مقدمة

خلال العقود القليلة الماضية، أصبح علم الزلازل النجمية² أداة هامة لتوصيف النجوم. إن ترددات الأنماط التي تهتز بها العديد من النجوم المختلفة تُعد مجسات حساسة لخصائصها الفيزيائية . تُستخدم هذه الترددات كقيود رصدية في نمذجة النجوم ، حيث تتيح بشكل روتيني تقديرات دقيقة لخصائص النجوم الفيزيائية حتى مستوى النسبة المئوية . تختلف أنواع الاهتزازات التي يمكن أن تظهر في النجم بشكل كبير حسب خصائصه الفيزيائية ، لكننا سنركز في ما يلي على النجوم التي تهتز على غرار الشمس، أي تلك التي تحتوي على طبقات حمل حراري عند السطح.

يعتمد علم الزلازل النجمية على سلاسل زمنية من مصدرين رئيسيين: إما السرعة الشعاعية أو شدة الإضاءة الفوتومترية. تنبع هذه الرصديات من العديد من المراصد والمشاريع الأرضية والفضائية، بما في ذلك المشاريع الأرضية مثل GONG ، وBiSON وSONG ، والمركبات الفضائية مثل SOHO ، CoRoT، Kepler وTESS. يمكن من حيث المبدأ تحليل هذه الرصديات في نطاق الزمن ، لكن ذلك يبقى مكلفاً حسابياً. لذا غالباً ما يُجرى علم الزلازل النجمية للنجوم النابضة شمسياً في نطاق التردد، حيث تظهر أنماط الاهتزاز بوضوح.

في النجوم الباردة من النسق الأساسي (MS) مثل الشمس، وكذلك في النجوم تحت العملاقة (SG) والعمالقة الحمراء (RG)، فإن الاهتزازات الأكثر وضوحاً هي أنماط الضغط الصوتية (p-modes). هذه الاهتزازات تُثار عشوائياً وتخمد، وتأخذ شكل مجموعة من القمم الشبه منتظمة التوزيع ذات شكل لورنتزي تقريباً في طيف القدرة . تمثل الترددات المركزية لهذه القمم ترددات الرنين للنجم، والتي يمكن مقارنتها بترددات نماذج بنية النجوم، مما يسمح بوضع قيود على خصائص النجم .

الهدف الأساسي من قياس ترددات أنماط الاهتزاز، والمعروف أيضاً باسم "قياس القمم" (peakbagging)، هو ما يسعى إليه PBjam³. يتم ذلك عادةً عبر ملاءمة نموذج بارامتري لطيف القدرة للسلسلة الزمنية الفوتومترية لكل نجم على حدة . تتضمن هذه العملية جزئين رئيسيين: تحديد الأنماط وملاءمة النموذج، حيث يُحدد الجزء الأول اختيار النموذج البارامتري للطيف الذي سيتم ملاءمته مع طيف الاهتزاز المرصود.

غالباً ما يتم تحديد ترددات الاهتزاز يدوياً ويتطلب معرفة بكيفية ظهور الأنماط في مرحلة تطورية معينة للنجم. تُوصف الأنماط في معظم النجوم النابضة باستخدام دوال كروية توافقية بدرجة زاوية \(l\) وترتيب سمتي \(m\)، ولكل منها عدد من التوافقيات ذات ترتيب شعاعي \(n\). يتطلب تحديد الأنماط تعيين تسميات فريدة \((n,l,m)\) للأنماط المرئية في الطيف. ويكون ذلك صعباً بشكل خاص في النجوم تحت العملاقة والعمالقة الحمراء حيث تبدأ الأنماط بالاقتران مع أنماط الجاذبية الداخلية ، مما يؤدي إلى تغيرات سريعة في التردد مع تطور النجم. أما في النجوم من النوع F، فتزداد عرض الأنماط بشكل كبير مقارنة بالنجوم الأبرد ، مما يؤدي إلى تداخل أنماط \(l=2,0\) في الطيف وظهورها بشكل شبه مطابق لأنماط \(l=1\)، مما يصعب التمييز بينها . وتزداد هذه الصعوبة في الحالات ذات نسبة الإشارة إلى الضجيج المنخفضة.

بعد تحديد الأنماط، تأتي خطوة ملاءمة النموذج المختار مع طيف ترددات الاهتزاز. غالباً ما يكون إيجاد النموذج الأكثر احتمالاً لشرح الطيف المرصود مكلفاً حسابياً، خاصة بالنسبة لرصديات مركبة Kepler التي رصدت أكثر من \(20,000\) نجم نابض على مدى عدة سنوات بتواتر \(\approx30\) دقيقة ، وعدة مئات بتواتر أقصر \(\approx 1\) دقيقة . لا تزال أطياف العديد من هذه النجوم بحاجة إلى تحليل مفصل. علاوة على ذلك، تنتج TESS حالياً سلاسل زمنية جديدة لنجوم عبر السماء بأكملها تقريباً، ومع الإطلاق المستقبلي لمهمة PLATO، تزداد أهمية وجود طريقة سريعة وآلية لقياس القمم.

