الاشتقاق من معادلات نافير-ستوكس

نظرًا لصغر الطاقة المترسبة من جسيم مفرد في السائل، من المعقول افتراض أن تأثير التخميد الناتج عن لزوجة السائل سيؤثر بشكل كبير على زمن اضمحلال الموجة الصوتية. لاشتقاق معادلة الموجة اللزجة (المعروفة أيضًا بمعادلة الموجة المخمدة بشدة )، نستفيد من مبدأ حفظ الكتلة والزخم كما هو معبر عنه في المعادلتين [eq:mass-conservation] و[eq:momentum-conservation]، ونضيف حد التخميد \(\mu \Delta \bm{v}\) في الثانية:

\[\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \bm{\nabla} \cdot (\rho \bm{v}) &= 0 \label{eq:mass-conservation}\\ \rho \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \rho (\bm{v}\cdot \bm{\nabla}) \bm{v} &= -\bm{\nabla} P + \mu \Delta \bm{v}, \label{eq:momentum-conservation}\end{aligned}\]

حيث \(\rho(\bm{x},t)\) و\(P(\bm{x},t)\) و\(\bm{v}(\bm{x},t)\) هي الكثافة والضغط والسرعة على التوالي، و\(\mu\) هو معامل اللزوجة الحجمية. وباتباع الأدبيات ، نفترض أن المائع عديم الدوامة (\(\bm{\nabla} \times \bm{v} = \bm{0}\)). بذلك، تصبح معادلة نافير-ستوكس:

\[\rho \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \rho \bm{v}\, \left(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}\right) = -\bm{\nabla} P + \mu \Delta \bm{v}. \label{eq:navier-stokes}\]

نعتبر الآن اضطرابًا صغيرًا لكل من المتغيرات:

\[\begin{aligned} \rho &= \rho_0 + \delta \rho\\ P &= p_0 + \delta p\\ \bm{v} &= \bm{v}_0 + \delta \bm{v} = \delta \bm{v},\end{aligned}\]

حيث \(\rho_0\) و\(p_0\) و\(\bm{v}_0\) هي القيم عند التوازن، ويفترض أن السائل ساكن في البداية. وبما أننا سنتعامل فقط مع \(\delta p, \delta \rho\) و\(\delta \bm{v}\)، سنحذف إشارة الدلتا للتبسيط. بإدخال المتغيرات المضطربة في المعادلتين السابقتين وإهمال الحدود من الرتبة الأعلى، نحصل على:

\[\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho_0 \bm{\nabla} \cdot \bm{v} &= 0 \label{eq:mass-conservation-linear}\\ \rho_0 \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \bm{\nabla} p &= \mu \Delta \bm{v}. \label{eq:navier-stokes-linear}\end{aligned}\]

بأخذ التباعد للمعادلة الثانية، نحصل على:

\[\rho_0 \frac{\partial}{\partial t} \bm{\nabla} \cdot \bm{v} + \Delta p = \mu \Delta \left(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}\right), \label{eq:navier-stokes-linear-II}\]

وباستخدام العلاقة السابقة، نستبدل \(\bm{\nabla} \cdot \bm{v}\) لنحصل على:

\[\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2} = \Delta \left(p + \frac{\mu}{\rho_0} \frac{\partial \rho}{\partial t}\right). \label{eq:navier-stokes-linear-III}\]

بكتابة الكثافة بدلالة قابلية الانضغاط: \(\rho = \rho_0 \kappa p\)، تصبح المعادلة بدلالة الضغط فقط:

\[\Delta \left(p + \mu\, \kappa \frac{\partial p}{\partial t}\right) = \rho_0\, \kappa\, \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}. \label{eq:wave-specific}\]

نعرف سرعة الموجة \(c\) بأنها \(c = 1/\sqrt{\rho_0 \kappa}\) وتردد التوهين \(\omega_0\) بأنه \(\omega_0 = 1/\mu \kappa\). بذلك، تصبح المعادلة:

\[\Delta \left(p + \frac{1}{\omega_0} \frac{\partial p}{\partial t}\right) = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}. \label{eq:wave}\]

خاصية التخميد

نحصل على علاقة التشتت لحلول الموجة المستوية للمعادلة السابقة بأخذ تحويل فورييه للضغط في المكان والزمان. بذلك، نجد أن علاقة التشتت بين التردد \(\omega\) وعدد الموجة \(k = ||\vec{k}||\) هي:

\[\label{eq:dispersion} k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left(1-i\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{-1}.\]

في حالة غياب التخميد (\(\omega_0 \to \infty\))، تصبح العلاقة \(kc = \omega\) كما هو متوقع.

