تزداد الكثافة الشعاعية للكواكب مع العمق نتيجة قابلية المادة للانضغاط، مما يؤثر في ديناميكيات الحمل الحراري داخلها. لتضمين هذه التأثيرات—من منحنى درجة حرارة شبه أديباتي إلى مصادر الإنتروبيا الناجمة عن التبدد—يُعرَّف رقم الاستنزاف، \(\Di\)، بالاعتماد على نصف قطر الكوكب وجاذبيته. في وشاح الأرض تبقى آثار الانضغاط معتدلة، أما في الكواكب الصخرية الكبيرة أو الكواكب السائلة (الفائقة) فقد يصل رقم الاستنزاف إلى قيم كبيرة جدًا. يستعرض هذا العمل خصائص الحمل الحراري المضغوط في حالة أهمية رقم الاستنزاف. نبدأ بتحديد معادلة حالة مورناهان البسيطة لتمثيل مادة مضغوطة في ظروف كوكبية، ثم نحلل منحنيات الأديباتة لنبيّن أن نسبة درجات الحرارة الأديباتية بين القاع والسطح صغيرة نسبيًا (أقل من 2). ندقق في الاستقرارية الحاجزية للأغلفة الحرارية المضغوطة ونبرهن إمكانية نشوء الحمل الحراري لأرقام رايلي فوق أديباتية موجبة أو سالبة. أخيرًا، نعرض نتائج محاكاة للحمل الحراري باستخدام المعادلات الكاملة للميكانيكا (حالة رقم برانتل اللانهائي) ونناقش تبعاتها على ديناميكيات الكواكب الفائقة.
من المعروف أن الحمل في سائل مضغوط عند رقم رايلي عالٍ يجعل التوزيع الشعاعي المتوسط للكثافة ودرجة الحرارة والضغط يتوافق مع الحالات الأديباتية والهيدروستاتيكية (\(\rho_a\), \(T_a\), \(P_a\))، وفقًا للمعادلات الأديباتية التالية:
\[\begin{aligned} {\dd \ln{\rho_a}\over \dd z} +{\alpha_a g\over \Gamma_a C^a_{P}} =0,\eqlbl{adiaq1} \\ {\dd \ln{ T_a}\over \dd z} +{\alpha_a g\over C^a_{P}} =0,\eqlbl{adiaq2}\\ {\dd P_a\over \dd z} +\rho_a g =0. \eqlbl{adiaq3} \end{aligned}\]
حيث \(z\) الإحداثية العمودية (اتجاهها عكسي لاتجاه الجاذبية \(\mathbf{g}=-g\,\mathbf{e}_z\)). في هذه المعادلات، \(\alpha\) معامل التمدد الحراري، \(C_P\) السعة الحرارية عند ضغط ثابت، و\(\Gamma\) معامل غرونيزن، والحرف ’a’ يشير إلى الحساب على طول المنحنى الأديباتي ذاته.
تعتمد معادلة الحالة لمادة مضغوطة على أن معامل غرونيزن هو دالة للكثافة (~anderson79), حيث \(q\approx1\)، و\(\rho_0\) و\(\Gamma_0\) كثافة ومعامل غرونيزن مرجعيان عند سطح الكوكب. في العموم يكون \(\Gamma\) بين 1 و2 في الوشاح (~stacey04) أو في النواة (~alfe). نأخذ \(q=1\) هنا. عند درجة حرارة مرجعية \(T_0\)، تربط معادلة مورناهان (~murnaghan51) الضغط بالكثافة في المواد الصلبة أو السائلة أو المعادن (\(n\approx3–4\)). فرمز \(\alpha_0\) ومعامل القصور الآيزوثيرمي \(K_T^0\) يعودان للظروف المرجعية.
