نجح النموذج القياسي (SM) لفيزياء الجسيمات في وصف خصائص الجسيمات الأوّلية وتفاعلاتها عند مقياس الكهروضعيف (EW). ومع ذلك، لا تزال هناك أسئلة مفتوحة، مثل تفسير تذبذبات النيوترينوات وطبيعة المادة المُظلمة (DM). لقد أثبتت بيانات تذبذبات النيوترينوات أن اثنين على الأقل من بين النيوترينوات الثلاثة في النموذج القياسي لها كُتَل غير منعدمة ومزج غير صفري. غير أنّ خصائصها، كطبيعتها وأصل صِغَر كُتَلها، لا تجد تفسيرًا ضمن النموذج القياسي، الأمر الذي يستدعي فيزياء جديدة.
من بين أكثر الآليات شيوعًا لتفسير صِغَر كُتَل النيوترينو آلية «سي-سو» التي تفترض وجود نيوترينوات يمينية ذات كُتَل تفوق مقياس الكهروضعيف بعدة رتب. هذه الجسيمات الثقيلة تنفصل عن الفيزياء منخفضة الطاقة عند مقياس EW، وبالتالي لا يمكن اختبارها مباشرةً في تجارب فيزياء الطاقات العالية. ثَمّة مقاربة أخرى تتطلب مقياسًا أدنى للفيزياء الجديدة، حيث تُولَّد كُتَل النيوترينو الصغيرة طبيعيًّا عبر تصحيحات كمومية، إذ يضمن عامل كَبْت الحلقة صِغَر الكتلة. وقد يتحقق ذلك على مستوى حلقة واحدة ، أو حلقتين ، أو ثلاث أو أربع حلقات . وتمتاز هذه النماذج بخواصّ مثيرة يمكن اختبارها في المصادمات عالية الطاقة (للمراجعة، انظر ).
أبسط وأكثر تحقيق شيوعًا لآلية الكتلة الإشعاعية للنيوترينو هو ما يُعرف بـ «النموذج السكوتوجيني» ، حيث يُمَدَّد النموذج القياسي بمزدوجة سلميّة خاملة وثلاثة فرميونات ماجورانا مُنفردة. إضافةً إلى ذلك، يُتيح هذا النموذج مُرشّحين محتملين للمادة المُظلمة، هما: الأخف بين فرميونات ماجورانا والسكالار المحايد الأخف داخل المزدوجة الخاملة. سيناريو المادة المُظلمة السلميّة يُطابق نموذج المزدوجة الخاملة لهِغز (IDM)، وهو خاضع لقيود صارمة من تجارب الكشف المباشر عن المادة المُظلمة. أمّا في سيناريو المادة المُظلمة الفرميونية (من نوع ماجورانا)، فإن الحصول على الكثافة الحرارية الصحيحة يتطلّب قِيَمًا كبيرة نسبيًّا لثوابت يوكوا الجديدة التي تقترن بها المزدوجة الخاملة بفرميونات ماجورانا . ولا يتحقق ذلك عادةً إلا بفرض تقارب شديد بين كُتَل السكالارات زوجية CP وفردية CP، ما يُفضي إلى قَمْع الاقتران الرباعي \(\lambda_{5}\sim10^{-10}-10^{-9}\). يمكن تجنّب هذا الضبط الدقيق بتمديد نموذج سكوتوجيني الأدنى (MSctM) بإضافة مزدوجتين حقيقيتين وفرض تناظر منفصل عالمي \(Z_{4}/Z_{2}\) . وفي الواقع، اقتُرِحت ودُرست العديد من النماذج التي تتجاوز MSctM . فعلى سبيل المثال، في ، دَرَس المؤلفون نموذجًا سكوتوجينيًّا معمَّمًا، عبر اعتبار \(n_{N}\) من فرميونات ماجورانا المُنفردة و\(n_{\eta}\) مزدوجات خاملة، حيث نوقشت جوانب ظاهراتية متعدّدة.
