مقدّمة

من المعروف أنّ \(27\%\) من مادة الكون تتكوّن من المادة المظلمة الباردة (CDM). تاريخيًّا، اقتُرح وجودها كشرح محتمل لعدّة مشاهدات فلكية في عناقيد المجرّات. يُعطي التحليل المشترك لنتائج قمر بلانك الصناعي لعام 2018 قيمةً لكثافة المادة المظلمة المتبقّية:

\[\Omega_{{\rm DM}}h^{2}=0.120\pm0.001\]

حيث \(h\) هو ثابت هابل المُخفَّض و\(\Omega_{{\rm DM}}\) تمثّل كثافة طاقة المادة المظلمة بوحدة الكثافة الحرجة. من الواضح أنّ مرشّح المادة المظلمة يجب أن يكون جسيمًا مستقرًّا، أو على الأقلّ عمرُه أكبر بكثير من عمر الكون، ولا يتفاعل مباشرةً مع القوى الكهرضعيفة أو القوية. يمكن ضمان استقراره بفرض تناظر مناسب، قد يكون متقطِّعًا أو مستمرًّا. إضافةً إلى ذلك، يجب أن يكون غير نسبوي، أي باردًا، إذ استُبعدت إمكانية المادة المظلمة الساخنة بواسطة عدّة مشاهدات، منها نمط التذبذبات في الخلفية الكونية الميكروية، والتشكّل المبكّر للنجوم والمجرّات والعناقيد، وإشارات العدسات الضعيفة. لذا ينبغي اللجوء إلى فيزياء ما بعد النموذج القياسي للبحث عن مرشّحات المادة المظلمة. في الأدبيات، اقتُرحت العديد من التوسعات للنموذج القياسي حيث تكون المادة المظلمة سلّميّة، أو فرميونيّة أو بوزونات مُتّجهة.

في هذا العمل، ندرس نموذجًا يتجاوز النموذج القياسي، تكون فيه مرشّحات المادة المظلمة مجموعةً من البوزونات المعيارية الضخمة (سبين-1) غير القياسيّة التي تتفاعل مع النموذج القياسي عبر بوابة هيغز كما في. يتميّز هذا النموذج بأنّ استقرار جسيمات المادة المظلمة مضمون بتناظر عالمي حِفظي مرتبط بتناظر القياس ومحتوى الحقول في النموذج، من دون الحاجة إلى فرض أيّ تناظر متقطِّع أو عالمي إضافي. ومع ذلك، لم تُدرس العديد من خصائصه المهمّة سابقًا بسبب عدم اكتشاف بوزون هيغز آنذاك. على سبيل المثال، يمكن استخدام قياسات اقترانات هيغز بدقّة معقولة لتقييد أيّ حقل سلّمي ثقيل يختلط مع هيغز النموذج القياسي، وهو ما سنقوم به هنا. بالإضافة إلى ذلك، أصبح الاقتران الثلاثي لهيغز والإنتاج الثنائي لهيغز مهمَّين جدًّا للكشف عن فيزياء جديدة وفهم كسر التناظر الكهرضعيف. سنُحلّل كل هذه الجوانب في هذا العمل. علاوةً على ذلك، نقدّم التعبيرات التحليلية الكاملة لمقاطع التفاعل لقنوات إفناء المادة المظلمة والتشارُك في الإفناء التي تسهم في الكثافة الحرارية المتبقّية عند التجميد، والتي لم تُورَد في. أخيرًا، نعرض نتائج تتعلّق بنِسَب التفرّع لعدّة أنماط اضمحلال للحقول السلّمية في النموذج يمكن اختبارها في تجارب المصادمات المستقبلية.

