مقدّمة

خلال العقود القليلة الماضية أصبح علمُ الزلازل النجمي² أداةً مهمّةً لتوصيف النجوم. إنّ ترددات الأنماط التي تهتزّ بها نجومٌ كثيرة تُعَدّ مجسّات حسّاسة لخصائصها الفيزيائية . تُستَخدم هذه الترددات كقيودٍ رصديةٍ في نمذجة النجوم ، فتُمكِّن بصورةٍ روتينية من تقديراتٍ دقيقةٍ لخصائص النجوم حتى مستوى النسبة المئوية . تختلف أنواع الاهتزازات التي قد تظهر في نجمٍ ما اختلافاً كبيراً بحسب خصائصه الفيزيائية ، وسنركّز في ما يلي على النجوم الشبيهة بالشمس، أي تلك التي تمتلك طبقات حَملٍ حراري عند السطح.

يعتمد علم الزلازل النجمي على سلاسل زمنية تُستمد إمّا من السرعة الشعاعية أو من شدّة الإضاءة الفوتومترية. وتأتي هذه الرصديات من مراصد ومشاريع أرضية وفضائية، منها GONG وBiSON وSONG ، ومهام فضائية مثل SOHO وCoRoT وKepler وTESS . من حيث المبدأ يمكن تحليل هذه الرصديات في نطاق الزمن ، لكنه مكلف حسابياً؛ لذا يُجرى علمُ الزلازل النجمي للنجوم الشبيهة بالشمس غالباً في نطاق التردد حيث تظهر الأنماط بوضوحٍ أكبر.

في النجوم الباردة من النسق الأساسي (MS) مثل الشمس، وكذلك في النجوم تحت-العملاقة (SG) والعمالقة الحمراء (RG)، تكون الاهتزازات الأوضح هي أنماط الضغط الصوتية (p-modes) . تُثار هذه الاهتزازات عشوائيّاً وتُخمَد، وتبدو كمجموعةٍ من القمم شبه المنتظمة ذات شكلٍ لورنتزيّ تقريباً في طيف القدرة . تمثّل الترددات المركزية لهذه القمم تردداتِ رنين النجم، ويمكن مقارنتها بترددات نماذج بنية النجوم لوضع قيودٍ على خصائص النجم .

الهدفُ الأساسي من قياس ترددات أنماط الاهتزاز، والمعروف أيضاً باسم «قياس القِمَم» (peakbagging)، هو ما يسعى إليه PBjam³. ويتم ذلك عادةً عبر ملاءمة نموذجٍ معلميّ لطيف القدرة لسلسلةٍ زمنية فوتومترية لكل نجمٍ على حدة . وتتضمن هذه العملية جزأين رئيسين: تحديد الأنماط وملاءمة النموذج؛ إذ يحدّد الجزءُ الأول شكلَ النموذج المعلمي لطيف الاهتزاز الذي ستتم ملاءمته مع الطيف المرصود.

غالباً ما يُجرى تحديدُ الأنماط يدوياً ويستلزم معرفةً بكيفية ظهورها في مرحلةٍ تطورية معيّنة من حياة النجم. تُوصَف الأنماط في معظم النجوم الشبيهة بالشمس باستخدام التوافقيات الكروية بدرجة \(l\) وترتيبٍ سمتي \(m\)، ولكلٍّ منها عدد من التوافقيات ذات ترتيبٍ شعاعي \(n\). ويتطلّب تحديدُ الأنماط تعيين تسميات فريدة \((n,l,m)\) للأنماط المرئية في الطيف. ويكون ذلك صعباً خصوصاً في النجوم تحت-العملاقة والعمالقة الحمراء حيث تبدأ الأنماط بالاقتران مع أنماط الجاذبية الداخلية ، ما يفضي إلى تغيّراتٍ سريعة في التردد مع تطوّر النجم. أمّا في النجوم من النوع الطيفي F فتزداد عُروض الأنماط كثيراً مقارنةً بالنجوم الأبرد ، ممّا يؤدي إلى تداخُل أنماط \(l=0,2\) وظهورها قريباً جدّاً من أنماط \(l=1\) بما يصعِّب التفريق بينها ، وتتفاقم الصعوبة عند انخفاض نسبة الإشارة إلى الضجيج.

بعد تحديد الأنماط تأتي خطوةُ ملاءمة النموذج المختار مع طيف ترددات الاهتزاز. وغالباً ما يكون إيجادُ النموذج الأكثر احتمالاً لشرح الطيف المرصود مكلفاً حسابياً، لا سيّما مع بيانات Kepler التي تضمّ أكثر من \(20,000\) نجم نابض رُصدت على مدى سنوات بفاصلٍ زمنيٍّ \(\approx 30\) دقيقة ، ومئاتٍ أخرى بفاصلٍ أقصر \(\approx 1\) دقيقة . ولا تزال أطيافُ كثيرٍ من هذه النجوم بحاجةٍ إلى تحليلٍ مُفصّل. علاوةً على ذلك، تُنتج TESS حالياً سلاسل زمنية جديدة لنجومٍ عبر السماء كلّها تقريباً، ومع الإطلاق المستقبلي لمهمة PLATO تتزايد أهميةُ وجود طريقةٍ سريعة وآليّة لقياس القمم.