رغم بساطة معادلة مورناهان وكونها تجريبية، فإنها تلخص الخصائص النموذجية للمواد المكثفة وتتناسب جيدًا مع الكثافة الشعاعية للأرض في نموذج أديباتي بعيدًا عن مناطق الانتقال (~Ricard22). وبما أن \(\Gamma\) يعتمd على الكثافة فقط، يجمع بين (adiaq1) و(adiaq2) للحصول على علاقة مباشرة بين \(T_a\) و\(\rho_a\) الأديباتيتين، حيث ترمز \(T_a^t\) و\(\rho_a^t\) لدرجات الحرارة والكثافة عند السطح.
سنضيف افتراضين تبسيطيين لاستخدام التعبيرات التحليلية (لن تُستخدم هذه التقديرات في الحسابات العددية المباشرة).
نفترض ثبات \(C_V\) و\(C_P\) وقرب قيمتيهما من 3\(\mathcal{R}\) لكل مول، وهو واقع لمواد مكثفة عند \(\alpha T\ll1\) (~dulongpetit).
طالما \(\alpha\,(T_a^t-T_0)\ll1\) يُمكن اعتبار الكثافة الأديباتية عند السطح مساوية للمرجعية \(\rho_a^0\approx\rho_0\).
نفرض عمومًا تغير الجاذبية مع العمق، ولأجل البساطة نستخدم جاذبية ثابتة كما في وشاح الأرض تقريبًا.
تحت هذه الفرضيات يُمكن حل المعادلات الأديباتية في طبقة يمتد فيها \(z\) من \(0\) إلى \(H\) (مثلاً وشاح بسمك \(H\)، حيث \(z=0\) عند حد النواة-الوشاح)، فنحصل على
\[\begin{aligned} \rho_a &=\rho_0 \Bigl(1+{H-z\over h}\Bigr)^{1/(n-1)}, \eqlbl{rhoadia} \\ P_a &={n-1\over n}\,\rho_0\,g\,h\Bigl[\Bigl({\rho_a\over \rho_0}\Bigr)^{n} -1\Bigr], \eqlbl{Pa} \\ T_a &=T^t_a\;\exp\Bigl[\Gamma_0\Bigl(1-{\rho_0\over\rho_a}\Bigr)\Bigr]\,. \eqlbl{Ta} \end{aligned}\]
في المعادلة الأخيرة يظهر رقم الاستنزاف \(\Di\) المعرَّف هنا فقط من المعطيات السطحية، وهو التعريف الوحيد المتاح عند دراسة كوكب جديد. على الأرض يكون \(\Di_\Earth\approx0.71\) في الوشاح و0.56 في النواة السائلة (باستخدام \(\alpha_0=3\times10^{-5}\) K^{-1}, \(H=2900\) km و\(C_V=1200\) J K^{-1} kg^{-1} في الوشاح؛ \(\alpha_0=1.8\times10^{-5}\) K^{-1}, \(H=2300\) km و\(C_V=715\) J K^{-1} kg^{-1} في النواة، مع \(g=9.8\) m s^{-2}).
يُعرَّف \(\Di\) في المراجع الجيوفيزيائية (~schubert) عادة باستخدام \(C_P\) في المقام، إذ يُهمل الفرق بين \(C_P\) و\(C_V\) تقليديًا. مع ذلك نفضّل تعريف رقم الاستنزاف بناءً على \(C_V\)، تماشيًا مع تعريف غرونيزن. اختيار ثبات \(C_V\) يحافظ على اتساق قانون ماير في حفظ الطاقة (~albou13).
المعادلات السابقة صالحة لمناقشة ملامح الأديباتة في كواكب كبيرة. من قياسات الكواكب الخارجية المكتشفة يتبين أن كثيرًا منها صخري حتى نصف قطر يوازي ~2.5 ضعف نصف قطر الأرض (~otegi20). تزداد الكتلة \(M\) تقريبًا كالأس \(R^{3.45}\) (بسبب زيادة الكثافة المتوسطة بنحو \(R^{0.45}\)). سنستعين بهذه العلاقة لتوسيع نطاق تحليلاتنا.