تنظيم هذه الورقة كالتالي: أوّلًا، نستعرض النموذج المقترح في ونناقش الحالات الذاتية للكتلة واقتراناتها الناتجة عن جهد الحقول السلّمية في القسم [sec:Model]. ثمّ في القسم [sec:constr]، نبحث القيود النظرية والتجريبية مثل استقرار الفراغ، وحدانيّة التشتّت، وحدود الكشف المباشر عن المادة المظلمة التي يمكن فرضها على مُعامِلات النموذج. في القسم [sec:DM]، نعتبر أخفّ متّجه معياري من \(SU(2)_{HS}\) كمرشّح للمادة المظلمة ونقدّر كثافته المتبقّية آخذين بالاعتبار جميع قنوات الإفناء المسموح بها بالإضافة إلى تأثيرات التشارُك في الإفناء. بعد ذلك، نجري دراسة مفصّلة لظواهر المصادمات للنموذج في القسم [sec:Pheno]. وأخيرًا، نلخّص النتائج ونستنتج في القسم [sec:Conc]. بعض الصيغ والتعبيرات المتعلّقة بالجهد الفعّال ومساهمات مقطع التفاعل مذكورة في الملحق [sec:One-Loop] وملحق [sec:XSection]، على التوالي.

النموذج

في هذه الدراسة، نعتبر النموذج المقترح في. يعتمد النموذج على توسيع تناظر القياس للنموذج القياسي ليشمل تناظرًا غير تبادلي يُشار إليه بـ\(SU(2)_{HS}\)، حيث تكون جميع جسيمات النموذج القياسي مفردة تحته. يحتوي القطاع السلّمي في النموذج على مزدوجة جديدة \(\phi\) مشحونة تحت \(SU(2)_{HS}\) ومفردة تحت مجموعة النموذج القياسي. البوزونات المعيارية الإضافية المرتبطة بـ\(SU(2)_{HS}\) نرمز لها بـ\(A^{\mu}\). يتقاطع هذا القطاع مع النموذج القياسي حصريًّا عبر بوابة هيغز (\(-\lambda_{m}\phi^{\dagger}\phi H^{\dagger}H\)) ولا يحدث خلط مع بوزونات النموذج القياسي بسبب الطبيعة غير التبادليّة لـ\(SU(2)_{HS}\). يمكن كتابة لاغرانجيان النموذج كالتالي:

\[ \mathcal{L} \supset -\frac{1}{4} F^{\mu\nu} \cdot F_{\mu\nu} + (D_{\mu}\phi)^{\dagger}(D^{\mu}\phi) - \lambda_{m} \phi^{\dagger}\phi H^{\dagger}H - \mu_{\phi}^{2} \phi^{\dagger}\phi - \lambda_{\phi} (\phi^{\dagger}\phi)^2 \]

حيث \(D^{\mu}\phi = \left(\partial^{\mu} - i g_{\phi} \frac{\tau_{i}}{2} A_{i}^{\mu}\right)\phi\) مع \(g_{\phi}\) اقتران القياس لـ\(SU(2)_{HS}\) و\(\tau_{i}\) مصفوفات باولي. أمّا في النموذج القياسي فـ\({\cal L}^{SM}\supset-\mu^{2}H^{\dagger}H-\lambda(H^{\dagger}H)^{2}\) مع \(H^{T}=(\chi^{+},\frac{1}{\sqrt{2}}[h'+i\chi^{0}])\). باختيار مناسب للمعلمات \(\mu_{\phi}^{2}\) و\(\lambda_{m}\)، ينكسر تناظر القياس \(SU(2)_{HS}\) تلقائيًّا عندما تكون قيمة توقُّع الفراغ للحقل \(\phi\)، \(\upsilon_{\phi}\)، غير صفرية. بعد التعبير عن المزدوجة الجديدة في مقياس الوحدة كالتالي:

\[ \phi = \frac{\upsilon_{\phi} + \eta'}{\sqrt{2}} \exp\left\{ -i \tau_{k} \frac{\xi_{k}}{\upsilon_{\phi}} \right\} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