مع PBjam نركّز على حلّ هاتين المشكلتين للنجوم الشبيهة بالشمس آليّاً. وهذه النجوم هي الأكثر عدداً وتشمل نجوم النسق الأساسي ذات الكتل \(\lesssim 1.6\,\mathrm{M}_\odot\) وغالبية النجوم تحت-العملاقة والعمالقة الحمراء. أمّا الأولى فذات أهميةٍ خاصّة في دراسات الكواكب الخارجية ، والثانية مهمّةٌ لدراسة البنية التجميعية للمجرة لإمكانية رصدها على مسافاتٍ بعيدة . وإلى جانب ذلك تهدف الأتمتة في PBjam إلى جعل علم الزلازل النجمي مُتاحاً لغير المتخصّصين، بما يسمح بتوسيع نطاق التطبيقات. ما يلي يُشير إلى الإصدار v1.0.0 من PBjam⁴.

قياس القمم باستخدام PBjam

الهدف من «قياس القمم» هو تحديد ترددات أنماط الاهتزاز في النجم. يُظهر الشكل [fig:example] مثالاً لطيفٍ تُعرَض فيه أنماط النجم العملاق الأحمر KIC4448777 على هيئة نسبة الإشارة إلى الضجيج (SNR)، أي ارتفاع قمم الأنماط نسبةً إلى مستوى الضجيج المحيط. تتجمّع الأنماط حول تردّدٍ مميّز \(\nu_{\mathrm{max}}\)، وتنخفض SNR سريعاً عند الترددات الأعلى والأدنى. ويُعرَف هذا عادةً بغلاف أنماط الضغط (p-mode envelope).

تختلف الأنماط التي تُثار بما يكفي لتصبح مرئيةً تبعاً لخصائص النجم الفيزيائية، وكذلك ترددات الأنماط نفسها. يعتمد عددُ التوافقيات الشعاعية المرئية على SNR، ويتراوح عادةً من عددٍ قليل في الحالات الضعيفة SNR إلى \(\approx 10{-}15\) في أفضل الحالات . كما تتضاءل قابليةُ رصد الأنماط مع زيادة \(l\) ، لذا كثيراً ما تُرصَد فقط أنماط \(l=0,1,2\) ونادراً \(l=3\) . ولكل \(l\) يوجد \(2l+1\) نمطاً بترتيبٍ سمتي \(-l \leq m \leq l\) قد تنقسم ترددياً بفعل الدوران . لذا غالباً ما يحتوي نموذج الطيف على عددٍ كبيرٍ من المتغيّرات، ومن المعتاد استخدام تمثيلٍ معلميّ للنموذج.

استُخدِمت عِدّةُ طرقٍ للتمثيل المعلمي في دراسة أطياف القدرة النجمية . في هذا الإصدار من PBjam الهدفُ هو قياس ترددات أنماط \(l=0,\,m=0\) و\(l=2,\,m=0\)، والمميّزة في الشكل [fig:example]. تحمل هذه الأنماط معلوماتٍ مهمّة عبر نطاقٍ واسع من الأنواع الطيفية والمراحل التطورية. لذا فالتمثيلُ المعلمي المستخدم في PBjam مبسّطٌ مقارنةً بدراساتٍ أخرى؛ إذ تُهمل تأثيراتٌ مثل الدوران وعدم تماثُل الأنماط . والأهمّ أنّ أنماط \(l=1\) غيرُ مشمولةٍ حالياً في قياس القمم ضمن PBjam، لأن ملاءمتها آليّاً على امتداد المراحل التطورية تتطلب معالجةً خاصة، خصوصاً في النجوم تحت-العملاقة والعمالقة الحمراء حيث تقترن أنماط الجاذبية الداخلية بأنماط الضغط \(l=1\) فتُنتِج نمطاً مُعقّداً من الترددات المختلطة يجعل حتى التحديد اليدوي صعباً فضلاً عن الآلي . نسعى إلى تضمين معالجة \(l=1\) في الإصدارات القادمة، إذ تحمل معلوماتٍ مهمّة عن الدوران وتساعد في تقييد الأعمار . ومع ذلك لا يمكن لأنماط \(l=0\) أن تقترن بأنماط الجاذبية، ونادراً ما يُشاهَد اقترانٌ قوي بين أنماط \(l=2\) الضغطية والجاذبية (Mosser وآخرون 2020، قيد الإعداد)، لذا تظهر أزواج \(l=0,2\) بنمطٍ شبه منتظم عند فاصلٍ يُسمّى الفاصل الترددي الكبير \(\Delta\nu\). وهذا يُيسِّر تحديدها آليّاً، كما أن استخدام ترددات هذه الأنماط وحدها يكفي لتحديد كتلة النجم ونصف قطره بدقةٍ من رتبة عدّة بالمئة وتقدير عمره ضمن \(\sim 10{-}20\%\) . يوضح الشكل [fig:example] طيف KIC4448777 حيث تُبرز أزواج \(l=0,2\). ويتبدّى النمط المتكرر بوضوح عند عرض ترددات الأنماط مع باقي القسمة على الفاصل الكبير؛ إذ تصطفّ أنماط \(l=0\) و\(l=2\) كأعرافٍ متوازية، بينما قد تنزاح بعض أنماط \(l=1\) بفعل الاقتران مع موجات الجاذبية الداخلية.

