latex
نشتق قانون الانتروبيا-مساحة لأفق المستقبل لمراقب داخل الماسة في الجزء الثابت من زمكان دي سيتر، مع مراعاة رد فعل الحقول الكمومية للمادة على الهندسة. ونثبت إيجابية وتقعر الانتروبيا النسبية للحالات المتماسكة باستخدام نظرية توميتا-تاكيساكي المعيارية، مما يستتبع QNEC للماسات. وعلاوة على ذلك، نظهر أن فرضية الانتروبيا المعممة صحيحة. وأخيرًا، نكشف أن درجة الحرارة المحلية التي يقيسها مراقب ثابت تظهر تصحيحات كمومية فرعية بالنسبة لدرجة حرارة الأفق الكوني المعروفة \(H/(2\pi)\).
منذ اكتشاف بيكنشتاين وهوكينغ لانتروبيا الثقب الأسود (bekenstein1972,hawking1975)، وفرت العلاقة بين الانتروبيا والهندسة رؤى أساسية حول طبيعة الجاذبية الكمومية (jacobson2016). علاوة على ذلك، شجعت الاعتبارات المستوحاة من الجاذبية الكمومية على دراسة كميات معلوماتية ومقاييس انتروبيا جديدة، الأمر الذي أدى إلى نتائج مفاجئة في نظرية الحقل الكمومي (QFT). أحد الأمثلة هو إدخال انتروبيا التشابك كمقياس للتشابك بين الدرجات الحرية الكمومية في مناطق منفصلة مكانيًا، مدفوعًا بالسعي إلى تفسير دقيق لانتروبيا الثقب الأسود (bombelli1986,srednicki1993,solodukhin2011). منذ ظهورها في سياق الديناميكا الحرارية لثقوب السوداء، وجدت انتروبيا التشابك العديد من التطبيقات في نظرية الحقل الكمومي، وبشكل خاص في نظرية الحقل التوافقي في الأبعاد المنخفضة؛ انظر مثلاً (holzheylarsenwilczek1994,calabresecardy2004,calabresecardy2009,wall2011,wall2017,casinihuerta2023,buenocasiniandinomoreno2023,bostelmanncadamurodelvecchio2020). ومع ذلك، تعاني انتروبيا التشابك في QFT من تباينات فوق بنفسجية عامة؛ فيزيائيًا تنشأ من ارتباط الأوضاع عالية الطاقة، ورياضيًا لأن الجبر النموذجي للملاحظات في QFT هو عامل فون نيومان من النوع الثالث لا يقبل أثرًا، فلا توجد مصفوفة كثافة مخفضة (buchholzfredenhagendantoni1987,borchers2000,yngvason2005,witten2018).
المفهوم الأنسب للانتروبيا في الجبر النوع الثالث لنظرية الحقل الكمومي هو الانتروبيا النسبية، المعروفة أيضًا بانحراف كولباك-لايبلر في نظرية المعلومات. تقيس الانتروبيا النسبية التمييز بين حالتين، وهي معرفة لأي جبر فون نيومان، مما يجعلها محددة جيدًا لعوامل النوع الثالث. في ميكانيكا الكم تختزل إلى انتروبيا التشابك مع مساهمة مخصومة بالفراغ. باستخدام نظرية توميتا-تاكيساكي المعيارية (tomita1967,takesaki1970)، يمكن اشتقاق الانتروبيا النسبية من صيغة أراكي-أولمان (araki1975,araki1976,uhlmann1977) عبر الهاملتوني النسبي المعياري.
