مقدمة

من المعروف أن \(27\%\) من مادة الكون تتكون من المادة المظلمة الباردة (CDM). تاريخياً، تم اقتراح وجودها كشرح محتمل لعدة مشاهدات فلكية في عناقيد المجرات. التحليل المشترك لنتائج قمر بلانك الصناعي لعام 2018 يعطي قيمة لكثافة المادة المظلمة المتبقية:

\[\Omega_{{\rm DM}}h^{2}=0.120\pm0.001\]

حيث \(h\) هو ثابت هابل المخفض و\(\Omega_{{\rm DM}}\) تمثل كثافة طاقة المادة المظلمة بوحدة الكثافة الحرجة. من الواضح أن مرشح المادة المظلمة يجب أن يكون جسيمًا مستقرًا، أو على الأقل عمره أكبر بكثير من عمر الكون، ولا يتفاعل مباشرة مع القوى الكهرضعيفة أو القوية. يمكن ضمان استقراره بفرض تناظر مناسب، قد يكون متقطعًا أو مستمرًا. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون غير نسبوي، أي بارد، حيث تم استبعاد إمكانية المادة المظلمة الساخنة من خلال عدة مشاهدات، منها نمط التذبذبات في الخلفية الكونية الميكروية، والتشكل المبكر للنجوم والمجرات والعناقيد، وإشارات العدسات الضعيفة. لذا يجب النظر إلى فيزياء ما بعد النموذج القياسي للبحث عن مرشحات المادة المظلمة. في الأدبيات، تم اقتراح العديد من التوسعات للنموذج القياسي حيث تكون المادة المظلمة سقالة، أو فرميون أو بوزون متجه.

في هذا العمل، ندرس نموذجًا يتجاوز النموذج القياسي، حيث تكون مرشحات المادة المظلمة عبارة عن متعدد من بوزونات معيارية ضخمة من النوع غير القياسي (سبين-1) تتفاعل مع النموذج القياسي عبر بوابة هيغز، كما اقترح في. يتميز هذا النموذج بأن استقرار جسيمات المادة المظلمة مضمون بتناظر الحفظ المرتبط بتناظر القياس ومحتوى الجسيمات في النموذج، دون الحاجة لفرض أي تناظر متقطع أو عالمي إضافي. ومع ذلك، لم يتم دراسة العديد من الخصائص الهامة للنموذج بسبب عدم اكتشاف بوزون هيغز وقتها. على سبيل المثال، يمكن استخدام قياسات اقترانات هيغز بدقة معقولة لتقييد أي حالة سقالة ثقيلة تختلط مع هيغز النموذج القياسي، وهو ما سنقوم به هنا. بالإضافة إلى ذلك، أصبح اقتران هيغز الثلاثي وإنتاج زوجي هيغز مهمين جدًا للكشف عن فيزياء جديدة وفهم كسر التناظر الكهرضعيف. سنحقق في كل هذه الجوانب في هذا العمل. علاوة على ذلك، نقدم التعبيرات التحليلية الكاملة لمقاطع التفاعل لقنوات إفناء المادة المظلمة والتشارك في الإفناء التي تساهم في الكثافة الحرارية المتبقية عند التجميد، والتي لم تذكر في. أخيرًا، سنعرض نتائج تتعلق بنسب التفرع لعدة أنماط اضمحلال للسقالات في النموذج يمكن اختبارها في تجارب المصادمات المستقبلية.