استنادًا إلى النتائج الحالية والمستقبلية لكلٍّ من ATLAS وCMS، سيُصبح فضاء مُعامِلات نموذج IDM (ومِن ثَمّ نموذج MSctM مع المادة المُظلمة السلميّة) أكثر تقييدًا مع تحسّن دقة القياسات في القطاع الكهروضعيف. إضافة إلى ذلك، فإن النتائج الحديثة من تجارب الكشف المباشر، مثل تجربة LUX-ZEPLIN ، ستفرض حدودًا أكثر صرامة على النموذج. هذا يجعل من تمديد نموذج IDM أمرًا مُفيدًا، إذ قد يتجنّب بعض القيود ويتنبّأ بإشارات إضافية. علاوة على ذلك، من بين الدوافع المهمّة لتمديد IDM أنّه لا يسمح بانتهاك CP في القطاع السلميّ، بينما يكون وجود مزدوجة إضافية من نوع \(SU(2)_{L}\) مُفيدًا لتحقيق ذلك . ووفقًا للدوافع السابقة، من الطبيعي النظر في تحقيق لنموذج سكوتوجيني حيث يُمَدَّد النموذج القياسي بثلاثة فرميونات ماجورانا منفردة \(N_{1,2,3}\) ومزدوجتين خامِلَتين \(\Phi_{1,2}\) تقترنان بمزدوجات اللبتونات اليُسرى وفرميونات ماجورانا المنفردة. تتحوّل الحقول الجديدة كحقول «فرديّة» تحت تناظر منفصل عالمي \(Z_{2}\) وفق العلاقة \(\{N_{1,2,3},\Phi_{1,2}\}\rightarrow\{-N_{1,2,3},-\Phi_{1,2}\}\) لضمان استقرار المادة المُظلمة.
تنظيم هذا العمل كالتالي: في القسم النموذج وكتلة النيوترينو، نعرض النموذج ونوضح توليد كتلة النيوترينو على مستوى الحلقة. في القسم القيود النظرية والتجريبية، نناقش مختلف القيود النظرية والتجريبية ذات الصلة. أمّا القسمان التحليل العددي و المادة المُظلمة فمخصّصان لاستكشاف فضاء المُعاملات المسموح وظواهر المادة المُظلمة، على التوالي، في كلٍّ من سيناريوهَي المادة المُظلمة الفرميونية والسلميّة. نختتم في القسم الخلاصة. كما يتضمّن البحث ثلاثة ملاحق: في الملحق [app1] نناقش كيفية تقدير ثوابت يوكوا الجديدة حيث نقدّم تعميمًا لـ«بارامتَرة كاساس–إيبارا». وفي الملحق [sec:nInert] نعمّم نتائجنا لحالة نموذج سكوتوجيني مع n مزدوجات خاملة بدلًا من اثنتين. وفي الملحق [Uni] نقدّم مصفوفات السعة ذات الصلة بشروط وحدة الاضطراب.
نُمدِّد هنا النموذج القياسي بمزدوجتين خامِلَتين نرمز لهما بـ \(\Phi_{1,2}\sim(1,2,1)\) وثلاثة فرميونات ماجورانا مُنفردة \(N_{i}\sim(1,1,0)\). يمكن كتابة لاغرانجيان تآثرات فرميونات ماجورانا كما يلي: \[ \begin{aligned} \mathcal{L} &\supset \overline{L}_{\alpha}\big(h_{\alpha,k}~\epsilon.\Phi_{1}+h_{\alpha,k+3}~\epsilon.\Phi_{2}\big)N_{k}+\frac{1}{2}\bar{N}_{k}^{C}M_{k}N_{k}+h.c., \end{aligned} \] حيث \(L_{\alpha}\) هي مزدوجات اللبتونات اليُسرى، و\(\epsilon=i\sigma_{2}\) هو الموتر المضادّ للتناظر. هنا \(h_{\alpha,k}\) مصفوفة يوكوا جديدة من الرتبة \(3\times6\)، ويمكن أخذ مصفوفة الكُتَل \(M=\mathrm{diag}(M_{1},M_{2},M_{3})\) قُطريّة.