يُحدِّد اختيارُ نموذج الطيف مع تحديد الأنماط مجموعةَ معلمات الملاءمة \(\boldsymbol{\theta}\)، ولإيجاد النموذج الأمثل نرسم توزيع الاحتمال الخلفي \[ P(\boldsymbol{\theta}|D)\propto P(D|\boldsymbol{\theta})P(\boldsymbol{\theta}), \label{eq:posterior} \] حيث \(P(\boldsymbol{\theta})\) هو القيد السابق على المعلمات بناءً على المعرفة السابقة، و\(P(D|\boldsymbol{\theta})\) هو احتمال رصد البيانات \(D\) بالنظر إلى النموذج. بعبارةٍ غير رسمية: \(P(\boldsymbol{\theta})\) يمثّل ما نعرفه مسبقاً عن ترددات الأنماط، و\(P(D|\boldsymbol{\theta})\) يمثّل ما يخبرنا به طيف القدرة (أو أيّ رصدٍ آخر) عنها. أمّا الاحتمال الخلفي \(P(\boldsymbol{\theta}|D)\) فهو ما نهتمّ به في النهاية: مزيج معرفتنا السابقة والجديدة.

الصفوف (Classes) الأساسيّة في PBjam

الوظيفة الرئيسة في PBjam هي تحديد الأنماط وملاءمة النموذج، وتتكوّن حالياً من ثلاث صفوفٍ مترابطة: KDE وAsy_peakbag لتحديد الأنماط وترميز المعرفة السابقة عنها، وPeakbag الذي يُجري الملاءمة النهائية للنموذج مع أقل تأثيرٍ ممكن للمعرفة السابقة. عند تزويدها بالمدخلات الأساسية الموضّحة في الجدول 1 تُشغَّل هذه الصفوف بالتسلسل لإنتاج تقديرٍ لترددات الأنماط في الطيف. يمكن تنفيذ الخطوات الثلاث آليّاً بواسطة PBjam، كما يمكن تنفيذ كلٍّ منها على حدة عند الحاجة. يوضّح الشكل 1 العملية الآلية، وتفصيلها يأتي في الأقسام التالية. وتُلخَّص مخرجات كل خطوة في الشكل [fig:pbjamjoint].

KDE - ترميز المعرفة السابقة

يناقش هذا القسم تفاصيل KDE. تتمثّل وظيفتاه الرئيسيتان في بناء دالةٍ تقرِّب معرفتنا السابقة، وتوفير تخميناتٍ أولية لمعلمات الملاءمة المستخدمة في الخطوة التالية Asy_peakbag (انظر القسم 3.2). لذا فالمعلمات \(\boldsymbol{\theta}\) التي يحدَّد لها KDE معرفةٌ سابقة تعتمد على مدخلات Asy_peakbag (انظر الجدول 1). ومع ذلك، يمكن تطبيق المنهجيّة على تمثيلاتٍ معلمية متنوّعة لنموذج الطيف، لذا نبقي الترميز هنا عاماً.

استخدام تقدير كثافة النواة معرفةً سابقة

الجزء الأول من KDE هو بناء دالة معرفةٍ سابقة تُرمِّز فهمنا لسلوك ترددات الأنماط عبر مراحل التطوّر النجمي المختلفة.

يُنجَز ذلك بحساب تقدير كثافة نواة متعدّد المتغيّرات (KDE) لـ\(\boldsymbol{\theta}\) استناداً إلى ملاءماتٍ لأهداف مرصودة سابقاً من Kepler⁶. تظهر هذه العيّنة في الشكل [fig:kdecorner] لجزءٍ من المعلمات المستخدمة في Asy_peakbag. إذا غطّت العيّنة السابقة النطاق الفيزيائي الممكن في فضاء المعلمات فإن KDE الناتج يلتقط التغاير بين معلمات الملاءمة المختلفة. وبهذا تنتج دالةٌ مستمرّة تقرِّب المعرفة السابقة \(P(\boldsymbol{\theta})\).

بناءُ KDE هو في جوهره مسألةُ تنعيمٍ للبيانات. هنا نستخدم KDE متعدّد المتغيّرات مع عرض نطاق (bandwidth) لكل معلمة من معلمات \(\boldsymbol{\theta}\) الخاصة بالعلاقة التقاربية وبعض المعلمات الأخرى (انظر القسم 3.2)، ما يمنح تحكّماً كاملاً بدرجة تنعيم بيانات المعرفة السابقة. ويُبنَى KDE كالتالي: \[ P(\boldsymbol{\theta}) \propto \frac{1}{K}\sum_{i=1}^{K}\textbf{Q}_\textbf{H}(\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\theta}_i), \label{eq:prior} \] حيث \(\boldsymbol{\theta}_i\) هي معلمات أحد النجوم \(K\) المستخدمة لبناء المعرفة السابقة. و\(\textbf{Q}_\textbf{H}\) هي نواة غاوسية متعدّدة المتغيّرات يُحدِّدها مصفوفةُ عرض النطاق \(\textbf{H}\)، ونستخدم هنا تغايراً قطريّاً (kernel من النوع D): \[ \textbf{Q}_\textbf{H}(\boldsymbol{\theta})=(2\pi)^{-\frac{d}{2}}\left|\textbf{H}\right|^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{\theta}^T\textbf{H}^{-1}\boldsymbol{\theta}\right), \] حيث \(d\) هو عدد أبعاد KDE، و\(\textbf{H}\) مصفوفةٌ قطريّة \(d \times d\): \[ \textbf{H}=\mathrm{diag}(q_1^2,\ldots,q_d^2), \] و\(q_i\) عددٌ حقيقي يمثّل عرض النطاق لإحدى معلمات النموذج.