تنظيم الورقة كالتالي: أولاً، نستعرض النموذج المقترح في ونناقش الحالات الذاتية للكتلة واقتراناتها الناتجة عن جهد السقالة في القسم [sec:Model]. ثم في القسم [sec:constr]، نبحث القيود النظرية والتجريبية مثل استقرار الفراغ، وحدة التشتت، وحدود الكشف المباشر للمادة المظلمة التي يمكن فرضها على معلمات النموذج. في القسم [sec:DM]، نعتبر أخف متجه قياسي من \(SU(2)_{HS}\) كمرشح للمادة المظلمة ونقدر كثافته المتبقية بأخذ جميع قنوات الإفناء المسموح بها بالإضافة إلى تأثيرات التشارك في الإفناء. بعد ذلك، نجري دراسة مفصلة لظواهر المصادمات للنموذج في القسم [sec:Pheno]. أخيرًا، نلخص النتائج ونستنتج في القسم [sec:Conc]. بعض الصيغ والتعبيرات ذات الصلة للجهد الفعال ومساهمات مقطع التفاعل مذكورة في الملحق [sec:One-Loop] وملحق [sec:XSection]، على التوالي.

النموذج

في هذه الدراسة، نعتبر النموذج المقترح في. يعتمد النموذج على توسيع تناظر القياس للنموذج القياسي ليشمل تناظرًا غير إبدالي يُشار إليه بـ \(SU(2)_{HS}\)، حيث تكون جميع جسيمات النموذج القياسي مفردة تحته. يحتوي قطاع السقالة في النموذج على مزدوجة جديدة \(\phi\) مشحونة تحت \(SU(2)_{HS}\) ومفردة تحت مجموعة النموذج القياسي. البوزونات المعيارية الإضافية المرتبطة بـ \(SU(2)_{HS}\) يرمز لها بـ \(A^{\mu}\). تتقاطع مع النموذج القياسي فقط عبر بوابة هيغز (\(-\lambda_{m}\phi^{\dagger}\phi H^{\dagger}H\)) ولا تختلط مع بوزونات النموذج القياسي بسبب الطبيعة غير الإبدالية لـ \(SU(2)_{HS}\). يمكن كتابة لاغرانجيان النموذج كالتالي:

\[ \mathcal{L} \supset -\frac{1}{4} F^{\mu\nu} \cdot F_{\mu\nu} + (D_{\mu}\phi)^{\dagger}(D^{\mu}\phi) - \lambda_{m} \phi^{\dagger}\phi H^{\dagger}H - \mu_{\phi}^{2} \phi^{\dagger}\phi - \lambda_{\phi} (\phi^{\dagger}\phi)^2 \]

حيث \(D^{\mu}\phi = \left(\partial^{\mu} - i g_{\phi} \frac{\tau_{i}}{2} A_{i}^{\mu}\right)\phi\) مع \(g_{\phi}\) هو اقتران القياس لـ \(SU(2)_{HS}\) و\(\tau_{i}\) هي مصفوفات باولي. جهد هيغز في النموذج القياسي يُعطى بـ \({\cal L}^{SM}\supset-\mu^{2}H^{\dagger}H-\lambda(H^{\dagger}H)^{2}\) مع \(H^{T}=(\chi^{+},\frac{1}{\sqrt{2}}[h'+i\chi^{0}])\). باختيار مناسب للمعلمات \(\mu_{\phi}^{2}\) و\(\lambda_{m}\)، ينكسر تناظر القياس \(SU(2)_{HS}\) تلقائيًا عندما يكون متوسط الفراغ لـ \(\phi\)، \(\upsilon_{\phi}\)، غير صفري. بعد التعبير عن المزدوجة الجديدة في مقياس الوحدة كالتالي:

\[ \phi = \frac{\upsilon_{\phi} + \eta'}{\sqrt{2}} \exp\left\{ -i \tau_{k} \frac{\xi_{k}}{\upsilon_{\phi}} \right\} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