مع PBjam نركز على حل هاتين المشكلتين للنجوم النابضة شمسياً بطريقة آلية. هذه النجوم هي الأكثر عدداً وتشمل نجوم النسق الأساسي ذات الكتل \(\lesssim1.6\,\mathrm{M}_\odot\) وغالبية النجوم تحت العملاقة والعمالقة الحمراء. الأولى ذات أهمية خاصة في دراسات الكواكب الخارجية ، والأخيرة لدراسة تجمعات المجرة نظراً لإمكانية رصدها على مسافات بعيدة . بالإضافة إلى ذلك، تهدف الأتمتة في PBjam إلى جعل علم الزلازل النجمية متاحاً لغير المتخصصين، مما يتيح استخدامه في نطاق أوسع من التطبيقات. يشير ما يلي إلى الإصدار v1.0.0 من PBjam⁴.

قياس القمم باستخدام PBjam

الهدف من قياس القمم هو تحديد ترددات أنماط الاهتزاز في النجم. يُظهر الشكل [fig:example] مثالاً لطيف، حيث تظهر أنماط النجم العملاق الأحمر KIC4448777⁵ من حيث نسبة الإشارة إلى الضجيج (SNR)، أي ارتفاع قمم الأنماط بالنسبة إلى مستوى الضجيج المحيط. تتركز الأنماط حول تردد مميز \(\nu_{\mathrm{max}}\)، وتنخفض نسبة الإشارة إلى الضجيج بسرعة عند الترددات الأعلى والأدنى. يُعرف هذا عادة بغلاف أنماط الضغط (p-mode envelope).

تختلف الأنماط التي تُثار بشكل كاف لتصبح مرئية حسب الخصائص الفيزيائية للنجم، وكذلك ترددات الأنماط نفسها. يعتمد عدد التوافقيات الشعاعية المرئية على نسبة الإشارة إلى الضجيج، ويتراوح عادة من عدد قليل في الحالات ذات SNR المنخفضة إلى \(\approx10-15\) في أفضل الحالات . كما تقل وضوحية الأنماط مع زيادة \(l\) ، لذا غالباً ما تُرصد فقط أنماط \(l=0,1,2\) ونادراً \(l=3\) . لكل \(l\) هناك \(2l+1\) نمطاً بترتيب سمتي \(-l \leq m \leq l\) قد تنقسم ترددياً بسبب دوران النجم . لذا غالباً ما يحتوي نموذج الطيف على عدد كبير من المتغيرات، ويكون من الضروري عادةً استخدام نوع من التمثيل البارامتري للنموذج.

استُخدمت عدة طرق للتمثيل البارامتري لدراسة أطياف القدرة النجمية . في هذا الإصدار من PBjam، الهدف هو قياس ترددات أنماط \(l=0,\,m=0\) و\(l=2,\,m=0\)، والتي تم تمييزها في الشكل [fig:example]. تحمل هذه الأنماط معلومات حول خصائص النجم عبر مجموعة واسعة من الأنواع الطيفية والمراحل التطورية. لذا فإن التمثيل البارامتري المستخدم في PBjam مبسط جداً مقارنة بدراسات أخرى، حيث يتم تجاهل تأثيرات مثل الدوران ولا تماثل الأنماط . والأهم من ذلك، أن أنماط \(l=1\) غير مشمولة حالياً في قياس القمم في PBjam. تتطلب هذه الأنماط معالجة خاصة لتلاؤمها بدقة بطريقة آلية عبر جميع المراحل التطورية للنجوم النابضة شمسياً، خاصة في النجوم تحت العملاقة والعمالقة الحمراء، حيث تبدأ أنماط الجاذبية الداخلية بالاقتران مع أنماط الضغط \(l=1\)، مما يؤدي إلى نمط معقد من ترددات الأنماط المختلطة، ويجعل حتى التحديد اليدوي صعباً، فما بالك بالآلي . نهدف إلى تضمين معالجة \(l=1\) في الإصدارات المستقبلية من PBjam، حيث تحمل معلومات هامة عن الدوران وتساعد في تقييد أعمار النجوم . ومع ذلك، لا يمكن لأنماط \(l=0\) أن تقترن مع أنماط الجاذبية، ونادراً ما يُلاحظ اقتران قوي بين أنماط \(l=2\) الضغطية والجاذبية (Mosser وآخرون 2020، قيد الإعداد)، لذا تظهر هذه الأزواج بنمط شبه منتظم عند فاصل يُسمى الفاصل الترددي الكبير \(\Delta\nu\). وهذا يجعل من السهل تحديدها آلياً، كما أن استخدام ترددات هذه الأنماط فقط يكفي لتحديد كتلة النجم ونصف قطره بدقة تصل إلى عدة بالمئة، وتقدير عمر النجم ضمن \(\sim10-20\%\) . يوضح الشكل [fig:example] طيف النجم KIC4448777 حيث تم تمييز أزواج \(l=0,2\). يظهر النمط المتكرر بوضوح عند عرض ترددات الأنماط مع باقي القسمة على الفاصل الكبير، حيث تصطف أنماط \(l=0\) و\(l=2\) كأعراف. يلتزم بعض أنماط \(l=1\) بهذا النمط المتكرر، بينما ينزاح البعض الآخر بسبب الاقتران مع موجات الجاذبية الداخلية.