يُحسب KDE باستخدام حزمة بايثون statsmodels⁷ . وتحدِّد هذه الحزمة أيضاً عرض النطاق الأمثل لكل معلمة ملاءمة باستخدام التحقق المتقاطع بالاحتمال الأقصى. يُجرى التحقق المتقاطع على مجموعةٍ فرعية من أقرب \(\sim 100\) جارٍ للنجم الهدف في \(\nu_{\mathrm{max}}\)، تُختار من نطاقٍ يصل إلى \(\pm 20\sigma\) حيث \(\sigma\) هو عدمُ اليقين في \(\nu_{\mathrm{max}}\) المُدخل. ويفضي هذا إلى KDE يتغيّر فيه عرض النطاق عكسياً مع كثافة نقاط البيانات السابقة المحلية تبعاً للنجم الهدف: يقلّ في المناطق المكتظة بالنجوم السابقة ويزداد حيث الشواهد قليلة (أي حيث المعرفة ضعيفة). ويُعاد تحسين عرض النطاق عند كل ملاءمةٍ جديدة، لذلك يُنتظر أن تصبح المعرفة السابقة أكثر إفادةً بازدياد عدد النجوم المرصودة. ومع ذلك يستطيع المستخدم تعديل عرض النطاق، وهو أمرٌ ضروري في المناطق الشحيحة بالسوابق، مثل الترددات المنخفضة \(\nu_{\mathrm{max}}\lesssim 20\,\mu\mathrm{Hz}\).

يُعرَض مثال على التوزيعات الاحتمالية الناتجة لأنماط \(l=0\) التي يُنتجها صف KDE في الإطار العلوي من الشكل [fig:pbjamjoint].

تقدير نقطة البداية الأكثر احتمالاً

الوظيفة الثانية لـKDE هي تقديرُ المنطقة الأكثر احتمالاً في فضاء المعلمات لبدء Asy_peakbag. يتمّ ذلك عبر أخذ عيّناتٍ من \(P(\boldsymbol{\theta}|D)\) الموضّحة في المعادلة [eq:posterior]. تُقرَّب المعرفة السابقة \(P(\boldsymbol{\theta})\) باستخدام KDE كما سبق، وتبقى لدينا دالة الاحتمال \(P(D|\boldsymbol{\theta})\). في هذه المرحلة نستخدم معلمات الإدخال الموضّحة في الجدول 1 بوصفها البياناتَ الرصدية \(D\)، وهي: تردّد القدرة العُظمى لغلاف أنماط الضغط \(\nu_{\mathrm{max}}\)، والفاصل الترددي الكبير \(\Delta\nu\) بين التوافقيات الشعاعية المتتالية، ودرجةُ الحرارة الفعّالة للنجم T_\mathrm{eff}، ومؤشر اللون الفوتومتري من Gaia وهو G_{\mathrm{BP}}-G_{\mathrm{RP}} . تُحسَب دالة الاحتمال كمحصّلة احتمالاتٍ مشتركة لسلسلة توزيعاتٍ طبيعية بهذه المعلمات وعدم يقيناتها، وبذلك يُؤخَذ عدم اليقين في المدخلات بالحسبان عند تقدير نقطة البداية. ولأنّ T_\mathrm{eff} وG_{\mathrm{BP}}-G_{\mathrm{RP}} يحملان معلوماتٍ متقاربة، يكفي تزويد أحدهما؛ فإذا توافَر واحدٌ فقط يفترض PBjam معرفةً سابقةً عريضة وغير مُقيّدة للآخر.

يُؤخذ من الاحتمال الخلفي \(P(\boldsymbol{\theta}|D)\) عيّناتٌ باستخدام خوارزمية MCMC ذات الترميز الأفيني-اللاإبدالي (affine-invariant) من حزمة emcee⁸ . ثم تُمرَّر القيمُ المئوية للتوزيع الخلفي لكل معلمة إلى Asy_peakbag كنقطة بداية في فضاء المعلمات.

Asy_peakbag - تخمينات أوليّة من العلاقة التقاربية

يناقش هذا القسم تفاصيل Asy_peakbag، الذي يملاءم العلاقةَ التقاربية مع الطيف، اعتماداً على مخرجات صف KDE. ويوفّر ذلك بدوره الفواصلَ الترددية الأكثر احتمالاً للمرحلة النهائية من قياس القمم (انظر القسم 3.3).

يُجري Asy_peakbag في جوهره ملاءمةً مقيّدةً جدّاً لأنماط الاهتزاز، ويمكن من حيث المبدأ استخدامُه منفرداً لتقدير ترددات الأنماط. غير أنّ العلاقة التقاربية ليست وصفاً كاملاً لترددات الأنماط؛ فهي لا تلتقط مثلاً التغيّرات التفصيلية المرتبطة بالانقطاعات الصوتية أو الاقتران مع أنماط الجاذبية في أعماق النجم . علاوةً على ذلك ستكون تقديراتُ عدم اليقين في معلمات الملاءمة التقاربية مترابطةً بشدّة. لذا يُفضَّل استخدام Asy_peakbag فقط لتحديد نطاقٍ ترددي موثوق للأنماط الفردية وتعيين درجاتها \(l\) تمهيداً لقياس القمم التفصيلي لاحقاً (مثلاً باستخدام صف Peakbag).

