latex

مُلخّص

المسألة الشهيرة \(3x+1\) لكولاتز لا تحتاج إلى مقدمة، لكن هذا البحث يتناول مسألة أقل شهرة ولم تُحَلّ بعد؛ وهي التخمين الأصلي لكولاتز، أو OCC (Lag85).

نبيّن أنَّ المشغل الحسابي الأساسي في OCC، عند دمجه مع تقاطع J.-Y. Girard من نظامه للهندسة التفاعلية (GOI1, GOI2), ينتج عنه تحقيق مجموعة R. Thompson \(\mathcal F\) كدوال تطابقية، وفق تعريف J. Conway (JC72).

نقدّم أيضًا النظرية الفئوية الكامنة التي تفسر ذلك، ونصف المشغل الأساسي في OCC كتطابق تماسك قياسي.

تعريفات أساسية: فرضية كولاتز الأصلية وتقاطع جيرارد

نبدأ بفرضية كولاتز الأصلية كما وردت في (Lag85).

نرمز إلى المجموعة المتماثلة على \(\mathbb N\) بـ\(\SN\)، ونعرّف تحويل كولاتز الأصلي \(\rho\in \SN\) كما يلي: \(\rho(n) = \begin{cases} \frac{2n}{3}, & n\equiv 0\pmod 3, \\ \frac{4n-1}{3}, & n\equiv 1\pmod 3, \\ \frac{4n+1}{3}, & n\equiv 2\pmod 3. \end{cases}\)

النقاط الثابتة الوحيدة لـ\(\rho\) هي \(\{0,1\}\subseteq\mathbb N\)، كما أنَّ مدارات جميع الأعداد في \(\{0,\dots,9\}\setminus\{8\}\) محدودة.

يبين الجبر الأولي أنَّ \(\{0,1\}\) هي الحلول الوحيدة لمعادلة \(\rho(n)=n\). وبالحساب المباشر، \(2\to3\to2\) و \(4\to5\to7\to9\to6\to4\) مدارات محدودة.

كما ورد في (Lag85)، ظهر هذا التحويل في دفاتر ملاحظات غير منشورة لكولاتز بتاريخ \(1^{\mathrm{st}}\) مايو 1932 كأساس للفرضية التالية (غير المحلولة حتى الآن):

مدار العدد \(8\) تحت \(\rho\) غير منتهٍ.

نربط المشغل الأساسي لفرضية كولاتز الأصلية بمفهوم التقاطع المنطقي في نموذج جان-إيف جيرارد (GOI1, GOI2). كما أُشير إليه في (PHD, HA, AHS)، اعتمد نظام جيرارد على الزمرة الجزئية \(\mathcal I(\mathbb N)\) للتحويلات الجزئية على \(\mathbb N\)؛ ونحن نكتفي بالزمرة الفرعية \(\SN\subseteq \mathcal I(\mathbb N)\).

تقاطع جيرارد هو الدالة \(\star:\SN\times\SN\to\SN\) المعطاة بـ\((a\star b)(n) = \begin{cases} 2\,a\!\bigl(\tfrac n2\bigr), & n\text{ زوجي}, \\ 2\,b\!\bigl(\tfrac{n-1}2\bigr)+1, & n\text{ فردي}. \end{cases}\)
ومن المعروف (مثلاً في PHD, HA, AHS) أن هذه الدالة تشبه الحقن.

تبسيط طفيف

يركز مفهوم OCC على مدارات الأعداد الطبيعية تحت التحويل \(\rho\). نقوم بتعديل \(\rho\) عبر دالة الإزاحة وعكسها (المعرفة جزئيًا) للتخلّص من الحالة التافهة \(\rho(0)=0\)، مع الحفاظ على سلوك المدارات الأخرى:

[rcb-def] نعرّف التحويل المخفّض لكولاتز \(\lambda\in \SN\) بحيث \(\lambda(n)=\rho(n+1)-1\). هذا تحويل محدد جيدًا على \(\mathbb N\) بما أن \(\rho(0)=0\). وعند التوسيع نحصل على الصيغة الصريحة:

\[ \lambda(n)=\begin{cases} \frac{4n}{3}, & n\equiv 0\pmod 3, \\ \frac{4n+2}{3}, & n\equiv 1\pmod 3, \\ \frac{2n-1}{3}, & n\equiv 2\pmod 3. \end{cases} \]

بناءً على التعريف، \(\lambda^K(n)=\rho^K(n+1)-1\)، لذا فإن الأسئلة حول المدارات غير التافهة لـ\(\rho\) وتلك الخاصة بـ\(\lambda\) قابلة للتبادل؛ ويصبح مفهوم OCC الفرضية القائلة بأن مدار العدد 7 تحت \(\lambda\) لا نهائي.

