ظواهر هيغز في نموذج الحقلين المفردين

أمين أحرش

عبد السلام أحرِب

صلاح نصري

مقدمة

أنهى مصادم الهادرونات الكبير (LHC) في سيرن مؤخرًا بنجاح المرحلة الأولى من تشغيله بطاقة 7 و8 تيرا إلكترون فولت. وقد أعلنت تجربتا ATLAS وCMS في LHC في يوليو الماضي عن اكتشاف جسيم شبيه بهيغز بكتلة في النطاق 125-126 GeV . وقد أبلغت كل من ATLAS وCMS عن وجود زيادة واضحة في قناة الفوتونين وقناة \(ZZ^{\ast}\) . كما تم تأكيد الاكتشاف، ولكن بأهمية أقل، في قنوات أخرى مثل \(WW^{\ast}\) التي تتميز بدقة كتلية أقل، وكذلك من خلال النتائج النهائية لتيفاترون التي أبلغت عنها تجارب CDF وD0 .

تشير عملية استخراج اقترانات الجسيم الشبيه بهيغز مع بوزونات القياس والفرميونات حتى الآن من بيانات \(7 \oplus8\) تيرا إلكترون فولت إلى أن هذا الجسيم يبدو أكثر فأكثر كجسيم هيغز في النموذج القياسي ، مع الحاجة إلى المزيد من البيانات لتحديد الطبيعة الدقيقة للجسيم المكتشف حديثًا.

على الرغم من أن بيانات ATLAS وCMS لا تظهر انحرافًا كبيرًا في الإشارة عن تنبؤات النموذج القياسي، إلا أن قناة الفوتونين في ATLAS تظهر بعض التعزيز الطفيف. قوة الإشارة الكلية للفوتونين تبلغ حوالي \(1.55_{-0.28}^{+0.33}\)، وهو ما يعادل انحرافًا بمقدار 2 \(\sigma\) عن تنبؤ النموذج القياسي ، بينما القنوات الأخرى متوافقة مع النموذج القياسي. أما في CMS، فإن التحليل الجديد لقناة الفوتونين باستخدام التحليل متعدد المتغيرات يعطي \(0.77\pm0.27\)، وهو متوافق مع النموذج القياسي. وقد تم اقتراح العديد من النماذج خارج النموذج القياسي لتفسير زيادة الفوتونين، لكن الخلاف الحالي بين ATLAS وCMS لا يسمح باستخلاص استنتاجات حاسمة.

وبما أن الجسيم الشبيه بهيغز يتحلل إلى فوتونين، فلا يمكن أن يكون جسيمًا ذا لف مغزلي واحد بسبب مبرهنة لاندو-يانغ، بل هو إما لف مغزلي صفر أو اثنان. مؤخرًا، تمت دراسة اللف المغزلي والتكافؤ للجسيم الشبيه بهيغز من خلال التوزيع الزاوي للفوتونين وقنوات \(ZZ^{\ast}\) و\(WW^{\ast}\) في ATLAS وCMS. وقد استبعدت كلتا التجربتين فرضية الجسيم الكاذب النقي \(J^{P}=0^{-}\)، وكذلك فرضية اللف المغزلي 2 النقي. بالإضافة إلى ذلك، تم استبعاد فرضية اللف المغزلي 1 بثقة أعلى.

لذا، فإن المرحلة الأولى من تشغيل LHC ليست سوى بداية برنامج قياس دقيق يبدأ ببيانات \(7\oplus8\) تيرا إلكترون فولت وسيكتمل بالمرحلة الثانية من LHC عند 13-14 تيرا إلكترون فولت وكذلك من خلال المصادم الخطي الدولي (ILC). من المعروف أن برامج القياس الدقيق في ILC وLHC مكملة لبعضها البعض . مثل هذه القياسات، إذا كانت دقيقة بما فيه الكفاية، يمكن أن تساعد أيضًا في التمييز بين النماذج من خلال حساسيتها لتأثيرات التصحيحات الإشعاعية، خاصة في حالات محددة مثل حد الانفصال. من المعروف أن العديد من امتدادات النموذج القياسي مثل نماذج SUSY أو نماذج قطاع هيغز الموسع تمتلك مثل هذا الحد حيث يقلد بوزون هيغز الخفيف تمامًا هيغز النموذج القياسي.