نحصل على:

\[ \begin{aligned} \mathcal{L} = & \mathcal{L}_{SM} - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} \cdot F^{\mu\nu} + \frac{1}{8}(g_{\phi} \upsilon_{\phi})^2 A_{\mu} \cdot A^{\mu} + \frac{1}{8} g_{\phi}^2 A_{\mu} \cdot A^{\mu} \eta'^2 \\ & + \frac{1}{4} g_{\phi}^2 \upsilon_{\phi} A_{\mu} \cdot A^{\mu} \eta' + \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \eta')^2 - \frac{\lambda_{m}}{2} (\eta' + \upsilon_{\phi})^2 H^{\dagger}H \\ & - \frac{\mu_{\phi}^2}{2} (\eta' + \upsilon_{\phi})^2 - \frac{\lambda_{\phi}}{4} (\eta' + \upsilon_{\phi})^4 \end{aligned} \]

حيث \(A_{\mu} = U A'_{\mu} U^{-1} - \frac{i}{g_{\phi}} [\partial_{\mu} U] U^{-1}\) مع \(U = \exp\{-i \tau_{k} \xi_{k}/\upsilon_{\phi}\} \in SU(2)_{HS}\). في فضاء مركِّبات \(A_{i}^{\mu}\)، يمتلك اللاغرانجيان \(\mathcal{L}\) تناظرًا عالميًّا من نوع \(SO(3)\). ونتيجةً لذلك، تكون المركِّبات الثلاثة \(A_{i}^{\mu}\) متساوية الكتلة \(m_{A} = g_{\phi} \upsilon_{\phi}/2\) ومستقرّة، وبالتالي يمكن أن تكون مرشّحات للمادة المظلمة المتّجهة.

للمتابعة، نُعبِّر عن \(\mathcal{L}\) بدلالة الحالات الذاتية للكتلة. ويتمّ ذلك بعد تصغير جهد الحقول السلّمية على اتجاهي \(\phi\) و\(H\). نضع \(H = \exp\{-i \tau_{k} \chi_{k}/\upsilon\} \cdot (0,\,\frac{1}{\sqrt{2}}[\upsilon + h'])^{T}\)، حيث \(\upsilon = 246\,\mathrm{GeV}\) هي قيمة توقُّع الفراغ المعتادة لهيغز. بفرض شروط التادبول \(\partial V/\partial h' = \partial V/\partial \eta' = 0\) نجد:

\[ \mu^{2} = -\lambda \upsilon^{2} - \frac{1}{2} \lambda_{m} \upsilon_{\phi}^{2}, \quad \mu_{\phi}^{2} = -\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} - \frac{1}{2} \lambda_{m} \upsilon^{2} \]

يؤدّي خلط \(h'\) مع \(\eta'\) الناتج عن وجود الحدّ \(\lambda_{m}\) إلى مصفوفة الكتلة التربيعية:

\[ M^{2} = \begin{pmatrix} 2\lambda \upsilon^{2} & \lambda_{m} \upsilon \upsilon_{\phi} \\ \lambda_{m} \upsilon \upsilon_{\phi} & 2\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} \end{pmatrix} \]

والتي تعطي القيم الذاتية والخلط:

\[ m_{1,2}^{2} = \lambda \upsilon^{2} + \lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} \mp \sqrt{(\lambda \upsilon^{2} - \lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2})^{2} + \lambda_{m}^{2} \upsilon^{2} \upsilon_{\phi}^{2}} \]

و\(\tan 2\beta = \frac{\lambda_{m} \upsilon \upsilon_{\phi}}{\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} - \lambda \upsilon^{2}}\). بقطرنة \(M^{2}\)، نحصل على الحالات الذاتية للكتلة \(h\) و\(\eta\) المعرفة كالتالي:

\[ \begin{pmatrix} h \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h' \\ \eta' \end{pmatrix} \]

مع \(c_{\beta} = \cos\beta\) و\(s_{\beta} = \sin\beta\). بما أنّ الاقترانات حقيقية، فإنّ جعل القيم الذاتية لمصفوفة \(M^{2}\) موجبة يتطلّب على نحوٍ كافٍ:

\[ \lambda > 0, \quad \lambda_{\phi} > 0, \quad \lambda_{m} > -\,2\,\sqrt{\lambda\,\lambda_{\phi}} \]