في هذه الحالة يتكوّن نموذج الطيف \(M(\boldsymbol{\theta}, \nu)\) من مجموع دوالّ لورنتزية، واحدةٍ لكل نمطٍ مرئي في الطيف . ولأغراض PBjam نُعامِل أزواج \((n,l=0)\) و\((n-1,l=2)\) كزوجٍ واحد، حيث \(n\) يمثّل التوافقيات الشعاعية المرئية.

يصبح النموذج لـAsy_peakbag كالتالي: \[ M\left(\boldsymbol{\theta},\nu\right)=b+\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{h_{n,0}}{1+\frac{4}{w^2}(\nu-\nu_{n,0})^2} +\frac{h_{n-1,2}}{1+\frac{4}{w^2}(\nu-\nu_{n-1,2})^2}. \label{eq:asymod} \]

نُلاءِم المعادلة [eq:asymod] مع طيف SNR للنجم، مع افتراض الحدّ الثابت \(b=1\). طيف SNR هو طيف القدرة مقسوماً على مستوى الخلفية الضجيجية، والذي يُقرَّب بوسيطٍ متحرّك لطيف القدرة⁹. قد يؤثّر التعاملُ الدقيق مع مستوى الخلفية الناتج عن التَحَبُّب والتغيّرات طويلة الأمد في قياس ترددات الأنماط؛ غير أنّ المنهجية المطبّقة هنا كافية لتعريف نطاقاتٍ تردديّة موثوقة لملاءماتٍ تفصيلية لاحقة.

بدلاً من ملاءمة سلسلة معلماتٍ حرّة لكل نمط في المعادلة [eq:asymod]، نستخدم العلاقة التقاربية لترميز توقّعنا للنمط في النجوم الشبيهة بالشمس. وتُعطى ترددات الأنماط بـ: \[ \begin{array}{ll} \nu_{n,0} & =\left(n+\,\varepsilon+\frac{\alpha}{2}\left(n-n_{\mathrm{max}}\right)^2\right)\Delta\nu\\ \nu_{n-1,2} & =\nu_{n,0}-\delta\nu_{02}, \end{array} \label{eq:asymptotic} \] حيث \(\,\varepsilon\) هو ما يُعرف غالباً بالإزاحة الطورية (أو حدّ الطور)، و\(n_{\mathrm{max}}=\nu_{\mathrm{max}}/\Delta\nu-\,\varepsilon\) . وتمثّل \(\alpha\) مصطلحَ الانحناء من الدرجة الثانية لتغيّر التردد مع \(n\). وتنزاح ترددات أنماط \(l=2\) عن الأنماط الشعاعية بمقدارٍ ثابت \(\delta\nu_{02}\) في الملاءمة.

تُقَرَّب ارتفاعات الأنماط النسبية (من حيث SNR) بغلافٍ غاوسي: \[ \begin{array}{ll} h_{n,0} & = H_{\mathrm{max}}\exp\left(-0.5\left(\nu-\nu_{\mathrm{max}}\right)^2 / W^2_{\mathrm{env}}\right), \\ h_{n-1,2} & = 0.7\,h_{n,0}, \end{array} \] حيث \(W_{\mathrm{env}}\) عرضُ غلاف أنماط الضغط، و\(H_{\mathrm{max}}\) ارتفاعُه عند الذروة. وتُخفَّض ارتفاعاتُ أنماط \(l=2\) إلى \(0.7\) من ارتفاعات \(l=0\) تقريباً لتمثيل تناقص وضوح الأنماط مع زيادة \(l\).

من المعروف أنّ عرض الأنماط اللورنتزية يعتمد على \(T_\mathrm{eff}\) و\(\nu_{\mathrm{max}}\) وتردد النمط . غير أنّ نمذجته بدقّة تتطلّب معلماتٍ إضافية تزيد تعقيد النموذج بلا حاجةٍ هنا؛ لذا نُقرّب عرض الأنماط بقيمةٍ ثابتة \(w\) لجميع الأنماط.

مع Asy_peakbag نقيم أيضاً الاحتمال الخلفي في المعادلة [eq:posterior]، مع إضافة قيودٍ من طيف القدرة نفسه.

أي أنّ لوغاريتم الاحتمال الخلفي يُكتب: \[ \ln{P(\boldsymbol{\theta}|D)}\propto \ln{\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})} + \ln{P(\boldsymbol{\theta})}, \] حيث \(P(\boldsymbol{\theta})\) معطى بالمعادلة [eq:prior]، و\(\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})\) تمثّل القيود الرصدية: \[ \ln{\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})} = \ln{\mathcal{L}_{\mathrm{S}}(\boldsymbol{\theta})} + \ln{\mathcal{L}_{\mathrm{O}}(\boldsymbol{\theta})}. \]

لوغاريتمُ دالة الاحتمال \(\ln{\mathcal{L}_{\mathrm{S}}(\boldsymbol{\theta})}\) هو القيدُ من طيف القدرة. القدرة في كل خانة تردد موزّعةٌ غاما بمعامل شكل \(\alpha=1\) ومعامل مقياس \(\beta=1/M(\boldsymbol{\theta},\nu)\)، ومن ثم: \[ \ln{\mathcal{L}_{\mathrm{S}}\left(\boldsymbol{\theta} \right)} = - \sum\limits_{j=1}^J {\left(\ln M\left( {\boldsymbol{\theta} ,\nu _j } \right) + \frac{{S_j }}{{M\left( {\boldsymbol{\theta} ,\nu _j } \right)}}\right)}, \] حيث \(S_j\) القدرة في خانة التردد \(j\)، و\(J\) هو العدد الكلّي للخانات.