يحدد اختيار نموذج الطيف وتحديد الأنماط مجموعة معلمات الملاءمة \(\boldsymbol{\theta}\)، ولإيجاد أفضل نموذج ملائم نقوم برسم توزيع الاحتمال الخلفي \[ P(\boldsymbol{\theta}|D)\propto P(D|\boldsymbol{\theta})P(\boldsymbol{\theta}), \label{eq:posterior} \] حيث \(P(\boldsymbol{\theta})\) هو القيد على معلمات الملاءمة بناءً على المعرفة السابقة، و\(P(D|\boldsymbol{\theta})\) هو احتمال رصد البيانات \(D\) بالنظر إلى النموذج. إذا استخدمنا صياغة غير رسمية، فإن \(P(\boldsymbol{\theta})\) هو ما نعرفه مسبقاً عن ترددات الأنماط، و\(P(D|\boldsymbol{\theta})\) هو ما يخبرنا به طيف القدرة أو أي رصد آخر عن ترددات الأنماط. أما الاحتمال الخلفي \(P(\boldsymbol{\theta}|D)\) فهو ما نهتم به في النهاية: مزيج معرفتنا السابقة والجديدة.

الصفوف الأساسية في PBjam

تتمثل الوظيفة الرئيسية في PBjam في تحديد الأنماط وملاءمة النموذج، وهي تتكون حالياً من ثلاث صفوف مترابطة: KDE وAsy_peakbag اللتان تقومان بتحديد الأنماط وترميز المعرفة السابقة حولها، وPeakbag الذي ينفذ الملاءمة النهائية للنموذج مع أقل قدر من التأثير من المعرفة السابقة. عند تزويدها بمجموعة من المدخلات الأساسية الموضحة في الجدول 1، تُشغّل هذه الصفوف بالتسلسل لإنتاج تقدير لترددات الأنماط في الطيف. يمكن تنفيذ الخطوات الثلاث تلقائياً بواسطة PBjam، لكن يمكن تنفيذ كل منها بشكل منفصل إذا لزم الأمر. توضح العملية الآلية في PBjam في الشكل 1، مع شرح مفصل في الأقسام التالية. تُلخص مخرجات كل خطوة في الشكل [fig:pbjamjoint].

KDE - ترميز المعرفة السابقة

يناقش هذا القسم تفاصيل KDE. تتمثل الوظيفتان الرئيسيتان لـKDE في بناء دالة تقرب معرفتنا السابقة، وتوفير تخمينات أولية لمعلمات الملاءمة المستخدمة في الخطوة التالية في Asy_peakbag (انظر القسم 3.2). لذا فإن المعلمات \(\boldsymbol{\theta}\) التي يحدد لها KDE معرفة سابقة تعتمد على المدخلات التي يتطلبها Asy_peakbag (انظر الجدول 1). ومع ذلك، يمكن تطبيق المنهجية على تمثيلات بارامترية متنوعة لنموذج الطيف، لذا سنبقي الترميز هنا عاماً.

استخدام تقدير كثافة النواة كمعرفة سابقة

الجزء الأول من KDE هو بناء دالة معرفة سابقة ترمز معرفتنا بكيفية تصرف ترددات الأنماط في مراحل تطور النجوم المختلفة.

يتم ذلك بحساب تقدير كثافة نواة متعددة المتغيرات (KDE) لـ\(\boldsymbol{\theta}\)، استناداً إلى ملاءمات لأهداف مرصودة سابقاً من Kepler⁶. تظهر هذه العينة في الشكل [fig:kdecorner] لجزء من المعلمات المستخدمة في Asy_peakbag. إذا غطت العينة من الرصديات السابقة النطاق الفيزيائي الممكن في فضاء المعلمات، فإن KDE الناتج يلتقط التغاير بين المعلمات المختلفة في الملاءمة. ينتج عن ذلك دالة مستمرة تقرب المعرفة السابقة \(P(\boldsymbol{\theta})\).

بناء KDE هو في جوهره مسألة تنعيم بيانات. هنا نستخدم KDE متعدد المتغيرات مع عرض نطاق (bandwidth) لكل معلمة من معلمات الملاءمة \(\boldsymbol{\theta}\) للعلاقة التقاربية وبعض المعلمات الأخرى (انظر القسم 3.2). يمنح ذلك تحكماً كاملاً بدرجة تنعيم بيانات المعرفة السابقة. يُبنى KDE كالتالي: \[ P(\boldsymbol{\theta}) \propto \frac{1}{K}\sum_{i=1}^{K}\textbf{Q}_\textbf{H}(\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\theta}_i), \label{eq:prior} \] حيث \(\boldsymbol{\theta}_i\) هي معلمات أحد النجوم \(K\) التي استُخدمت لبناء المعرفة السابقة. \(\textbf{Q}_\textbf{H}\) هي مصفوفة عرض النطاق، ونستخدم هنا مصفوفة تغاير غاوسية متعددة المتغيرات مع جميع العناصر خارج القطر تساوي الصفر (تسمى أحياناً kernel من النوع D): \[ \textbf{Q}_\textbf{H}(\boldsymbol{\theta})=(2\pi)^{-\frac{d}{2}}\left|\textbf{H}\right|^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{\theta}^T\textbf{H}^{-1}\boldsymbol{\theta}\right), \] حيث \(d\) هو عدد أبعاد KDE. هنا \(\textbf{H}\) هي مصفوفة قطرية \(d \times d\): \[ \textbf{H}=\mathrm{diag}(q_1^2,\ldots,q_d^2), \] حيث \(q_i\) هو عدد حقيقي ويمثل عرض النطاق لأحد معلمات النموذج.

