إمكانات الكشف الصوتي لجسيمات التأيُّن الدنيا المفردة في السوائل اللزجة
عند مرور جسيم مُؤيِّن عبر سائل، يُولِّد إشارات صوتية نتيجة ترسيب الحرارة محليًّا. في هذا العمل نُنمذج هذه الإشارات الصوتية في حالة جسيمٍ مفردٍ يتفاعل مع السائل كهرومغناطيسيًّا على نحوٍ عام. نُقدِّم منهجية مُمنهجة لإدخال التصحيحات الناتجة عن اللُّزوجة باستخدام أسلوبٍ اضطرابي، بحيث تبقى حلولنا صالحة على مسافاتٍ بعيدة من نقطة التفاعل. كما نوفِّر إطارًا حسابيًّا لمحاكاة العمليات الموصوفة. وبعد ذلك، نُطبِّق المنهجية المطوَّرة للتنبؤ بالإشارة الصوتية الناتجة عن الميونات النسبية في سوائل مختلفة كنموذجٍ توضيحي.
المقدّمة
حظيت الأبحاث المتعلِّقة بإنتاج الإشارات الصوتية بواسطة الجسيمات المشحونة في السوائل باهتمامٍ متزايد منذ توصيف الموجات الصوتية الناتجة عن «التسخين المُوضعي» عام 1957 . فعند مرور الجسيمات المشحونة عبر السوائل، تنشأ إشعاعات صوتية أساسًا نتيجة التسخين المُوضعي ، وإذا كانت الطاقة المُترسَّبة كافية، تصبح الموجة الصوتية قابلةً للرصد. ولهذا السبب، جرى بحث الإشارات الصوتية الناتجة عن حِزَم الأيونات الثقيلة، وتدفُّقات الجسيمات ذات الطاقة العالية (PeV)، والنيوترينوهات عالية الطاقة على نحوٍ مكثّف بين ستينيات القرن الماضي وبداية التسعينيات .
تقليديًّا، استُخدم الكشف الصوتي كأداةٍ لرصد الجسيمات الكونية عالية الطاقة . إلّا أنّ هذه التقنية وجدت حديثًا تطبيقاتٍ عند طاقاتٍ منخفضة ضمن أبحاث المادة المظلمة الباردة باستخدام السوائل فوق المُسخَّنة ، حيث تُولِّد الجسيمات المُؤيِّنة موجةً صدمية أثناء التحوّل الطوري شبه اللحظي للسائل .
تتطلّب هذه التقنية ضبطًا حراريًّا–ديناميكيًّا خاصًّا للتجربة بحيث تظهر التأثيرات غير الخطية مثل تفكُّك الروابط وتكوُّن الفُقاعات الدقيقة والصدمات وغيرها .
أمّا في السوائل التي لا تكون في حالةٍ حرارية–ديناميكية مُحكَمة، فإنّ الحساب النظري للإشارة الصوتية الناتجة عن الجسيمات منخفضة الطاقة (\(\mathcal{O}(\rm keV)\)) يغدو مُعقَّدًا. حتى في السوائل الساكنة المثالية، قد تنكسر صلاحيّة بعض الحلول النظرية الحالية على مسافاتٍ بعيدة من نقطة التفاعل (مثلًا بسبب إهمال لُزوجة السائل ).
في هذا البحث نُبيِّن كيفية تقدير الإشارات الصوتية المتولِّدة في السوائل عن تفاعل جسيم مُؤيِّن مُفرد بأعمّ صورةٍ ممكنة وبأعلى دقّةٍ متاحة حتى الآن.
وبدلًا من التركيز على التسخين المُوضعي فحسب، ندرس الحالة العامة لترسيبٍ حراريٍّ متحرِّك ذي دعمٍ محدود وشكلٍ اعتباطي. كما نُقدِّم طريقةً لأخذ لُزوجة السائل بالحسبان بحيث يمكن حساب التصحيحات من المرتبة الثانية بسهولة، ما يسمح بحلٍّ أكثر واقعية للموجة الصوتية على مسافاتٍ بعيدة من مسار الجسيم، حيث يكون التوهين كبيرًا. ولتيسير الأمر على القارئ، نشتقّ جميع المعادلات صراحةً مع توضيح الفرضيات الفيزيائية وراء كل خطوةٍ رياضية. وأخيرًا نُقدِّم كمثالٍ حساب الإشارة الصوتية لميوناتٍ نسبية باستخدام المنهجية المطوَّرة.