في تحليلنا، نُحدِّد الحالة ذات \(m_{h} \simeq 125\,\mathrm{GeV}\) لتكون بوزون هيغز النموذج القياسي، و\(\eta\) الحالة الأخرى. وبالتالي لدينا حالتان: (1) هيغز النموذج القياسي هو الحالة الخفيفة، أو (2) هو الحالة الثقيلة. في الحالة الأولى، تُكتب كتل الحقلين السلّميّين:

\[ m_{h,\eta}^{2} = \lambda \upsilon^{2} + \lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} \mp \frac{\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} - \lambda \upsilon^{2}}{\cos 2\beta} \]

مع \(c_{2\beta} = \cos 2\beta\)، ويمكن التعبير عن الاقترانات الرباعية كالتالي:

\[ \lambda = \frac{m_{h}^{2}}{2\upsilon^{2}} c_{\beta}^{2} + \frac{m_{\eta}^{2}}{2\upsilon^{2}} s_{\beta}^{2}, \quad \lambda_{\phi} = \frac{m_{h}^{2}}{2\upsilon_{\phi}^{2}} s_{\beta}^{2} + \frac{m_{\eta}^{2}}{2\upsilon_{\phi}^{2}} c_{\beta}^{2}, \quad \lambda_{m} = \frac{\sin 2\beta}{2\upsilon \upsilon_{\phi}} (m_{\eta}^{2} - m_{h}^{2}) \]

في الحالة الثانية، تُعطى كتل الحقلين السلّميّين:

\[ m_{h,\eta}^{2} = \lambda \upsilon^{2} + \lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} \pm \frac{\lambda_{\phi} \upsilon_{\phi}^{2} - \lambda \upsilon^{2}}{\cos 2\beta} \]

والاقترانات الرباعية:

\[ \lambda = \frac{m_{h}^{2}}{2\upsilon^{2}} s_{\beta}^{2} + \frac{m_{\eta}^{2}}{2\upsilon^{2}} c_{\beta}^{2}, \quad \lambda_{\phi} = \frac{m_{h}^{2}}{2\upsilon_{\phi}^{2}} c_{\beta}^{2} + \frac{m_{\eta}^{2}}{2\upsilon_{\phi}^{2}} s_{\beta}^{2}, \quad \lambda_{m} = \frac{\sin 2\beta}{2\upsilon \upsilon_{\phi}} (m_{h}^{2} - m_{\eta}^{2}) \]

من الواضح أنّ النموذج يمكن وصفه بأربعة معلمات حرّة: \(g_{\phi}\)، \(\lambda_{\phi}\)، \(\mu_{\phi}\) و\(\lambda_{m}\)، أو بشكلٍ مُكافئ بـ\(s_{\beta},\,g_{\phi},\,m_{\eta}\) و\(\upsilon_{\phi}\)، بالإضافة إلى مُعامِلات النموذج القياسي.

وبالاحتفاظ فقط بالحدود ذات الصلة بدراستنا، يمكن كتابة اللاغرانجيان في أساس الحالات الذاتية للكتلة كالتالي:

\[ \begin{aligned} \mathcal{L} \supset & -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} \cdot F^{\mu\nu} + \frac{1}{2} m_{A}^{2} A_{\mu} \cdot A^{\mu} - \frac{1}{2} m_{\eta}^{2} \eta^{2} - \frac{1}{2} m_{h}^{2} h^{2} \\ & - (h c_{\beta} + \eta s_{\beta}) \left( \sum_{f} \frac{m_{f}}{\upsilon} f \overline{f} \right) \\ & + \left[ \frac{s_{\beta}^{2}}{2\upsilon} \eta^{2} + \frac{c_{\beta}^{2}}{2\upsilon} h^{2} + \frac{\sin 2\beta}{2\upsilon} \eta h + \eta s_{\beta} + h c_{\beta} \right] \left( \frac{2 m_{W}^{2}}{\upsilon} W_{\mu}^{+} W^{-\mu} + \frac{m_{Z}^{2}}{\upsilon} Z^{\mu} Z_{\mu} \right) \\ & + \left[ \frac{c_{\beta}^{2}}{2\upsilon_{\phi}} \eta^{2} + \frac{s_{\beta}^{2}}{2\upsilon_{\phi}} h^{2} - \frac{\sin 2\beta}{2\upsilon_{\phi}} \eta h + \eta c_{\beta} - h s_{\beta} \right] \left( \frac{m_{A}^{2}}{\upsilon_{\phi}} A_{\mu} \cdot A^{\mu} \right) \\ & - \frac{1}{6} \rho_{h} h^{3} - \frac{1}{6} \rho_{\eta} \eta^{3} - \frac{1}{2} \rho_{1} \eta^{2} h - \frac{1}{2} \rho_{2} h^{2} \eta \end{aligned} \]