توضح هذه المعادلة كيف يؤثر حد التخميد على الموجة الصوتية المتولدة. عند الترددات المنخفضة، تكون العلاقة مشابهة للحالة غير المخمدة. أما عند الترددات العالية، يزداد الجزء التخيلي لعدد الموجة، مما يؤدي إلى اضمحلال أسرع للمكونات عالية التردد من الموجة الصوتية، بينما تنتشر المكونات منخفضة التردد لمسافات أبعد، مما يسهل رصدها.

الاشتقاق من معادلات نافير-ستوكس

لنعتبر تغيرًا موضعيًا في درجة الحرارة \(\tau (\bm{x},t)\) بحيث تكون درجة الحرارة الكلية \(T(\bm{x},t) = T_0 + \tau(\bm{x},t)\)، حيث \(T_0\) هي درجة الحرارة عند التوازن. عند تغير درجة الحرارة، تتغير الكثافة بدلالة كل من الضغط ودرجة الحرارة. في المرتبة الأولى، يمكن التعبير عن تغير الكثافة كما يلي :

\[\rho = \left.\frac{\partial \rho}{\partial P}\right|_T p + \left.\frac{\partial \rho}{\partial T}\right|_P \tau, \label{eq:density-change}\]

حيث \(P\) و\(T\) هما الضغط ودرجة الحرارة الكليان، و\(V\) هو حجم صغير حول نقطة التفاعل. نذكر تعريفات قابلية الانضغاط متساوية الحرارة \(\kappa_T\) ومعامل التمدد الحراري :

\[\begin{aligned} \kappa_T &= -\frac{1}{V} \left. \frac{\partial V}{\partial P}\right|_T = \frac{1}{\rho_0} \left. \frac{\partial \rho}{\partial P}\right|_T \label{eq:compressibility}\\ \beta &= \frac{1}{V} \left. \frac{\partial V}{\partial T}\right|_P = - \frac{1}{\rho_0} \left. \frac{\partial \rho}{\partial T}\right|_P. \label{eq:thermal-expansion}\end{aligned}\]

يمكننا إعادة كتابة معادلة تغير الكثافة كما يلي :

\[\rho = \rho_0 (\kappa_T p - \beta \tau).\]

من هنا، وباتباع نفس خطوات القسم السابق، نحصل على:

\[\rho_0 \kappa_T \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - \rho_0\beta\frac{\partial^2 \tau}{\partial t^2} = \Delta \left(p + \mu \kappa_T \frac{\partial p}{\partial t} + \mu \beta \frac{\partial \tau}{\partial t}\right). \label{eq:wave-source-I}\]

تظهر هنا حد إضافي للتخميد. لكن بافتراض أن تغير درجة الحرارة صغير، يمكن إهماله. باستخدام القانون الأول للديناميكا الحرارية، يمكن حساب الحرارة المضافة لكل وحدة حجم \(\epsilon(\bm{x},t)\):

\[\epsilon = \frac{\delta Q}{\delta V} = \rho_0 C_p \tau, \label{eq:heat-per-volume}\]

حيث \(C_p\) هو السعة الحرارية النوعية عند ضغط ثابت. بإدخال \(\tau\) من المعادلة السابقة، نحصل على معادلة الموجة الكاملة:

\[\Delta \left(p + \mu \kappa_T \frac{\partial p}{\partial t} \right) - \rho_0 \kappa_T \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = - \frac{\beta}{C_p} \frac{\partial^2 \epsilon}{\partial t^2} \label{eq:wave-source-spec}\]

أو بشكل أكثر اختصارًا:

\[\Delta \left(p + \frac{1}{\omega_0} p_t \right) - \frac{1}{c^2} p_{tt} = - \frac{\beta}{C_p} \epsilon_{tt}. \label{eq:wave-source}\]

لقد اشتققنا بنجاح حدود التصحيح لمعادلة الموجة الصوتية الناتجة عن مصدر حراري داخل السائل. في القسم 4.1 سنوضح كيفية تقدير ترسيب الحرارة \(\epsilon(\bm{x},t)\) لجسيم مشحون مفرد باستخدام معادلة بيت-بلوخ. من المهم هنا ملاحظة أن افتراض ثبات \(\kappa\) و\(\beta\) مع الزمن صحيح فقط بعيدًا عن نقطة ترسيب الطاقة.

