LaTeX
تزداد الكثافة الشعاعية للكواكب مع العمق بسبب قابلية المادة للضغط، مما يؤدي إلى تغيّرات جوهرية في ديناميكيات الحمل الحراري. لأخذ هذه التأثيرات في الاعتبار، ولاسيما تكوين مسار شبه أديباتي ومصادر الإنتروبيا الناتجة عن التبديد، نُعبِّر عن تأثير الضغط عبر رقم الاستهلاك \(\Di\)، الذي يرتبط بنصف قطر الكوكب وجاذبيته. في وشاح الأرض، تكون تأثيرات الضغط معتدلة، لكن في الكواكب الصخرية الكبيرة أو نظيراتها السائلة، قد يصبح رقم الاستهلاك كبيراً جداً. يستكشف هذا البحث خصائص الحمل الحراري المضغوط عندما ترتفع قيمة رقم الاستهلاك. نبدأ بتحديد معادلة حالة مورناهان البسيطة التي تجسّد الخصائص الأساسية للمادة المضغوطة في ظروف كوكبية. بعد ذلك، نحلل خصائص المنحنى الأديباتي ونُبيّن أن النسبة بين درجتي الحرارة الأديباتيَّتين العليا والدنيا صغيرة نسبياً، وربما أقل من 2. ثم نفحص استقرار الأغطية الحرارية المضغوطة، ونُظهر أنها قد تنشأ فيها تيارات حمل سواء عند أرقام رايلي الأديباتية الموجبة أو السالبة. وفي الختام، نستعرض نتائج محاكاة الحمل الحراري باستخدام المعادلات الميكانيكية الكاملة مع إهمال القصور الذاتي (حالة رقم برانتل اللامتناهي)، ونبحث في تبعات ذلك على ديناميكيات الكواكب الفائقة.
من المعروف أن الحمل في سائل مضغوط عند رقم رايلي عالٍ يجعل الملامح الشعاعية المتوسطة للكثافة ودرجة الحرارة والضغط تقترب من قيمها الأديباتية والهيدروستاتيكية (\(\rho_a\), \(T_a\), \(P_a\)) وفقًا للمعادلات التالية:
\[\begin{aligned} {\dd \ln{\rho_a}\over \dd z} +{\alpha_a g\over \Gamma_a C^a_{P}} =0,\eqlbl{adiaq1} \\ {\dd \ln{ T_a}\over \dd z} +{\alpha_a g\over C^a_{P}} =0,\eqlbl{adiaq2}\\ {\dd P_a\over \dd z} +\rho_a g =0. \eqlbl{adiaq3}\end{aligned}\]
حيث \(z\) هي الإحداثية العمودية المعيارية (متجهة عكس الجاذبية \(\v{g}=-g\v{e}_z\)). في هذه المعادلات، \(\alpha\) هو معامل التمدد الحراري، \(C_P\) السعة الحرارية عند ضغط ثابت، و\(\Gamma\) معامل غرونيزن. الحرف 'a' يشير إلى أن هذه الكميات محسوبة على المسار الأديباتي.
معادلة الحالة المعقولة (EoS) لمادة مكثفة في كوكب تعتمد على الملاحظة أن معامل غرونيزن هو أساساً دالة للكثافة (anderson79)، وفقًا للعلاقة:
\(\Gamma(\rho)=\Gamma_0(\rho/\rho_0)^q\),
حيث \(q\approx1\)، و\(\rho_0\) و\(\Gamma_0\) هما الكثافة ومعامل غرونيزن عند الظروف المرجعية التي نختارها عند سطح الكوكب. في المتوسط تتراوح قيم \(\Gamma\) بين 1 و2 في الوشاح (stacey04) أو في النواة (alfe). فيما يلي نفترض \(q=1\).
عند درجة الحرارة المرجعية \(T_0\)، تُعطى العلاقة بين الضغط والكثافة بواسطة تعبير مورناهان (murnaghan51) مع \(n\approx3-4\) للسيليكات أو المعادن المكثفة. هنا \(\alpha_0\) و\(K_T^0\) هما معامل التمدد الحراري وثابت الانضغاطية في الظروف المرجعية. رغم بساطتها التجريبية، تعطينا هذه المعادلة توصيفاً واقعياً للكثافة الشعاعية للأرض بافتراض أديباتيتها بعيداً عن منطقة الانتقال (Ricard22).