حيث \(f\) تمثّل فرميونات النموذج القياسي، ومعاملات \(\rho\) تمثّل اقترانات الحقول السلّمية الثلاثيّة (زوجيّة تحت CP) والمعطاة بـ:

\[ \begin{aligned} \rho_{1} & = -6\lambda_{\phi}\upsilon_{\phi}c_{\beta}^{2}s_{\beta} + 6\lambda\upsilon s_{\beta}^{2}c_{\beta} + \lambda_{m}(\upsilon c_{\beta}^{3} - \upsilon_{\phi}s_{\beta}^{3} - 2\upsilon c_{\beta}s_{\beta}^{2} + 2\upsilon_{\phi}c_{\beta}^{2}s_{\beta}) \\ \rho_{2} & = 6\lambda_{\phi}\upsilon_{\phi}s_{\beta}^{2}c_{\beta} + 6\lambda\upsilon c_{\beta}^{2}s_{\beta} + \lambda_{m}(\upsilon s_{\beta}^{3} + \upsilon_{\phi}c_{\beta}^{3} - 2\upsilon c_{\beta}^{2}s_{\beta} - 2\upsilon_{\phi}s_{\beta}^{2}c_{\beta}) \\ \rho_{\eta} & = 6\lambda_{\phi}\upsilon_{\phi}c_{\beta}^{3} + 6\lambda\upsilon s_{\beta}^{3} + 3\lambda_{m}c_{\beta}s_{\beta}(\upsilon c_{\beta} + \upsilon_{\phi}s_{\beta}) \\ \rho_{h} & = -6\lambda_{\phi}\upsilon_{\phi}s_{\beta}^{3} + 6\lambda\upsilon c_{\beta}^{3} + 3\lambda_{m}c_{\beta}s_{\beta}(\upsilon s_{\beta} - \upsilon_{\phi}c_{\beta}) \end{aligned} \]

نلاحظ أنّ اقترانات \(h\) و\(\eta\) مع جسيمات النموذج القياسي موزونة بـ\(c_{\beta}\) و\(s_{\beta}\) على التوالي. علاوةً على ذلك، في الحالة الأولى يمكن أن يتحلّل الحقل \(\eta\) إلى زوج من هيغز إذا كان \(m_{\eta} > 2m_{h}\) بعرض جزئي:

\[ \Gamma(\eta \rightarrow h h) = \Theta(m_{\eta} - 2m_{h}) \frac{\rho_{2}^{2}}{32\pi m_{\eta}} \sqrt{1 - 4\frac{m_{h}^{2}}{m_{\eta}^{2}}} \]

وفي الحالة الثانية، يمكن أن يتحلّل هيغز إلى زوج من \(\eta\) إذا كان \(m_{h} > 2m_{\eta}\)، بالإضافة إلى إمكانية تحلّل كلٍّ منهما إلى \(A_{i}A_{i}\) متى ما سُمِح حركيًّا.