يُعطى أكثر شكل عام للجهد السلمي، المتناظر تحت \(Z_{2}\) والقابل لإعادة التطبيع والمتوافق مع التناظر المعياري، كما يلي: \[ \begin{aligned} V\left(\mathcal{H},\Phi\right) &= -\mu_{H}^{2}|\mathcal{H}|^{2}+\mu_{i}^{2}|\Phi_{i}|^{2}+\frac{\lambda_{H}}{6}|\mathcal{H}|^{4}+\frac{\lambda_{i}}{6}|\Phi_{i}|^{4}+\omega_{i}|\mathcal{H}|^{2}|\Phi_{i}|^{2}+\kappa_{i}|\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{i}|^{2}\\ &\quad +\varrho_{1}|\Phi_{1}|^{2}|\Phi_{2}|^{2}+\varrho_{2}|\Phi_{1}^{\dagger}\Phi_{2}|^{2}+\left\{ \mu_{3}^{2}\Phi_{1}^{\dagger}\Phi_{2}+\frac{1}{2}\xi_{i}(\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{i})^{2}+\xi_{3}(\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{1})(\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{2})\right.\\ &\quad \left.+\xi_{4}(\Phi_{1}^{\dagger}\mathcal{H})(\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{2})+h.c.\right\} \end{aligned} \] حيث يمكن بارامتَرة \(\mathcal{H}\) و\(\Phi_{i}\) كما يلي: \[ \mathcal{H}=\left(\begin{array}{c} \chi^{+}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(\upsilon+h+i\chi^{0}) \end{array}\right),~\Phi_{i}=\left(\begin{array}{c} S_{i}^{+}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(S_{i}^{0}+iQ_{i}^{0}) \end{array}\right). \]
إن مصطلحات اللاغرانجيان في ([LL]) و([eq:V]) متناظرة تحت تناظر منفصل عالمي \(Z_{2}\) وفق الشحنات: \[ \Phi_{1,2}\rightarrow-\Phi_{1,2},\,N_{1,2,3}\rightarrow-N_{1,2,3}, \] بينما جميع الحقول الأخرى زوجيّة. هذا التناظر \(Z_{2}\) يمنع وجود مصطلحات من قبيل \((\mathcal{H}^{\dagger}\Phi_{i})(\Phi_{j}^{\dagger}\Phi_{k})\). في حال كانت \(\mu_{3}^{2}\) و/أو \(\xi_{i}\) معقّدة، فإن CP يُكسَر صراحةً، فنحصل على تفاعلات تنتهك CP ترتبط بالحالات الذاتية المحايدة الأربع في القاعدة {\(S_{1}^{0},S_{2}^{0}\),\(Q_{1}^{0},Q_{2}^{0}\)}. هذه الحالة مثيرة للاهتمام لأن مصادر إضافية لانتهاك CP مطلوبة لتوليد عدم تناظر المادة–ضدّ المادة . فيما يلي، سنفترض قيمًا حقيقية للمعاملات \(\mu_{3}^{2}\) و\(\xi_{i=1,2,3,4}\) لتجنّب انتهاك CP. أمّا حالة انتهاك CP الصريح (قيم مركّبة لـ\(\mu_{3}^{2}\) و/أو \(\xi_{i}\)) فتستلزم دراسة مستقلّة لما قد تحمله من تبعات كونيّة.