يمكن أيضًا استخدام هذه الدراسة كمرجعٍ للفيزيائيين التجريبيين الراغبين في خوض تجربة رصد الإشارات الصوتية للجسيمات في السوائل اللزجة.
معادلة الموجة الصوتية المُخمَّدة بشدّة
نستعرض هنا آلية توليد الإشارة الصوتية نتيجة تفاعل جسيمٍ مُفردٍ في سائل. لنبدأ بدراسة أثر ترسيبٍ حراريٍّ اعتباطي في وسط السائل. لهذا الغرض، نضيف حدّ مصدر وحدّ تخميد إلى معادلة الموجة الصوتية المعروفة في مائع (عند اهتزازات صغيرة) مع قابلية انضغاط فعّالة:
\[\Delta p(\bm{x},t) = \rho_0 \kappa \frac{\partial^2 }{\partial t^2} p(\bm{x},t), \label{eq:wave-eq}\]
حيث \(p(\bm{x},t)\) هو فرق الضغط عند الموضع \(\bm{x}\) في السائل عند الزمن \(t\)، و\(\rho_0\) هي الكثافة عند التوازن (تُؤخَذ ثابتة)، و\(\kappa\) هي قابليّة الانضغاط المناسبة للحالة (سنستخدم لاحقًا \(\kappa_T\) للحالة متساوية الحرارة عند إدخال المصدر الحراري).
اشتقاق حدّ التخميد
خاصيّة التخميد
نحصل على علاقة التشتّت لحلول الموجة المستوية بأخذ تحويل فورييه للضغط في المكان والزمان. بذلك نجد أنّ علاقة التشتّت بين التردّد \(\omega\) وعدد الموجة \(k = \|\vec{k}\|\) هي:
\[\label{eq:dispersion} k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left(1-i\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{-1}.\]
في حال غياب التخميد (\(\omega_0 \to \infty\))، تصبح العلاقة \(kc = \omega\) كما هو متوقَّع. تُظهر هذه المعادلة كيف يؤثّر حدّ التخميد في الموجة الصوتية المتولِّدة: فالمكوّنات عالية التردّد تضمحلّ أسرع، بينما تنتشر المكوّنات منخفضة التردّد لمسافاتٍ أبعد، ما يُيسِّر رصدها.
اشتقاق حدّ المصدر
من المعلوم أنّ الجسيمات المُؤيِّنة المارّة عبر سائل تُرسِّب طاقة تُحدث ارتفاعًا حادًّا في درجة الحرارة المحلية . هذا التغيّر شبه اللحظي في درجة الحرارة يؤدّي إلى تمدّد حجمي سريع، وتنتشر تغيّرات الكثافة عبر السائل. نفترض هنا أنّ هذا الأثر، المعروف بـ «التسخين المُوضعي»، هو المُساهم الأكبر في توليد الموجة الصوتية، وهو ما يتوافق مع الأدبيات السابقة . في هذا القسم نشتقّ حدّ المصدر في معادلة الموجة.
الحلول التحليلية لمعادلة الموجة
نُحلّل في هذا القسم الإشارة الصوتية الناتجة عن جسيماتٍ مُفردة بصورةٍ عامة باستخدام نظرية الاضطراب. نُطوِّر أوّلًا مخطّطًا تقريبيًّا اضطرابيًّا للمعادلة غير المتجانسة للموجة المُخمَّدة بشدّة اعتمادًا على اللُّزوجة، ثم نحسب دوالّ غرين للمؤثّر المؤجَّل في كل مرتبة، وأخيرًا نعرض حلًّا صريحًا للمرتبة الأولى في اللُّزوجة.