يتم حساب KDE باستخدام حزمة بايثون statsmodels⁷ . تحدد هذه الحزمة أيضاً عرض النطاق الأمثل لكل معلمة ملاءمة باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى المتقاطع. يتم إجراء التحقق المتقاطع على مجموعة فرعية من أقرب \(\sim100\) جيران للنجم الهدف من حيث \(\nu_{\mathrm{max}}\). تُختار هذه المجموعة الفرعية من نطاق يصل إلى \(\pm20\sigma\)، حيث \(\sigma\) هو عدم اليقين في \(\nu_{\mathrm{max}}\) المدخلة. يؤدي ذلك إلى إنشاء KDE حيث يتغير عرض النطاق عكسياً مع كثافة نقاط البيانات السابقة المحلية، حسب النجم الهدف. يقل عرض النطاق في مناطق العينة السابقة التي تحتوي على العديد من النجوم، بينما يزداد في المناطق التي لدينا فيها عينات قليلة، أي معرفة قليلة. يتم تحسين عرض النطاق في كل مرة يتم فيها إجراء ملاءمة جديدة، لذا من المتوقع أن تصبح المعرفة السابقة أكثر إفادة مع زيادة عدد النجوم المرصودة. ومع ذلك، يمكن للمستخدم تعديل عرض النطاق، وهو أمر ضروري في المناطق التي تكون فيها العينة السابقة نادرة، مثل الترددات المنخفضة \(\nu_{\mathrm{max}}\lesssim20\,\mu\mathrm{Hz}\).

يظهر مثال على التوزيعات الاحتمالية الناتجة لأنماط \(l=0\) التي يحددها صف KDE في الإطار العلوي من الشكل [fig:pbjamjoint].

تقدير نقطة البداية الأكثر احتمالاً

الوظيفة الثانية لـKDE هي تقدير المنطقة الأكثر احتمالاً في فضاء المعلمات لبدء Asy_peakbag. يتم ذلك عبر أخذ عينات من \(P(\boldsymbol{\theta}|D)\) الموضحة في المعادلة [eq:posterior]. تُقرب المعرفة السابقة \(P(\boldsymbol{\theta})\) باستخدام KDE كما هو موضح أعلاه، ويبقى لدينا دالة الاحتمال \(P(D|\boldsymbol{\theta})\). في هذه المرحلة نستخدم معلمات الإدخال الموضحة في الجدول 1 كبيانات رصدية \(D\). هذه المعلمات هي: تردد القدرة العظمى لغلاف أنماط الضغط \(\nu_{\mathrm{max}}\)، الفارق الترددي بين التوافقيات المتتالية \(\Delta\nu\)، درجة حرارة النجم الفعالة T_\mathrm{eff}، ومؤشر اللون الفوتومتري Gaia G_{\mathrm{BP}}-G_{\mathrm{RP}} . دالة الاحتمال هي الاحتمال المشترك المقدر عبر سلسلة من التوزيعات الطبيعية المعطاة بهذه المعلمات وعدم يقيناتها. لذا يتم أخذ عدم اليقين في المدخلات بالحسبان عند تقدير نقطة البداية. بما أن T_\mathrm{eff} وG_{\mathrm{BP}}-G_{\mathrm{RP}} يحملان معلومات متشابهة، يكفي تزويد أحدهما فقط. إذا توفر أحدهما فقط، يفترض PBjam معرفة سابقة واسعة وغير محددة للمعلمة المفقودة.

يتم أخذ عينات من الاحتمال الخلفي \(P(\boldsymbol{\theta}|D)\) باستخدام أداة MCMC من نوع affine-invariant من حزمة emcee⁸ . ثم تُمرر القيم المئوية للتوزيع الخلفي لكل معلمة إلى Asy_peakbag كنقطة بداية في فضاء المعلمات.

Asy_peakbag - تخمينات أولية من العلاقة التقاربية

يناقش هذا القسم تفاصيل Asy_peakbag، الذي يقوم بملاءمة العلاقة التقاربية مع الطيف، باستخدام مخرجات صف KDE. يوفر ذلك بدوره أكثر الفواصل الترددية احتمالاً للمرحلة النهائية من قياس القمم (انظر القسم 3.3).

يؤدي Asy_peakbag في جوهره ملاءمة مقيدة للغاية لأنماط الاهتزاز، ويمكن من حيث المبدأ استخدامه لتقدير ترددات الأنماط بمفرده. ومع ذلك، فإن العلاقة التقاربية المستخدمة هنا ليست وصفاً كاملاً لترددات الأنماط، لذا لن تلتقط التغيرات التفصيلية المرتبطة، مثلاً، بالانقطاعات الصوتية أو الاقتران مع أنماط الجاذبية في أعماق النجم . علاوة على ذلك، فإن تقديرات عدم اليقين في معلمات الملاءمة التقاربية ستكون مترابطة بشدة. لذا يُفضل استخدام Asy_peakbag فقط لتحديد نطاق ترددي موثوق للأنماط الفردية، وتحديد الدرجة الزاوية، لقياس القمم الأكثر تفصيلاً لاحقاً (مثلاً باستخدام صف Peakbag).

