نموذج سكوتوجيني مع مزدوجتين خاملتين
أمين أحرش
أمين أحرش
لقد نجح النموذج القياسي (SM) لفيزياء الجسيمات في وصف خصائص الجسيمات الأولية وتفاعلاتها عند مقياس الكتلة الكهروضعيفة (EW). ومع ذلك، لا تزال هناك أسئلة لم تُجب بعد، مثل بيانات تذبذب النيوترينو وطبيعة المادة المظلمة (DM). لقد أثبتت بيانات تذبذب النيوترينو أن اثنين على الأقل من النيوترينوات الثلاثة في النموذج القياسي لها كتلة وخلط غير صفري. إلا أن خصائصها، مثل طبيعتها وأصل صغر كتلتها، لا تجد تفسيراً ضمن النموذج القياسي، مما يستدعي وجود فيزياء جديدة. من بين أكثر الآليات شيوعاً لتفسير صغر كتلة النيوترينو هي آلية "سي-سو" ، التي تفترض وجود نيوترينوات يمينية ذات كتل أكبر بعدة رتب من مقياس الكتلة الكهروضعيفة. هذه الجسيمات الثقيلة تنفصل عن الطيف الطاقي المنخفض عند مقياس EW، وبالتالي لا يمكن اختبارها مباشرة في تجارب فيزياء الطاقات العالية. هناك مقاربة أخرى تتطلب مقياس فيزياء جديدة أقل، حيث يتم توليد كتلة النيوترينو الصغيرة بشكل طبيعي عبر التصحيحات الكمومية، حيث يضمن عامل كبت الحلقة صغر الكتلة. يمكن تحقيق ذلك عند مستوى حلقة واحدة ، أو حلقتين ، أو ثلاث أو أربع حلقات . وتتميز هذه النماذج بخصائص مثيرة للاهتمام يمكن اختبارها في المصادمات عالية الطاقة (للمراجعة، انظر ).
أبسط وأكثر تحقيق شيوعاً لآلية الكتلة الإشعاعية للنيوترينو هو ما يُعرف بنموذج سكوتوجيني ، حيث يُمدد النموذج القياسي بمزدوجة سلمية خاملة وثلاثة فيرميونات ماجورانا منفردة. بالإضافة إلى ذلك، يمكن لهذا النموذج أن يحتوي على مرشحين محتملين للمادة المظلمة، أي الأخف بين فيرميونات ماجورانا والسكالار المحايد الخفيف في المزدوجة المظلمة الخاملة. سيناريو المادة المظلمة السكالارية مطابق لنموذج هيغز المزدوجة الخاملة (IDM)، الذي يخضع لقيود صارمة من تجارب الكشف المباشر عن المادة المظلمة. أما في سيناريو المادة المظلمة من نوع ماجورانا، فإن الكثافة الحرارية الصحيحة تتطلب قيمًا كبيرة نسبيًا لثوابت يوكوا الجديدة التي تربط المزدوجة الخاملة بفيرميونات ماجورانا . لا يمكن تحقيق ذلك إلا بفرض تقارب قوي بين كتل السكالارات CP-even وCP-odd، مما يؤدي إلى قمع اقتران رباعي \(\lambda_{5}\sim10^{-10}-10^{-9}\). يمكن تجنب هذا الضبط الدقيق بتمديد نموذج سكوتوجيني الأدنى (MSctM) بإضافة مزدوجتين حقيقيتين وفرض تناظر عالمي \(Z_{4}/Z_{2}\) . في الواقع، تم اقتراح ودراسة العديد من النماذج التي تتجاوز MSctM . على سبيل المثال، في ، درس المؤلفون نموذج سكوتوجيني معمم، أو ما أسموه "النموذج السكوتوجيني العام"، من خلال اعتبار \(n_{N}\) فيرميونات ماجورانا منفردة و\(n_{\eta}\) مزدوجات خاملة، حيث نوقشت العديد من الجوانب الظاهراتية.
