نقدّم تقييماً تمهيديًا لأطياف كُرَيّات الغرّاء المستخلصة من التكوينات المُولّدة باستخدام الفرميونات الديناميكية عند \(N_f=1\)، وذلك دالةً على كتلة \(m_{\rm PCAC}\). استخرجنا كتل الحالات المنسوبة إلى التمثيلات غير القابلة للاختزال ضمن مجموعة دوران المكعب مع الأخذ في الاعتبار تناظري الشحنة \(C\) والتكافؤ \(P\). نظرًا لانخفاض نسبة الإشارة إلى الضوضاء، تمكّنا عمليًا من استخراج كتل الحالات في التمثيلات \(R^{PC}=A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، \(T_2^{++}\) و\(A_1^{-+}\) فقط. اعتمدنا في ذلك على حل مشكلة القيمة الذاتية المعممة (GEVP) باستخدام أساس مشغلات يضمّ مرشحات غلونية فقط. يهدف هذا العمل إلى تقييم تأثير الكواركات الديناميكية الخفيفة على طيف كُرَيّات الغرّاء ومقارنته بالطيف الأكثر دقة إحصائيًا لنظرية القياس النقية SU(3). استندنا إلى عدد كبير من العينات، بمقياس \(\sim{\cal O}(10\,\mathrm{K})\)، من التكوينات. تظهر نتائجنا أن المستوى الأدنى في أطياف كُرَيّات الغرّاء القياسية والتنسورية، وكذلك كُرَيّات الغرّاء الزائفة، يتأثر بشكل ضئيل بإضافة الفرميونات الديناميكية عند \(N_f=1\).
كُرَيّات الغرّاء هي حالات رنينية تتكوّن من الغلوونات فقط، وتشكل حالات محايدة لونياً في إطار ظاهرة الاحتجاز في الديناميكا اللونية الكمومية (QCD). بينما ظهرت بعض المرشحات المحتملة في البيانات التجريبية، لا يزال تحديد هويتها الدقيقة محل نقاش، مما يجعلها واحدة من الألغاز غير المحلولة في طيف الهادرونات.
على مدى السنوات القليلة الماضية، دخلت حيز التشغيل تجارب جديدة مثل PANDA (Parganlija:2013xsa) وBESIII (Asner:2008nq)، مع توقع انضمام تجارب أخرى قريبًا. من المتوقع أن تزود هذه التطورات المجتمع البحثي ببيانات جديدة ورؤى تحليلية حول القنوات الغنية بالغلوونات. بدورها، ستضع هذه البيانات المناهج النظرية الجديدة والنتائج المقترحة، سواءً في النهج الشبكي أو التحليلي، أمام تحديات دقيقة. يمكن الاطلاع على مراجعات حديثة للبحث عن كُرَيّات الغرّاء في عرض الجمعية العامة للشبكة لعام 2022 بواسطة دافيد فاداكينو (vadacchino_davide_2022_7338133)، وكذلك في المراجعة التي كتبها إي. كليمبت (Klempt:2022ipu).
أظهرت النتائج الأخيرة لأطياف كُرَيّات الغرّاء (Athenodorou:2023ntf)، المنشورة باستخدام فرميونات ديناميكية عند \(N_f=4\)، وجود حالة إضافية أخفّ تظهر في القناة القياسية (\(A_1^{++}\)). تبدو هذه الحالة مرتبطة بانحلال كُرَيّات الغرّاء إلى زوجين أو أربعة بيونات. لذلك، من المفيد التحقيق في تأثير الكواركات الخفيفة في نظرية تُقمع فيها مثل هذه الانحلالات، فيما يمكن للفرميونات الديناميكية أن تؤثر على بنية الطيف. من أمثلة ذلك QCD عند \(N_f=1\)، حيث لا توجد بيونات.
في هذه الدراسة، نسعى إلى استكشاف أثر فرميون خفيف واحد على طيف كُرَيّات الغرّاء. لتحقيق ذلك، نستخدم التكوينات المُولّدة بفرميونات كلوفر خفيفة (\(N_f=1\)) عبر مجموعة من الكتل العارية. نستخرج طيف كُرَيّات الغرّاء ثم نقارنه بالطيف الناتج من تكوينات حساب نظرية القياس النقية SU(3) المحسّنة على مستوى الشجرة عند قيمتين من تدرج التدفق. بالنسبة للكواركات الديناميكية الثقيلة، نتوقع وفقًا لحجج الفصل أن يقترب طيف كُرَيّات الغرّاء من طيف النظرية النقية. والسؤال المهم هنا: ماذا يحدث عند إدخال الفرميونات الديناميكية الخفيفة؟
بشكل عام، تظهر دراستنا في QCD عند \(N_f=1\) أن الطيف، بدقة إحصائية تتوافق مع عدد عينات بحجم \({\cal O}(10\,\mathrm{K})\)، يبدو متسقًا مع نتائج نظرية القياس النقية ومستقلًا عن كتلة الفرميون.
