap{ \raisebox{-6pt}{ \scalebox{.7}{$ \raisebox{1pt}{\rm\normalfont\textesh} \mathrm{Conf}_N\big(\widehat{\mathbb{T}}{}^{2}\big) \!\sslash\! G $} } } }{ \;\; = \;\; } (k_I)_{I =1}^N \bigg) } } \;\; \vdash \;\; \underset{ \mathrlap{ \hspace{-3.35cm} \raisebox{-6.2pt}{ {\color{greenii} \tiny \bf يؤدي إلى} \; {\tiny \color{orangeii} \bf عملية بوابة كمومية وحدوية على الكيوبتات الطوبولوجية } } } }{ \overset{ \mathrlap{ \hspace{-3.35cm} \raisebox{5.5pt}{ {\color{greenii} \tiny \bf يؤدي إلى} \; {\tiny \color{darkblue} \bf عملية نقل نوع معتمد على أنواع TED-K } } } }{ U(\gamma) \,:\, \mathrm{KU}^\tau_G \Big( \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,n\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \setminus (k_I)_{I=1}^N \big) \Big) } } \xrightarrow{\;} \mathrm{KU}^\tau_G \Big( \underset{ \scalebox{.65}{$ \{1,\cdots,n\} $} } {\mathrm{Conf}} \big( \widehat{\mathbb{T}}{}^{2} \setminus (k_I)_{I=1}^N \big) \Big).\] ووفقاً لما سبق، يرمز هذا العنصر إلى فعلٍ من مجموعة التضفير على فضاء الحالات الأرضيّة للأنيونات، ومن ثمّ يُمثّل بوّاباتٍ كمّوميّةً تضفيريّة كما في المخطّط أعلاه.
«أنظمةُ الكيوبت التي لدينا اليوم إنجازٌ علميٌّ هائل، لكنّها لم تُقرِّبنا من امتلاك حاسوبٍ كمّوميّ يحلّ مشكلةً تهمّ أيَّ شخص. [...] ما ينقص هو الاختراق [...] بتجاوز تصحيح الأخطاء الكمّوميّة باستخدام كيوبتاتٍ أكثر استقراراً بكثير، في نهجٍ يُسمّى الحوسبة الكمّوميّة الطوبولوجيّة.» . ↩︎
للتفاصيل، انظر الموادّ التكميليّة على: ncatlab.org/schreiber/show/TQCinTEDK#GMConAbs ↩︎