بعد كسر التناظر الكهروضعيف (EWSB)، نحصل على ثلاثة سكالارات زوجيّة CP \((h,H_{1,2}^{0})\)، وسكالارَيْن فرديَّي CP \(A_{1,2}^{0}\)، وزوجين من السكالارات المشحونة \(H_{1,2}^{\pm}\). تُعطى كتلة هيغز بـ \(m_{h}^{2}=2\mu_{H}^{2}=\frac{\lambda_{H}}{3}\upsilon^{2}\)، وتُعرَّف الحالات الذاتية الخاملة كما يلي: \[ \begin{aligned} \left(\begin{array}{c} H_{1}^{0}\\ H_{2}^{0} \end{array}\right) &=\left(\begin{array}{cc} c_{H} & s_{H}\\ -s_{H} & c_{H} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} S_{1}^{0}\\ S_{2}^{0} \end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{c} A_{1}^{0}\\ A_{2}^{0} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} c_{A} & s_{A}\\ -s_{A} & c_{A} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} Q_{1}^{0}\\ Q_{2}^{0} \end{array}\right),\\ &\left(\begin{array}{c} H_{1}^{\pm}\\ H_{2}^{\pm} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} c_{C} & s_{C}\\ -s_{C} & c_{C} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} S_{1}^{\pm}\\ S_{2}^{\pm} \end{array}\right), \end{aligned} \] حيث \(c_{X}=\cos\theta_{X},\,s_{X}=\sin\theta_{X}\) و\(\theta_{H}\)، \(\theta_{A}\) و\(\theta_{C}\) هي زوايا الخلط التي تُقطِّر مصفوفات الكتلة للسكالارات زوجيّة CP وفرديّة CP والمشحونة، على التوالي. تُعطى مصفوفات الكتلة المربّعة للسكالارات المشحونة والمحايدة (زوجيّة CP وفرديّة CP) في القواعد {\(S_{1}^{\pm},S_{2}^{\pm}\)}، {\(S_{1}^{0},S_{2}^{0}\)} و{\(Q_{1}^{0},Q_{2}^{0}\)}، على التوالي، بـ: \[ \begin{aligned} M_{C}^{2} &=\left[\begin{array}{cc} \mu_{1}^{2} & \mu_{3}^{2}\\ \mu_{3}^{2} & \mu_{2}^{2} \end{array}\right]+\frac{\upsilon^{2}}{2}\left[\begin{array}{cc} \omega_{1} & 0\\ 0 & \omega_{2} \end{array}\right],\\ M_{H,A}^{2}&=M_{C}^{2}+\frac{\upsilon^{2}}{2}\left[\begin{array}{cc} \kappa_{1} & \xi_{4}\\ \xi_{4} & \kappa_{2} \end{array}\right]\pm\frac{\upsilon^{2}}{2}\left[\begin{array}{cc} \xi_{1} & \xi_{3}\\ \xi_{3} & \xi_{2} \end{array}\right]. \end{aligned} \]
تُعطى القيم الذاتية وزوايا الخلط بـ: \[ \begin{aligned} m_{X_{1,2}}^{2} &= \frac{1}{2}\left([M_{X}^{2}]_{11}+[M_{X}^{2}]_{22}\mp\sqrt{([M_{X}^{2}]_{22}-[M_{X}^{2}]_{11})^{2}+4[M_{X}^{2}]_{12}^{2}}\right),\\ \tan(2\theta_{X}) &= \frac{2[M_{X}^{2}]_{12}}{[M_{X}^{2}]_{22}-[M_{X}^{2}]_{11}}, \end{aligned} \] وذلك لـ \(([X_{1,2},\theta_{X}]=[H_{1,2}^{0},\theta_{H}],[A_{1,2}^{0},\theta_{A}],[H_{1,2}^{\pm},\theta_{C}])\).