في هذه الحالة، يتكون نموذج الطيف \(M(\boldsymbol{\theta}, \nu)\) من مجموع دوال لورنتزية، واحدة لكل نمط مرئي في الطيف . لأغراض PBjam نعامل أزواج \((n,l=0)\) و\((n-1, l=2)\) كزوج، حيث \(n\) يمثل التوافقيات الشعاعية المرئية في الطيف.

يصبح النموذج لـAsy_peakbag كالتالي: \[ M\left(\boldsymbol{\theta},\nu\right)=b+\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{h_{n,0}}{1+\frac{4}{w^2}(\nu-\nu_{n,0})^2} +\frac{h_{n-1,2}}{1+\frac{4}{w^2}(\nu-\nu_{n-1,2})^2}. \label{eq:asymod} \]

نلائم المعادلة [eq:asymod] مع طيف SNR للنجم، ونفترض أن الحد الثابت \(b=1\). طيف SNR هو طيف القدرة مقسوماً على مستوى الضجيج الخلفي، والذي يُقرب بواسطة وسيط متحرك لطيف القدرة⁹. قد يؤثر التعامل الدقيق مع مستوى الضجيج الخلفي الناتج عن التحبب والتغيرات طويلة الأمد على قياس ترددات الأنماط. ومع ذلك، فإن الطريقة المطبقة هنا كافية لتحديد نطاقات ترددية موثوقة لقياس القمم التفصيلي لاحقاً.

بدلاً من ملاءمة سلسلة من المعلمات الحرة لكل نمط في المعادلة [eq:asymod]، نستخدم العلاقة التقاربية لترميز توقعنا لنمط الأنماط في النجوم النابضة شمسياً. تُعطى ترددات الأنماط حينها بـ: \[ \begin{array}{ll} \nu_{n,0} & =\left(n+\,\varepsilon+\frac{\alpha}{2}\left(n-n_{\mathrm{max}}\right)^2\right)\Delta\nu\\ \nu_{n-1,2} & =\nu_{n,0}-\delta\nu_{02}, \end{array} \label{eq:asymptotic} \] حيث \(\,\varepsilon\) هو ما يُعرف غالباً بانزياح التردد أو حد الطور، و\(n_{\mathrm{max}}=\nu_{\mathrm{max}}/\Delta\nu-\,\varepsilon\) . المعلمة \(\alpha\) تمثل مقدار التغير من الدرجة الثانية لترددات الأنماط بين كل توافقي شعاعي. تردد أنماط \(l=2\) ينزاح عن الأنماط الشعاعية بمقدار \(\delta\nu_{02}\)، والذي يُفترض ثباته لجميع التوافقيات الشعاعية في الملاءمة.

تُقرب ارتفاعات الأنماط النسبية، من حيث SNR، بواسطة غلاف غاوسي: \[ \begin{array}{ll} h_{n,0} & = H_{\mathrm{max}}\exp\left(-0.5\left(\nu-\nu_{\mathrm{max}}\right)^2 / W^2_{\mathrm{env}}\right), \\ h_{n-1,2} & = 0.7\,h_{n,0}, \end{array} \] حيث \(W_{\mathrm{env}}\) هو عرض غلاف أنماط الضغط، و\(H_{\mathrm{max}}\) هو ارتفاع الغلاف. تُضرب ارتفاعات أنماط \(l=2\) بمعامل 0.7 نسبة إلى أنماط \(l=0\) ، وذلك لتقريب انخفاض وضوحية الأنماط مع زيادة الدرجة الزاوية \(l\).

من المعروف أن عرض الأنماط اللورنتزية يعتمد على \(T_\mathrm{eff}\) و\(\nu_{\mathrm{max}}\) وتردد النمط . ومع ذلك، يتطلب نمذجة ذلك بدقة عدة معلمات إضافية، مما يزيد من تعقيد النموذج، وهو أمر غير ضروري لأغراض Asy_peakbag، لذا نقرب عرض الأنماط بقيمة ثابتة \(w\) لجميع الأنماط.

مع Asy_peakbag نقيم أيضاً الاحتمال الخلفي الموضح في المعادلة [eq:posterior]، لكن هنا نضيف قيوداً إضافية من طيف القدرة، أي ملاءمة النموذج.

هذا يعني أن لوغاريتم الاحتمال الخلفي يمكن كتابته كالتالي: \[ \ln{P(\boldsymbol{\theta}|D)}\propto \ln{\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})} + \ln{P(\boldsymbol{\theta})}, \] حيث \(P(\boldsymbol{\theta})\) معطى بالمعادلة [eq:prior] و\(\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})\) هي القيود الرصدية المعطاة بـ: \[ \ln{\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})} = \ln{\mathcal{L}_{\mathrm{S}}(\boldsymbol{\theta})} + \ln{\mathcal{L}_{\mathrm{O}}(\boldsymbol{\theta})}. \]

لوغاريتم دالة الاحتمال \(\ln{\mathcal{L}_{\mathrm{S}}(\boldsymbol{\theta})}\) هو القيد من طيف القدرة. القدرة في كل خانة تردد من الطيف موزعة غاما بمعامل شكل \(\alpha=1\) ومعامل مقياس \(\beta=1/M(\boldsymbol{\theta},\nu)\)، لذا يمكن حساب لوغاريتم دالة الاحتمال كالتالي : \[ \ln{\mathcal{L}_{\mathrm{S}}\left(\boldsymbol{\theta} \right)} = - \sum\limits_{j=1}^J {\left(\ln M\left( {\boldsymbol{\theta} ,\nu _j } \right) + \frac{{S_j }}{{M\left( {\boldsymbol{\theta} ,\nu _j } \right)}}\right)}, \] حيث \(S_j\) هي القدرة في خانة التردد \(j\)، و\(J\) هو العدد الكلي لخانات التردد في الطيف.