نحصل على:

\[ \begin{aligned} \mathcal{L} = & \mathcal{L}_{SM} - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} \cdot F^{\mu\nu} + \frac{1}{8}(g_{\phi} \upsilon_{\phi})^2 A_{\mu} \cdot A^{\mu} + \frac{1}{8} g_{\phi}^2 A_{\mu} \cdot A^{\mu} \eta'^2 \\ & + \frac{1}{4} g_{\phi}^2 \upsilon_{\phi} A_{\mu} \cdot A^{\mu} \eta' + \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \eta')^2 - \frac{\lambda_{m}}{2} (\eta' + \upsilon_{\phi})^2 H^{\dagger}H \\ & - \frac{\mu_{\phi}^2}{2} (\eta' + \upsilon_{\phi})^2 - \frac{\lambda_{\phi}}{4} (\eta' + \upsilon_{\phi})^4 \end{aligned} \]

حيث \(A_{\mu} = U A'_{\mu} U^{-1} - \frac{i}{g_{\phi}} [\partial_{\mu} U] U^{-1}\) مع \(U = \exp\{-i \tau_{k} \xi_{k}/\upsilon_{\phi}\} \in SU(2)_{HS}\). في فضاء مركبات \(A_{i}^{\mu}\)، يمتلك اللاغرانجيان \(\mathcal{L}\) تناظر حفظ \(SO(3)\). وكنتيجة لذلك، تكون المركبات الثلاثة \(A_{i}^{\mu}\) متساوية الكتلة \(m_{A} = g_{\phi} \upsilon_{\phi}/2\)، ومستقرة، وبالتالي يمكن أن تكون مرشحات للمادة المظلمة المتجهة.

للمتابعة، نحتاج إلى التعبير عن \(\mathcal{L}\) بدلالة الحالات الذاتية للكتلة. يتم ذلك بعد تصغير جهد السقالة على اتجاهي \(\phi\) و\(H\). نضع \(H = \exp\{-i \tau_{k} \chi_{k}/\upsilon\} \cdot (0,\,\frac{1}{\sqrt{2}}[\upsilon + h'])^{T}\)، حيث \(\upsilon = 246\,\mathrm{GeV}\) هو متوسط الفراغ المعتاد لهيغز. بفرض شروط التادبول \(\partial V/\partial h = \partial V/\partial \eta = 0\) نجد:

\[ \mu^{2} = -\lambda \upsilon^{2} - \frac{1}{2} \lambda_{m} \upsilon_{\phi}^{2}, \quad \mu_{\phi}^{2} = -\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} - \frac{1}{2} \lambda_{m} \upsilon^{2} \]

يؤدي خلط \(h'\) مع \(\eta'\) الناتج عن وجود حد \(\lambda_{m}\) إلى مصفوفة الكتلة التربيعية:

\[ M^{2} = \begin{pmatrix} 2\lambda \upsilon^{2} & \lambda_{m} \upsilon \upsilon_{\phi} \\ \lambda_{m} \upsilon \upsilon_{\phi} & 2\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} \end{pmatrix} \]

والتي تعطي القيم الذاتية والخلط:

\[ m_{1,2}^{2} = \lambda \upsilon^{2} + \lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} \mp \sqrt{(\lambda \upsilon^{2} - \lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2})^{2} + \lambda_{m}^{2} \upsilon^{2} \upsilon_{\phi}^{2}} \]

و \(\tan 2\beta = \frac{\lambda_{m} \upsilon \upsilon_{\phi}}{\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} - \lambda \upsilon^{2}}\). بقطرنة \(M^{2}\)، نحصل على الحالات الذاتية للكتلة \(h\) و\(\eta\) المعرفة كالتالي:

\[ \begin{pmatrix} h \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h' \\ \eta' \end{pmatrix} \]

مع \(c_{\beta} = \cos\beta\) و\(s_{\beta} = \sin\beta\). بما أن الاقترانات حقيقية، يجب أن تكون القيم الذاتية لمصفوفة \(M^{2}\) موجبة فقط إذا:

\[ \lambda > 0, \quad \lambda_{\phi} > 0, \quad 2\lambda_{m} + \sqrt{\lambda \lambda_{\phi}} > 0 \]