لقد أدى اكتشاف ATLAS وCMS إلى فرض العديد من القيود الظواهرية على القطاع السلمي في مثل هذه الامتدادات لقطاع هيغز النموذج القياسي مع مزدوجات إضافية، أو قطاع هيغز مع مزدوجة ومفردات، أو قطاع هيغز مع مزدوجة وثلاثيات، إلخ... حقيقة أن اقترانات الجسيم الشبيه بهيغز مع بوزونات القياس والفرميونات متوافقة مع تنبؤات النموذج القياسي؛ يمكن أن تفرض قيودًا صارمة على جميع الامتدادات خارج النموذج القياسي التي تحاول استيعاب مثل هذا الجسيم.

يهدف هذا البحث إلى دراسة ظواهر قطاع هيغز في النموذج القياسي الموسع بحقلين حقيقيين عديمي اللف المغزلي ومتماثلين تحت \(\mathbb{Z}_{2}\)، واللذان يمكن أن يفسرا المادة المظلمة (DM) . يحتوي النموذج على ثلاثة جسيمات سلمية حتى CP، اثنان منها \(h_{1,2}\) هما مزيج من مزدوجة \(SU(2)_{L}\) ومفردة، بينما يبقى المفرد الفردي تحت \(\mathbb{Z}_{2}\) \(S_{0}\) غير مختلط، ويمكن أن يلعب دور مرشح المادة المظلمة. ومع ذلك، يمكن لكل من \(h_{1}\) و\(h_{2}\) أن يتحللا إلى زوج من \(S_{0}\) إذا كان ذلك مسموحًا حركيًا، مما يساهم في التحلل غير المرئي لـ\(h_{1}\) أو \(h_{2}\)، وقد يعدل خصائص الجسيم الشبيه بهيغز \(h_{1}\) أو \(h_{2}\). بالإضافة إلى ذلك، فإن إفناء \(S_{0}\) إلى جسيمات النموذج القياسي يوفر كثافة بقايا حرارية، وتبعثر \(S_{0}\) على النيوكليونات يؤدي إلى إشارات كشف مباشر.

في ضوء الاكتشاف الأخير لجسيم شبيه بهيغز بكتلة 125 GeV ، نبحث في إطار نموذج الحقلين المفردين إمكانية أن يكون أحد الجسيمات السلمية \(h_{1}\) أو \(h_{2}\) هو الجسيم الذي رصدته ATLAS وCMS. لذلك، نعتبر حالتين حيث تقع إحدى الكتل الذاتية \(m_{1}\) أو \(m_{2}\) في النطاق 123.5-127.5 GeV المسموح به تجريبيًا، مع اقتراناتها مع فرميونات وبوزونات النموذج القياسي قريبة من الحالة القياسية، أي \(\frac{g_{h_{i}f\bar{f}}^{2}}{g_{hf\bar{f}}^{2(SM)}} = \frac{g_{h_{i}VV}^{2}}{g_{hVV}^{2(SM)}} \geq 0.9\). بعد ذلك، سنبحث في ظواهر هيغز غير القياسي في كلتا الحالتين.

تنظيم هذا البحث كالتالي: نقدم أولاً نموذج الحقلين المفردين وقيوده النظرية في القسم الثاني. نبحث المادة المظلمة وقيود الكشف المباشر عليها في القسم الثالث. القسم الرابع مخصص لمختلف اقترانات هيغز الثلاثية الذاتية الموجودة في هذا النموذج مع التركيز على اقتران هيغز الثلاثي الشبيه بالنموذج القياسي. نناقش بعض الجوانب الظواهرية للنموذج مثل تحللات هيغز وإنتاج هيغز المزدوج في القسم الخامس ونقدم الاستنتاج في القسم السادس. في الملاحق، نقدم اقترانات الحقول السلمية التكعيبية والرباعية على مستوى الشجرة ونوضح تفاصيل حساب اقترانات هيغز الثلاثية الفعالة من الجهد الفعال.