المُعاملات الحرّة المستقلّة هي: \[ M_{1,2,3},~m_{H_{1,2}^{\pm}},~m_{H_{1,2}^{0}},~m_{A_{1,2}^{0}},~s_{H,A,C},~\omega_{1,2},~h_{\alpha i}, \] حيث: \[ \begin{aligned} \mu_{1}^{2} &= m_{H_{1}^{\pm}}^{2}c_{C}^{2}+m_{H_{2}^{\pm}}^{2}s_{C}^{2}-\frac{1}{2}\omega_{1}\upsilon^{2},\\ \mu_{2}^{2} &= m_{H_{1}^{\pm}}^{2}s_{C}^{2}+m_{H_{2}^{\pm}}^{2}c_{C}^{2}-\frac{1}{2}\omega_{2}\upsilon^{2},\\ \mu_{3}^{2} &= c_{C}s_{C}(m_{H_{2}^{\pm}}^{2}-m_{H_{1}^{\pm}}^{2}),\\ \kappa_{1}\upsilon^{2} &= m_{H_{1}^{0}}^{2}c_{H}^{2}+m_{H_{2}^{0}}^{2}s_{H}^{2}+m_{A_{1}^{0}}^{2}c_{A}^{2}+m_{A_{2}^{0}}^{2}s_{A}^{2}-2(m_{H_{1}^{\pm}}^{2}c_{C}^{2}+m_{H_{2}^{\pm}}^{2}s_{C}^{2}),\\ \kappa_{2}\upsilon^{2} &= m_{H_{2}^{0}}^{2}c_{H}^{2}+m_{H_{1}^{0}}^{2}s_{H}^{2}+m_{A_{2}^{0}}^{2}c_{A}^{2}+m_{A_{1}^{0}}^{2}s_{A}^{2}-2(m_{H_{2}^{\pm}}^{2}c_{C}^{2}+m_{H_{1}^{\pm}}^{2}s_{C}^{2}),\\ \xi_{1}\upsilon^{2} &= (m_{H_{1}^{0}}^{2}c_{H}^{2}+m_{H_{2}^{0}}^{2}s_{H}^{2})-(m_{A_{2}^{0}}^{2}s_{A}^{2}+m_{A_{1}^{0}}^{2}c_{A}^{2}),\\ \xi_{2}\upsilon^{2} &= (m_{H_{1}^{0}}^{2}s_{H}^{2}+m_{H_{2}^{0}}^{2}c_{H}^{2})-(m_{A_{1}^{0}}^{2}s_{A}^{2}+m_{A_{2}^{0}}^{2}c_{A}^{2}),\\ \xi_{3}\upsilon^{2} &= s_{H}c_{H}(m_{H_{2}^{0}}^{2}-m_{H_{1}^{0}}^{2})-s_{A}c_{A}(m_{A_{2}^{0}}^{2}-m_{A_{1}^{0}}^{2}),\\ \xi_{4}\upsilon^{2} &= s_{H}c_{H}(m_{H_{2}^{0}}^{2}-m_{H_{1}^{0}}^{2})+s_{A}c_{A}(m_{A_{2}^{0}}^{2}-m_{A_{1}^{0}}^{2})-2c_{C}s_{C}(m_{H_{2}^{\pm}}^{2}-m_{H_{1}^{\pm}}^{2}). \end{aligned} \]
يمكن كتابة المصطلح الأول في ([LL]) كما يلي: \[ \begin{aligned} \mathcal{L} &\supset\sum_{\alpha,j,k}\frac{1}{\sqrt{2}}\big(g_{\alpha k}^{(j)}H_{j}^{0}+if_{\alpha k}^{(j)}A_{j}^{0}\big)\overline{\nu}_{\alpha L}N_{k}-\zeta_{\alpha k}^{(j)}H_{j}^{\pm}\overline{\ell}_{\alpha L}N_{k}+h.c, \end{aligned} \] حيث \(\alpha=e,\mu,\tau\)، و\(j=1,2\) و\(k=1,2,3\)؛ و \[ \begin{aligned} g_{\alpha k}^{(1)} &= c_{H}h_{\alpha,k}+s_{H}h_{\alpha,k+3},\quad g_{\alpha k}^{(2)}=-s_{H}h_{\alpha,k}+c_{H}h_{\alpha,k+3},\\ f_{\alpha k}^{(1)} &= c_{A}h_{\alpha,k}+s_{A}h_{\alpha,k+3},\quad f_{\alpha k}^{(2)}=-s_{A}h_{\alpha,k}+c_{A}h_{\alpha,k+3},\\ \zeta_{\alpha k}^{(1)} &= c_{C}h_{\alpha,k}+s_{C}h_{\alpha,k+3},\quad \zeta_{\alpha k}^{(2)}=-s_{C}h_{\alpha,k}+c_{C}h_{\alpha,k+3}. \end{aligned} \]
يؤدّي المصطلحان الأوّلان في ([Lfl]) إلى توليد كتلة النيوترينو على طريقة سكوتوجيني؛ بينما يؤدّي المصطلح الأخير إلى عمليات انتهاك نكهة اللبتونات من قبيل \(\ell_{\beta}\rightarrow\ell_{\alpha}+\gamma\) و\(\ell_{\beta}\rightarrow3\ell_{\alpha}\). ومن ثَمّ، فإن عنصر مصفوفة كتلة النيوترينو \([\alpha,\beta]\) يأتي من مساهمة 12 مُخطّط فينمان كما هو موضّح في الشكل 1.