في تحليلنا، نحدد الحالة الذاتية \(m_{h} \sim 125\,\mathrm{GeV}\) لتكون بوزون هيغز النموذج القياسي، و\(\eta\) الحالة الأخرى، وبالتالي لدينا حالتان: (1) هيغز النموذج القياسي هو الحالة الخفيفة أو (2) الحالة الثقيلة. في الحالة الأولى، تكتب كتل السقالة حتى:

\[ m_{h,\eta}^{2} = \lambda \upsilon^{2} + \lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} \mp \frac{\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} - \lambda \upsilon^{2}}{\cos 2\beta} \]

مع \(c_{2\beta} = \cos 2\beta\) ويمكن التعبير عن الاقترانات الرباعية كالتالي:

\[ \lambda = \frac{m_{h}^{2}}{2\upsilon^{2}} c_{\beta}^{2} + \frac{m_{\eta}^{2}}{2\upsilon^{2}} s_{\beta}^{2}, \quad \lambda_{\phi} = \frac{m_{h}^{2}}{2\upsilon_{\phi}^{2}} s_{\beta}^{2} + \frac{m_{\eta}^{2}}{2\upsilon_{\phi}^{2}} c_{\beta}^{2}, \quad \lambda_{m} = \frac{\sin 2\beta}{2\upsilon \upsilon_{\phi}} (m_{\eta}^{2} - m_{h}^{2}) \]

في الحالة الثانية، تعطى كتل السقالة حتى:

\[ m_{h,\eta}^{2} = \lambda \upsilon^{2} + \lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} \pm \frac{\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} - \lambda \upsilon^{2}}{\cos 2\beta} \]

والاقترانات الرباعية:

\[ \lambda = \frac{m_{h}^{2}}{2\upsilon^{2}} s_{\beta}^{2} + \frac{m_{\eta}^{2}}{2\upsilon^{2}} c_{\beta}^{2}, \quad \lambda_{\phi} = \frac{m_{h}^{2}}{2\upsilon_{\phi}^{2}} c_{\beta}^{2} + \frac{m_{\eta}^{2}}{2\upsilon_{\phi}^{2}} s_{\beta}^{2}, \quad \lambda_{m} = \frac{\sin 2\beta}{2\upsilon \upsilon_{\phi}} (m_{h}^{2} - m_{\eta}^{2}) \]

من الواضح أن النموذج يمكن وصفه بأربعة معلمات حرة: \(g_{\phi}\)، \(\lambda_{\phi}\)، \(\mu_{\phi}\) و\(\lambda_{m}\)، أو بشكل مكافئ بـ \(s_{\beta},\,g_{\phi},\,m_{\eta}\) و\(\upsilon_{\phi}\)، بالإضافة إلى معلمات النموذج القياسي.

بالاحتفاظ فقط بالحدود ذات الصلة بدراستنا، يمكن كتابة اللاغرانجيان في أساس الحالات الذاتية للكتلة كالتالي:

\[ \begin{aligned} \mathcal{L} \supset & -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} \cdot F^{\mu\nu} + \frac{1}{2} m_{A}^{2} A_{\mu} \cdot A^{\mu} - \frac{1}{2} m_{\eta}^{2} \eta^{2} - \frac{1}{2} m_{h}^{2} h^{2} \\ & - (h c_{\beta} + \eta s_{\beta}) \left( \sum_{f} \frac{m_{f}}{\upsilon} f \overline{f} \right) \\ & + \left[ \frac{s_{\beta}^{2}}{2\upsilon} \eta^{2} + \frac{c_{\beta}^{2}}{2\upsilon} h^{2} + \frac{\sin 2\beta}{2\upsilon} \eta h + \eta s_{\beta} + h c_{\beta} \right] \left( \frac{2 m_{W}^{2}}{\upsilon} W_{\mu}^{+} W^{-\mu} + \frac{m_{Z}^{2}}{\upsilon} Z^{\mu} Z_{\mu} \right) \\ & + \left[ \frac{c_{\beta}^{2}}{2\upsilon_{\phi}} \eta^{2} + \frac{s_{\beta}^{2}}{2\upsilon_{\phi}} h^{2} - \frac{\sin 2\beta}{2\upsilon_{\phi}} \eta h + \eta c_{\beta} - h s_{\beta} \right] \left( \frac{m_{A}^{2}}{\upsilon_{\phi}} A_{\mu} \cdot A^{\mu} \right) \\ & - \frac{1}{6} \rho_{h} h^{3} - \frac{1}{6} \rho_{\eta} \eta^{3} - \frac{1}{2} \rho_{1} \eta^{2} h - \frac{1}{2} \rho_{2} h^{2} \eta \end{aligned} \]