استنادًا إلى النتائج الحالية والمستقبلية لكل من ATLAS وCMS، سيصبح فضاء معاملات نموذج IDM (وبالتالي نموذج MSctM مع المادة المظلمة السكالارية) أكثر تقييدًا مع تحسن دقة القياسات في القطاع الكهروضعيف. بالإضافة إلى ذلك، فإن النتائج الحديثة من تجارب الكشف المباشر مثل تجربة LUX-ZEPLIN ستفرض حدودًا أكثر صرامة على النموذج. هذا يجعل من تمديد نموذج IDM أمرًا مثيرًا للاهتمام، حيث قد يتجنب بعض القيود ويتنبأ بإشارات إضافية. علاوة على ذلك، من بين الدوافع المهمة لتمديد IDM أنه لا يسمح بانتهاك CP في القطاع السكالاري، حيث يكون وجود مزدوجة هيغز إضافية من نوع \(SU(2)_{L}\) مفيدًا لتحقيق ذلك . وفقًا للدوافع السابقة، من الطبيعي النظر في تحقيق نموذج سكوتوجيني حيث يُمدد النموذج القياسي بثلاثة فيرميونات ماجورانا منفردة \(N_{1,2,3}\) ومزدوجتين خاملتين \(\Phi_{1,2}\) تتقاطع مع مزدوجات اللبتونات اليسرى وفيرميونات ماجورانا المنفردة. هنا، تتحول الحقول الجديدة الإضافية كحقول فردية تحت تناظر عالمي \(Z_{2}\) وفقًا للعلاقة \(\{N_{1,2,3},\Phi_{1,2}\}\rightarrow\{-N_{1,2,3},-\Phi_{1,2}\}\) لضمان استقرار المادة المظلمة.
تنظيم هذا العمل كالتالي: في القسم [sec:model]، نقدم النموذج ونوضح توليد كتلة النيوترينو عند مستوى الحلقة. في القسم [sec:constraints]، نناقش مختلف القيود النظرية والتجريبية. أما القسمان [sec:NumAn] و[sec:DM] فمخصصان لعرض فضاء المعاملات الممكنة وظواهر المادة المظلمة، على التوالي، في كل من سيناريوهَي المادة المظلمة من نوع ماجورانا والسكالار. نختتم في القسم [sec:conclusion]. بالإضافة إلى ذلك، يتضمن البحث ثلاثة ملاحق: في الملحق [app1]، نناقش كيفية تقدير ثوابت يوكوا الجديدة حيث يتم تقديم تعميم لبارامتريزية كاساس-إيبارا. في الملحق [sec:nInert]، نعمم نتائجنا لحالة نموذج سكوتوجيني مع n مزدوجات خاملات بدلاً من اثنتين. في الملحق [Uni]، نقدم مصفوفات السعة ذات الصلة بشروط وحدة الاضطراب.
هنا، نمدد النموذج القياسي بمزدوجتين خاملتين نرمز لهما بـ \(\Phi_{1,2}\sim(1,2,1)\) وثلاثة فيرميونات ماجورانا منفردة \(N_{i}\sim(1,1,0)\). يمكن كتابة لاغرانجيان فيرميونات ماجورانا كما يلي: \[ \begin{aligned} \mathcal{L} &\supset \overline{L}_{\alpha}\big(h_{\alpha,k}~\epsilon.\Phi_{1}+h_{\alpha,k+3}~\epsilon.\Phi_{2}\big)N_{k}+\frac{1}{2}\bar{N}_{k}^{C}M_{k}N_{k}+h.c., \end{aligned} \] حيث \(L_{\alpha}\) هي مزدوجات اللبتونات اليسرى، و\(\epsilon=i\sigma_{2}\) هو موتر مضاد للتناظر. هنا، \(h_{\alpha,k}\) هو مصفوفة يوكوا جديدة من رتبة \(3\times6\)، ويمكن اعتبار مصفوفة الكتلة \(M_{k}\) قطرية.