أما لوغاريتم دالة الاحتمال \(\ln{\mathcal{L}_{\mathrm{O}}(\boldsymbol{\theta})}\) فهو من المعلمات الرصدية الإضافية، حيث يستخدم Asy_peakbag أيضاً \(T_\mathrm{eff}\) و\(G_{\mathrm{BP}}-G_{\mathrm{RP}}\)، كما في KDE. ومع ذلك، تُستخدم \(\nu_{\mathrm{max}}\) و\(\Delta\nu\) الآن فقط كمعلمات ملاءمة، مع القيد الوحيد عليهما من المعرفة السابقة والطيف، وليس من مدخلات المستخدم. يمنع ذلك تكرار احتساب المعلومات من المدخلات والطيف نفسه، حيث غالباً ما تُستخرج المدخلات من نفس الطيف الجاري ملاءمته. أما القيود من \(T_\mathrm{eff}\) و\(G_{\mathrm{BP}}-G_{\mathrm{RP}}\) فهي ببساطة مجموع توزيعات طبيعية بمتوسطات وانحرافات معيارية تساوي القيم المدخلة من المستخدم.

يُبنى KDE الذي يمثل المعرفة السابقة \(P(\boldsymbol{\theta})\) من عينة من \(13\,288\) نجم من Kepler تتراوح من عمالقة حمراء ذات \(\nu_{\mathrm{max}}\approx 30\,\mu\mathrm{Hz}\) إلى نجوم النسق الأساسي عند \(\nu_{\mathrm{max}}\approx4000\,\mu\mathrm{Hz}\) (انظر الشكل [fig:kdecorner]) والتي تم ملاءمتها سابقاً باستخدام المعادلة [eq:asymod]. هذه العينة¹⁰ مجمعة من ، ، ، ، و، مع نية إضافة المزيد عند توفرها.

لأخذ عينات من فضاء المعلمات \(\boldsymbol{\theta}\)، يمكن لـPBjam استخدام أي من حزمتَي emcee أو CPNest¹¹ ، وكلاهما يوفر تقديراً لتوزيع الاحتمال الخلفي \(P(\boldsymbol{\theta}|D)\). ثم تُمرر التوزيعات الخلفية الهامشية لمعاملات الملاءمة إلى الخطوة التالية Peakbag.

يظهر مثال على ملاءمة العلاقة التقاربية مع طيف النجم KIC4448777 في الإطار الأوسط من الشكل [fig:pbjamjoint].

Peakbag - ملاءمة الأنماط زوجاً بزوج

الجزء الأخير من العملية هو تخفيف معظم التمثيل البارامتري المستخدم في Asy_peakbag، مما يوفر تقديراً غير مقيد نسبياً لترددات الأنماط وعدم يقيناتها. يسمح ذلك لـPBjam بالتقاط التغيرات الصغيرة في ترددات الأنماط التي لا تأخذها العلاقة التقاربية بالحسبان.

نبدأ وصف نموذج طيف Peakbag مرة أخرى بالنظر فقط إلى أزواج \(l=0,2\) كما في Asy_peakbag، لذا يمكننا استخدام المعادلة [eq:asymod]. ومع ذلك، في نموذج Peakbag نركز فقط على النطاق الترددي القريب من أزواج \(l=0,2\)، وليس النطاق بين الأزواج الذي تشغله عادة أنماط \(l=1\). يتم ذلك لتسريع هذه الخطوة النهائية من قياس القمم. في ما يلي، تُعامل أزواج \(l=0,2\) بشكل مستقل، وللتبسيط سنرمز لكل زوج \((n, 0), (n, 2)\) حيث \(n\) هو الآن رقم الزوج وليس الترتيب الشعاعي. لدينا إذاً نموذج \(M_n(\nu)\) لكل زوج ونطاق صغير من الطيف حوله (انظر الإطار السفلي من الشكل [fig:pbjamjoint]).

في Peakbag نستخدم PyMC3 لأخذ عينات من التوزيع الاحتمالي الخلفي. PyMC3 هي لغة برمجة احتمالية، لذا سنعتمد ترميزاً متسقاً هنا. يسمح لنا ذلك بتعريف متغيرات عشوائية لوصف معلمات النموذج. ترددات الأنماط للزوج \(n\) تُعطى بـ: \[ \nu_{n,l} \sim \mathcal{N}(\nu^{\mathrm{asy}}_{n,l},\left(0.03\Delta\nu\right)^2) \quad \mathrm{لـ}\quad l=0,2, \label{eq:Nnu} \] أي أن \(\nu_{n,0}\) و\(\nu_{n,2}\) متغيرات عشوائية موزعة طبيعياً بمتوسط ترددات الأنماط \(\nu^{\mathrm{asy}}_{n,l}\) من Asy_peakbag وتباين \((0.03\Delta\nu)^2\).