أمّا \(\ln{\mathcal{L}_{\mathrm{O}}(\boldsymbol{\theta})}\) فيجمع القيود من المعلمات الرصدية الإضافية: يستخدم Asy_peakbag أيضاً \(T_\mathrm{eff}\) و\(G_{\mathrm{BP}}-G_{\mathrm{RP}}\) كما في KDE، لكن تُعامَل \(\nu_{\mathrm{max}}\) و\(\Delta\nu\) الآن كمعلمات ملاءمة، يُقيَّدان فقط بالمعرفة السابقة والطيف ذاته، وليس بمدخلات المستخدم، تفادياً لعدّ المعلومات مرّتين (إذ غالباً ما تُستخرَج تلك المدخلات من الطيف الجاري ملاءمته). أمّا القيود من \(T_\mathrm{eff}\) و\(G_{\mathrm{BP}}-G_{\mathrm{RP}}\) فهي مجموع توزيعاتٍ طبيعية بمتوسّطاتٍ وانحرافاتٍ معياريّة تساوي القيمَ المدخلة من المستخدم.

يُبنَى KDE الذي يمثّل المعرفة السابقة \(P(\boldsymbol{\theta})\) من عيّنة مؤلّفة من \(13\,288\) نجماً من Kepler تتراوح من عمالقةٍ حمراء ذات \(\nu_{\mathrm{max}}\approx 30\,\mu\mathrm{Hz}\) إلى نجوم النسق الأساسي عند \(\nu_{\mathrm{max}}\approx 4000\,\mu\mathrm{Hz}\) (انظر الشكل [fig:kdecorner]) والتي مُلاءِمَت سابقاً باستخدام المعادلة [eq:asymod]. هذه العيّنة¹⁰ مُجمّعة من و و و و، مع نيّة الإضافة عند توفّر بياناتٍ جديدة.

لأخذ عيّناتٍ من فضاء المعلمات \(\boldsymbol{\theta}\) يمكن لـPBjam استخدام أيٍّ من حزمتَي emcee أو CPNest¹¹ ، وكِلتا الحزمتين تُنتجان تقديراً لتوزيع الاحتمال الخلفي \(P(\boldsymbol{\theta}|D)\). ثم تُمرَّر التوزيعات الخلفية الهامشية لمعلمات الملاءمة إلى الخطوة التالية Peakbag.

يُعرض مثالٌ لملاءمة العلاقة التقاربية مع طيف KIC4448777 في الإطار الأوسط من الشكل [fig:pbjamjoint].

Peakbag - ملاءمة الأنماط زوجاً بزوج

الجزء الأخير من العملية هو تحريرُ معظم القيود المعلمية المستخدمة في Asy_peakbag، لتقديم تقديرٍ أقلّ تقييداً لترددات الأنماط وعدم يقيناتها. يُتيح ذلك لـPBjam التقاطَ التغيّرات الصغيرة في ترددات الأنماط التي لا تحتسبها العلاقةُ التقاربية.

نبدأ وصف نموذج طيف Peakbag بالنظر إلى أزواج \(l=0,2\) كما في Asy_peakbag باستخدام المعادلة [eq:asymod]. لكنّ نموذج Peakbag يركّز فقط على النطاق الترددي القريب من أزواج \(l=0,2\)، وليس النطاقَ الفاصل بينها الذي تشغله عادةً أنماط \(l=1\)، وذلك لتسريع هذه الخطوة النهائية. في ما يلي تُعامَل أزواج \(l=0,2\) بصورةٍ مستقلّة، وللتبسيط نرمز إلى كل زوجٍ \((n,0),(n,2)\) حيث \(n\) هو رقم الزوج (لا الترتيب الشعاعي). ومن ثمّ لدينا نموذج \(M_n(\nu)\) لكلّ زوجٍ ونطاقٍ صغير حوله (انظر الإطار السفلي من الشكل [fig:pbjamjoint]).

يستخدم Peakbag حزمة PyMC3 لأخذ العينات من التوزيع الاحتمالي الخلفي. وبوصفها لغةَ برمجةٍ احتمالية نعتمد ترميزاً متسقاً للمتغيّرات العشوائية التي تصف معلمات النموذج. تُعطى ترددات الأنماط للزوج \(n\) بـ: \[ \nu_{n,l} \sim \mathcal{N}(\nu^{\mathrm{asy}}_{n,l},\left(0.03\Delta\nu\right)^2) \quad \mathrm{لـ}\quad l=0,2, \label{eq:Nnu} \] أي أنّ \(\nu_{n,0}\) و\(\nu_{n,2}\) موزّعتان طبيعياً بمتوسطٍ يساوي ترددات \(\nu^{\mathrm{asy}}_{n,l}\) من Asy_peakbag وتباينٍ \((0.03\Delta\nu)^2\).