يُعطى أكثر شكل عام للجهد السلمي المتناظر تحت \(Z_{2}\)، والقابل لإعادة التطبيع، والمتوافق مع التناظر المعياري كما يلي: \[ \begin{aligned} V\left(\mathcal{H},\Phi,S,\chi\right) &= -\mu_{H}^{2}|\mathcal{H}|^{2}+\mu_{i}^{2}|\Phi_{i}|^{2}+\frac{\lambda_{H}}{6}|\mathcal{H}|^{4}+\frac{\lambda_{i}}{6}|\Phi_{i}|^{4}+\omega_{i}|\mathcal{H}|^{2}|\Phi_{i}|^{2}+\kappa_{i}|\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{i}|^{2}\\ &\quad +\varrho_{1}|\Phi_{1}|^{2}|\Phi_{2}|^{2}+\varrho_{2}|\Phi_{1}^{\dagger}\Phi_{2}|^{2}+\left\{ \mu_{3}^{2}\Phi_{1}^{\dagger}\Phi_{2}+\frac{1}{2}\xi_{i}(\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{i})^{2}+\xi_{3}(\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{1})(\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{2})\right.\\ &\quad \left.+\xi_{4}(\Phi_{1}^{\dagger}\mathcal{H})(\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{2})+h.c.\right\} \end{aligned} \] حيث يمكن بارامتريزة \(\mathcal{H}\) و\(\Phi\) كما يلي: \[ \mathcal{H}=\left(\begin{array}{c} \chi^{+}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(\upsilon+h+i\chi^{0}) \end{array}\right),~\Phi_{i}=\left(\begin{array}{c} S_{i}^{+}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(S_{i}^{0}+iQ_{i}^{0}) \end{array}\right). \]
إن مصطلحات اللاغرانجيان في ([LL]) و([eq:V]) متناظرة تحت تناظر عالمي \(Z_{2}\) وفقًا للشحنات: \[ \Phi_{1,2}\rightarrow-\Phi_{1,2},\,N_{1,2,3}\rightarrow-N_{1,2,3}, \] بينما جميع الحقول الأخرى زوجية. هذا التناظر \(Z_{2}\) يمنع وجود مصطلحات مثل \((\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{i})(\Phi_{j}^{\dagger}\Phi_{k})\). في حالة القيم المركبة لـ \(\mu_{3}^{2}\) و/أو \(\xi_{i}\)، يتم كسر CP بشكل صريح، حيث نحصل على تفاعلات تنتهك CP ذات صلة بالحالات الذاتية الأربعة المحايدة في القاعدة {\(S_{1}^{0},S_{2}^{0}\),\(Q_{1}^{0},Q_{2}^{0}\)}. هذه الحالة ستكون مثيرة للاهتمام لأن مصادر انتهاك CP الإضافية مطلوبة لتوليد عدم تناظر المادة-ضد المادة . فيما يلي، نعتبر القيم حقيقية للمعاملات \(\mu_{3}^{2}\) و\(\xi_{i=1,2,3,4}\) لتجنب انتهاك CP. أما حالة انتهاك CP الصريح (قيم مركبة لـ \(\mu_{3}^{2}\) و/أو \(\xi_{i}\)) فتتطلب دراسة مستقلة لأنها قد تحمل عواقب كونية مهمة.
بعد كسر التناظر الكهروضعيف (EWSB)، نحصل على ثلاثة سكالارات CP-even \((h,H_{1,2}^{0})\)، وسكالارين CP-odd \(A_{1,2}^{0}\) وزوجين من السكالارات المشحونة \(H_{1,2}^{\pm}\). تعطى كتلة هيغز بـ \(m_{h}^{2}=2\mu_{H}^{2}=\frac{\lambda_{H}}{3}\upsilon^{2}\)، وتُعرف الحالات الذاتية الخاملة كما يلي: \[ \begin{aligned} \left(\begin{array}{c} H_{1}^{0}\\ H_{2}^{0} \end{array}\right) &=\left(\begin{array}{cc} c_{H} & s_{H}\\ -s_{H} & c_{H} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} S_{1}^{0}\\ S_{2}^{0} \end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{c} A_{1}^{0}\\ A_{2}^{0} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} c_{A} & s_{A}\\ -s_{A} & c_{A} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} Q_{1}^{0}\\ Q_{2}^{0} \end{array}\right),\\ &\left(\begin{array}{c} H_{1}^{\pm}\\ H_{2}^{\pm} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} c_{C} & s_{C}\\ -s_{C} & c_{C} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} S_{1}^{\pm}\\ S_{2}^{\pm} \end{array}\right), \end{aligned} \] حيث \(c_{X}=\cos\theta_{X},\,s_{X}=\sin\theta_{X}\) و\(\theta_{H}\)، \(\theta_{A}\) و\(\theta_{C}\) هي زوايا الخلط التي تقوم بقطر مصفوفات الكتلة للسكالارات CP-even وCP-odd والمشحونة، على التوالي. مصفوفات الكتلة المربعة للسكالارات المشحونة والمحايدة (CP-even وCP-odd) في القواعد {\(S_{1}^{\pm},S_{2}^{\pm}\)}، {\(S_{1}^{0},S_{2}^{0}\)} و{\(Q_{1}^{0},Q_{2}^{0}\)}، على التوالي، تُعطى بـ: \[ \begin{aligned} M_{C}^{2} &=\left[\begin{array}{cc} \mu_{1}^{2} & \mu_{3}^{2}\\ \mu_{3}^{2} & \mu_{2}^{2} \end{array}\right]+\frac{\upsilon^{2}}{2}\left[\begin{array}{cc} \omega_{1} & 0\\ 0 & \omega_{2} \end{array}\right],\\ M_{H,A}^{2}&=M_{C}^{2}+\frac{\upsilon^{2}}{2}\left[\begin{array}{cc} \kappa_{1} & \xi_{4}\\ \xi_{4} & \kappa_{2} \end{array}\right]\pm\frac{\upsilon^{2}}{2}\left[\begin{array}{cc} \xi_{1} & \xi_{3}\\ \xi_{3} & \xi_{2} \end{array}\right]. \end{aligned} \]
قيم الكتل الذاتية وزوايا الخلط تُعطى بـ: \[ \begin{aligned} m_{X_{1,2}}^{2} &= \frac{1}{2}\left([M_{X}^{2}]_{11}+[M_{X}^{2}]_{22}\mp\sqrt{([M_{X}^{2}]_{22}-[M_{X}^{2}]_{11})^{2}+4[M_{X}^{2}]_{12}^{2}}\right),\\ \tan(2\theta_{X}) &= \frac{2[M_{X}^{2}]_{12}}{[M_{X}^{2}]_{22}-[M_{X}^{2}]_{11}}, \end{aligned} \] وذلك لـ (\([X_{1,2},\theta_{X}]=[H_{1,2}^{0},\theta_{H}],[A_{1,2}^{0},\theta_{A}],[H_{1,2}^{\pm},\theta_{C}]\)).
المعاملات الحرة المستقلة هي: \[ M_{1,2,3},~m_{H_{1,2}^{\pm}},~m_{H_{1,2}^{0}},~m_{A_{1,2}^{0}},~s_{H,A,C},~\omega_{1,2},~h_{\alpha i}, \] حيث: \[ \begin{aligned} \mu_{1}^{2} &= m_{H_{1}^{\pm}}^{2}c_{C}^{2}+m_{H_{2}^{\pm}}^{2}s_{C}^{2}-\frac{1}{2}\omega_{1}\upsilon^{2},\\ \mu_{2}^{2} &= m_{H_{1}^{\pm}}^{2}s_{C}^{2}+m_{H_{2}^{\pm}}^{2}c_{C}^{2}-\frac{1}{2}\omega_{2}\upsilon^{2},\\ \mu_{3}^{2} &= c_{C}s_{C}(m_{H_{2}^{\pm}}^{2}-m_{H_{1}^{\pm}}^{2}),\\ \kappa_{1}\upsilon^{2} &= m_{H_{1}^{0}}^{2}c_{H}^{2}+m_{H_{2}^{0}}^{2}s_{H}^{2}+m_{A_{1}^{0}}^{2}c_{A}^{2}+m_{A_{2}^{0}}^{2}s_{A}^{2}-2(m_{H_{1}^{\pm}}^{2}c_{C}^{2}+m_{H_{2}^{\pm}}^{2}s_{C}^{2}),\\ \kappa_{2}\upsilon^{2} &= m_{H_{2}^{0}}^{2}c_{H}^{2}+m_{H_{1}^{0}}^{2}s_{H}^{2}+m_{A_{2}^{0}}^{2}c_{A}^{2}+m_{A_{1}^{0}}^{2}s_{A}^{2}-2(m_{H_{2}^{\pm}}^{2}c_{C}^{2}+m_{H_{1}^{\pm}}^{2}s_{C}^{2}),\\ \xi_{1}\upsilon^{2} &= (m_{H_{1}^{0}}^{2}c_{H}^{2}+m_{H_{2}^{0}}^{2}s_{H}^{2})-(m_{A_{2}^{0}}^{2}s_{A}^{2}+m_{A_{1}^{0}}^{2}c_{A}^{2}),\\ \xi_{2}\upsilon^{2} &= (m_{H_{1}^{0}}^{2}s_{H}^{2}+m_{H_{2}^{0}}^{2}c_{H}^{2})-(m_{A_{1}^{0}}^{2}s_{A}^{2}+m_{A_{2}^{0}}^{2}c_{A}^{2}),\\ \xi_{3}\upsilon^{2} &= s_{H}c_{H}(m_{H_{2}^{0}}^{2}-m_{H_{1}^{0}}^{2})-s_{A}c_{A}(m_{A_{2}^{0}}^{2}-m_{A_{1}^{0}}^{2}),\\ \xi_{4}\upsilon^{2} &= s_{H}c_{H}(m_{H_{2}^{0}}^{2}-m_{H_{1}^{0}}^{2})+s_{A}c_{A}(m_{A_{2}^{0}}^{2}-m_{A_{1}^{0}}^{2})-2c_{C}s_{C}(m_{H_{2}^{\pm}}^{2}-m_{H_{1}^{\pm}}^{2}). \end{aligned} \]
يمكن كتابة المصطلح الأول في ([LL]) كما يلي: \[ \begin{aligned} \mathcal{L} &\supset\sum_{\alpha,j,k}\frac{1}{\sqrt{2}}\big(g_{\alpha k}^{(j)}H_{j}^{0}+if_{\alpha k}^{(j)}A_{j}^{0}\big)\overline{\nu}_{\alpha L}N_{k}-\zeta_{\alpha k}^{(j)}H_{j}^{\pm}\overline{\ell}_{\alpha L}N_{k}+h.c, \end{aligned} \] حيث \(\alpha=e,\mu,\tau\)، \(j=1,2\) و\(k=1,3\)؛ و \[ \begin{aligned} g_{\alpha k}^{(1)} &= c_{H}h_{\alpha,k}+s_{H}h_{\alpha,k+3},\quad g_{\alpha k}^{(2)}=-s_{H}h_{\alpha,k}+c_{H}h_{\alpha,k+3},\\ f_{\alpha k}^{(1)} &= c_{A}h_{\alpha,k}+s_{A}h_{\alpha,k+3},\quad f_{\alpha k}^{(2)}=-s_{A}h_{\alpha,k}+c_{A}h_{\alpha,k+3},\\ \zeta_{\alpha k}^{(1)} &= c_{C}h_{\alpha,k}+s_{C}h_{\alpha,k+3},\quad \zeta_{\alpha k}^{(2)}=-s_{C}h_{\alpha,k}+c_{C}h_{\alpha,k+3}. \end{aligned} \]
المصطلحان الأولان في ([Lfl]) يؤديان إلى توليد كتلة النيوترينو بطريقة سكوتوجيني؛ أما المصطلح الأخير فيؤدي إلى عمليات انتهاك نكهة اللبتونات \(\ell_{\beta}\rightarrow\ell_{\alpha}+\gamma\) و\(\ell_{\beta}\rightarrow3\ell_{\alpha}\). إذن، عنصر مصفوفة كتلة النيوترينو \([\alpha,\beta]\) يأتي من مساهمة 12 مخطط فينمان كما هو موضح في الشكل 1.
يمكن كتابتها كالتالي: \[ \begin{aligned} m_{\alpha\beta}^{(\nu)} & =\sum_{k=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}M_{k}\Big\{ g_{\alpha k}^{(j)}\,g_{\beta k}^{(j)}\,\mathcal{F}\Big(m_{H_{j}^{0}}/M_{k}\Big)-f_{\alpha k}^{(j)}\,f_{\beta k}^{(j)}\,\mathcal{F}\Big(m_{A_{j}^{0}}/M_{k}\Big)\Big\}, \end{aligned} \] حيث \(\mathcal{F}(x)=\frac{x^{2}\log(x)}{8\pi^{2}(x^{2}-1)}\). الأجزاء المتشعبة من المخططات في الشكل 1 التي تتوسطها \(H_{j}^{0}\) و\(A_{j}^{0}\) تلغي بعضها البعض بسبب الهوية1: \[ \sum_{j=1}^{2}\Big\{ g_{\alpha k}^{(j)}\,g_{\beta k}^{(j)}-f_{\alpha k}^{(j)}\,f_{\beta k}^{(j)}\Big\}=0. \]