نركّز هنا على الصيغة التالية لمعادلة الموجة حيث استُبدل حدّ المصدر بدالةٍ اعتباطية \(f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\):
\[\label{eq:wave-general} \Box p(\bm{x}) + \lambda \Delta \partial_t p(\bm{x}) = - f(\bm{x}),\]
حيث \(\Box\) هو مؤثِّر دالامبير، و\(\lambda = 1/\omega_0\) معامل يرتبط باللُّزوجة، و\(p\) الضغط، و\(f\) يمثّل المصدر وله دعمٌ محدود. لاحقًا سنفرض شروطًا إضافية على \(f\) لتمثيل توزيع الطاقة لجسيمٍ متحرِّك.
التقريبات باستخدام نظريّة الاضطراب
يمكن إيجاد حلّ للضغط \(p\) السابق بمعاملة حدّ التخميد \(\lambda \Delta \partial_t p(\bm{x})\) كاضطرابٍ صغير عندما تكون \(\lambda\) صغيرة. نكتب الحلّ على صورة متسلسلة في \(\lambda\):
\[p(\bm{x}) = p_0(\bm{x}) + \lambda p_1(\bm{x}) + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n p_n(\bm{x}). \label{eq:perturbed-pressure}\]
وباستخدام هذا التمثيل، تُعاد كتابة المعادلة كالتالي:
\[\label{eq:wave-perturbed} \Box p_0(\bm{x}) + \sum_{n=1}^{\infty}\lambda^n \left[\Box p_n(\bm{x}) + \Delta \partial_t p_{n-1}(\bm{x}) \right] = -f(\bm{x}).\]
ومنها نحصل على علاقةٍ تكرارية لتصحيح المرتبة \(n\) في الضغط:
\[\begin{aligned} \label{eq:wave-perturb-recursive-1} \Box p_0(\bm{x}) &= - f(\bm{x})\\ \label{eq:wave-perturb-recursive-2} \Box p_n(\bm{x}) &= - \Delta \partial_t p_{n-1} (\bm{x}).\end{aligned}\]
أي إنّ كل تصحيحٍ أعلى هو موجةٌ ناتجة عن مُشتقّاتٍ زمنية ومكانية أعلى لدالة المصدر. سنحلّ الآن مسألة كوشي العامة لهذه المعادلة باستخدام دوالّ غرين. قبل ذلك، من المُفيد تبسيط المعادلة باستخدام تحويل فورييه:
\[\begin{aligned} \label{eq:fourier} \hat{f}(\bm{k}) &= \int_{\mathbb{R}^4}d^4x\, f(\bm{x}) e^{-i \bm{k} \cdot \bm{x}}\\ \label{eq:fourier-inv} f(\bm{x}) &= \int_{\mathbb{R}^4}\frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \,\hat{f}(\bm{k}) e^{i \bm{k} \cdot \bm{x}},\end{aligned}\]
فتصبح:
\[\label{eq:wave-perturb-ft} \hat{p}_n(\bm{k}) = \frac{1}{-\bm{k}^2} \left(\frac{i k_0\,\vec{k}^2}{-\bm{k}^2}\right)^n \hat{f}(\bm{k}),\]
حيث \(\vec{k}^2 = k_1^2+ k_2^2 + k_3^2\) و\(\bm{k}^2 = -k_0^2 + \vec{k}^2\). هذا التعبير يُحدِّد تمامًا طيف التردّد لكل مرتبة لأي مصدرٍ \(f\).
دوالّ غرين
لتقديم حلولٍ مغلقة الشكل، ندرس التعبير العام للمؤثّر المؤجَّل. سنرى أنّ المؤثّر المؤجَّل ضروريٌّ للحفاظ على السببيّة.