نموذج الحقلين المفردين

في هذا النموذج، نوسع النموذج القياسي بحقلين سلميين حقيقيين \(S_{0}\) و\(\chi_{1}\)، يتحولان تحت التناظر المنفصل \(\mathbb{Z}_{2}^{(0)}\otimes\mathbb{Z}_{2}^{(1)}\) كما يلي:

\[ \begin{array}{ccc} \mathbb{Z}_{2}^{(0)}: & & (S_{0},\chi_{1})\rightarrow(-S_{0},\chi_{1})\\ \mathbb{Z}_{2}^{(1)}: & & (S_{0},\chi_{1})\rightarrow(S_{0},-\chi_{1}) \end{array} \]

الحقل \(\chi_{1}\) يمتلك قيمة توقع فراغي غير صفرية، مما يكسر تناظر \(\mathbb{Z}_{2}^{(1)}\) تلقائيًا، بينما \(\langle S_{0}\rangle = 0\)، وبالتالي \(S_{0}\) مرشح للمادة المظلمة. كلا الحقلين مفردان تحت تناظر النموذج القياسي، وبالتالي يتفاعلان مع الجسيمات "المرئية" فقط عبر مزدوجة هيغز \(H\). جزء لاغرانجيان الذي يشمل الحقول \(S_{0}\)، \(H\)، و\(\chi_{1}\) يُكتب كما يلي:

\[ \mathcal{L} = (D_{\mu}H)^{\dagger} D^{\mu} H + \frac{1}{2} (\partial_{\mu} S_{0})^2 + \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \chi_{1})^2 - V(H, \chi_{1}, S_{0}), \]

حيث

\[ \begin{aligned} H^{T} &= \left( h^{+},~\frac{\upsilon + \widetilde{h} + i\chi_{0}}{\sqrt{2}} \right), \quad D_{\mu} H = \left( \partial_{\mu} - i \frac{g_{2}}{2} \sigma^{a} W_{\mu}^{a} - i \frac{g_{1}}{2} B_{\mu} \right) H, \\ \chi_{1} &= \upsilon_{1} + \widetilde{\chi}_{1}, \end{aligned} \]

حيث \(\sigma^{a}\) هي مصفوفات باولي، و\(W_{\mu}^{a}\) (\(B_{\mu}\)) و\(g_{2}\) (\(g_{1}\)) هي حقول واقترانات تناظر \(SU(2)_{L}\) (\(U(1)_{Y}\)) على التوالي. الجهد السلمي على مستوى الشجرة الذي يحترم تناظرات \(\mathbb{Z}_{2}\) يُعطى بـ

\[ \begin{aligned} V(H, \chi_{1}, S_{0}) = & -\mu^{2} H^{\dagger} H + \frac{\lambda}{6} (H^{\dagger} H)^2 + \frac{\widetilde{m}_{0}^{2}}{2} S_{0}^{2} - \frac{\mu_{1}^{2}}{2} \chi_{1}^{2} + \frac{\eta_{0}}{24} S_{0}^{4} + \frac{\eta_{1}}{24} \chi_{1}^{4} \\ & + \frac{\lambda_{0}}{2} S_{0}^{2} H^{\dagger} H + \frac{\lambda_{1}}{2} \chi_{1}^{2} H^{\dagger} H + \frac{\eta_{01}}{4} S_{0}^{2} \chi_{1}^{2} \end{aligned} \]

يمكن حذف المعاملين \(\mu^{2}\) و\(\mu_{1}^{2}\) من الجهد بفرض أن (\(\upsilon,\upsilon_{1}\)) هو الحد الأدنى المطلق كما يلي:

\[ \begin{aligned} \mu^{2} &= \frac{\lambda \upsilon^{2}}{6} + \frac{\lambda_{1} \upsilon_{1}^{2}}{2} + \frac{1}{\upsilon} \left. \frac{\partial}{\partial \tilde{h}} V^{1-l} \right|_{\tilde{h} = \upsilon, \chi_{1} = \upsilon_{1}, S_{0} = 0} \\ \mu_{1}^{2} &= \frac{\eta_{1} \upsilon_{1}^{2}}{6} + \frac{\lambda_{1} \upsilon^{2}}{2} + \frac{1}{\upsilon_{1}} \left. \frac{\partial}{\partial \chi_{1}} V^{1-l} \right|_{\tilde{h} = \upsilon, \chi_{1} = \upsilon_{1}, S_{0} = 0} \end{aligned} \]