حيث \(f\) تمثل فرميونات النموذج القياسي، ومعاملات \(\rho\) تمثل اقترانات السقالة الثلاثية حتى (CP-even) والمعطاة بـ:

\[ \begin{aligned} \rho_{1} & = -6\lambda_{\phi}\upsilon_{\phi}c_{\beta}^{2}s_{\beta} + 6\lambda\upsilon s_{\beta}^{2}c_{\beta} + \lambda_{m}(\upsilon c_{\beta}^{3} - \upsilon_{\phi}s_{\beta}^{3} - 2\upsilon c_{\beta}s_{\beta}^{2} + 2\upsilon_{\phi}c_{\beta}^{2}s_{\beta}) \\ \rho_{2} & = 6\lambda_{\phi}\upsilon_{\phi}s_{\beta}^{2}c_{\beta} + 6\lambda\upsilon c_{\beta}^{2}s_{\beta} + \lambda_{m}(\upsilon s_{\beta}^{3} + \upsilon_{\phi}c_{\beta}^{3} - 2\upsilon c_{\beta}^{2}s_{\beta} - 2\upsilon_{\phi}s_{\beta}^{2}c_{\beta}) \\ \rho_{\eta} & = 6\lambda_{\phi}\upsilon_{\phi}c_{\beta}^{3} + 6\lambda\upsilon s_{\beta}^{3} + 3\lambda_{m}c_{\beta}s_{\beta}(\upsilon c_{\beta} + \upsilon_{\phi}s_{\beta}) \\ \rho_{h} & = -6\lambda_{\phi}\upsilon_{\phi}s_{\beta}^{3} + 6\lambda\upsilon c_{\beta}^{3} + 3\lambda_{m}c_{\beta}s_{\beta}(\upsilon s_{\beta} - \upsilon_{\phi}c_{\beta}) \end{aligned} \]

نلاحظ أن اقترانات \(h\) و\(\eta\) مع جسيمات النموذج القياسي موزونة بـ \(c_{\beta}\) و\(s_{\beta}\) على التوالي. علاوة على ذلك، في الحالة الأولى يمكن أن يتحلل السقالة \(\eta\) إلى زوج من هيغز إذا كان \(m_{\eta} > 2m_{h}\) بعرض جزئي:

\[ \Gamma(\eta \rightarrow h h) = \Theta(m_{\eta} - 2m_{h}) \frac{\rho_{2}^{2}}{32\pi m_{\eta}} \sqrt{1 - 4\frac{m_{h}^{2}}{m_{\eta}^{2}}} \]

وفي الحالة الثانية، يمكن أن يتحلل هيغز إلى زوج من \(\eta\) إذا كان \(m_{h} > 2m_{\eta}\)، بالإضافة إلى إمكانية تحللهما إلى \(A_{i}A_{i}\).