إن معادلة الحالة هذه تضع علاقات مباشرة بين معلمي التمدد الحراري والانضغاطية وكثافة المادة، مما يوفر، مرة أخرى، تعابير واقعية للخصائص المقاسة في المختبر. ونظراً لاعتماد \(\Gamma\) على الكثافة فقط، نحصل على علاقة بسيطة بين درجتي الحرارة والكثافة الأديباتيتين عند الدمج بين المعادلتين أعلاه، حيث يعبر \(T_a^t\) و\(\rho_a^t\) عن القيمة الأديباتية عند السطح (\(t\) للدلالة على الأعلى).
للتبسيط التحليلي (لا يُستخدمان في الحسابات العددية النهائية):
نفترض أن السعتين الحراريتين عند ثابت الحجم \(C_V\) وعند ثابت الضغط \(C_P\) متقاربتين تقريباً وثابتتين لأن \(\alpha T \ll1\) في المواد المضغوطة، وكلاهما قريب من قيمة دولونج–بيتي \(3\mathcal{R}\).
نفترض أن \(\alpha(T_a^t-T_0)\ll1\)، فيُعتبر أن كثافة السطح الأديباتية \(\rho_a^t\approx\rho_0\) (أي أن الكثافة تعتمد على الضغط أكثر من درجة الحرارة).
وأخيراً، لمنح طبقة حمل حراري بارتفاع \(H\) (مثلاً الوشاح بين قلب الكوكب وحدوده)، نأخذ \(g\) ثابتة تقريباً كما في وشاح الأرض. عندئذ، حيث تتراوح \(z\) بين 0 و \(H\)، نجد:
\[\begin{aligned} \rho_a &=\rho_0 \left(1+\frac{H-z}{h}\right)^{1/(n-1)}, \eqlbl{rhoadia} \\ P_a &=\frac{n-1}{n}\,\rho_0 g h \Bigl[\bigl(\rho_a/\rho_0\bigr)^{n}-1\Bigr], \eqlbl{Pa} \\ T_a &=T^t_a \exp\bigl[\Gamma_0\bigl(1-\rho_0/\rho_a\bigr)\bigr], \eqlbl{Ta} \end{aligned}\]
حيث قدمنا في المعادلة الأخيرة رقم الاستهلاك \(\Di\) المعرف انطلاقاً من المعطيات السطحية فقط، وهو التعريف الأمثل عند دراسة كوكب جديد. على الأرض، يبلغ \(\Di_\Earth\approx0.71\) في الوشاح و0.56 في النواة السائلة (باستخدام \(\alpha_0=3\times10^{-5}\) K⁻¹، \(H=2900\) كم، \(\;C_V=1200\) J K⁻¹ kg⁻¹ للشاح، و\(\alpha_0=1.8\times10^{-5}\) K⁻¹، \(H=2300\) كم، \(C_V=715\) J K⁻¹ kg⁻¹ للنواة السائلة، مع \(g=9.8\) m s⁻²).
في المراجع الجيوفيزيائية (schubert)، يُعرف \(\Di\) أيضاً بعدد \(C_P\) دون اختلاف عملي كبير، إذ يُتجاهل في العادة الفارق بينهما. نفضّل تعريف رقم الاستهلاك باستخدام \(C_V\) مطابقاً لتعريف غرونيزن. وملاحظة الثبات المفترض لإحدى السعتين لا تؤثر على الخصائص العامة إلا إذا أهملنا حفظ الطاقة (albou13).
يمكن الاستفادة من هذه النتائج لمناقشة الملامح الأديباتية للكواكب الكبيرة. تشير الملاحظات إلى أن كثيراً من الكواكب الخارجية تبدو صخرية على الأقل حتى نصف قطر ∼2.5 R⊕ (otegi20). تتناسب كتلتها تقريباً مع نصف قطرها بقوة 3.45 (\(M\propto R^{3.45}\))، بسبب ارتفاع الضغط الداخلي. سنستخدم هذه الملاحظة لتوسيع تحليلنا.
في التحجيم النموذجي، تتناسب الجاذبية مع \(g\propto M/R^2\approx R^{1.5}\)، ونفترض أن سمك طبقات الحمل الحراري يتناسب تقريباً مع \(R\). بناءً على ذلك، يتغير رقم الاستهلاك \(\Di\) مثل \(gH\propto R^{2.5}\). لذلك، وفقاً لـ(otegi20)، يمكن أن تصل أرقام الاستهلاك في الكواكب الصخرية الشائعة إلى حوالي عشرة أضعاف رقم استهلاك الأرض. سنستكشف أرقام \(\Di\) تصل حتى 10، ونعرض النتائج أحياناً كدالة لأنصاف الأقطار \(R/R_\Earth\) عبر العلاقة \(\Di=\Di_\Earth(R/R_\Earth)^{2.5}\).