حيث \(V^{1-l}\) هو تصحيح الحلقة الواحدة للجهد السلمي. بينما يجب تحقيق الشرط

\[ \widetilde{m}_{0}^{2} + \frac{\lambda_{0} \upsilon^{2}}{2} + \frac{\eta_{01} \upsilon_{1}^{2}}{2} + \left. \frac{1}{S_{0}} \frac{\partial}{\partial S_{0}} V^{1-l} \right|_{\tilde{h} = \upsilon, \chi_{1} = \upsilon_{1}, S_{0} = 0} > 0 \]

حتى لا يطور الجهد قيمة توقع فراغي في اتجاه \(S_{0}\). في الواقع، الشروط السابقة ليست كافية لضمان أن الفراغ هو (\(\upsilon,\upsilon_{1}\))؛ بل يجب أن يكون محدد اليعقوبي موجبًا، أي أن القيم الذاتية لمصفوفة الكتلة-تربيع موجبة. بالإضافة إلى ذلك، نفرض شرط استقرار الفراغ:

\[ \lambda \eta_{0} \eta_{1} - 9 \eta_{0} \lambda_{1}^{2} - 9 \lambda \eta_{01}^{2} - 9 \eta_{1} \lambda_{0}^{2} + 54 \lambda_{0} \lambda_{1} \eta_{01} > 0 \]

حيث يجب أن تكون \(\lambda\)، \(\eta_{1}\) و\(\eta_{0}\) موجبة تمامًا، بينما يمكن أن تأخذ \(\lambda_{0}\)، \(\lambda_{1}\) و\(\eta_{01}\) قيمًا سالبة ضمن الشرط أعلاه. علاوة على ذلك، يجب أن تبقى جميع هذه المعاملات في النطاق الاضطرابي.

يكسر الكسر التلقائي لتناظري الكتروضعيف و\(\mathbb{Z}_{2}\) قيمتي التوقع الفراغي \(\upsilon\) و\(\upsilon_{1}\) على التوالي. قيمة \(\upsilon\) مثبتة تجريبيًا عند 246 GeV من كتلة بوزون W، ويحتوي النموذج على عشرة معاملات. تسمح شروط تصغير الجهد الفعال بحذف \(\mu^{2}\) و\(\mu_{1}^{2}\) لصالح \((\upsilon,\upsilon_{1})\). إذًا، يتبقى لدينا ثمانية معاملات: \(\lambda\)، \(\lambda_{0}\)، \(\lambda_{1}\)، \(\eta_{0}\)، \(\eta_{1}\)، \(\eta_{01}\)، \(\upsilon_{1}\) و\(m_{0}\). ومع ذلك، فإن ثابت اقتران المادة المظلمة الذاتي \(\eta_{0}\) لا يدخل في حسابات العمليات من الرتبة الدنيا في هذا العمل، لذا فعليًا يتبقى لدينا سبعة معاملات إدخال.

الجسيمات السلمية الفيزيائية \(h_{1}\) و\(h_{2}\)، بكتل \(m_{1}\) و\(m_{2}\) (مع \(m_{1})، ترتبط بإثارة المكون المعتدل من مزدوجة هيغز النموذج القياسي، Re\((H^{(0)})=(\upsilon+{\widetilde{h}})/\sqrt{2}\)، والحقل \(\chi_{1}=\widetilde{\chi}_{1}+\upsilon_{1}\) من خلال زاوية خلط \(\theta\). الحقول \(\widetilde{h}\) و\(\widetilde{\chi}_{1}\) ليست هي الحقول المتفاعلة بل مكونات من الحالات الذاتية \(h_{1}\) و\(h_{2}\) التي يتم الحصول عليها بعد كسر التناظرين الكتروضعيف و\(\mathbb{Z}_{2}\) تلقائيًا. إذًا، تفاعلات مرشح المادة المظلمة مع القطاع السلمي ذات الصلة بكثافة البقايا ليست كما في الجهد الأصلي، بل تتعدل كما يلي:

\[ \begin{pmatrix} h_{1} \\ h_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \widetilde{h} \\ \widetilde{\chi}_{1} \end{pmatrix} \]