لو حوّلنا المعادلة [eq:Nnu] إلى نموذج PyMC3 وأخذنا عيناتٍ منه لوجدنا توزيعاتٍ خلفيةً طبيعيةً بمتوسّطات تساوي توقّعات Asy_peakbag وانحرافٍ معياري يساوي \(3\%\) من \(\Delta\nu\).

نستخدم النهج نفسه لارتفاعات الأنماط وعروضها، غير أنّ هذه المعلمات موجبة بالضرورة، لذا نستخدم توزيعاتٍ لوغاريتمية-طبيعية لترميز ذلك. ونتّخذ كمتوسّطاتٍ سابقة تقديرات Asy_peakbag، لكن لانحرافاتٍ معيارية نستخدم \(0.4\) عَقْداً (decade) لارتفاعات الأنماط، و\(1\) عَقْد لعُروض الأنماط، بسبب التغيّر الكبير للأخيرة عبر الغلاف وقد تكون أصغر أو أكبر بكثير من المتوسّط المُقدّر بواسطة Asy_peakbag.

ارتفاعات الأنماط: \[ h_{n,l} \sim \log{\mathcal{N}\left(\log{h^{\mathrm{asy}}_{n,l}}, 0.16\right)} \quad \mathrm{لـ}\quad l=0,2.\\ \]

وبالمثل لعُروض الأنماط: \[ w_{n,l} \sim \log{\mathcal{N}\left(\log{w^{\mathrm{asy}}},1.0\right)}\quad \mathrm{لـ}\quad l=0,2 . \]

وتُبنى معرفةٌ سابقة للخلفية \(b_{n}\) بالطريقة نفسها. وبما أنّنا نعمل على طيف SNR ينبغي أن تساوي الخلفية واحداً؛ غير أنّ هذه المقاربة تقلّ دقّتها مع ازدياد SNR للأنماط. وغالباً ما يكون هذا الأثر صغيراً، لكن لإنتاج نتائج أكثر متانة نسمح لحدّ الخلفية لكل زوج أنماط أن يتغيّر مستقلاً ضمن توزيعٍ لوغاريتمي-طبيعي: \[ b_n \sim \log{\mathcal{N}\left(0, 0.16\right)}. \]

الخطوة الأخيرة في بناء نموذج PyMC3 هي إضافةُ القيد من الطيف نفسه. كما في Asy_peakbag نفترض أنّ القدرة في كلّ خانة تردّد مُتّبعة لتوزيع غاما، لكن مع معامل مقياس \(\beta=1/M_n(\nu)\) الذي يحدّد نموذجاً لكل زوج أنماط \(n\). وفي ترميز PyMC3 يُكتب القيد الطيفي: \[ S_n \sim \gamma(1,1/M_{n}(\nu)). \]

بهذا يكتمل نموذج PyMC3، ونستخدم خوارزمية NUTS لأخذ العينات من التوزيع الخلفي. يُعرَض مثال على النماذج المأخوذة بواسطة Peakbag في الإطار السفلي من الشكل [fig:pbjamjoint]. وتكون المخرجات على هيئة إحصاءاتٍ مُلخّصة لكل توزيعٍ خلفي للمعلمات. وكدليلٍ للمستخدم نُقدِّم مقياساً هو نسبةُ عرض المعرفة السابقة (المعادلة [eq:Nnu]) إلى عرض التوزيع الخلفي لترددات الأنماط: فإذا كانت النسبة \(\sim 1\) كان الاستدلال محكوماً أساساً بالمعرفة السابقة، وإذا كانت \(>1\) كان للطيف الإسهامُ الأكبر. الحالةُ الأولى شائعةٌ للأنماط منخفضة SNR، والثانية للأنماط العالية SNR. لا يقوم PBjam باختيارٍ آليٍّ بناءً على هذا المقياس، لكن نقترح أنّ الأنماط ذات نسبةٍ تزيد على \(\approx 2\) قد تكون مناسبةً للاعتماد على المعلومات الطيفية. ومع ذلك، حتى عندما يَغلِب أثرُ المعرفة السابقة يمكن استخدام تردد النمط الناتج قيداً على نماذج النجوم، إذ يعكس حينها تقديراً مستمداً من العلاقة التقاربية (المعادلة [eq:asymptotic]) لكن مع عدم يقينٍ أكبر ممّا لو أسهم الطيف أيضاً في الاستدلال.

الخلاصة

الإصدارُ الحالي من PBjam مناسبٌ لقياس ترددات أنماط \(l=0\) و\(l=2\) لنجوم النسق الأساسي حتى العمالقة الحمراء. ويتم ذلك باستخدام النمط المتوقع لترددات الأنماط كما تقدّمه العلاقة التقاربية، وبالاستفادة من وفرة بيانات الزلازل النجمية من مهمّاتٍ فضائية مثل Kepler. وباستثناء تزويد بعض معلمات الإدخال، تُقاس ترددات الأنماط آليّاً بالكامل، ما يُتيح لغير المتخصّصين الحصولَ على قيودٍ زلزالية في مجموعةٍ واسعة من المسائل المتعلقة بالنجوم الشبيهة بالشمس.