القيود النظرية والتجريبية

يخضع هذا النموذج لعدد من القيود النظرية والتجريبية مثل استقرار الفراغ، الاستطاعة، وحدة التشتت، اختبارات الدقة الكهرضعيفة (EWPT)، والقيود من اضمحلال هيغز. بالنسبة لاختبارات الدقة الكهرضعيفة، من المتوقع أن يكون تأثير الفيزياء الجديدة على المعاملات الشاذة (\(\Delta S\) و\(\Delta T\)) مهملًا لأن السقالة \(\eta\) مفردة تحت مجموعة النموذج القياسي. عند أخذ قيود قوة إشارة هيغز \(\mu_{{\rm tot}}\geq0.89~{\rm at}~95\%\,{\rm CL}\)، فإن خلط \(h-\eta\) يجعل كل من \(\Delta S\) و\(\Delta T\) صغيرين جدًا، وجميع فضاء المعلمات سيكون مسموحًا به من قبل اختبارات الدقة الكهرضعيفة. فيما يلي، نناقش القيود المذكورة أعلاه بالتفصيل.

• قيود وحدة التشتت

  يمكن اشتقاق قيود على الاقترانات الرباعية \(\lambda\)، \(\lambda_{\phi}\) و\(\lambda_{m}\) من خلال اشتراط أن سعات تشتت السقالة-سقالة \(S_{1}S_{2}\to S_{3}S_{4}\) عند الطاقات العالية تحترم وحدة التشتت على مستوى الشجرة. هنا، \(S_{i}\) يمكن أن تكون \(h\) أو \(\eta\) لـ \(i=1,2,3,4\). عند الطاقات العالية، تكون المساهمات المهيمنة لهذه السعات هي تلك التي تتوسطها الاقترانات الرباعية. إذا رمزنا للقيم الذاتية لمصفوفة التشتت بـ \(\Lambda_{i}\)، فإن شرط الوحدة هو:

  \[ |\Lambda_{i}| \leq 8\pi \]

  في النموذج قيد الدراسة، ينتج عن القيد أعلاه الشروط التالية:

  \[ \lambda_{m} \leq 8\pi, \quad \lambda \leq 4\pi, \quad \lambda_{\phi} \leq 4\pi, \quad 3(\lambda + \lambda_{\phi}) \pm \sqrt{9(\lambda - \lambda_{\phi})^{2} + 4\lambda_{m}^{2}} \leq 8\pi \]

• استقرار الفراغ والاستطاعة

  تخضع الاقترانات الرباعية لجهد السقالة لعدد من القيود لضمان أن الجهد محدود من الأسفل وأن الاقترانات تبقى استطاعية وكذلك أن يكون الفراغ الكهرضعيف مستقرًا حتى مقياس بلانك. لكي يكون الجهد محدودًا من الأسفل، يجب أن تتحقق الشروط \(\lambda>0\)، \(\lambda_{\phi}>0\) و\(\lambda\lambda_{\phi}>0\)، وفي حالة \(\lambda_{m}<0\) يجب أيضًا تحقق \(2\lambda_{m}+\sqrt{\lambda\lambda_{\phi}}>0\). لاحظ أنه يجب أن يكون \(4\lambda\lambda_{\phi}>\lambda_{m}^{2}\) حتى تكون مصفوفة خلط هيغز \(M^{2}\) موجبة التعريف وبالتالي \(m_{h},m_{\eta}>0\).

• قيود اضمحلال هيغز

  نظرًا لأن اقترانات هيغز تتغير في نموذجنا، ولوجود جسيمات جديدة وتفاعلات جديدة، فإن عرض هيغز الكلي ونسب التفرع تتغير. هنا، جميع رؤوس هيغز-مجالات القياس وهيغز-فرميونات مضروبة في \(c_{\beta}\)، وبالتالي فإن عروض اضمحلال هيغز الجزئية إلى جسيمات النموذج القياسي مضروبة في \(c_{\beta}^{2}\,\Gamma_{SM}(h\rightarrow X_{SM}\bar{X}_{SM})\). بالإضافة إلى الحالات النهائية للنموذج القياسي، قد يتحلل هيغز إلى بوزونات معيارية جديدة (فوتونات مظلمة) إذا كان ذلك ممكنًا حركيًا، مع عرض اضمحلال جزئي:

  \[ \Gamma_{inv}(h \rightarrow AA) = \sum_{i=1}^{3} \Gamma(h \rightarrow A_{i}A_{i}) = 3\,\Theta(m_{h} - 2m_{A}) \frac{g_{\phi}^{2} m_{h}^{3} s_{\beta}^{2}}{64\pi m_{A}^{2}} \sqrt{1 - 4\frac{m_{A}^{2}}{m_{h}^{2}}} \left(1 - 4\frac{m_{A}^{2}}{m_{h}^{2}} + 12\frac{m_{A}^{4}}{m_{h}^{4}}\right) \]

  هذا القناة مفتوحة عندما \(m_{A}. العامل "3" يشير إلى الجمع على \(A_{i}A_{i}\). في الحالة الثانية حيث قد يتحقق الشرط \(m_{h}>2\,m_{\eta}\)، تكون قناة الاضمحلال \(h\rightarrow\eta\eta\) مفتوحة ويعطى العرض الجزئي بـ:

  \[ \Gamma(h \rightarrow \eta\eta) = \Theta(m_{h} - 2m_{\eta}) \frac{\rho_{1}^{2}}{32\pi m_{h}} \sqrt{1 - 4\frac{m_{\eta}^{2}}{m_{h}^{2}}} \]

  بالتالي، يمكن كتابة عرض هيغز الكلي كالتالي:

  \[ \Gamma_{h} = \Gamma_{BSM} + c_{\beta}^{2} \Gamma_{h}^{SM} \]

  حيث \(\Gamma_{h}^{SM} = 4.2~\mathrm{MeV}\) هو عرض هيغز الكلي في النموذج القياسي؛ \(\Gamma_{BSM} = \Gamma_{inv}\) للحالة الأولى؛ و\(\Gamma_{BSM} = \Gamma_{inv} + \Gamma_{und}\) للحالة الثانية. هنا، عرض اضمحلال هيغز غير المحدد \(\Gamma_{und} = \Gamma(h \rightarrow \eta\eta)\)، وهو مختلف عن العرض غير المرئي في المصادم؛ حيث يمكن رؤية السقالة الخفيفة في الكاشف عبر اضمحلالها إلى فرميونات خفيفة \(\eta \rightarrow f\bar{f}\). هذه الاضمحلالات لا تتطابق مع تلك المعروفة في النموذج القياسي، لذا يسمى الإشارة \(h \rightarrow \eta\eta \rightarrow f_{1}\bar{f_{1}}f_{2}\bar{f_{2}}\) غير محددة. إذًا، يجب أن تحترم نسب التفرع غير المرئية وغير المحددة القيود:

  \[ \mathcal{B}_{inv} < 0.26, \quad \mathcal{B}_{und} < 0.22, \quad \mathcal{B}_{inv} + \mathcal{B}_{und} \leq 0.47 \]

  بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون عرض هيغز الكلي ضمن النطاق:

  \[ 1.0~\mathrm{MeV} < \Gamma_{h} < 6.0~\mathrm{MeV} \]

• قيود الكشف المباشر للمادة المظلمة

  يمكن أن تتفاعل مرشحات المادة المظلمة مع النيوكليونات عبر مخططات القناة t التي تتوسطها h و\(\eta\) كما هو موضح في الشكل 1.