كما هو موضح في الجهد بعد كسر التناظر. في عملنا، يتم تقدير كتل الجسيمات السلمية حتى CP وزاوية الخلط عند مستوى الحلقة الواحدة. هنا تتعدل التفاعلات الرباعية وتظهر تفاعلات تكعيبية جديدة . اقترانات \(h_{1}\) و\(h_{2}\) مع الفرميونات وحقول القياس هي مجرد إسقاطات لاقترانات المزدوجة باستخدام مصفوفة الخلط أعلاه. الجهد السلمي بعد كسر التناظر الكتروضعيف يُعطى بدلالة الحالات الذاتية السلمية كما يلي:

\[ \begin{aligned} V(h_{1}, h_{2}, S_{0}) = & \frac{m_{0}^{2}}{2} S_{0}^{2} + \frac{m_{1}^{2}}{2} h_{1}^{2} + \frac{m_{2}^{2}}{2} h_{2}^{2} \\ & + \frac{\lambda_{001}^{(3)}}{2} S_{0}^{2} h_{1} + \frac{\lambda_{002}^{(3)}}{2} S_{0}^{2} h_{2} + \frac{\lambda_{111}^{(3)}}{6} h_{1}^{3} + \frac{\lambda_{222}^{(3)}}{6} h_{2}^{3} + \frac{\lambda_{112}^{(3)}}{2} h_{1}^{2} h_{2} + \frac{\lambda_{122}^{(3)}}{2} h_{1} h_{2}^{2} \\ & + \frac{\eta_{0}}{24} S_{0}^{4} + \frac{\lambda_{1111}^{(4)}}{24} h_{1}^{4} + \frac{\lambda_{2222}^{(4)}}{24} h_{2}^{4} + \frac{\lambda_{0011}^{(4)}}{4} S_{0}^{2} h_{1}^{2} + \frac{\lambda_{0022}^{(4)}}{4} S_{0}^{2} h_{2}^{2} + \frac{\lambda_{0012}^{(4)}}{2} S_{0}^{2} h_{1} h_{2} \\ & + \frac{\lambda_{1112}^{(4)}}{6} h_{1}^{3} h_{2} + \frac{\lambda_{1122}^{(4)}}{4} h_{1}^{2} h_{2}^{2} + \frac{\lambda_{1222}^{(4)}}{6} h_{1} h_{2}^{3} \end{aligned} \]

حيث تُعطى اقترانات التكعيب والرباعية في الملحق أ. في تحليلنا نفرض ما يلي:

في عملنا، نأخذ القيم التالية للمعاملات الحرة:

\[ \begin{aligned} & \lambda, \eta_{0}, \eta_{1}, |\lambda_{0}|, |\lambda_{1}|, |\eta_{01}| < 3 \\ & 20 < \frac{\upsilon_{1}}{\mathrm{GeV}} < 2000, \quad 1 < \frac{m_{0}}{\mathrm{GeV}} < 1000 \end{aligned} \]

ونختار عشوائيًا مع الأخذ في الاعتبار أن كثافة البقايا تقع في النطاق الفيزيائي وأنها لا تتعارض مع تجارب الكشف المباشر للمادة المظلمة. أيضًا، تقع كتلة أحد الجسيمات السلمية حتى CP حول 123.5-127.5 \(\mathrm{GeV}\)، مع اقترانات مع فرميونات وبوزونات النموذج القياسي مشابهة للحالة القياسية بأكثر من \(\epsilon \gtrsim 90\%\)، حيث \(\epsilon\) هي \(\cos^{2}\theta\) أو \(\sin^{2}\theta\) حسب ما إذا كان \(h_{1}\) أو \(h_{2}\) هو هيغز الشبيه بالنموذج القياسي.