لو حولنا المعادلة [eq:Nnu] إلى نموذج PyMC3 وأخذنا عينات منه، سنحصل على توزيعات خلفية موزعة طبيعياً بمتوسطات تساوي توقعات Asy_peakbag وانحراف معياري يساوي \(3\%\) من \(\Delta\nu\).

نستخدم نفس الترتيب لارتفاعات الأنماط وعرضها. ومع ذلك، لا يمكن لهذه المعلمات أن تأخذ قيماً سالبة، لذا نستخدم توزيعات لوغاريتمية-طبيعية لترميز هذه المعرفة. نستخدم كمتوسطات سابقة تقديرات Asy_peakbag، لكن لارتفاعات الأنماط نستخدم انحرافاً معيارياً \(0.4\) دكاد، و\(1\) دكاد لعرض الأنماط. النطاق الكبير للأخير ضروري لأن عرض الأنماط يتغير كثيراً مع التردد عبر غلاف أنماط الضغط، وقد يكون أصغر أو أكبر بكثير من المتوسط المقدر بواسطة Asy_peakbag.

ارتفاعات الأنماط تُعطى بـ: \[ h_{n,l} \sim \log{\mathcal{N}\left(\log{h^{\mathrm{asy}}_{n,l}}, 0.16\right)} \quad \mathrm{لـ}\quad l=0,2.\\ \]

وبالمثل لعرض الأنماط: \[ w_{n,l} \sim \log{\mathcal{N}\left(\log{w^{\mathrm{asy}}},1.0\right)}\quad \mathrm{لـ}\quad l=0,2 . \]

نبني معرفة سابقة للخلفية \(b_{n}\) بطريقة مماثلة. بما أننا نعمل مع طيف SNR، يجب أن تكون الخلفية تساوي واحداً. ومع ذلك، تصبح هذه المقاربة أقل دقة مع زيادة SNR للأنماط. عادة ما يكون هذا التأثير صغيراً، لكن لتوفير نتيجة أكثر متانة نسمح للحد الخلفي لكل زوج أنماط أن يتغير بشكل مستقل، مع البقاء متسقاً مع نفس التوزيع اللوغاريتمي-الطبيعي. لذا نحدد المعرفة السابقة للخلفية كالتالي: \[ b_n \sim \log{\mathcal{N}\left(0, 0.16\right)}. \]

الخطوة الأخيرة في بناء نموذج PyMC3 هي إضافة القيد من الطيف نفسه. كما في Asy_peakbag نفترض أن القدرة في كل خانة مأخوذة من توزيع غاما، لكن هنا معامل المقياس \(\beta=1/M_n(\nu)\)، الذي يحدد نموذجاً لكل زوج أنماط \(n\). في ترميز PyMC3 يُفرض القيد الطيفي كالتالي: \[ S_n \sim \gamma(1,1/M_{n}(\nu)). \]

بهذا يكتمل نموذج PyMC3، ونستخدم خوارزمية NUTS لأخذ عينات من التوزيع الاحتمالي الخلفي. يظهر مثال على النماذج المأخوذة بواسطة Peakbag في الإطار السفلي من الشكل [fig:pbjamjoint]. تكون المخرجات على شكل إحصاءات ملخصة لكل توزيع خلفي للمعلمات. كدليل للمستخدم، أحد مقاييس المخرجات هو نسبة عرض المعرفة السابقة (المعادلة [eq:Nnu]) إلى عرض التوزيع الخلفي لترددات الأنماط. إذا كانت هذه النسبة \(\sim 1\) فإن الاستدلال يتأثر أساساً بالمعرفة السابقة، وإذا كانت \(>1\) فإن الطيف يوفر معظم المعلومات. الحالة الأولى غالباً للأنماط ذات SNR المنخفضة، والثانية للأنماط ذات SNR العالية. لا يقوم PBjam بأي اختيار بناءً على هذا المقياس، لكن نقترح أن الأنماط ذات نسبة عرض معرفة سابقة إلى خلفية أكبر من \(\approx2\) يمكن استخدامها لاختيار الأنماط التي يهيمن الطيف على الاستدلال فيها. ومع ذلك، حتى عندما يكون الاستدلال مستنداً أساساً إلى المعرفة السابقة، يمكن استخدام تردد النمط الناتج كقيد على نماذج النجوم، حيث يعكس حينها التقدير المستمد من العلاقة التقاربية (المعادلة [eq:asymptotic])، لكن مع عدم يقين أكبر مما لو ساهم الطيف أيضاً في الاستدلال.

الخلاصة

الإصدار الحالي من PBjam مناسب لقياس ترددات أنماط \(l=0\) و\(l=2\) من نجوم النسق الأساسي حتى العمالقة الحمراء. يتم ذلك باستخدام النمط المتوقع لترددات الأنماط، المقدم من العلاقة التقاربية ووفرة بيانات الزلازل النجمية من مهمات فضائية مثل Kepler. باستثناء تزويد بعض المعلمات المدخلة، تُقاس ترددات الأنماط تلقائياً بالكامل. يتيح ذلك للمستخدمين غير المتخصصين الحصول على قيود زلزالية لمجموعة واسعة من المسائل التي تتعلق بالنجوم النابضة شمسياً.