يمكن بارامتريزة مصفوفة كتلة النيوترينو ([eq:mnu]) كما يلي: \[ \begin{aligned} (m^{(\nu)})_{3\times3} &= (h)_{3\times6}.(\Lambda)_{6\times6}.(h^{T})_{6\times3},\\ \Lambda & =\left(\begin{array}{cc} \varpi_{1} & \varpi_{3}\\ \varpi_{3} & \varpi_{2} \end{array}\right), \end{aligned} \] حيث \(\varpi_{1,2,3}\) هي مصفوفات قطرية من رتبة \(3\times3\)، وعناصرها تُعطى بـ: \[ \begin{aligned} (\varpi_{1})_{ik} &= \delta_{ik}M_{k}\big[c_{H}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{H_{1}^{0}}/M_{k}\Big)+s_{H}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{H_{2}^{0}}/M_{k}\Big)-c_{A}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{A_{1}^{0}}/M_{k}\Big)-s_{A}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{A_{2}^{0}}/M_{k}\Big)\big],\\ (\varpi_{2})_{ik} &= \delta_{ik}M_{k}\big[s_{H}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{H_{1}^{0}}/M_{k}\Big)+c_{H}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{H_{2}^{0}}/M_{k}\Big)-s_{A}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{A_{1}^{0}}/M_{k}\Big)-c_{A}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{A_{2}^{0}}/M_{k}\Big)\big],\\ (\varpi_{3})_{ik} &= \delta_{ik}M_{k}\big[s_{H}c_{H}(\mathcal{F}\Big(m_{H_{1}^{0}}/M_{k}\Big)-\mathcal{F}\Big(m_{H_{2}^{0}}/M_{k}\Big))-s_{A}c_{A}(\mathcal{F}\Big(m_{A_{1}^{0}}/M_{k}\Big)-\mathcal{F}\Big(m_{A_{2}^{0}}/M_{k}\Big))\big], \end{aligned} \] لـ \(i,k=1,3\). هنا، المصفوفة \(\Lambda\) في ([eq:CIb]) ليست قطرية، وبالتالي لا يمكن استخدام بارامتريزية كاساس-إيبارا لتقدير ثوابت يوكوا \(h\). ومع ذلك، يمكن اشتقاق صيغة مماثلة في هذه الحالة (عندما لا تكون \(\Lambda\) قطرية). نقدم حلاً عامًا لمصفوفة ثوابت يوكوا \(3\times M\)2 كما يلي: \[ h_{3\times M}=(U_{\nu})_{3\times3}.(D_{\sqrt{m_{\nu}}})_{3\times3}.(T)_{3\times M}.(D_{(\Lambda'_{i})^{-1/2}})_{M\times M}.(Q)_{M\times M}, \] حيث \(U_{\nu}\) هو مصفوفة الخلط بونتكورفو-ماكي-ناكاواجا-ساكاتا (PMNS)، و\(D_{\sqrt{m_{\nu}}}=\textrm{diag}\{m_{1}^{1/2},m_{2}^{1/2},m_{3}^{1/2}\}\) مع \(m_{i}\) هي القيم الذاتية لكتلة النيوترينو؛ و\(T\) هي مصفوفة اعتباطية من رتبة \(3\times M\) تحقق العلاقة \(T_{3\times M}.T_{M\times3}^{T}=\boldsymbol{1}_{3\times3}\). المصفوفة \((D_{(\Lambda'_{i})^{-1/2}})_{M\times M}=\textrm{diag}\left\{ (\Lambda'_{i})^{-1/2}\right\}\)، حيث \(\Lambda'_{i}\) هي القيم الذاتية للمصفوفة \(\Lambda\) في ([eq:CIb])، والتي تُقطر باستخدام المصفوفة \(Q\)، أي \(\textrm{diag}\left\{ \Lambda'_{i}\right\} =Q.\Lambda.Q^{T}\). في الملحق [app1]، نناقش اشتقاق ([eq:h]) والتمثيلات الممكنة لهذه المصفوفة. بالإضافة إلى ذلك، نناقش في الملحق [sec:nInert] تعميم هذا النموذج ليشمل n مزدوجات خاملات بدلاً من مزدوجتين.