في الإعداد العام، نفترض جبر فون نيومان \(\mathfrak{A}\) يعمل على فضاء هيلبرت \(\mathscr{H}\) ومتجه دوري ومنفصل \(\ket{\Omega} \in \mathscr{H}\). تنص نظرية توميتا-تاكيساكي على وجود مشغل ذاتي التوافق \(\mathcal{H}\) يحدد التدفق المعياري \(\sigma_\tau(A)=e^{\mathrm{i}\mathcal{H}\tau}A\,e^{-\mathrm{i}\mathcal{H}\tau}\)، مما يوفر مفهومًا طبيعيًا لتطور الزمن المعياري \(\tau\) حيث تكون الحالة \(\ket{\Omega}\) حرارية (KMS). بتعميمها إلى متجهين دوريين ومنفصلين \(\Omega\) و\(\Phi\)، تُعرَّف مبدئيًا هاملتوني نسبي معياري \(\mathcal{H}_{\Omega\Vert\Phi}\)، ويُعطى انتروبيا أراكي-أولمان النسبية بـ \[\label{eq:araki} \mathcal{S}(\Omega \Vert \Phi) = - \bra{\Omega} \mathcal{H}_{\Omega \vert \Phi} \ket{\Omega} \eqend{.}\]
وجدت الانتروبيا النسبية تطبيقات حديثة في سياق الجاذبية شبه الكلاسيكية، معممة نتائج مشتقة باستخدام انتروبيا التشابك ومؤسسة بشكل صارم في QFT. للحالات المتماسكة، الناتجة عن إثارات وحدوية للفراغ، يمكن حساب الانتروبيا النسبية من هاملتوني الفراغ المعياري فقط، ما يبسط الحسابات ويسهل التقييم (longo2019,casinigrillopontello2019,hollands2019,galandamuchverch2023). استُخدمت لصياغة وإثبات حد بيكنشتاين (bousso2003,casini2008,idaokamotosaito2013,longoxu2018)، ومتباينة الطاقة الكمومية الصفرية (QNEC) (ceyhanfaulkner2018,ciollilongoranalloruzzi2022)، لاشتقاق صيغة بيكنشتاين-هوكينغ لشوارتزشيلد (hollands2019)، وإثبات نظريات الفرادة (boussoetal2022)، ولتعريف انتروبيا (dangelo2021) ودرجة حرارة (kurpiczpinamontiverch2021) للثقوب السوداء الديناميكية. مؤخرًا درس ثلاثة من المؤلفين الانتروبيا النسبية بين الحالات المتماسكة في زمكان دي سيتر (froebmuchpapadopoulos2023).
يلعب زمكان دي سيتر دورًا مهمًا كمختبر لنهج الجاذبية الكمومية، خصوصًا لـ فرضية الانتروبيا المعممة. تُعرَّف الانتروبيا المعممة \(\mathcal{S}_\mathrm{gen}\) كمجموع انتروبيا المادة \(\mathcal{S}_\mathrm{M}\) وكمية المساحة المعاد تحجيمها \(A_\mathrm{dS}/(4G_\mathrm{N})\) لأفق دي سيتر، ويُحتمل أن \(\mathcal{S}_\mathrm{gen}\) لا تنقص بإضافة أي مادة (maeda1997,bousso2000,giddingsmarolf2007,banihashemijacobsonsveskovisser2023,balasubramaniannomuraugajin2023,chandrasekaranlongopeningtonwitten2023). بينما دُرست انتروبيا الأفق باستفاضة في سياق التصوير (boussoengelhardt2015,nguyen2017,narayan2018,dongsilversteintorroba2018,narayan2019,genggrieningerkarch2019,ariasdiazsundell2020,geng2020,geng2021,arenashenriquezetal2022), فإن الفرضية ذاتها مستقلة عن التصوير. لذا يمكن فهمها وإثباتها ضمن QFT فقط، مع مراعاة رد فعل المادة على الهندسة. سنتناول هذه المشكلة هنا باستخدام النظرية المعيارية.
نركز على الانتروبيا النسبية بين الحالات المتماسكة لحقل قياسي حقيقي عديم الكتلة في ماسة دي سيتر، مستندين إلى نتائج (froeb2023) لهاملتوني هجين معياري. نظهر أن الانتروبيا النسبية محدبة عند تقليص الماسة في الاتجاه الصفري، مما يثبت متباينة الطاقة الكمومية الصفرية QNEC (boussoetal2016) للمناطق المحدودة في زمكان دي سيتر.
ثم نربط الانتروبيا النسبية بالمساحة الهندسية لأفق الكون، فنشتق قانون حفظ للانتروبيا المعممة باستخدام رد فعل المادة الكمومي على الهندسة الكلاسيكية. تصمد النتيجة مع جبر فون نيومان من النوع الثالث مقترنًا بالجاذبية الكلاسيكية بمعادلات أينشتاين، ويمكن مقارنتها بنتائج حديثة مبنية على جبر من النوع الثاني مع اضطرابات الجاذبية الكلاسيكية (chandrasekaranlongopeningtonwitten2023).