[noCoincidence-lem] \(\lambda\neq\rho\)، و\(\lambda(n)=\rho(n)\iff n=0\) لكل \(n\in\mathbb N\).

بديهيًا، \(\lambda\neq\rho\). عند تقسيم الحالات الثلاث بشكل منفصل تظهر الحاجة إلى \(n=-1\notin\mathbb N\)، وهو تناقض.

دمج التحويلين الأصلي والمخفَّض لكولاتز

يمكن كتابة معكوسات \(\lambda,\rho\in \SN\) صراحة كما يلي: \[ \lambda^{-1}(n)=\begin{cases} \frac{3n}{4}, & n\equiv 0\pmod 4, \\ \frac{3n-2}{4}, & n\equiv 2\pmod 4, \\ \frac{3n+1}{2}, & n\text{ فردي}, \end{cases} \quad \rho^{-1}(n)=\begin{cases} \frac{3n}{2}, & n\equiv 0\pmod 2, \\ \frac{3n+1}{4}, & n\equiv 1\pmod 4, \\ \frac{3n-1}{4}, & n\equiv 3\pmod 4. \end{cases} \] تركيب التحويل المخفَّض مع معكوس التحويل الأصلي ينتج تحويلًا سبق أن ظهر في نظرية الفئات والمنطق:

[assoc-def] نعرّف المقتَرِن \(\alpha\in \SN\) بأنّ \(\alpha=\lambda\circ\rho^{-1}\)؛ أي \(\alpha(n)=\rho\bigl(\rho^{-1}(n)+1\bigr)-1\). وعند التوسيع نحصل على:

\[ \alpha(n)=\begin{cases} 2n, & n\equiv 0\pmod 2, \\ n+1, & n\equiv 1\pmod 4, \\ \frac{n-1}{2}, & n\equiv 3\pmod 4, \end{cases} \quad \alpha^{-1}(n)=\begin{cases} \frac{n}{2}, & n\equiv 0\pmod 4, \\ n-1, & n\equiv 2\pmod 4, \\ 2n+1, & n\text{ فردي}. \end{cases} \]\

يمكن اعتبار المقتَرِن "التحويل المخفَّض لكولاتز المركب مع معكوس التحويل الأصلي". بالمقارنة مع أي من تحويلات كولاتز، فإن مدارات الأعداد تحت المقتَرِن سهلة الوصف للغاية.

[assocOrbits-lem] للمقتَرِن نقطة ثابتة وحيدة، \(\alpha(0)=0\). مدار أي \(n>0\in\mathbb N\) له حد أدنى موضعي إذا وفقط إذا كان \(n\) زوجيًّا؛ ولا وجود لحد أقصى موضعي، ولذلك فإن مدار كل \(n>0\) لا نهائي.

من الأسهل (لكنّه مكافئ) إثبات ذلك للمعكوس، \(\alpha^{-1}=\rho\,\lambda^{-1}\).

بديهيًا، \(\alpha^{-1}(0)=0\)؛ وهذه هي الوحيدة، لأنّ \(\alpha^{-1}(n)=n\iff \rho(n)=\lambda(n)\)، مما يتناقض مع [noCoincidence-lem] لأي \(n\neq0\). عندما يكون \(n\) فرديًّا، \(\alpha^{-1}(n)=2n+1>n\) وهو أيضًا فردي؛ لذا \(n<\alpha^{-1}(n)\) لكل \(n\) فردي. وعندما يكون \(n>0\) زوجيًّا، \(\alpha^{-1}(n) قد يكون زوجيًّا أو فرديًّا، ولكن لا يمكن أن يكون صفرًا لأنّ \(\alpha^{-1}\) تحويل. ولذلك، أي مدار يبدأ بعددٍ زوجيٍّ غير صفري ينخفض حتى يصل إلى عددٍ فردي (الحدّ الأدنى الموضعي)، ثم يزداد بلا حدود.

كل مدار محدود يصل إلى حدٍّ أقصى وأدنى؛ ولذلك فإن المدار الوحيد المحدود تحت \(\alpha^{-1}\) (وبالتالي تحت \(\alpha\)) هو النقطة الثابتة \(\alpha^{-1}(0)=0=\alpha(0)\).