تحتوي عينة الأهداف السابقة المستخدمة في PBjam على \(13\,288\) نجماً رصدتها Kepler. كما هو موضح في الشكل [fig:kdecorner]، تحتوي هذه العينة حالياً في الغالب على عمالقة حمراء، وقليل من نجوم النسق الأساسي. ويعود ذلك إلى القيود التقنية في مركبة Kepler، التي حدت من عدد الأهداف التي يمكن رصدها بتواتر عالٍ. عادة ما تكون ترددات اهتزاز نجوم النسق الأساسي \(\gtrsim1000\,\mu\mathrm{Hz}\)، لذا لم تُكتشف الاهتزازات إلا في بضع مئات من هذه النجوم. هدفنا هو تحديث عينة الأهداف المرصودة باستمرار مع توفر بيانات جديدة. من المتوقع أن تساهم مهمة TESS بشكل كبير في هذا المجال، حيث تغطي استراتيجيتها الرصدية تقريباً كامل السماء، وتشمل العديد من النجوم الساطعة تحت العملاقة والنسق الأساسي.

القيود الرئيسية في الإصدار الحالي من PBjam أنه لا يأخذ في الاعتبار أنماط \(l=1\). رغم أن أزواج الأنماط \(l=0,2\) وحدها كافية لتقييد نماذج النجوم بدقة بضعة بالمئة في الكتلة ونصف القطر، و\(10-20\%\) في العمر، إلا أن ترددات أنماط \(l=1\) ستوفر قيوداً أكثر إحكاماً. إن اقتران أنماط الضغط \(l=1\) مع الاهتزازات المسيطرة عليها الجاذبية الداخلية وتغيرها مع تطور النجم هو المشكلة الرئيسية في ملاءمة هذه الأنماط. حاولت أعمال سابقة مثل ، ، معالجة هذه المشكلة آلياً. غالباً ما تستخدم هذه الطرق اختبارات دلالة نمط بنمط للقمم في الطيف، تليها مقارنة مع العلاقة التقاربية لتحديد أزواج \(l=0,2\) ثم أنماط \(l=1\).

يهدف PBjam إلى إنشاء نموذج توليدي يستفيد من المعلومات من كامل غلاف أنماط الضغط دفعة واحدة، ويتدرج بسلاسة من النسق الأساسي حتى فرع العمالقة الحمراء. وقد تحقق ذلك إلى حد كبير لأزواج \(l=0,2\) في الإصدار الحالي، عبر تحديد نطاق الترددات المسبق من العلاقة التقاربية، ثم تحرير هذه القيود لاحقاً. ومع ذلك، يتطلب تطبيق هذا النهج على أنماط \(l=1\) أن تكون المعرفة بالنمط المتوقع دقيقة. ورغم أن ذلك سهل نسبياً في نجوم النسق الأساسي، وإلى حد ما في العمالقة الحمراء ، إلا أنه أقل سهولة في النجوم تحت العملاقة. ففي هذه النجوم حتى الأخطاء الصغيرة في قياس القمم \(l=1\) قد تؤثر كثيراً على المعلمات النجمية الناتجة . إن توسيع تطبيق المعرفة السابقة، كما هو الحال في PBjam، ليشمل الأساليب المذكورة أعلاه هو أحد الحلول الممكنة. نترك هذا التحقيق للإصدار القادم من PBjam.

يتقدم المؤلفون بالشكر للجهات الداعمة: MBN, WHB, وWJC يشكرون وكالة الفضاء البريطانية. GRD, OJH وWJC يشكرون مجلس مرافق العلوم والتكنولوجيا البريطاني (STFC). EC يشكر دعم اتفاقية PLATO ASI-INAF رقم 2015-019-R.1-2018 ودعم برنامج Horizon 2020 التابع للاتحاد الأوروبي بموجب منحة Marie Sklodowska-Curie رقم 664931. يشكر P. Gaulme تمويل مركز الفضاء الألماني (DLR) بموجب منحة مركز بيانات PLATO رقم 50OO1501. يشكر JO دعم منحة TESS GI رقم G022092. يشكر RAG دعم منح GOLF وPLATO/CNES. تلقى هذا البحث تمويلاً من المجلس الأوروبي للبحوث (ERC) بموجب برنامج Horizon 2020 للاتحاد الأوروبي (CartographY GA. 804752). يشكر المؤلفون استخدام خدمة BlueBEAR HPC في جامعة برمنغهام. تمويل مركز الفيزياء الفلكية النجمية مقدم من مؤسسة الأبحاث الوطنية الدنماركية (اتفاقية المنحة رقم: DNRF106). يتضمن هذا البحث بيانات جمعتها مهمة Kepler وحصل عليها من أرشيف بيانات MAST في معهد علوم تلسكوب الفضاء (STScI). تمويل مهمة Kepler مقدم من مديرية العلوم في ناسا. يدير STScI اتحاد الجامعات لأبحاث الفلك بموجب عقد ناسا NAS 5–26555. استخدم هذا العمل بيانات من مهمة Gaia التابعة لوكالة الفضاء الأوروبية (https://www.cosmos.esa.int/gaia)، والتي عالجها اتحاد معالجة وتحليل بيانات Gaia (DPAC، https://www.cosmos.esa.int/web/gaia/dpac/consortium). تمويل DPAC مقدم من مؤسسات وطنية، خاصة المؤسسات المشاركة في اتفاقية Gaia متعددة الأطراف.