يعتمد بناؤنا على الانتروبيا النسبية، المعرفة دائمًا بشكل جيد، عوضًا عن أساليب تعتمد على انتروبي فون نيومان التي تتضمن كميات متباينة في خطوات وسيطة (chandrasekaranpeningtonwitten2022, kudler-flam2023).
أخيرًا، نحدد مفهومًا محليًا لدرجة الحرارة للمراقبين الثابتين داخل ماسة دي سيتر. في حدٍّ تصبح فيه الماسة كبيرة وتطابق الجزء الثابت بالكامل، نستعيد درجة الحرارة المعروفة لأفق دي سيتر (figarietal1975, gibbonshawking1977)، بينما للمحاتص محدودة الحجم تظهر تصحيحات كمومية ضئيلة.
الجزء ذي الصلة من \(dS\) هو التوسع في رقعة بوانكاريه بالمترية \(g_{\mu\nu}=e^{2\omega}\eta_{\mu\nu}\) مع عامل التطابق \(\omega=-\ln(-H\eta)\) والزمن التطابقي \(\eta\in(-\infty,0)\). غير أن مراقبًا ثابتًا لا يصل إلى هذا كله؛ فالمنطقة المقابلة له (عند \(r=0\)) هي الرقعة الثابتة بالمترية \[\label{eq:metric-static-coordinates} \mathrm{d}s^2=-(1-H^2R^2)\mathrm{d}T^2+(1-H^2R^2)^{-1}\mathrm{d}R^2+R^2\mathrm{d}\Omega^2\] كلا المنطقتين تظهران في الشكل.
الماسات \(dS\) التي ندرسها، مركزها \((\chi,\vec0)\) ونصف قطرها \(\ell\)، هي \[\label{eq:desitter_diamond} \diamond_{\chi,\ell}=\{(\eta,\vec x)\colon r=|\vec x|\in[0,\ell),\;\eta\in(\chi-\ell+r,\chi+\ell-r)\}\eqend{.}\] الهاملتوني المعياري لحقل تطابقي البعد \(\Delta\) في الفراغ \(\ket\Omega\) يُعطى بتكامل التوتر الكمومي \(\hat T_{\mu\nu}\) على سطح كوشي \(\Sigma=\{\eta=\chi\}\) (froeb2023). باستخدام إعادة التحجيم التطابقي \(f_\omega=e^{(4-\Delta)\omega}f\) والحقل اللاكتلي \( \phi\)، يُكتب الهاملتوني \[\label{eq:modular-hamiltonian} \mathcal{H}_{\chi,\ell}=\int_\Sigma\hat T_{\mu\nu}[\phi]\,\xi^\mu n^\nu\,\mathrm{d}^3\Sigma\eqend{,}\] حيث المتجه القتل التطابقي \[\label{eq:conformal_killing} \xi^\mu=\frac\pi\ell\Big[(\ell^2-\tau^2)\delta^\mu_0+2(\tau-\eta)x^\mu-x^2\delta^\mu_0\Big]\eqend{.}\]
من الهاملتوني المعياري نحصل على صيغة صريحة للانتروبيا النسبية للحالات المتماسكة \(\exp(i\Phi(f))\ket\Omega\). تتقلص صيغة أراكي-أولمان إلى (casinigrillopontello2019,longo2019,lashkariliurajagopal2021) \[\label{eq:araki-uhlmann} \mathcal{S}\bigl(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega\bigr)=-\bra\Omega e^{i\Phi(f)}\,\mathcal{H}_{\chi,\ell}\,e^{-i\Phi(f)}\ket\Omega\eqend{.}\] وبما أن \(\mathcal{H}_{\chi,\ell}\) رباعي في الحقول، يعطي ذلك بعد إعادة التحجيم وتطبيق معادلة بيكر-كامبل-هاوسدورف (achillesbonfiglioli2012) التعبير \[% \mathcal{S}\bigl(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega\bigr) =\int_\Sigma T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega)\,\xi^\mu n^\nu\,\mathrm{d}^3\Sigma \eqend{,}\] حيث \(\Delta f_\omega(x)=\int\Delta(x,y)f_\omega(y)\,\mathrm{d}^4y\) و\(\Delta(x,y)=-i[\phi(x),\phi(y)]\).