يمكن كتابتها كالتالي: \[ \begin{aligned} m_{\alpha\beta}^{(\nu)} & =\sum_{k=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}M_{k}\Big\{ g_{\alpha k}^{(j)}\,g_{\beta k}^{(j)}\,\mathcal{F}\Big(m_{H_{j}^{0}}/M_{k}\Big)-f_{\alpha k}^{(j)}\,f_{\beta k}^{(j)}\,\mathcal{F}\Big(m_{A_{j}^{0}}/M_{k}\Big)\Big\}, \end{aligned} \] حيث \(\mathcal{F}(x)=\frac{x^{2}\log(x)}{8\pi^{2}(x^{2}-1)}\). إن الأجزاء المتشعّبة من المُخطّطات في الشكل 1 التي تتوسّطها \(H_{j}^{0}\) و\(A_{j}^{0}\) تلغي بعضها بعضًا بفضل الهويّة1: \[ \sum_{j=1}^{2}\Big\{ g_{\alpha k}^{(j)}\,g_{\beta k}^{(j)}-f_{\alpha k}^{(j)}\,f_{\beta k}^{(j)}\Big\}=0. \]
1- ينشأ هذا الإلغاء من كون معاملات الخلط تُشكِّل تدويرًا متعامدًا بين الحالات زوجية CP وفردية CP في القطاع الخامل، بحيث تتطابق اللانهايات وتُلغى فيما بينها.
يمكن بارامتَرة مصفوفة كتلة النيوترينو ([eq:mnu]) كما يلي: \[ \begin{aligned} (m^{(\nu)})_{3\times3} &= (h)_{3\times6}.(\Lambda)_{6\times6}.(h^{T})_{6\times3},\\ \Lambda & =\left(\begin{array}{cc} \varpi_{1} & \varpi_{3}\\ \varpi_{3} & \varpi_{2} \end{array}\right), \end{aligned} \] حيث \(\varpi_{1,2,3}\) مصفوفات قطريّة من الرتبة \(3\times3\)، وعناصرها تُعطى بـ: \[ \begin{aligned} (\varpi_{1})_{ik} &= \delta_{ik}M_{k}\big[c_{H}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{H_{1}^{0}}/M_{k}\Big)+s_{H}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{H_{2}^{0}}/M_{k}\Big)-c_{A}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{A_{1}^{0}}/M_{k}\Big)-s_{A}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{A_{2}^{0}}/M_{k}\Big)\big],\\ (\varpi_{2})_{ik} &= \delta_{ik}M_{k}\big[s_{H}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{H_{1}^{0}}/M_{k}\Big)+c_{H}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{H_{2}^{0}}/M_{k}\Big)-s_{A}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{A_{1}^{0}}/M_{k}\Big)-c_{A}^{2}\mathcal{F}\Big(m_{A_{2}^{0}}/M_{k}\Big)\big],\\ (\varpi_{3})_{ik} &= \delta_{ik}M_{k}\big[s_{H}c_{H}(\mathcal{F}\Big(m_{H_{1}^{0}}/M_{k}\Big)-\mathcal{F}\Big(m_{H_{2}^{0}}/M_{k}\Big))-s_{A}c_{A}(\mathcal{F}\Big(m_{A_{1}^{0}}/M_{k}\Big)-\mathcal{F}\Big(m_{A_{2}^{0}}/M_{k}\Big))\big], \end{aligned} \] لـ \(i,k=1,2,3\). هنا، المصفوفة \(\Lambda\) في ([eq:CIb]) ليست قطريّة، وبالتالي لا يمكن استخدام بارامتَرة كاساس–إيبارا مباشرةً لتقدير ثوابت يوكوا \(h\). ومع ذلك، يمكن اشتقاق صيغة مماثلة في هذه الحالة (عندما لا تكون \(\Lambda\) قطريّة). نقدّم حلًّا عامًا لمصفوفة ثوابت يوكوا من الرتبة \(3\times M\)2 كما يلي: \[ h_{3\times M}=(U_{\nu})_{3\times3}.(D_{\sqrt{m_{\nu}}})_{3\times3}.(T)_{3\times M}.(D_{(\Lambda'_{i})^{-1/2}})_{M\times M}.(Q)_{M\times M}, \] حيث \(U_{\nu}\) هي مصفوفة خلط بونتيكورفو–ماكي–ناكاغاوا–ساكاتا (PMNS)، و\(D_{\sqrt{m_{\nu}}}=\textrm{diag}\{m_{1}^{1/2},m_{2}^{1/2},m_{3}^{1/2}\}\) مع \(m_{i}\) القيم الذاتية لكتلة النيوترينو؛ و\(T\) مصفوفة اعتباطية من الرتبة \(3\times M\) تُحقّق \(T_{3\times M}.T_{M\times3}^{T}=\boldsymbol{1}_{3\times3}\). كما أنّ \((D_{(\Lambda'_{i})^{-1/2}})_{M\times M}=\textrm{diag}\left\{ (\Lambda'_{i})^{-1/2}\right\}\)، حيث \(\Lambda'_{i}\) هي القيم الذاتية للمصفوفة \(\Lambda\) في ([eq:CIb])، والتي تُقطَّر بواسطة المصفوفة \(Q\)، أي \(\textrm{diag}\left\{ \Lambda'_{i}\right\} =Q.\Lambda.Q^{T}\). في الملحق [app1]، نناقش اشتقاق ([eq:h]) والتمثيلات الممكنة لهذه المصفوفة. ونناقش في الملحق [sec:nInert] تعميم هذا النموذج ليشمل n مزدوجات خاملة بدلًا من مزدوجتين.
2- هنا \(M\) يمثّل عدد الحقول الثقيلة في الكتلة الفعّالة (وفي هذا النموذج \(M=6\)).
في هذا القسم نعرض بإيجاز القيود النظرية والتجريبية ذات الصلة بنموذجنا:
الاضطرابِيّة: يجب أن تُحقّق جميع رؤوس التآثرات الرباعية للحقول السلميّة شروط الاضطرابِيّة، أي: \[ \begin{aligned} \max\big\{\lambda_{H},\lambda_{1,2},|\omega_{1,2}|,|\kappa_{1,2}+\omega_{1,2}|,|\omega_{1,2}+\kappa_{1,2}\pm\xi_{1,2}|,|\varrho_{1}|,|\varrho_{1}+\varrho_{2}|,\\ |\xi_{1,2}|,\tfrac{1}{2}|\كappa_{1,2}\pm\xi_{1,2}|,\tfrac{1}{2}|\varrho_{2}|\big\}\leq4\pi. \end{aligned} \]
وحدة الاضطراب (perturbative unitarity): يجب الحفاظ على وحدة الاضطراب في جميع العمليات التي تشمل السلميّات أو بوزونات القياس. في حدّ الطاقة العالية، تُستبدَل بوزونات القياس بجسيمات جولدستون المُناظرة لها؛ ويمكن حساب مصفوفة سعة التشتّت \(\phi_{i}~\phi_{j}\rightarrow\phi_{k}\phi_{m}\) بسهولة. وتُستوفى شروط وحدة الاضطراب إذا كانت القيم الذاتية لمصفوفة سعة التشتّت أصغر من \(|\Lambda_{i}|<8\pi\) .