استخدام الكمونات والبواقي
يتبسّط شكل المؤثّر إذا حلّلنا المعادلة لكمون \(\psi_{n}\) بحيث \(\partial_t^n \psi_{n} = p_{n}\). بذلك تصبح المعادلة:
\[\label{eq:wave-perturb-potential} \Box^{n+1} \psi_{n}(\bm{x}) = -(-\Delta)^n f(\bm{x}).\]
لحساب دالة غرين \(G_{n}(\bm{x})\) للمرتبة \(n\) نستخدم تحويل فورييه. وبإدخال مصدرٍ دالي \(f(\bm{x}) = \delta (\bm{x})\) نحصل على:
\[\label{eq:greens-ft} \hat{G}_n(\bm{k}) = \frac{1}{-\bm{k}^2} \left(\frac{\vec{k}^2}{-\bm{k}^2}\right)^n.\]
تقع النقاط الشاذّة من المرتبة \(n+1\) عند \(\bm{k}^2 = 0\) أي \(k_0 = \pm |\vec{k}|\). ولاستخراج المؤثّر المؤجَّل في الإحداثيات المكانية، نأخذ تحويل فورييه العكسي مع مسار تكاملٍ مناسب يحفظ السببيّة:
\[\label{eq:greens-ift-2} G_n(\bm{x}) = \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{(\vec{k}^2)^n\, e^{i \bm{k}\cdot \bm{x}}}{\left[(k_0 + i \varepsilon)^2 - \vec{k}^2\right]^{n+1}},\]
ويمكن حساب التكامل باستخدام نظرية البواقي، حيث يكون المؤثّر المؤجَّل حقيقيًّا لجميع المراتب \(n\).
خصائص البواقي
تقع جميع النقاط الشاذّة في النصف السفلي من المستوى العقدي. إذا كان \(t<0\) لا يشمل المسار أي نقطةٍ شاذّة ويكون التكامل صفرًا. أمّا إذا كان \(t>0\) فيشمل المسار النقاط الشاذّة ويجب حساب التكامل. ويمكن إظهار أنّ البواقي مرتبطة بالعلاقة:
\[\label{eq:residues-relation} \hat{g}_+(\vec{k}^2) = - \hat{g}_-^*(\vec{k}^2),\]
وعليه يمكن كتابة دالة غرين بدلالة الجزء التخيّلي للباقي:
\[\label{eq:lame-f} \hat{g}_n(\vec{k}^2) = i \hat{g}_+ (\vec{k}^2) - i\hat{g}_+^*(\vec{k}^2) = - 2 \,\mathrm{Im}\,{\hat{g}_+(\vec{k}^2)}.\]
حساب البواقي ودوالّ غرين
يمكن الآن حساب التعبير التحليلي للبواقي عند \(k_0 = k_{\pm} = \pm |\vec{k}| + i \varepsilon\). يكفي حساب الباقي عند \(k_0 = k_+\) لنحصل على:
\[\label{eq:residue} \begin{aligned} \hat{g}_+ &= \lim_{\varepsilon \to 0} -e^{-\varepsilon t}\,\Theta(t)\,\mathrm{Im}\!\left[ \frac{e^{i (\vec{k}\cdot \vec{x} - |\vec{k}| t)}}{2^n |\vec{k}|} P(|\vec{k}|) \right]\\ &= - \Theta(t)\,\frac{\sin(\vec{k}\cdot\vec{x} - |\vec{k}| t)}{2^n |\vec{k}|} \,P(|\vec{k}|), \end{aligned}\]
حيث \(P(k)\) كثير حدود في \(|\vec{k}|\):
\[\label{eq:polynomial} P(|\vec{k}|) = (-1)^n \sum_{m=0}^{n} \frac{(2i|\vec{k}|t)^m}{m!}\binom{2n - m}{n}.\]
وباستخدام الإحداثيات الكروية، نحصل على دالة غرين النهائية:
\[\label{eq:retarded-propagator} G_n(\bm{x}) = \sum_{m=0}^n \frac{(-2)^m}{4^{n+1} \pi m!}\binom{2n-m}{n} \,G_{nm}(\bm{x}),\]
حيث \(G_{nm}(\bm{x}) = \frac{t^m}{r} \,\delta^{(m)}(t-r)\) و\(r = |\vec{x}|\). باستخدام هذه الدوالّ يمكن كتابة الضغط:
\[\label{eq:greens-solutions} p(\bm{x}) = \sum_{n=0}^{\infty} \partial_{t}^{n}\,(G_n * f)(\bm{x}),\]
وهو صالح لأي دالة مصدرٍ اعتباطية \(f\).
السببيّة
من خلال وجود دالّة هيفيسايد في دالة غرين يتبيّن أنّ المؤثّر المؤجَّل يُحقِّق السببيّة: فكل مرتبة من الضغط تعتمد فقط على شكل المصدر قبل الزمن \(t\):
\[\label{eq:convolution-integral} p_n(\bm{x}) = \int_{-\infty}^{t}dt' \int_{\mathbb{R}^3}d^3x'\, G_n(\bm{x} - \bm{x}') \,f(\bm{x}').\]
حلّ مغلق الشكل لمصدر دالي
بفضل التعبير التحليلي للمرتبة \(n\)، يمكن إيجاد حلٍّ لمصدرٍ دالي متحرِّك من الشكل \(\delta(x)\delta(y)\delta(z-v t)\) حيث \(v\) سرعة الجسيم (بوحدات سرعة الصوت). إذا كانت كثافة الطاقة المُترسَّبة بدلالة الزمن \(q(t)\)، يكون المصدر:
\[\label{eq:delta-source} f(\bm{x}) = q(t)\,\delta(x)\, \delta(y)\, \delta(z-vt).\]
لحساب \(p_n(\bm{x})\)، نحتاج إلى حساب الالتفاف \((G_n * f)(\bm{x})\)، ويمكن تقييم كل حدٍّ من حدود الالتفاف كما يلي:
\[\label{eq:source-convolution-1} G_{nm}*f(\bm{x}) = \int_{\mathbb{R}^3} d^{3}x' \int_{\mathbb{R}}dt'\, G_{nm}(\bm{x}') \,f(\bm{x}-\bm{x}'),\]
وبعد إجراء التكاملات، يُصار إلى تعبيرٍ عام يعتمد على جذور معادلة تُحدِّد نقاط التقاطع بين مسار الجسيم والموجة الأوليّة.
الجذور لسرعات الجسيمات المختلفة
تظهر الجذور الخاصة في الحل السابق، وهي:
\[\label{eq:z_k-primes} z_\pm' = \gamma^2 (z-vt) \pm |v|\sqrt{\gamma^4 (z-vt)^2 + \gamma^2 \rho^2},\]
حيث \(\gamma^2 = 1/(1-v^2)\) و\(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\) هو البُعد العمودي عن المسار.
الجسيمات البطيئة
إذا كانت سرعة الجسيم أقل من سرعة الصوت (\(v<1\))، يكون \(\gamma^2 > 0\) وتكون الجذور مُعرَّفة دائمًا. لكن يوجد شرط إضافي:
\[\label{eq:z_k-condition} z'-(z-vt) > 0.\]
وبذلك يكون الحل الوحيد المقبول هو \(z_+'\).
الجسيمات السريعة
أمّا إذا كانت سرعة الجسيم أكبر من سرعة الصوت (\(v>1\))، فقد تصبح الجذور تخيّلية لبعض القيم، ويكون الضغط صفرًا في تلك النقاط. وعندما يتحقّق شرطٌ معيّن، يظهر حلّان مقبولان (مخروط ماخ).
الحلّ التحليلي للمرتبة الأولى
للتوضيح، نعرض الحل المغلق للمرتبة \(n=0\) (أي معادلة الموجة غير المُخمَّدة):
\[\label{eq:solution-n=0} p(\bm{x}) = \sum_{z_k' \in S}\partial_t\, \frac{q(t-r(z_k'))}{4\pi \left(r(z_k') - v z_k'\right)},\]
وبافتراض أنّ الجسيم يبدأ ترسيب الطاقة عند \(t=0\)، يمكن تبسيط الحل إلى:
\[\label{eq:solution-n=0-simple} p(\bm{x}) = - \frac{ v \,\bar{z}\, \Theta( - \bar{z} - \rho \sqrt{v^2 -1} )}{\left[\bar{z}^2 + \rho^2 (1-v^2)\right]^{\frac{3}{2}}},\]
حيث \(\bar{z} = z - vt\) و\(\Theta\) دالّة هيفيسايد. الجسيمات فوق الصوتية (\(v>1\)) تُنتج إشاراتٍ مختلفة عن الجسيمات تحت الصوتية (\(v<1\)). يمكن استخدام هذا الحل لتحديد نقطة وزمن الذروة للإشارة كدالةٍ في المسافة عن المسار.