تضمّ عيّنةُ الأهداف السابقة المستخدمة في PBjam \(13\,288\) نجماً من Kepler. وكما يظهر في الشكل [fig:kdecorner]، تغلب العمالقةُ الحمراء على هذه العيّنة حالياً مع قلّةٍ من نجوم النسق الأساسي، وذلك بسبب القيود التقنية في Kepler التي حدّت من عدد الأهداف المرصودة بفاصلٍ زمنيّ قصير. ولأنّ ترددات اهتزاز نجوم النسق الأساسي عادةً \(\gtrsim 1000\,\mu\mathrm{Hz}\) لم تُكتشف الاهتزازات إلا في بضع مئاتٍ من هذه النجوم. هدفُنا تحديثُ العيّنة باستمرار مع توفّر بياناتٍ جديدة، ومن المنتظر أن تُسهم TESS بشكلٍ كبير بفضل تغطيتها شبه الكاملة للسماء ووفرة نجوم تحت-العملاقة والنسق الأساسي الساطعة.

القيد الرئيس في الإصدار الحالي من PBjam هو عدمُ إدراج أنماط \(l=1\). ورغم أنّ أزواج \(l=0,2\) وحدها كافية لتقييد نماذج النجوم بدقّةٍ من رتبة بضعة بالمئة في الكتلة ونصف القطر، و\(10{-}20\%\) في العمر، فإن ترددات \(l=1\) توفّر قيوداً أشدّ إحكاماً. إنّ الاقتران بين أنماط الضغط \(l=1\) والاهتزازات المُسيطَر عليها بالجاذبية الداخلية وتغيّر ذلك مع تطوّر النجم هو المشكلة الرئيسة في ملاءمتها آليّاً. وقد حاولت أعمالٌ سابقة مثل و و معالجةَ هذه المشكلة آليّاً. وغالباً ما تستخدم هذه الطرق اختباراتِ دلالةٍ نمطاً بنمطٍ للقمم في الطيف، تعقبها مقارنةٌ مع العلاقة التقاربية لتحديد أزواج \(l=0,2\) ثم أنماط \(l=1\).

يهدف PBjam إلى بناء نموذجٍ توليدي يستثمر المعلومات من كامل غلاف أنماط الضغط دفعةً واحدة، ويتدرّج بسلاسة من النسق الأساسي حتى فرع العمالقة الحمراء. وقد تحقق ذلك إلى حدٍّ بعيد لأزواج \(l=0,2\) في الإصدار الحالي عبر تحديد نطاقٍ ترددي مبدئي من العلاقة التقاربية، ثم تحرير هذه القيود لاحقاً. غير أنّ تطبيق هذا النهج على أنماط \(l=1\) يستلزم معرفةً دقيقة بالنمط المتوقع. ورغم أنّ ذلك يسيرٌ نسبياً في نجوم النسق الأساسي، وإلى حدٍّ ما في العمالقة الحمراء ، إلّا أنّه أقلّ يسراً في النجوم تحت-العملاقة؛ ففي هذه النجوم قد تؤثر أخطاءٌ صغيرة في قياس القمم \(l=1\) كثيراً في المعلمات النجمية الناتجة . إنّ توسيع ترميز المعرفة السابقة على غرار ما في PBjam ليشمل الأساليب المذكورة أعلاه يمثّل حلاً ممكناً، ونترك هذا للتحقيق في الإصدار القادم من PBjam.

يشكر المؤلفون الجهاتَ الداعمة: يَشكر MBN وWHB وWJC وكالةَ الفضاء البريطانية. ويَشكر GRD وOJH وWJC مجلسَ مرافق العلوم والتكنولوجيا البريطاني (STFC). ويَشكر EC دعمَ اتفاقية PLATO ASI-INAF رقم 2015-019-R.1-2018 ودعمَ برنامج Horizon 2020 التابع للاتحاد الأوروبي بموجب منحة Marie Sklodowska-Curie رقم 664931. ويَشكر P. Gaulme تمويلَ مركز الفضاء الألماني (DLR) بموجب منحة مركز بيانات PLATO رقم 50OO1501. ويَشكر JO دعمَ منحة TESS GI رقم G022092. ويَشكر RAG دعمَ منح GOLF وPLATO/CNES. وقد تلقّى هذا البحث تمويلاً من المجلس الأوروبي للبحوث (ERC) بموجب برنامج Horizon 2020 للاتحاد الأوروبي (CartographY GA. 804752). ويَشكر المؤلفون استخدامَ خدمة BlueBEAR HPC في جامعة برمنغهام. وتمويلُ مركز الفيزياء الفلكية النجمية مُقدَّم من مؤسسة الأبحاث الوطنية الدنماركية (اتفاقية المنحة رقم: DNRF106). ويتضمّن هذا البحث بياناتٍ جمعتها مهمة Kepler وحُصِل عليها من أرشيف بيانات MAST في معهد علوم تلسكوب الفضاء (STScI). وتمويلُ مهمة Kepler مُقدَّم من مديرية العلوم في ناسا. ويدير STScI اتحادَ الجامعات لأبحاث الفلك بموجب عقد ناسا NAS 5–26555. كما استخدم هذا العمل بياناتٍ من مهمة Gaia التابعة لوكالة الفضاء الأوروبية (https://www.cosmos.esa.int/gaia)، والتي عالجها اتحادُ معالجة وتحليل بيانات Gaia (DPAC، https://www.cosmos.esa.int/web/gaia/dpac/consortium). وتمويلُ DPAC مُقدَّم من مؤسساتٍ وطنية، ولا سيّما المؤسسات المشاركة في اتفاقية Gaia متعددة الأطراف.