المعادلات التالية مكتوبة بصيغة LaTeX.

ملخص

ندرس إعادة تطبيع ثابت الارتباط في نظريات القياس التي تحتوي على متعددات لا نهائية من الفيرميونات، باستخدام تنظيم دالة زيتا للتعامل مع المجاميع المتباعدة للفيرميونات. إذا كانت المجموعة \(K\) هي المجموعة الفرعية المُضغوطة العظمى لمجموعة بسيطة غير مُضغوطة \(G\)، فإن مثل هذه المتعددات اللامتناهية تنشأ طبيعياً كتخفيضات للتمثيلات الوحدوية من سلسلة التمثيلات المنفصلة لـ \(G\). سندرس بالتفصيل المثال \(K=U(1)\subset SU(1,1)=G\). من المدهش وجود نظريات أبيلية تتمتع بالحرية التقاربية ضمن مدى معين، وأخرى تكون محدودة عند الطاقات فوق البنفسجية.

مقدمة

إن إشارات المعاملين الأولين لدالة بيتا (حلقة واحدة وحلقتين) في نظرية الحقل الكمومي (QFT) لها أهمية كبيرة. لقد أوضح اكتشاف أن المعامل الأولي سالب (AsympFreedom)، أي الحرية التقاربية، في الكروموديناميكا الكمومية بعدد قليل من نكهات الكوارك، تفسير التشتت غير المرن العميق. كما أن المعامل الثاني (CaswellJones) سالب أيضاً لبعض أنظمة الكروموديناميكا الكمومية، مع الإبقاء على الحرية التقاربية. ومع ذلك توجد مجموعة من القيم لـ \(N_{f}\) حيث يصبح موجباً بينما تستمر الحرية التقاربية؛ وهذا يؤدي إلى نقطة ثابتة تحت الحمراء تُسمى غالبًا (BanksZaks).

على النقيض من ذلك، كلا المعاملين موجبان في الكهرومغناطيسية الكمومية. عند وجود فيرميون ديراك واحد بشحنة واحدة (كالإلكترون) تكون دالة بيتا (QEDBetaFn)

\[\beta(\alpha)=\frac{2}{3}\frac{\alpha}{\pi}+\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{2}+\mathrm{O}(\alpha^{3})\]

السبب الفيزيائي هو أن استقطاب الفراغ يغطّي الشحنة النقطية بأزواج افتراضية؛ كلما اقتربنا من الشحنة، تزداد القوة. أما في النظريات غير الأبلية، فتضاف مساهمة "المغناطيسية العكسية" للغلوونات (Polyakov).