استخدام الكمونات والبواقي

يتبسط شكل المؤثر إذا حللنا المعادلة السابقة لكمون \(\psi_{n}\) بحيث \(\partial_t^n \psi_{n} = p_{n}\). بذلك تصبح المعادلة:

\[\label{eq:wave-perturb-potential} \Box^{n+1} \psi_{n}(\bm{x}) = -(-\Delta)^n f(\bm{x}).\]

لحساب دالة جرين \(G_{n}(\bm{x})\) للمرتبة \(n\)، نستخدم تحويل فورييه. بإدخال مصدر دالي \(f(\bm{x}) = \delta (\bm{x})\)، نحصل على:

\[\label{eq:greens-ft} \hat{G}_n(\bm{x}) = \frac{1}{-\bm{k}^2} \left(\frac{\vec{k}^2}{-\bm{k}^2}\right)^n.\]

النقاط الشاذة من المرتبة \(n+1\) تقع عند \(\bm{k}^2 = 0\) أي \(k_0 = \pm |\vec{k}|\). لاستخراج المؤثر المؤجل في الإحداثيات المكانية، نأخذ تحويل فورييه العكسي مع مسار تكامل مناسب للحفاظ على السببية:

\[\label{eq:greens-ift-2} G_n(\bm{x}) = \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{(\vec{k}^2)^n\, e^{i \bm{k}\cdot \bm{x}}}{\left[(k_0 + i \varepsilon)^2 - \vec{k}^2\right]^{n+1}},\]

يمكن حساب التكامل باستخدام نظرية البواقي، حيث يكون المؤثر المؤجل حقيقيًا لجميع المراتب \(n\).

خصائص البواقي

تقع جميع النقاط الشاذة في النصف السفلي من المستوى العقدي. إذا كان \(t<0\)، لا يشمل المسار أي نقطة شاذة ويكون التكامل صفرًا. أما إذا كان \(t>0\)، فيشمل المسار النقاط الشاذة ويجب حساب التكامل. يمكن إثبات أن البواقي مرتبطة بعلاقة \[\label{eq:residues-relation} \hat{g}_+(\vec{k}^2) = - \hat{g}_-^*(\vec{k}^2),\]

وبذلك يمكن كتابة دالة جرين بدلالة الجزء التخيلي للباقي:

\[\label{eq:lame-f} \hat{g}_n(\vec{k}^2) = i \hat{g}_+ (\vec{k}^2) - i\hat{g}_+^*(\vec{k}^2) = - 2 \text{Im}{\hat{g}_+(\vec{k}^2)},\]

حساب البواقي ودوال جرين

يمكن الآن حساب التعبير التحليلي للبواقي عند \(k_0 = k_{\pm} = \pm |\vec{k}| + i \varepsilon\). يكفي حساب الباقي عند \(k_0 = k_+\)، فنحصل على:

\[\label{eq:residue} \begin{aligned} \hat{g}_+ &= \lim_{\varepsilon \to 0} -e^{-\varepsilon t}\Theta(t)\,\text{Im}\, \frac{e^{i (\vec{k}\cdot \vec{x} - |\vec{k}| t)}}{2^n |\vec{k}|} P(|\vec{k}|)\\ &= - \Theta(t)\,\frac{\sin(\vec{k}\cdot{x} - |\vec{k}| t)}{2^n |\vec{k}|} P(|\vec{k}|), \end{aligned}\]

حيث \(P(k)\) كثير حدود في \(|\vec{k}|\):

\[\label{eq:polynomial} P(|\vec{k}|) = (-1)^n \sum_{m=0}^{n} \frac{(2i|\vec{k}|t)^m}{m!}\binom{2n - m}{n}.\]

وباستخدام الإحداثيات الكروية، نحصل على دالة جرين النهائية:

\[\label{eq:retarded-propagator} G_n(\bm{x}) = \sum_{m=0}^n \frac{(-2)^m}{4^{n+1} \pi m!}\binom{2n-m}{n} G_{nm}(\bm{x}),\]

حيث \(G_{nm}(\bm{x}) = \frac{t^m}{r} \delta^{(m)}{(t-r)}\) و\(r = |\vec{x}|\). باستخدام هذه الدوال، يمكن كتابة الضغط:

\[\label{eq:greens-solutions} p(\bm{x}) = \sum_{n=0}^{\infty} \partial_{t}^{n}\,(G_n * f)(\bm{x}),\]

وهو صالح لأي دالة مصدر اعتباطية \(f\).

الجسيمات البطيئة

إذا كانت سرعة الجسيم أقل من سرعة الصوت (\(v<1\))، يكون \(\gamma^2 > 0\)، وتكون الجذور معرفة دائمًا. لكن هناك شرط إضافي \[\label{eq:z_k-condition} z'-(z-vt) > 0.\]

وبذلك يكون الحل الوحيد المقبول هو \(z_+'\).

الجسيمات السريعة

أما إذا كانت سرعة الجسيم أكبر من سرعة الصوت (\(v>1\))، فقد تصبح الجذور غير معرفة (تخيلية) لبعض القيم، ويكون الضغط صفرًا في تلك النقاط. عندما يتحقق شرط معين، يكون هناك حلان مقبولان.