في هذا القسم، نناقش القيود النظرية والتجريبية ذات الصلة بنموذجنا. هذه القيود تُستعرض بإيجاز أدناه:
الاضطرابية: يجب أن تحقق جميع رؤوس التفاعلات الرباعية للحقول السلمية شروط الاضطرابية، أي: \[ \begin{aligned} \max\big\{\lambda_{H},\lambda_{1,2},|\omega_{1,2}|,|\kappa_{1,2}+\omega_{1,2}|,|\omega_{1,2}+\kappa_{1,2}\pm\xi_{1,2}|,|\varrho_{1}|,|\varrho_{1}+\varrho_{2}|,\\ |\xi_{1,2}|,\frac{1}{2}|\kappa_{1,2}\pm\xi_{1,2}|,\frac{1}{2}|\varrho_{2}|\big\}\leq4\pi. \end{aligned} \]
وحدة الاضطراب: يجب الحفاظ على وحدة الاضطراب في جميع العمليات التي تشمل السلميات أو بوزونات القياس. في حد الطاقة العالية، يجب استبدال بوزونات القياس بجسيمات جولدستون الخاصة بها؛ ويمكن حساب مصفوفة سعة التشتت \(\phi_{i}~\phi_{j}\rightarrow\phi_{k}\phi_{m}\) بسهولة. لقد تبين أن شروط وحدة الاضطراب تتحقق إذا كانت القيم الذاتية لمصفوفة سعة التشتت أصغر من \(|\Lambda_{i}|<8\pi\) .
في نموذجنا، وبسبب بعض التناظرات الدقيقة مثل الشحنة الكهربائية وCP وتناظر \(Z_{2}\) العالمي، يمكن تقسيم مصفوفة السعة الكاملة إلى ست مصفوفات فرعية. هذه المصفوفات الفرعية الستة معرفة في قواعد الحالات الابتدائية/النهائية كما هو موضح في الملحق [Uni] بالتفصيل.
استقرار الفراغ: يُشترط أن يكون الجهد السلمي محدودًا من الأسفل في جميع اتجاهات فضاء الحقول. من الواضح أنه على طول الاتجاهات النقية (\(\Phi_{1}=\Phi_{2}=0\))، (\(\mathcal{H}=\Phi_{2}=0\)) و(\(\mathcal{H}=\Phi_{1}=0\))، تكون شروط استقرار الفراغ، أي إيجابية الجهد عند قيم الحقول الكبيرة، هي \(\lambda_{H},\lambda_{1},\lambda_{2}>0\)، على التوالي. أما في أي اتجاه آخر، فإن إيجابية الجهد مضمونة إذا كانت جميع التفاعلات الرباعية موجبة. في حالة وجود تفاعلات رباعية سالبة، تكون شروط استقرار الفراغ كما في : \[ \left|\begin{array}{ccc} \lambda_{H} & \overline{\omega_{1}+\kappa_{1}+\xi_{1}} & \overline{\omega_{2}+\kappa_{2}+\xi_{2}}\\ \overline{\omega_{1}+\kappa_{1}+\xi_{1}} & \lambda_{1} & \overline{\varrho_{1}+\varrho_{2}}\\ \overline{\omega_{2}+\kappa_{2}+\xi_{2}} & \overline{\varrho_{1}+\varrho_{2}} & \lambda_{2} \end{array}\right|>0, \] \[ \left|\begin{array}{ccc} \frac{2}{3}\lambda_{H} & \overline{\omega_{1}+\kappa_{1}} & \overline{\omega_{2}+\kappa_{2}}\\ \overline{\omega_{1}+\kappa_{1}} & \frac{2}{3}\lambda_{1} & \overline{\varrho_{1}+\varrho_{2}}\\ \overline{\omega_{2}+\kappa_{2}} & \overline{\varrho_{1}+\varrho_{2}} & \frac{2}{3}\lambda_{2} \end{array}\right|>0, \] لاتجاهات الحقول المحايدة والمشحونة، على التوالي، مع \(\overline{X}=\min\left(X,0\right)\).
بالإضافة إلى ذلك، نشترط أن يكون الفراغ \((\langle h\rangle=\upsilon,\langle S_{i}^{0}\rangle=0)\) هو الأعمق. كخيار محافظ في هذا العمل، نعتبر الشروط التي يجب أن لا يطور الجهد ([eq:V]) قيمة توقعية في الاتجاهات الخاملة، أي يجب أن يكون \(\langle S_{i}^{0}\rangle=0\) سواء عند \(\langle h\rangle=0\) أو \(\langle h\rangle=\upsilon\). يمكن ترجمة هذه الشروط إلى: \[ \mu_{1}^{2},\mu_{2}^{2},\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{2}-\sqrt{(\mu_{2}^{2}-\mu_{1}^{2})^{2}+4(\mu_{3}^{2})^{2}}>0, \] ومن الواضح أن \(m_{H_{1}^{0}}^{2},m_{A_{1}^{0}}^{2},m_{H_{1}^{\pm}}^{2}>0\).