وعلى اعتبار أن الإثارة المتماسكة تُعرَّف كموجة كلاسيكية، يمكن إعادة كتابة الانتروبيا النسبية كتكامل للتوتر الكلاسيكي المحسن (froeb2023) \[\label{eq:SET-coherent} T_{\mu\nu}(f)=\tfrac23\partial_\mu f\,\partial_\nu f-\tfrac13f\,\partial_\mu\partial_\nu f-\tfrac16\eta_{\mu\nu}\partial_\rho f\,\partial^\rho f\eqend{,}\] ليكون \[\label{eq:relative-entropy-stress} \mathcal{S}\bigl(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega\bigr) =\int_\Sigma T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega)\,\xi^\mu n^\nu\,\mathrm{d}^3\Sigma\eqend{.}\] وباستعمال معادلة كلاين–غوردون وتكامل أجزاء للمشتقات الفضائية، نحصل على التعبير الواضح \[\label{eq:entropy-diamond} \mathcal{S}\bigl(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega\bigr) =\frac\pi{2\ell}\int_{\eta=\chi} \Bigl[(\ell^2-\vec x^2)\bigl(\partial_\eta g\,\partial_\eta g+\partial_i g\,\partial^i g\bigr) +2g^2\Bigr]\mathrm{d}^3\vec x\eqend{,}\] حيث \(g=\Delta f_\omega\). هذا التعبير إيجابي بوضوح (hollandssanders2017).
إلى جانب الإيجابية، تلبي الانتروبيا النسبية خصائص مهمة كالحفاظ على الترتيب تحت الخرائط الموجبة التامة والتحدب المشترك في كلتا الحجتين (hollandssanders2017). وهي تشكل أساسًا لصياغة وإثبات متباينات الانتروبيا في QFT. يعرف عن الانتروبيا النسبية بين الحالات المتماسكة أنها محدبة تحت الشموليات النصفية المعيارية، وهو شرط كافٍ لإثبات QNEC على أي أسفين نصف متغير في زمكان شامل (ciollilongoranalloruzzi2022).
نثبت هنا صراحةً أن الانتروبيا النسبية محدبة تحت الشموليات الناتجة من تقليص الماسات في دي سيتر نحو المستقبل مع تثبيت الطرف المستقبلي. لنفترض ماسة بحجم \(\ell_0\) مركزها \((\chi_0,\vec0)\) وماسة أصغر بحجم \(\ell<\ell_0\) مركزها \((\chi_0+\ell_0-\ell,\vec0)\). يحقق التدفق المعياري للماسة الأكبر \[\exp(i\tau\mathcal{H}_{\chi_0,\ell_0})\,\mathfrak{A}_{\text{sub}}\,\exp(-i\tau\mathcal{H}_{\chi_0,\ell_0})\subset\mathfrak{A}_{\text{sub}},\quad\tau\ge0\eqend{,}\] حيث \(\mathfrak{A}_\text{sub}\) هو الجبر الفرعي للحقول المدعومة في الماسة الأصغر، وهو شرط الشمولية النصفية المعيارية (borchers2000,ciollilongoranalloruzzi2022).
لنأخذ سطح كوشي عند \(\eta=\chi=\chi_0+\ell_0-\ell\)، وندع \(g=\Delta f_\omega\) يدعم هذا السطح. تعطي الانتروبيا النسبية بواسطة التعبير \eqref{eq:entropy-diamond} مع \(\chi=\chi_0+\ell_0-\ell\). نتيجة حساب مباشر هي \[\partial_\ell^2\mathcal{S}(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega) =-\frac2\ell\partial_\ell\mathcal{S}(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega)\eqend{.}\] بدمجها نحصل \[\mathcal{S}(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega) =\frac{\mathcal{S}_1}{\ell}+\mathcal{S}_2\eqend{,}\] حيث \(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2\) ثوابت موجبة. ومن ثم \[\label{eq:entropy-convexity} \partial_\ell^2\mathcal{S}(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega)\ge0\eqend{,}\] مما يثبت تقعر الانتروبيا النسبية للماسات في دي سيتر وينتج QNEC لهذه المناطق (ciollilongoranalloruzzi2022).