في نموذجنا \(g\propto M/R^2\approx R^{1.5}\)، ونفترض أن سمك طبقة الحمل يتناسب مع \(R\). لذا يتغير رقم الاستنزاف \(\Di\) مثل \(gH\propto R^{2.5}\). بالتالي—وفقًا لـ(otegi20)—قد يصل \(\Di\) إلى نحو عشرة أضعاف قيمة الأرض في الكواكب الصخرية الشائعة. سنستعرض حالات حتى \(\Di=10\)، وسنربط ذلك في الأمثلة بنصف الأقطار بالنسبة لكوكب الأرض عبر \(\Di=\Di_\Earth(R/R_\Earth)^{2.5}\). مثال: كوكب فائق بنصف قطر ضعف الأرض يُتوقع أن تكون أرقامه ~4.0 في الوشاح و3.2 في النواة؛ وعند ثلاثة أضعاف القطر تصبح الأرقام ~11.1 و8.7.
مع الارتفاع الكبير في مقاومة الانضغاط مع الكثافة والضغط، تزداد الكثافة ودرجة الحرارة الأديباتية بشكل معتدل مع زيادة نصف قطر الكوكب. نمثل ثلاث حالات: \(\Di=\Di_\Earth=0.6\) (أسود)، \(\Di=2\) (أحمر)، \(\Di=10\) (أخضر).
نسبة الكثافة الأديباتية بين القاع والقمة في غلاف صهاري متحرك تُحسب من العلاقة (rhoadia)، وتُعرض في الشكل [Ratio]a مقابل \(\Di\) (المحور السفلي) و\(R\) (المحور العلوي، بافتراض \(\Di\propto R^{2.5}\)). يرمز «الأرض» إلى موقع الكوكب الذي يتوقع أن تكون فيه النسبة ≈1.52 (وبسبب انتقال طور المصرّف تُلاحَظ قيمة ≈1.70 في الغلاف الصهاري للأرض).
تتحكم هذه النسبة في نسبة درجات الحرارة الأديباتية عبر التعبير (Ta) (انظر الشكل [Ratio]b). على الأرض تبلغ هذه النسبة ≈1.41 عبر الغلاف الصهاري (من حوالي 1600 K في السطح إلى 2256 K في القاع). الحد الأقصى لدرجة حرارة القاع يُقيد عندما \(\rho_a\to\infty\)، لذا حتى في الكواكب الفائقة الضخمة تبقى درجة الحرارة الأديباتية في القاع معتدلة—لا تتجاوز الضعف مقارنةً بالسطح (انظر الشكل [Ratio]b).
في حالة سائل غير قاصم للقصور الذاتي (رقم برانتل لا نهائي)، يرتبط التدفق الحراري الفائق الأديباتي (\(Q-Q_a\)) برقم رايلي الفائق الأديباتي عبر \({\rm Nu}_{sa}\propto {\rm Ra}_{sa}^{1/3}\)، حيث \({\rm Nu}_{sa}\) رقم نوسلت الفائق الأديباتي (وتُستخدم غير الأبعادات \(kT_0/H\) و\(T_0\)). هذا السلوك يتوافق مع نتائج بوسينسكي (~malkus,GrLo01). يُقترح عادة هذا التعبير حين \(\Delta T_a\) أصغر بكثير من \(\Delta T\)، وهو ليس بالضرورة عندما يكون \(\Di\) كبيرًا—حيث يمكن أن يحدث الحمل حتى إذا \(\Delta T_a\ge\Delta T\). كما يُظهر الخط الأزرق المنقط في الشكل [figTa]، قد يصبح التدفق الأديباتي السطحي \(Q_a\) عاليًا لدرجة يتغيّر فيها \(Q-Q_a\) إلى قيم سالبة حتى لو \(\Delta T_a\le\Delta T\). رقم «نوسلت الأديباتي» \({\rm Nu}_a=Q_a/\Delta T_a=\Di\,T_a^t/\Delta T_a\) يتناسب مع \(\Di\) (حيث \(T_a^t/\Delta T_a\approx1\)). فإذا \(\Di=10\) يتطلب تحقيق هذا التدفق الحراري أرقام رايلي من 10\(^5\)–10\(^6\) وفق نموذج بوسينسكي.