تنظَّم هذه المخطوطة كما يلي. نبدأ في القسم [sec:simulation_details] بعرض تفاصيل إعداد الشبكة المستخدم لتوليد التكوينات في حالة \(N_f=1\)، إلى جانب الإعدادات الخاصة بنظرية القياس النقية. ننتقل إلى القسم [sec:glueball_masses] لشرح طريقة استخراج طيف كُرَيّات الغرّاء عبر مشكلة القيمة الذاتية المعممة (GEVP). في القسم [الشحنة-التوبولوجيه-وضبط-المقياس] نصف حساب الشحنة التوبولوجية وعملية ضبط مقياس التدفق \(t_0\). بعد ذلك، نعرض النتائج مع التركيز على القناة القياسية \(R^{PC}=A_1^{++}\)، والقنوات التنسورية \(E^{++}\) و\(T_2^{++}\)، وكذلك القناة الزائفة \(A_1^{-+}\). أخيرًا نخلص في القسم [sec:conclusions].
تمّ إنتاج التكوينات الأولى باستخدام فعل قياس مُحسَّن عند المستوى الشجري مع درجة واحدة من التلطيف القوي، إلى جانب فعل فرميونات ويلسون القياسي. وفيما بعد، تمّ توسيع هذا الإعداد ليشمل فعل فرميونات محسّن بدقة شجرية. في المرحلة الأولى استخدمت خوارزمية مونت كارلو الهجينة لتوليد التكوينات، ثم استُبدلت لاحقًا بالخوارزمية الهجينة العقلانية المتاحة ضمن حزمة برمجية حديثة.
حددنا كتل الجسيمات (\(\eta_S\), \(\sigma_S\)) في مراحل سابقة من المشروع. وحتى الآن، لم تُدْرَس ظاهرة الخلط بين مشغلات الميزونات وكُرَيّات الغرّاء سوى في دراسة أولية؛ فنعرض هنا تحديثًا لقطاع كُرَيّات الغرّاء باستخدام فعل الفرميونات المحسّن. لاختباراتنا، اخترنا تكوينات عند \( \beta=4.2\) و\( \beta=4.4\). وللمقارنة، أجرينا أيضًا محاكاة لنظرية القياس النقية SU(3) بفعل قياس مُحسَّن عند نفس قيم \( \beta\)، حيث تتوافق \( \beta=4.51\) و\( \beta=4.75\) مع المجموعات العددية لـ \(N_f=1\) عند \( \beta=4.2\) و\( \beta=4.4\) على التوالي.
يمكن تحديد كتل كُرَيّات الغرّاء باستخدام تقنية التحليل الطيفي المطبق على المراسل الإقليدي الذي نرمز له بـ \(\phi(t)\). تعتمد هذه الطريقة على تصوير الحالات الفيزيائية ضمن إطار هاميلتوني النظام \(H\) وحساب دوال الارتباط الزمنية:
\[\begin{aligned} \langle \phi^\dagger(t=an_t)\phi(0) \rangle = \langle \phi^\dagger e^{-Han_t} \phi \rangle = \sum_i |c_i|^2 e^{-aE_in_t} \;\xrightarrow{t\to \infty}\; |c_0|^2 e^{-aE_0n_t}\,, \label{extract_mass}\end{aligned}\]
حيث \(E_0\) طاقة الحالة الأساسية، و\(c_i = \langle {\rm vac}|\phi^\dagger|i\rangle\) تمثل معاملات التداخل. لاستخراج الحالات المثارة نستخدم GEVP (Luscher:1984is,Luscher:1990ck,Berg:1982kp) على مصفوفة الارتباط \(C_{ij} = \langle \phi_i^{\dagger}(t)\phi_j(0)\rangle\)، حيث \(i,j=1,\dots,N_{\rm op}\).
لإنشاء مشغل لحالة غلوبول، نبني حلقة من روابط SU(3) ونحسب أثرها، حيث يتصل الجزء الحقيقي بمترافقة الشحنة الموجبة (\(C=+\)) والجزء التخيلي بالسالبة (\(C=-\)). نضمن زخمًا صفريًا بجمع جميع الترجمات المكانية والدورانات وفقًا للتمثيلات غير القابلة للاختزال \(R\) لمجموعة التماثل الدوراني المكعب.
تمثيلات مجموعة التماثل الدوراني المكعب \(A_1, A_2, E, T_1, T_2\) ترتبط بدورات الانعدام (\(J=0\)) والأحادية والثنائية والثلاثية. عند الاقتراب من الحد المستمر، تتطابق هذه التمثيلات مع حالات الدوران المستمر \(J\) وفق التوزيع المعروف \(A_1\to J=0\), \(T_1\to J=1\), \(E,T_2\to J=2\).