القيود النظرية والتجريبية

يخضع هذا النموذج لعدد من القيود النظرية والتجريبية مثل استقرار الفراغ، الاضطرابيّة، وحدانيّة التشتّت، اختبارات الدقّة الكهرضعيفة (EWPT)، والقيود من اضمحلال هيغز. بالنسبة لاختبارات الدقّة الكهرضعيفة، من المتوقّع أن يكون تأثير الفيزياء الجديدة على المُعامِلات الشاذّة (\(\Delta S\) و\(\Delta T\)) مُهمَلًا لأنّ الحقل \(\eta\) مفرد تحت مجموعة النموذج القياسي. وعند أخذ قيود قوّة إشارة هيغز \(\mu_{{\rm tot}}\geq0.89~{\rm at}~95\%\,{\rm CL}\) بالحسبان، فإنّ خلط \(h-\eta\) يجعل كلًّا من \(\Delta S\) و\(\Delta T\) صغيرين جدًّا، ويكون فضاء المُعامِلات مسموحًا بالكامل من قبل اختبارات الدقّة الكهرضعيفة. فيما يلي، نناقش القيود المذكورة أعلاه بتفصيل موجز.

• قيود وحدانيّة التشتّت

  يمكن اشتقاق قيود على الاقترانات الرباعية \(\lambda\)، \(\lambda_{\phi}\) و\(\lambda_{m}\) عبر اشتراط أن سعات تشتّت سلّمي–سلّمي \(S_{1}S_{2}\to S_{3}S_{4}\) عند الطاقات العالية تُحترِم وحدانيّة التشتّت على مستوى الشجرة. هنا، \(S_{i}\) قد تكون \(h\) أو \(\eta\) لـ\(i=1,2,3,4\). عند الطاقات العالية، تكون المساهمات المُهيمنة لهذه السعات هي تلك التي تتوسّطها الاقترانات الرباعية. إذا رمزنا للقيم الذاتية لمصفوفة التشتّت بـ\(\Lambda_{i}\)، فإنّ شرط الوحدانيّة هو:

  \[ |\Lambda_{i}| \leq 8\pi \]

  في النموذج قيد الدراسة، يُنتِج القيد أعلاه الشروط التالية:

  \[ \lambda_{m} \leq 8\pi, \quad \lambda \leq 4\pi, \quad \lambda_{\phi} \leq 4\pi, \quad 3(\lambda + \lambda_{\phi}) \pm \sqrt{9(\lambda - \lambda_{\phi})^{2} + 4\lambda_{m}^{2}} \leq 8\pi \]

• استقرار الفراغ والاضطرابيّة

  تخضع الاقترانات الرباعية لجهد الحقول السلّمية لعدد من القيود لضمان أن الجهد محدود من الأسفل وأن تبقى الاقترانات في النطاق الاضطرابي، وكذلك أن يكون الفراغ الكهرضعيف مستقرًّا حتى مقياس بلانك. لكي يكون الجهد محدودًا من الأسفل، يجب أن تتحقّق الشروط \(\lambda>0\)، \(\lambda_{\phi}>0\) و\(\lambda_{m} > -2\sqrt{\lambda\lambda_{\phi}}\)؛ ويمكن أن يكون \(\lambda_{m}\) سالبًا ضمن هذا القيد. لاحظ أنّه يكفي أن يكون \(4\lambda\lambda_{\phi}>\lambda_{m}^{2}\) لكي تكون مصفوفة خلط هيغز \(M^{2}\) موجبة التعريف وبالتالي \(m_{h},m_{\eta}>0\).

• قيود اضمحلال هيغز

  نظرًا لتبدّل اقترانات هيغز في نموذجنا، ووجود جسيمات وتفاعلات جديدة، فإنّ عرض هيغز الكُلّي ونِسَب التفرّع يتغيّران. هنا، جميع قمم هيغز–مجالات القياس وهيغز–فرميونات مضروبة في \(c_{\beta}\)، وبالتالي فإنّ عروض اضمحلال هيغز الجزئية إلى جسيمات النموذج القياسي تُضرب في \(c_{\beta}^{2}\,\Gamma_{SM}(h\rightarrow X_{SM}\bar{X}_{SM})\). بالإضافة إلى الحالات النهائية للنموذج القياسي، قد يتحلّل هيغز إلى بوزونات معيارية جديدة (ناقلات مظلمة) إذا أُجيز حركيًّا، مع عرض اضمحلال جزئي:

  \[ \Gamma_{inv}(h \rightarrow AA) = \sum_{i=1}^{3} \Gamma(h \rightarrow A_{i}A_{i}) = 3\,\Theta(m_{h} - 2m_{A}) \frac{g_{\phi}^{2} m_{h}^{3} s_{\beta}^{2}}{64\pi m_{A}^{2}} \sqrt{1 - 4\frac{m_{A}^{2}}{m_{h}^{2}}} \left(1 - 4\frac{m_{A}^{2}}{m_{h}^{2}} + 12\frac{m_{A}^{4}}{m_{h}^{4}}\right) \]

  تُفتح هذه القناة عندما \(m_{A}. العامل "3" يُشير إلى الجمع على \(A_{i}A_{i}\). في الحالة الثانية حيث قد يتحقّق الشرط \(m_{h}>2\,m_{\eta}\)، تكون قناة الاضمحلال \(h\rightarrow\eta\eta\) مفتوحةً ويُعطى العرض الجزئي بـ:

  \[ \Gamma(h \rightarrow \eta\eta) = \Theta(m_{h} - 2m_{\eta}) \frac{\rho_{1}^{2}}{32\pi m_{h}} \sqrt{1 - 4\frac{m_{\eta}^{2}}{m_{h}^{2}}} \]

  وبالتالي، يمكن كتابة عرض هيغز الكُلّي كالتالي:

  \[ \Gamma_{h} = \Gamma_{BSM} + c_{\beta}^{2} \Gamma_{h}^{SM} \]

  حيث \(\Gamma_{h}^{SM} = 4.2~\mathrm{MeV}\) هو عرض هيغز الكُلّي في النموذج القياسي؛ \(\Gamma_{BSM} = \Gamma_{inv}\) للحالة الأولى؛ و\(\Gamma_{BSM} = \Gamma_{inv} + \Gamma_{und}\) للحالة الثانية. هنا، عرض اضمحلال هيغز غير المُحدَّد \(\Gamma_{und} = \Gamma(h \rightarrow \eta\eta)\)، وهو مختلف عن العرض غير المرئي في المصادم؛ إذ يمكن رؤية الحقل السلّمي الخفيف في الكاشف عبر اضمحلاله إلى فرميونات خفيفة \(\eta \rightarrow f\bar{f}\). هذه الاضمحلالات لا تتطابق مع تلك المعروفة في النموذج القياسي، لذا تُسمّى الإشارة \(h \rightarrow \eta\eta \rightarrow f_{1}\bar{f_{1}}f_{2}\bar{f_{2}}\) غير مُحدَّدة. إذًا، يجب أن تحترم نِسَب التفرّع غير المرئية وغير المُحدَّدة القيود:

  \[ \mathcal{B}_{inv} < 0.26, \quad \mathcal{B}_{und} < 0.22, \quad \mathcal{B}_{inv} + \mathcal{B}_{und} \leq 0.47 \]

  بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون عرض هيغز الكُلّي ضمن النطاق:

  \[ 1.0~\mathrm{MeV} < \Gamma_{h} < 6.0~\mathrm{MeV} \]

• قيود الكشف المباشر عن المادة المظلمة

  يمكن أن تتفاعل مرشّحات المادة المظلمة مع النيوكليونات عبر مخططات القناة t التي تتوسّطها \(h\) و\(\eta\) كما هو موضّح في الشكل 1.

