المعادلات مكتوبة بصيغة LaTeX.

مُلَخَّص

لتكن \(R\) حلقةً تبادليةً تحتوي على وحدة. رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لـ \(R\) هو الرسم البياني البسيط غير الموجّه الذي تكون فيه مجموعة الرؤوس هي مجموعة جميع المثاليّات الصحيحة غير الصفرية في \(R\)، وتكون المثاليّتان المتميزتان \(I\) و\(J\) متجاورتين إذا وفقط إذا كانت \(I+J\) مثاليةً أوّليّةً في \(R\). في هذه الورقة نصف جميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي تكون رسوم مجموع المثاليّات الأوّليّة لها رسوماً خطّيّة، ثم نقدّم وصفاً لجميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي يكون مكمل رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لها رسماً خطّيّاً.

الخلفية التاريخية والمقدمات

تمثل دراسة الرسوم البيانية المرتبطة بالهياكل الجبرية مجالاً بحثياً كبيراً وحيوياً، وتعد واحدةً من النقاط الأساسية في نظرية الرسوم البيانية الجبرية. يوفر هذا المجال تفاعلاً عميقاً بين الجبر ونظرية الرسوم البيانية، مما يشكل جسراً بين هذين الفرعين. لقد حظيت الدراسة الشاملة للرسوم البيانية المرتبطة بالهياكل الجبرية باهتمامٍ كبيرٍ نظراً لتطبيقاتها وعلاقتها بنظرية الأوتوماتا (انظر kelarev2003graph,kelarev2009cayley,kelarev2004labelled). وقد دُرِست العديد من الرسوم البيانية المتعلقة بالحلقات في الأدبيات، مثل: الرسم البياني للمقسومات الصفرية (afkhami2011cozero)، الرسم البياني للمضاعفات الصفرية (Anderson1999zero)، الرسم البياني للمعدمات (badawi2014annihilator)، الرسم البياني لتقاطع المثاليّات (chakrabarty2009intersection)، الرسم البياني للمثاليّات المشتركة القصوى (maimani2008comaximal)، رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة (saha2023prime) وغيرها.

قدّم ساهـا وآخرون رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لحلقة تبادلية (saha2023prime). إنّ رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة \(\mathrm{PIS}(R)\) للحلقة \(R\) هو الرسم البياني البسيط غير الموجّه الذي تكون رؤوسه جميع المثاليّات الصحيحة غير الصفرية في \(R\)، ويكون رأسان متميزان \(I\) و\(J\) متجاورين إذا وفقط إذا كان \(I+J\) مثاليةً أوّليّةً في \(R\). درس مؤلفو (saha2023prime) بعض الخصائص النظرية لـ \(\mathrm{PIS}(R)\) مثل عدد الأكمِلات، والعدد اللوني، وعدد السيطرة وغيرها. كما نوقش البُعد المتري والبُعد المتري القوي لـ \(\mathrm{PIS}(R)\) لمختلف فئات الحلقات في (adlifard2023metric,mathil2023strong). ودرس (mathil2022embedding) تضمين \(\mathrm{PIS}(R)\) على الأسطح. بالإضافة إلى ذلك، تناول الباحثون رسوم مجموع المثاليّات الأوّليّة مع بعض الرسوم البيانية المحظورة المستحثة مثل الانقسام والعتبة والوتر والرسم البياني المشترك. إنّ الرسم البياني الخطي \(L(\Gamma)\) للرسم البياني \(\Gamma\) هو الرسم الذي تكون رؤوسه حواف \(\Gamma\)، ويكون كلّ زوج من الرؤوس متجاوراً إذا كانت الحافتان المناظرتان لهما متجاورتين في \(\Gamma\). توصف الرسوم البيانية الخطية بتسعة رسومٍ بيانية محظورة (انظر النظرية [linegraphchar]). وقد توسّع نطاق دراسة الرسوم البيانية الجبرية المرتبطة بالرسوم الخطية على يد عدة باحثين (انظر barati2021line,bera2022line,khojasteh2022line,kumar2023finite,pirzada2022line,singh2022graph). في هذه الورقة ندرس متى يكون رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة رسماً بيانيّاً خطيّاً ومتى يكون مكمله رسماً خطيّاً. في القسم [section2] نصف جميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي يكون فيها رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة رسماً بيانيّاً خطيّاً، وفي القسم [section3] نصف تلك التي يكون مكملها رسوماً بيانية خطيّة.