في الحد المستمر، تُعرّف الشحنة التوبولوجية بالتكامل الرباعي لأرضية الشحنة:
\(Q = \frac{1}{32\pi^2}\int d^4x\,\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\Tr[F_{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)]\).
استخدمنا تعريف "البرسيم" (DiVecchia:1981aev) مع تقنية تدفق التدرج (Luscher:2010iy) لتنعيم التقلبات وقياس الشحنة عبر فعل ويلسون.
كما يوفر تدفق التدرج مقياسًا فيزيائيًا \(t_0\) معرفًا عبر الدالة \(F(t)=t^2\langle E(t)\rangle\) بحيث \(F(t)|_{t=t_0}=c\)، باختيار \(c=0.3\) لتحقيق الشرط \(a\ll\sqrt{8t_0}\ll L\) وضمان دقة عالية (Bergner:2014ska).
استخرجنا طيف الحالات في التمثيلات غير القابلة للاختزال \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، \(T_2^{++}\)، بالإضافة إلى القناة الزائفة \(A_1^{-+}\). لفت الانتباه إلى الاستقرار المبكر لمستويات الكتلة الفعالة، على عكس ما لوحظ عند \(N_f=4\) حيث تظهر هذه المستويات لاحقًا. تراوحت معاملات التداخل بين 80% و100%، مشابِهةً للتقارب السريع في الطيف النقي لـ SU(3)، مما قد يعكس انخفاض عدد الحالات المسموح بها في فضاء هيلبرت لفراغ QCD عند \(N_f=1\).
في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_improved] عرضنا كتل كُرَيّات الغرّاء بوحدات \(1/\sqrt{t_0}\) مقابل كتلة البيون في PQChPT لكل من: (i) الحالة الأرضية والمثارة لـ \(A_1^{++}\)، (ii) الحالة الأرضية لـ \(E^{++}\)، (iii) الحالة الأرضية لـ \(T_2^{++}\)، و(iv) الحالة الأرضية لـ \(A_1^{-+}\). تمثل الأشرطة تقديرات الطيف النقي SU(3) عند \( \beta=4.75\)، الموافق \(t_0/a^2\sim7.07\)، وهو ما يتطابق مع القيمة المستخدمة لـ \(N_f=1\) عند \( \beta=4.4\). التوافق بين النتائج مذهل ويؤكد أن تأثيرات الفرميونات الديناميكية عند هذه الدقة ضئيلة، ما يجعل كتل كُرَيّات الغرّاء مستقلةً عن كتلة الكوارك.
عند إعادة التحقيق في النظرية نفسها عند \( \beta=4.4\) دون تحسين \({\cal O}(a)\) للفرميون، وجدنا نمطًا مماثلًا (الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_unimproved]). إلا أنه بالنسبة للقناة الزائفة \(A_1^{-+}\) لوحظ انخفاض في الكتلة مع زيادة كتلة الكوارك، وهو تأثير يختفي عند استخدام الفعل المحسّن، ما يشير إلى أنه ناجم عن مخلفات الشبكة. كانت قيمة \(t_0/a^2\approx5.2\) في الحالة غير المحسنة، وأشارت الأشرطة مرة أخرى إلى نتائج النظرية النقية عند \( \beta=4.75\).
تشير النتائج إلى أن طيف الديناميكا اللونية الكمومية مع فرميون واحد (\(N_f=1\))، بالدقة الإحصائية المتوافرة (\({\cal O}(10\,\mathrm{K})\) من التكوينات)، يتوافق مع طيف نظرية القياس النقية ويظل مستقلًا عن كتلة الفرميون، مع عدم ظهور حالات إضافية عند الطاقات المنخفضة. أُكد ذلك عند قيمتين مختلفتين من معلمة \( \beta\)، وكذلك بالمقارنة بين تقريبات الفرميون المحسنة وغير المحسنة من الدرجة \({\cal O}(a)\)، مما يشير إلى محدودية تأثير الفرميون الديناميكي الواحد على طيف كُرَيّات الغرّاء. في دراسات مستقبلية، سنتناول أيضًا مشغل الميزون لفحص التداخلات المحتملة بين كُرَيّات الغرّاء والميزونات.
أُجريت الحسابات على نظام الحوسبة عالي الأداء Cyclone في معهد قبرص، وكذلك على نظام UBELIX في جامعة برن. تلقي AA دعمًا ماليًا من مشروع EuroCC2 الممول من وزارة البحث والابتكار والسياسة الرقمية ومؤسسة قبرص للبحث والابتكار، بالإضافة إلى مشروع الحوسبة عالي الأداء الأوروبي المشترك (JU)، بموجب اتفاقية منحة رقم 101101903. يعترف MT بالدعم المقدم من تعاون Simons المختص بالحبس وأوتار QCD.