  يمكن أن يخدم قياس طاقة ارتداد النواة الناتجة عن تشتت مرشح المادة المظلمة المرن مع النواة في الكاشف كبحث مباشر عن جسيمات المادة المظلمة. يمكن استخدام نتائج هذه البحوث لفرض قيود على معلمات النموذج ذات الصلة. على مستوى الشجرة، يعطى مقطع التشتت المرن غير المعتمد على اللف للمتجه مع النواة، بوساطة h أو \(\eta\) كما في، بالتقريب:

  \[ \begin{aligned} \sigma_{SI}(NA \rightarrow NA) = & \frac{1}{64\pi} f^{2} g_{\phi}^{4} \sin^{2} 2\beta\, m_{N}^{2} \frac{\upsilon_{\phi}^{2}}{\upsilon^{2}} \frac{(m_{h}^{2} - m_{\eta}^{2})^{2}}{m_{h}^{4} m_{\eta}^{4}} \left( \frac{m_{N}}{m_{N} + m_{A}} \right)^{2} \\ = & 6.45765608 \times 10^{-42}\,\mathrm{cm}^{2}\, \sin^{2} 2\beta \left( \frac{g_{\phi}}{0.5} \right)^{4} \left( \frac{\upsilon_{\phi}}{100\,\mathrm{GeV}} \right)^{2} \left( \frac{m_{h}}{m_{\eta}} \right)^{4} \left( 1 - \frac{m_{\eta}^{2}}{m_{h}^{2}} \right)^{2} \left( 1 + \frac{m_{A}}{m_{N}} \right)^{-2} \end{aligned} \]

  هنا \(m_{N}\) هو كتلة النيوكليون و\(f=0.3\) يمثل اقتران هيغز-نيوكليون. يجب مقارنة هذا مع الحد الأعلى التجريبي الحالي لهذا المقطع.

• معادلات المجموعة الترميمية (RGE)

  يمكن تحديد قيود استقرار الفراغ واستطاعة الاقترانات من خلال تطور المجموعة الترميمية لـ \(\lambda,\lambda_{m},\lambda_{\phi}\). عند مستوى الحلقة الواحدة، وبإهمال جميع اقترانات يوكاوا عدا \(y_{t}\)، تعطى المعادلات ذات الصلة:

  \[ \begin{aligned} 16\pi^{2} \frac{d\lambda}{dt} & = 24\lambda^{2} + 2\lambda_{m}^{2} - 6y_{t}^{4} + \lambda (12y_{t}^{2} - \frac{9}{5}g_{1}^{2} - 9g_{2}^{2}) + \frac{27}{200}g_{1}^{4} + \frac{9}{20}g_{1}^{2}g_{2}^{2} + \frac{9}{8}g_{2}^{4} \\ 16\pi^{2} \frac{d\lambda_{\phi}}{dt} & = 24\lambda_{\phi}^{2} + 2\lambda_{m}^{2} - 9\lambda_{\phi}g_{\phi}^{2} + \frac{9}{4}g_{\phi}^{4} \\ 16\pi^{2} \frac{d\lambda_{m}}{dt} & = \lambda_{m} (6y_{t}^{2} + 12\lambda + 12\lambda_{\phi} + 4\lambda_{m} - \frac{9}{10}g_{1}^{2} - \frac{9}{2}g_{2}^{2} - \frac{9}{2}g_{\phi}^{2}) \\ 16\pi^{2} \frac{dg_{i}}{dt} & = b_{i} g_{i}^{3} \quad \text{مع} \quad (b_{1},b_{2},b_{3},b_{\phi}) = (41/6, -19/6, -7, -43/6) \\ 16\pi^{2} \frac{dy_{t}}{dt} & = y_{t} (\frac{9}{2}y_{t}^{2} - \frac{17}{20}g_{1}^{2} - \frac{9}{4}g_{2}^{2} - 8g_{3}^{2}) \end{aligned} \]

  حيث \(g_{i} = (g_{1}, g_{2}, g_{3})\) تمثل اقترانات القياس للنموذج القياسي و\(g_{\phi}\) هو اقتران القياس لـ \(SU(2)_{H}\). سنستخدم هذه المعادلات للتحقق مما إذا كانت شروط استقرار الفراغ، الاستطاعة ووحدة التشتت محققة عند مقاييس أعلى \(\Lambda = 100\,\mathrm{TeV},\,10^{4}\,\mathrm{TeV}\) و\(\Lambda = m_{Planck}\).