في نموذجنا، وبسبب بعض التناظرات المنفصلة مثل الشحنة الكهربائية وCP وتناظر \(Z_{2}\) العالمي، يمكن تقسيم مصفوفة السعة الكاملة إلى ستّ مصفوفات فرعية. هذه المصفوفات الفرعية الستة مُعرّفة في قواعد الحالات الابتدائية/النهائية كما هو موضّح في الملحق [Uni] بالتفصيل.
استقرار الفراغ: يُشترط أن يكون الجهد السلمي محدودًا من الأسفل في جميع اتجاهات فضاء الحقول. من الواضح أنّه على طول الاتجاهات النقيّة (\(\Phi_{1}=\Phi_{2}=0\))، (\(\mathcal{H}=\Phi_{2}=0\)) و(\(\mathcal{H}=\Phi_{1}=0\)) تكون شروط استقرار الفراغ، أي إيجابية الجهد عند قيم الحقول الكبيرة، هي \(\lambda_{H},\lambda_{1},\lambda_{2}>0\)، على التوالي. أمّا في أي اتجاه آخر، فإن إيجابية الجهد مضمونة إذا كانت جميع التآثرات الرباعية موجبة. وفي حال وُجدت تآثرات رباعية سالبة، تكون شروط استقرار الفراغ كما في : \[ \left|\begin{array}{ccc} \lambda_{H} & \overline{\omega_{1}+\kappa_{1}+\xi_{1}} & \overline{\omega_{2}+\kappa_{2}+\xi_{2}}\\ \overline{\omega_{1}+\kappa_{1}+\xi_{1}} & \lambda_{1} & \overline{\varrho_{1}+\varrho_{2}}\\ \overline{\omega_{2}+\kappa_{2}+\xi_{2}} & \overline{\varrho_{1}+\varrho_{2}} & \lambda_{2} \end{array}\right|>0, \] \[ \left|\begin{array}{ccc} \frac{2}{3}\lambda_{H} & \overline{\omega_{1}+\kappa_{1}} & \overline{\omega_{2}+\kappa_{2}}\\ \overline{\omega_{1}+\كappa_{1}} & \frac{2}{3}\lambda_{1} & \overline{\varrho_{1}+\varrho_{2}}\\ \overline{\omega_{2}+\كappa_{2}} & \overline{\varrho_{1}+\varrho_{2}} & \frac{2}{3}\lambda_{2} \end{array}\right|>0, \] لاتجاهات الحقول المحايدة والمشحونة، على التوالي، مع \(\overline{X}=\min\left(X,0\right)\).
بالإضافة إلى ذلك، نشترط أن يكون الفراغ \((\langle h\rangle=\upsilon,\langle S_{i}^{0}\rangle=0)\) هو الأعمق. وكخيار مُحافِظ في هذا العمل، نفترض ألّا يُطوِّر الجهد ([eq:V]) قيمة توقّعية في الاتجاهات الخاملة، أي يجب أن يكون \(\langle S_{i}^{0}\rangle=0\) سواء عند \(\langle h\rangle=0\) أو \(\langle h\rangle=\upsilon\). ويمكن ترجمة هذه الشروط إلى: \[ \mu_{1}^{2},\mu_{2}^{2},\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{2}-\sqrt{(\mu_{2}^{2}-\mu_{1}^{2})^{2}+4(\mu_{3}^{2})^{2}}>0, \] ومن الواضح أنّ \(m_{H_{1}^{0}}^{2},m_{A_{1}^{0}}^{2},m_{H_{1}^{\pm}}^{2}>0\).