للتوضيح العددي، نعرف السيناريوهين التاليين: A وB حيث يكون هيغز الشبيه بالنموذج القياسي هو \(h_{1}\) و\(h_{2}\) على التوالي. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن تكون قناة التحلل غير المرئي في الحالة A \(h_{1} \rightarrow 2DM\) مفتوحة حتى 20%، بينما يجب ألا تتجاوز كل من \(h_{2} \rightarrow 2DM\) و\(h_{2} \rightarrow h_{1} h_{1}\) معًا 20% في الحالة B. في الواقع، ينشأ القيد السابق على التحلل غير المرئي من تحليل التوافق العالمي لبيانات ATLAS وCMS . عند اشتقاق هذا الحد في تحليل عالمي، يُفترض أن بوزون هيغز له اقترانات مماثلة مع الفرميونات وبوزونات القياس كما في النموذج القياسي مع قنوات تحلل غير مرئية إضافية. على سبيل المثال، إذا تم اعتبار اقتران هيغز مع الغلوونات أو الفوتونات أو الفرميونات، فإن اقترانات هيغز مع بوزونات القياس تتعدل، وبالتالي يمكن تجاوز الحد أعلاه . لذلك، نأخذ في عملنا الخيار المحافظ \(B(h \rightarrow invisible) \leq 20\%\). مؤخرًا، بحثت كل من ATLAS وCMS عن تحلل هيغز غير المرئي. بافتراض مقطع إنتاج هيغز-سترالونغ القياسي لعملية \(pp \rightarrow ZH\) مع بوزون هيغز بكتلة 125 GeV، تستبعد ATLAS بنسبة ثقة 95% جزء تحلل غير مرئي أكبر من 65%، وCMS تحصل على نتيجة مماثلة . كما بحثت CMS عن تحلل هيغز غير المرئي عبر عملية اندماج بوزونات القياس واستبعدت جزء تحلل غير مرئي أكبر من 69% . عند دمج بيانات \(pp \rightarrow ZH\) وVBF يصبح الحد 54% .

في عمليات المسح العددية، نأخذ القيم التي:

المادة المظلمة والكشف عنها

في إطار الديناميكا الحرارية للكون ضمن النموذج الكوني القياسي ، ترتبط كثافة بقايا WIMP بمعدل إفنائها بالعلاقة المعروفة:

\[ \Omega_{D} \bar{h}^{2} = \frac{1.07 \times 10^{9} x_{f}}{\sqrt{g_{*}} m_{Pl} \langle v_{12} \sigma_{ann} \rangle~\mathrm{GeV}} \]

حيث

\[ x_{f} = \ln \left( \frac{0.038~m_{Pl} m_{0} \langle v_{12} \sigma_{ann} \rangle}{\sqrt{g_{*} x_{f}}} \right) \]

الرموز كالتالي: \(\bar{h}\) هو ثابت هابل بوحدة 100 \(\mathrm{كم}\cdot \mathrm{ث}^{-1}\cdot \mathrm{ميغابارسك}^{-1}\)، \(m_{Pl} = 1.22 \times 10^{19}\) GeV هو كتلة بلانك، \(m_{0}\) كتلة المادة المظلمة، \(x_{f} = m_{0}/T_{f}\) نسبة كتلة المادة المظلمة إلى درجة حرارة التجميد \(T_{f}\)، و\(g_{*}\) عدد درجات الحرية النسبية ذات الكتلة الأقل من \(T_{f}\). الكمية \(\langle v_{12} \sigma_{ann} \rangle\) هي متوسط مقطع الإفناء الحراري لزوج من جسيمات المادة المظلمة مضروبًا في سرعتهما النسبية في إطار مركز الكتلة . عند أخذ القيمة الحالية لكثافة بقايا المادة المظلمة :

\[ \Omega_{D} \bar{h}^{2} = 0.1187 \pm 0.0017 \]

وباستخدام القيم التقريبية \(x_{f} \approx 19.2 \sim 21.6\) و\(m_{0} \approx 10 \sim 100\) \(\mathrm{GeV}\)، نحصل على:

\[ \langle v_{12} \sigma_{ann} \rangle = (1.9 \pm 0.2) \times 10^{-9}~\mathrm{GeV}^{-2} \]