تطبيق على جسيمات التأيُّن الدنيا
بعد تطوير إطارٍ اضطرابي لحساب الإشارة الصوتية الناتجة عن مرور الجسيمات في السوائل، نُطبِّقه على حالاتٍ واقعية مثل حساب الموجة الصوتية الناتجة عن الميونات الكونية. الميونات الكونية جسيماتٌ نسبية تفقد طاقة بمعدّلٍ قريب من الحدّ الأدنى، وتُسمّى جسيمات التأيُّن الدنيا (MIPs) .
نبدأ باشتقاق تعبيرٍ لتوزيع معدّل ترسيب الطاقة لجسيم MIP (أي حدّ المصدر في معادلة الموجة)، ثم نحاكي تطوّر الموجات الصوتية لحساب قيم الضغط العُظمى عند سرعاتٍ مختلفة وفي أوساطٍ متعددة.
تقدير ترسيب الطاقة
لنمذجة أثر جسيم MIP في سائل، نهمل التأثيرات غير الخطية مثل التصادمات المباشرة مع جزيئات السائل، ونصف فقط متوسط ترسيب الطاقة. توجد محاولاتٌ عدّة في الأدبيات لوصف مِلفّ ترسيب الطاقة لجسيمٍ مشحونٍ مُفرد .
| السائل | T [K] | \(\rho_0\) [kg/m\(^3\)] | \(c_s\) [m/s] | المعامل (5) | المعامل (6) | \(I\) [eV] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| الماء | 298.15 | 997.02 | 1496.60 | 8.90030 | 0.06122 | 79.70 |
| النيتروجين | 77.00 | 807.20 | 853.50 | 1.61980 | 2.72482 | 82.00 |
| الأرجون | 84.00 | 1415.67 | 861.24 | 2.88490 | 3.98389 | 188.00 |
| الزينون | 165.00 | 2942.40 | 643.27 | 5.10420 | 6.66136 | 482.00 |
| الزئبق | 298.15 | 13600.00 | 1450.10 | 16.85000 | 1.27989 | 799.97 |
رغم أنّ معادلة بيت–بلوخ تُعطي تقديرًا دقيقًا لمتوسط الطاقة المفقودة، إلّا أنّها لا تعطي «القيمة الأكثر احتمالًا» لأنّ توزيع فقدان الطاقة لكل تفاعل يتبع توزيع لاندو المنحرف . لذلك نستخدم القيمة الأكثر احتمالًا لتوزيع لاندو كما هو مُعطى في :
\[\label{eq:bethe-bloch} \left. \frac{dE}{dx}\right|_{M} = \xi\left[\ln \frac{2 m_e c_l^{2} \beta^{2} \gamma^{2}}{I}+\ln \frac{\xi}{I}-\beta^{2}\right],\]
حيث \(\xi\) طاقةٌ مميّزة، و\(I\) متوسط طاقة الإثارة للسائل، و\(m_e\) كتلة الإلكترون، و\(c_l\) سرعة الضوء، و\(\gamma\) عامل لورنتز، و\(\beta = v/c_l\). نفترض أنّ الجسيم يتحرّك بخطٍّ مستقيم في السائل وأنّ تغيّر سرعته مُهمَل أثناء العبور:
\[\frac{d}{dt}\frac{dE}{dx} = 0.\]
وبذلك يكون معدّل ترسيب الطاقة في الوسط:
\[\frac{dE}{dt} = \frac{dx}{dt}\left.\frac{dE}{dx}\right|_{M} = v \left.\frac{dE}{dx}\right|_{M}. \label{eq:dE-dt}\]
نستخدم نظام إحداثياتٍ أسطواني حول المحور \(\hat{\bm{x}}\) بحيث يكون موضع الجسيم دائمًا \((\rho,\phi,x) = (0,0,vt)\) عند الزمن \(t\). نحتاج الآن إلى اشتقاق معدّل تغيّر كثافة الطاقة \(\epsilon_t(\bm{x},t)\) لإدخاله في معادلة الموجة.