من المعروف منذ زمن طويل أنه يمكن ربط الانتروبيا بالأفق الكوني (gibbonshawking1977) بطريقة مماثلة لانتروبيا بيكنشتاين-هوكينغ للثقوب السوداء (hawking1975). نبيّن هنا كيف أن تشويش المادة على الهندسة الكلاسيكية يغير مساحة الأفق الكوني بما يتوافق مع فرضية الانتروبيا المعممة في الفضاء الديناميكي.
كما في حسابات الثقوب السوداء الثابتة (hollands2019) والديناميكية (dangelo2021)، نستخدم معادلة رايتشودوري لربط الانتروبيا النسبية بتغير مساحة الأفق. للماسة المتمركزة عند \(\chi=-\ell\)، نعرف الإحداثيات العديمة \(u=\eta-r\)، \(v=\eta+r\). تصبح المترية \[\mathrm{d}s^2=\frac{4}{H^2(u+v)^2}\Bigl[-\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v+\frac{(v-u)^2}{4}\mathrm{d}\Omega^2\Bigr]\eqend{,}\] والأفق المستقبلي هو \(v=0\)، \(u\in[-2\ell,0]\). بالإحداثيات الذاتية \(u,\theta,\phi\) والمتجه العادي \(n_\mu=\partial_\mu v=\delta_\mu^v\) (أو \(n^\mu=-2\delta^\mu_u\))، وبعد إعادة تحجيم ملائمة يصبح القياس المقطعي على الأفق هو قياس الكرة الوحدوية ثنائي الأبعاد \(\mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\)، وينشئ التدفق المعياري \[\xi^\mu\partial_\mu =-\frac\pi\ell\bigl[u(u+2\ell)\partial_u+v(v+2\ell)\partial_v\bigr]\eqend{.}\]
بما أن صيغة الانتروبيا النسبية لا تعتمد على اختيار سطح كوشي (froeb2023)، نختار السطح نفسه أفقًا. فتتبسط المعادلة \[\label{eq:relative-entropy-stress-horizon} \mathcal{S}\bigl(\Omega\Vert e^{i\Phi(f)}\Omega\bigr) =-\frac{2\pi}{\ell}\int_{u=-2\ell}^0\!\int T_{uu}\bigl|_{v=0}\,u(u+2\ell)\,\mathrm{d}\Omega\,\mathrm{d}u\eqend{.}\]
لحساب تغير مساحة الأفق أوليًّا في التشويش، ننقل تحليل موتر الإجهاد \(T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega)\) من (eq:SET-coherent) إلى معادلة رايتشودوري في الإحداثيات العديمة. التصحيح الرئيسي لمتجه التوسع الأفقي هو \[\left.\frac{\mathrm{d}\,\delta\Theta}{\mathrm{d}u}\right|_{v=0}=-32\pi G_\mathrm{N}\,T_{uu}\eqend{,}\] حيث \(\delta\Theta\) هو توسع الجيوديسيا المعياري للأفق الناتج عن التشويش المتماسك. مساهمات القص والدوران وغيرها من المصطلحات غير الخطية مهملة في هذا التقريب.
أخيرًا، تستند فكرة درجة الحرارة المحلية إلى العلاقة الديناميكية الحرارية بين الانتروبيا والطاقة. لنفترض مراقبًا بزمن ملائم \(t\) وسرعة رباعية \(v^\mu=-g^{\mu\nu}\partial_\nu t\) داخل ماسة؛ يعبر سطح كوشي \(\Sigma\) بحيث \(v_\mu|_\Sigma=n_\mu\). تُعطى الانتروبيا النسبية التي يقيسها هذا المراقب بالتعبير السابق، وتُعرَّف كثافة الانتروبيا \(s\) عبر التكامل فيه. هذه الكثافة تقابل كثافة الطاقة \(e=v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\)، فتؤدي القاعدة الأولى للديناميكا الحرارية \(\delta s=\beta\,\delta e\) إلى المعكوسة الحرارية \(\beta=\partial t/\partial(-\tau)\)، حيث \(\tau\) زمن التدفق المعياري الذي يولده الهاملتوني المعياري (\(\xi^\mu\partial_\mu=\partial_\tau\)) (connesrovelli1994,martinettirovelli2003,longomartinettirehren2010).