  يمكن أن يخدم قياس طاقة ارتداد النواة الناتجة عن تشتّت مرشّح المادة المظلمة المرن مع النواة في الكاشف كبحث مباشر عن جسيمات المادة المظلمة. ويمكن استخدام نتائج هذه البحوث لفرض قيود على مُعامِلات النموذج ذات الصلة. على مستوى الشجرة، يُعطى مقطع التشتّت المرن غير المعتمد على اللّف للمتّجه مع النواة، بوساطة \(h\) أو \(\eta\) كما في، بالتقريب:

  \[ \begin{aligned} \sigma_{SI}(NA \rightarrow NA) = & \frac{1}{64\pi} f^{2} g_{\phi}^{4} \sin^{2} 2\beta\, m_{N}^{2} \frac{\upsilon_{\phi}^{2}}{\upsilon^{2}} \frac{(m_{h}^{2} - m_{\eta}^{2})^{2}}{m_{h}^{4} m_{\eta}^{4}} \left( \frac{m_{N}}{m_{N} + m_{A}} \right)^{2} \\ = & 6.45765608 \times 10^{-42}\,\mathrm{cm}^{2}\, \sin^{2} 2\beta \left( \frac{g_{\phi}}{0.5} \right)^{4} \left( \frac{\upsilon_{\phi}}{100\,\mathrm{GeV}} \right)^{2} \left( \frac{m_{h}}{m_{\eta}} \right)^{4} \left( 1 - \frac{m_{\eta}^{2}}{m_{h}^{2}} \right)^{2} \left( 1 + \frac{m_{A}}{m_{N}} \right)^{-2} \end{aligned} \]

  هنا \(m_{N}\) هو كتلة النيوكليون و\(f=0.3\) يمثّل اقتران هيغز–نيوكليون. يجب مقارنة ذلك مع الحدّ الأعلى التجريبي الحالي لهذا المقطع.

• معادلات مجموعة إعادة التطبيع (RGE)

  يمكن تحديد قيود استقرار الفراغ وبقاء الاقترانات ضمن النطاق الاضطرابي من خلال تطوّر مجموعة إعادة التطبيع لـ\(\lambda,\lambda_{m},\lambda_{\phi}\). عند مستوى الحلقة الواحدة، وبإهمال جميع اقترانات يوكاوا عدا \(y_{t}\)، تُعطى المعادلات ذات الصلة:

  \[ \begin{aligned} 16\pi^{2} \frac{d\lambda}{dt} & = 24\lambda^{2} + 2\lambda_{m}^{2} - 6y_{t}^{4} + \lambda (12y_{t}^{2} - \frac{9}{5}g_{1}^{2} - 9g_{2}^{2}) + \frac{27}{200}g_{1}^{4} + \frac{9}{20}g_{1}^{2}g_{2}^{2} + \frac{9}{8}g_{2}^{4} \\ 16\pi^{2} \frac{d\lambda_{\phi}}{dt} & = 24\lambda_{\phi}^{2} + 2\lambda_{m}^{2} - 9\lambda_{\phi}g_{\phi}^{2} + \frac{9}{4}g_{\phi}^{4} \\ 16\pi^{2} \frac{d\lambda_{m}}{dt} & = \lambda_{m} (6y_{t}^{2} + 12\lambda + 12\lambda_{\phi} + 4\lambda_{m} - \frac{9}{10}g_{1}^{2} - \frac{9}{2}g_{2}^{2} - \frac{9}{2}g_{\phi}^{2}) \\ 16\pi^{2} \frac{dg_{i}}{dt} & = b_{i} g_{i}^{3} \quad \text{مع} \quad (b_{1},b_{2},b_{3},b_{\phi}) = (41/6, -19/6, -7, -43/6) \\ 16\pi^{2} \frac{dy_{t}}{dt} & = y_{t} (\frac{9}{2}y_{t}^{2} - \frac{17}{20}g_{1}^{2} - \frac{9}{4}g_{2}^{2} - 8g_{3}^{2}) \end{aligned} \]

  حيث \(g_{i} = (g_{1}, g_{2}, g_{3})\) تمثّل اقترانات القياس للنموذج القياسي و\(g_{\phi}\) هو اقتران القياس لـ\(SU(2)_{HS}\). سنستخدم هذه المعادلات للتحقّق مما إذا كانت شروط استقرار الفراغ، الاضطرابيّة ووحدانيّة التشتّت مُتحقّقة عند مقاييس أعلى \(\Lambda = 100\,\mathrm{TeV},\,10^{4}\,\mathrm{TeV}\) و\(\Lambda = m_{Planck}\).