القيمة السابقة لمقطع إفناء المادة المظلمة تترجم إلى علاقة بين معاملات النظرية المدخلة في التعبير المحسوب لـ\(\langle v_{12} \sigma_{ann} \rangle\)، وبالتالي فرض قيد على هذه المعاملات سيحد من النطاق الممكن لكتل المادة المظلمة. يمكن استغلال هذه القيود لفحص جوانب النظرية مثل الاضطرابية، مع تقليل عدد المعاملات بواحد. ومع ذلك، بما أننا سنأخذ نطاقًا واسعًا لكتلة المادة المظلمة \(1 \sim 1000\) \(\mathrm{GeV}\)، سيتم تقدير النسبة \(x_{f}\) عدديًا باستخدام العلاقة أعلاه، خاصة للقيم الصغيرة للكتلة. حسب مدى ثقل/خفة مرشح المادة المظلمة، ستكون قنوات الإفناء الرئيسية إلى أزواج فرميونية \(f\bar{f}\) (\(b\bar{b}\)، \(c\bar{c}\)، \(\tau\bar{\tau}\)، أو \(\mu\bar{\mu}\))، أما للكتل الكبيرة جدًا فقد تكون القنوات \(h_{1}h_{1}\)، \(h_{1}h_{2}\)، \(h_{2}h_{2}\)، \(WW\)، \(WW^{*}\)، \(ZZ\)، \(ZZ^{*}\) و\(t\bar{t}\) مهمة أيضًا. جميع الصيغ الصريحة لمقطع الإفناء مذكورة في .

خلال السنوات الماضية، بحثت تجارب مثل CDMS II ، XENON 10/100 وCoGeNT عن إشارات تشتت مرن لجسيم WIMP المادة المظلمة على أهداف نووية في أعماق الأرض. وعلى الرغم من عدم رصد إشارة واضحة حتى الآن، فقد وضعت حدود استبعادية متزايدة الصرامة على المقطع الكلي لتشتت المادة المظلمة على النيوكليون \(\sigma_{det}\) بدلالة كتلة المادة المظلمة \(m_{0}\). مقطع الكشف المباشر لتشتت \(S_{0}\) (مرشح المادة المظلمة في هذا النموذج) على النيوكليون يُعطى بـ :

\[ \sigma_{det} = \frac{g_{HNN}^{2} m_{N}^{2}}{4\pi (m_{N} + m_{0})^{2}} \left[ \frac{\lambda_{001}^{(3)} \cos\theta}{m_{1}^{2}} - \frac{\lambda_{002}^{(3)} \sin\theta}{m_{2}^{2}} \right]^{2} \]

حيث \(m_{N}\) كتلة النيوكليون، \(\lambda_{00i}^{(3)}\) معاملات اقتران \(h_{i} S_{0}^{2}\) مذكورة في الملحق أ، و\(g_{HNN}\) هو اقتران هيغز-نيوكليون الفعال، والمقدر بناءً على نظرية الاضطراب الشيرالي للباريونات الثقيلة بـ\(g_{HNN} \simeq 1.5 \times 10^{-3}\) ، بينما تعطي حسابات الشبكة قيمًا أصغر نوعًا ما .

في عملنا، يتم اختيار المعاملات الحرة بحيث يكون طيف القطاع السلمي يحتوي على جسيم شبيه بهيغز بكتلة 125 GeV، وكثافة بقايا \(S_{0}\) متوافقة مع بيانات بلانك . كما هو موضح في الشكل [Sig]، نجد أن معظم النقاط المرجعية تقع فيها مقاطع التشتت المرن \(\sigma_{det}\) تحت \(10^{-45}\) \(\mathrm{cm}^{2}\)، أي تحت جميع الحدود التجريبية بما في ذلك الحد الجديد من Xe100 وكذلك نتائج LUX الأخيرة ، خاصة لكتل المادة المظلمة الأكبر من 125 GeV في الحالة A، و50 GeV في الحالة B.

قد يُعزى هذا السلوك إلى الإلغاء بين الحدين داخل القوسين في المعادلة أعلاه أو/و إلى اعتماد \(\sigma_{det}\) على معكوس مربع \(m_{0}\) مما يؤدي إلى قمع معدل الأحداث للمادة المظلمة الثقيلة. ومع ذلك، للمادة المظلمة الأخف من \(30\) GeV، يتجاوز جزء التحلل غير المرئي لهيغز \(20\%\)، وبالتالي يتعارض مع بيانات ATLAS وCMS.