باعتبار ترسيب الطاقة في حجمٍ تفاضلي \(\Omega\)، يكون المعدّل:
\[\frac{dE}{dt} = \int_{\Omega}\, d\Omega\, v \left.\frac{dE}{dx}\right|_{M} \,G(\bm{x}), \label{eq:epsilon-I}\]
حيث \(G(\bm{x})\) توزيع الطاقة المُترسَّبة. إذًا:
\[\epsilon_t(\bm{x},t) = \frac{dE}{dt}\,G(\bm{x}) = v\left.\frac{dE}{dx}\right|_{M}\! G(\bm{x}).\]
وبالاستلهام من ، نختار \(G\) دالةً داليةً مُتمركزة على المسار:
\[\epsilon_t(\rho,x,t) = v\left.\frac{dE}{dx}\right|_{M} \,\delta^2(\rho)\,\delta(x - v t),\]
حيث \(\rho\) المسافة العمودية عن المسار، و\(v\) سرعة الجسيم، و\(x\) الإحداثي على طول المسار.
العنصرُ الأخير هو دالة التفعيل \(q(t)\) التي تصف متى يبدأ الجسيم بترسيب الطاقة. استخدمنا سابقًا دالّة هيفيسايد، لكن الأفضل استخدام دالّة سيغمودية لتجنّب التفردات:
\[q(t) = \frac{1}{1+e^{-\alpha t}},\]
حيث \(\alpha\) يحدِّد حدّة الانتقال. وعليه يكون حدّ المصدر الكامل:
\[\epsilon_t(\rho,x,t) = v\left.\frac{dE}{dx}\right|_{M}\, q(t)\, \delta^2(\rho)\,\delta(x - v t), \label{eq:source-term}\]
وسنستخدم هذا في القسم التالي لحساب الإشارات الصوتية للميونات في أوساطٍ مختلفة.
تقديرات عددية لإشارة الميون في أوساط مختلفة
نُطبِّق النموذج السابق لحساب الإشارات الصوتية للميونات النسبية المارّة في الماء، والأرجون السائل، والزينون السائل، والنيتروجين السائل، والزئبق.
لإجراء الحسابات، طوَّرنا حزمة بايثون تُقيِّم التعابير رمزيًّا وتحسب الضغط باستخدام بطاقة الرسوميات. الشيفرة وتعليمات التثبيت متوفّرة في .
وباستخدام المحاكاة والثوابت في الجدول السابق، نحسب خصائص كميّة لمرور ميونات نسبية (\(\beta = 0.9\)) في السوائل المذكورة.
| السائل | T [K] | \(p_m\) [fPa] |
|---|---|---|
| الماء | 298.15 | 1.0499 |
| النيتروجين | 77.00 | 7.7324 |
| الأرجون | 84.00 | 9.4589 |
| الزينون | 165.00 | 5.2946 |
| الزئبق | 298.15 | 10.4703 |
يُبيِّن الشكل أنّ الضغط الأعظمي \(p_m\) على بُعد \(\rho = 1 \,\text{سم}\) من مسار الجسيم يبلغ قيمًا في نطاق الفيمتو باسكال (\(10^{-15}\,\mathrm{Pa}\)). السوائل الأعلى كثافةً ومعامل تمدّدٍ حراري أكبر، مثل الزئبق، تبدو أنسب للكشف. ويُظهر الجدول تقديرًا عدديًّا لقيمة \(p_m\) على هذا البعد.