للحصول على تعبير صريح لـ \(\beta\)، ننتقل للإحداثيات الثابتة. هناك تُكتب الماسة بالشكل \[\diamond=\{(T,\vec X)\colon HR<1,\;HT>-\ln\bigl(2H\ell\sqrt{(1-HR)/(1+HR)}\bigr)\}\] حيث \(R=|\vec X|\). يمر مراقب ثابت عبر \((T,\vec0)\) عند \(\tau=0\) مسلكًا \((T_\tau,\vec0)\) مع \[\label{eq:desitter_doublecone_flow_coords_static} T_\tau=T_\mathrm{min}+\frac1H\ln\bigl[1+e^{-2\pi\tau}(2e^{HT}H\ell-1)\bigr]\eqend{.}\] بما أن \[\lim_{\tau\to\infty}T_\tau=T_\mathrm{min}\equiv-\tfrac1H\ln(2H\ell),\quad \lim_{\tau\to-\infty}T_\tau=\infty,\] يقطع المراقب الماسة كلها.
بحساب \(\beta=\partial T_\tau/\partial(-\tau)\) نحصل \[ \beta =\frac{2\pi}{H}\,\frac{2e^{HT}H\ell-1}{2e^{HT}H\ell-1+e^{2\pi\tau}} =\frac{2\pi}{H}\bigl[1-e^{-H(T_\tau-T_\mathrm{min})}\bigr]\eqend{.} \] الحد الأول هو درجة حرارة الأفق الكوني المعروفة (gibbonshawking1977)، والحد الثاني تصحيح فرعي يتناقص أسيًّا مع الزمن. في حد \(\ell\to\infty\) حيث تطابق الماسة القطعة الثابتة، يصبح \(T_\mathrm{min}\to-\infty\) ونستعيد \(\beta\to2\pi/H\) لكل الأوقات.
حددنا الانتروبيا النسبية (صيغة أراكي-أولمان) للإثارات المتماسكة للفراغ داخل الماسة في دي سيتر. أظهرنا تحديدًا تقعر الانتروبيا النسبية عند تقليص الماسة في اتجاه الصفري، ما يثبت QNEC للماسات في دي سيتر (boussoetal2016). بعد ذلك درسنا رد فعل الإثارة المتماسكة على الهندسة عبر معادلة رايتشودوري، وأثبتنا أن التغير في مساحة الأفق المستقبلي يعوض بدقة الانتروبيا النسبية، فتبقى الانتروبيا المعممة ثابتة. أخيرًا، بيّنّا أن مراقبًا داخل الماسة يقيس درجة حرارة محلية تختلف عن \(H/(2\pi)\)، لكن التصحيحات تتلاشى بسرعة أسية.
يمثل هذا العمل إطارًا لدراسة أعمق لردود الفعل الكمومية، ويُفتح الباب لاستكشاف انتروبيا الحالات الكمومية الجاذبية واضطرابات الأفق الكوني. يُنتظر أن تؤدي هذه التصحيحات إلى تقليص مساحة الأفق، مؤكدة فرضية الانتروبيا المعممة. لمعالجة التغاير القياسي، سيكون ضرورياً الاعتماد على مراقبات علائقية (dittrich2006,gieselthiemann2015,brunfredhackpinrej2016,froeblima2023).
نحن ممتنون لنيكولا بينامونتي وراينر فيروش لمناقشاتهم المفيدة. يشكر م.ب.إف. جامعة جنوة، ويشكر إ.د.، إ.ج.، وب.إم. دانييلا كادامورو وITP لايبزيغ على كرم الضيافة. يدعم م.ب.إف. الجمعية الألمانية للبحث العلمي (DFG) – رقم المشروع 396692871 ضمن منحة إيمي نوثر CA1850/1-1. يدعم إ.د. بمنحة دكتوراه من جامعة جنوة ومشروع GNFM–INdAM Progetto Giovani نماذج سيغما غير الخطية ومعادلة ويترش اللورنتزية CUP_E53C22001930001. يشكر إ.د.، إ.ج.، وب.إم. مجموعة الفيزياء الرياضية الوطنية (GNFM–INdAM). دعمت أبحاث إ.د. وإ.ج. جزئيًا مشروع قسم التميز MIUR للفترة 2023–2027 في قسم الرياضيات بجامعة جنوة، CUP_D33C23001110001.
ينتج هذا الشكل أيضًا من التعبير الصريح لعمل الهاملتوني المعياري \(\mathcal{H}_{\chi,\ell}\) في الإحداثيات الثابتة ().↩