نستعرض الآن التعريفات والنتائج الضرورية لاستعمالها لاحقاً. يُعرَّف الرسم البياني \(\Gamma\) على أنّه الزوج المرتب \((V(\Gamma),E(\Gamma))\)، حيث \(V(\Gamma)\) مجموعة الرؤوس و\(E(\Gamma)\) مجموعة الحواف. يكون رأسان متميزان \(u,v\in V(\Gamma)\) متجاورين في \(\Gamma\)، ونرمز لذلك بـ \(u\sim v\)، إذا كانت هناك حافة بين \(u\) و\(v\). وإلا نكتب \(u\nsim v\). يقال إنّ الرسم البياني \(\Gamma'\) فرعيّ لـ \(\Gamma\) إذا كان \(V(\Gamma')\subseteq V(\Gamma)\) و\(E(\Gamma')\subseteq E(\Gamma)\). والمكمل \(\overline{\Gamma}\) لـ \(\Gamma\) هو الرسم البياني الذي تكون رؤوسه \(V(\Gamma)\) ويكون رأسان فيه متجاورين إذا وفقط إذا لم يكونا متجاورين في \(\Gamma\). إذا كان \(X\subseteq V(\Gamma)\) فإنّ الرسم البياني الفرعي المستحث \(\Gamma(X)\) هو الرسم البياني الذي تكون رؤوسه \(X\) ويكون رأسان فيه متجاورين إذا وفقط إذا كانا متجاورين في \(\Gamma\). يُسمّى الرسم المساري على \(n\) رؤوس بـ \(P_n\)، والمسار في الرسم البياني هو تسلسل من الرؤوس المتميزة بحيث يتجاور كل رأسٍ مع الذي يليه. يُسمّى الرسم البياني \(\Gamma\) كاملاً إذا كان أي رأسين فيه متجاورين، ويرمز إلى الكامل على \(n\) رؤوس بـ \(K_n\). نرمز بـ \(mK_n\) إلى اتحاد \(m\) نسخ من \(K_n\). يُسمّى الرسم البياني \(\Gamma\) ثنائي الأجزاء إذا أمكن تقسيم \(V(\Gamma)\) إلى مجموعتين فرعيتين بحيث لا يتجاور أي رأسين في نفس المجموعة، ويُسمّى ثنائي الأجزاء كاملاً إذا كان كل رأس في مجموعةٍ ما متجاوراً مع جميع رؤوس المجموعة الأخرى، ويرمز إلى ثنائي الأجزاء الكامل بأحجام \(m\) و\(n\) بـ \(K_{m,n}\).

في هذه الورقة، الحلقة \(R\) حلقة تبادلية آرتينية تحتوي على وحدة، ونرمز بـ \(F_i\) إلى حقلٍ، وبـ \(U(R)\) إلى مجموعة الوحدات في \(R\). للتعريفات الأساسية في نظرية الحلقات، يُرجع القارئ إلى (atiyah1969introduction). تُسمّى الحلقة \(R\) محليّةً إذا كانت تحتوي على مثاليّةٍ عُظمى وحيدةٍ \(\mathcal{M}\). أما بالنسبة لحقل \(F\) فنأخذ \(\mathcal{M}=\langle0\rangle\). ونرمز بـ \(\mathcal{I}^*(R)\) لمجموعة المثاليّات الصحيحة غير التافهة في \(R\). ونسمّي مؤشّر العدميّة للمثاليّة \(I\) في \(R\) بـ \(\eta(I)\)، وهو أصغر عدد صحيح موجب \(n\) بحيث \(I^n=0\). نرمز للمثاليّة المولدة بالعناصر \(x_1,\ldots,x_n\) (\(n\ge1\)) بـ \(\langle x_1,\ldots,x_n\rangle\). استناداً إلى النظرية الهيكلية (atiyah1969introduction)، فإنّ الحلقة الآرتينية التبادلية غير المحلّية \(R\) هي، وحتى التطابق، ناتج ضربٍ مباشرٍ محدودٍ للأحلقات المحليّة \(R_i\)؛ أي \(R\cong R_1\times\cdots\times R_n\) حيث \(n\ge2\).

سنستخدم بشكل متكرر التوصيفات التالية للرسوم البيانية الخطية (انظر beineke1970characterizations).

رسوم مجموع المثاليّات الأوّليّة التي تكون رسوماً خطّيّة

في هذا القسم...