تعتمد قيمة الضغط الأعظمي على المسافة من المسار كما هو موضّح في الشكل، حيث يظهر اتجاه اضمحلال قويّ بعد \(10^{-1}\,\mathrm{m}\) مع وجود قمةٍ قبله. كما أنّ \(p_m\) بدلالة سرعة الميونات \(\beta\) يتناقص على نحوٍ أُسّي تقريبًا.
الخلاصة
قدّمنا منهجيةً متكاملة لحساب الإشارات الصوتية الناتجة عن ترسيب الطاقة من جسيماتٍ مُفردة في السوائل ذات اللُّزوجة الصغيرة غير المُهمَلة. وطبّقناها مثالًا للتنبؤ بالإشارة الناتجة عن مرور الميونات النسبية في عدّة سوائل. في هذا التحليل أخذنا في الاعتبار فقط إنتاج الصوت الحراري وأهملنا التأثيرات غير الخطية مثل تكوُّن الفُقاعات الدقيقة.
يمكن استخدام الحزمة البرمجية والمحاكاة المُتاحة في للتنبؤ بالإشارة الصوتية الناتجة عن أنواع مختلفة من الجسيمات في أوساطٍ متعددة. وقد وُضِّحت فرضيات النموذج بجلاء في الاشتقاقات السابقة مع وصفٍ كاملٍ للظواهر الفيزيائية المعنيّة.
وبما أنّنا حسبنا تحليليًّا تصحيحات المرتبتين الأولى والثانية الناجمة عن اللُّزوجة، يمكننا تعميم ملاحظة Learned في على الإشارات الناتجة عن الجسيمات المفردة في السوائل منخفضة اللُّزوجة. وجدنا أنّ الإشارات الصوتية تضمحلّ بقانون قوى مع المسافة وليس أُسّيًّا كما ذُكر في ، ما يجعل الكشف عنها غير مستحيلٍ تمامًا. ومع ذلك، تبقى الإشارة المتوقّعة منخفضة التردّد والسعة، وهو ما يتّسق مع الطاقة المُترسَّبة المنخفضة للجسيمات المفردة.
تجري حاليًّا دراساتٌ إضافية لتوصيف أثر اللُّزوجة على نحوٍ غير اضطرابي لِتمديد النتائج إلى السوائل عالية اللُّزوجة. ونُطوِّر أيضًا نظرية الحقل الفعّال لتبسيط الحسابات وأخذ التأثيرات الكمّية بالحسبان. ومن الناحية التجريبية، وبرغم أنّ مستوى الإشارة صغيرٌ جدًّا للكشف بالوسائل التقليدية مثل الهيدروفونات أو أجهزة SQUID المتباعدة، نرى أنّ وسائل أخرى مثل صفائح المُكثِّفات الكثيفة، والكيوبتات فائقة التوصيل، وكواشف TES تستحقّ الدراسة. ونترك تطوير الحساس الفيزيائي للفيزيائيين التجريبيين الشجعان الراغبين في خوض هذا المجال.
نتوجّه بالشكر إلى البروفيسور جون جي. ليرند (جامعة هاواي)، والدكتور ماريو موتا (معهد كاليفورنيا للتقنية)، والبروفيسور جورجيو غراتا (جامعة ستانفورد) على النقاشات القيّمة حول الصوتيات. كما نشكر البروفيسور إلينا بيريتا (جامعة نيويورك أبوظبي)، والبروفيسور جوناثان غودمان (جامعة نيويورك)، والبروفيسور جوناثان وير (جامعة نيويورك)، والبروفيسور ديوغو أرسينيو (جامعة نيويورك أبوظبي)، والبروفيسور فرانشيسكو باباريلا (جامعة نيويورك أبوظبي) على دعمهم في فهم الجوانب الرياضية للفيزياء. ونشكر أيضًا هنري روبرتس (جامعة نيويورك أبوظبي) ومريم السحّار (جامعة نيويورك أبوظبي) على تدقيقهما اللغوي الدقيق للمخطوطة، وهاشم العيدروس (جامعة الشارقة) على جمع بيانات ثوابت السوائل. تمّ إجراء هذا البحث باستخدام موارد الحوسبة عالية الأداء في جامعة نيويورك أبوظبي.