نطوّر خوارزمية تكرارية لحساب جذور المعادلات الحدودية التعسفية في حقل سلاسل Puiseux، بما في ذلك تلك غير القابلة للفصل. تقوم الخوارزمية بتحويل المعادلة الحدودية وجذورها إلى صورة خاصة، ثم تستخلص معادلة حدودية أحادية الحد جديدة تحتوي على معلومات دقيقة حول الجذور. كما نوفر تطبيقًا عمليًا لهذه الخوارزمية بلغة Python.
لتكن \(\mathbb{N}\) مجموعة الأعداد الطبيعية التي تشمل الصفر. وعلى فرض أن \(K\) حقل، وأن \(K((x^\frac{1}{n}))\) هو حقل سلاسل Puiseux المبني عليه. تُكتب عناصر \(K((x^\frac{1}{n}))\) على الشكل \(y = \sum_{k=k_0} ^\infty b_{k}x ^{\frac{k}{n}},\ n \in \mathbb{Z}\). عندما يقتصر التعبير على عدد محدود من الحدود، نسمّي \(d_x\) درجة \(y\). ولتكن \(Q : K((x)) \to K((x))\) متعدد حدود على هذا الحقل، \(Q(y) = a_{d_y} y^{d_y} + \cdots + a_1 y + a_0,\ d_y \in \mathbb{N^+}\)، حيث \(d_y\) درجة \(Q\). ولتكن \(\alpha = \sum_{k=0} ^\infty b_{k}x ^{\frac{k}{n}},\ n \in \mathbb{Z}\) جذرًا لـ\(Q\).
تُسمّى المعادلة الحدودية ذات التعددية-\(s\) إذا وجدت \(s\) جذور \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) لـ\(Q\) بحيث يكون الحد الثابت \(b_0\) صفرًا في جميع هذه الجذور.
وتُسمّى المعادلة الحدودية ذات التعددية-\(s\)-زائدة إذا وجدت \(s^+\) جذور \(\alpha_1,\dots,\alpha_{s^+}\) لـ\(Q\)، حيث \(s^+ \in \{1,\dots,s\}\) و\(s\) هي التعددية لـ\(Q\)؛ بحيث يكون الحد الثابت \(b_0\) صفرًا في جميع هذه الجذور، ويُحقق الحد الأول \(b_1\) نفس القيمة لكل \(\alpha_j\)، \(j=1,\dots,s^+\).
على سبيل المثال، المعادلة الحدودية \(Q(y) = (y-(1+x+x^2))(y-x^{0.5})(y-x^{0.6})(y-x^{0.5} + x^2)\) لديها تعددية من الدرجة 3 وتعددية زائدة من الدرجة 2.
ولنعتبر خريطة التقييم \(v: K((x)) \to \mathbb{Q}\) المعرفة بـ\(v(y) = k_0\).
لنتخيّل أننا نملك خوارزميةً لحساب أصغر جذر لمعادلة حدودية \(Q\)، مثل \(Q(y) = (y-(1+x+x^2))(y-(2+x+x^2))\) فوق حقل سلاسل Puiseux. هنا يكون الجذر الأصغر هو (1+x+x^2)، إذ نعني بالأصغر الجذر الذي يملك أقل تقييم عند الحد الرئيسي. ومع ذلك، تستطيع الخوارزمية عادةً حساب الجذر الأعلى تقييمًا، أي \(2+x+x^2\). فكيف نمضي قدمًا لحساب الحدود التالية للتوسعة؟ يكمن الحل في تحويل المعادلة الحدودية وجذورها. بعد ذلك نحصل على المعادلة المحوّلة \[Q_{shift} = (y-(x+x^2))(y-(1x+x^2))\] ونتمكّن بسهولة من استخراج الحد التالي عبر الخوارزمية، وهو \(x\). في هذه الورقة نستعرض هذه الفكرة من خلال: (1) تطوير خوارزمية لحساب أصغر جذر تحت شروط معينة، و(2) كيفية تحويل المعادلة الحدودية لتلبية هذه الشروط. يمكن الاطلاع على نظرة عامة على هذه العملية في القسم algorithm. كما توجد طرق مماثلة ضمن سلاسل Puiseux وسلاسل القوى، مثل صيغة قاعدة Hensel ونُسخها المحسّنة (neiger)، أو عبر طريقة Newton Puiseux (brieskorn2012plane).
في هذا القسم نستعرض النتيجة الرئيسية. تقوم الطريقة على تقليص المعادلة الحدودية إلى معادلة أصغر حجمًا تحت شروط محددة. في القسم 4 نبيّن كيفية تحويل أي معادلة حدودية إلى صورة تفي بهذه الشروط تمامًا. ثم نحسب الجذر الواحد تلو الآخر وفق خوارزمية نيوتن–Puiseux الأصلية.
لتكن \(Q : K((x)) \to K((x))\) معادلة حدودية، \(Q(y) = a_{d_y} y^{d_y} + \cdots + a_1 y + a_0,\ d_y \in \mathbb{N^+}\). ولنفترض أن \(\alpha_1,\dots,\alpha_{d_y}\) هي جذورها، مع \(v(a_i)\ge0\) لكل \(i\). نفرض كذلك أن \(v(\alpha_j)\ge e>0\) لكل \(j=1,\dots,s\)، حيث \(s\in\{1,\dots,d_y-1\}\) و\(e\in\mathbb{Q}\)، مع توفر \(v(\alpha_j)=e\) لجميع \(j=1,\dots,s^+\) بحيث \(s^+>1\). يمثل هذا \(s\) التعددية لـ\(Q\)، ويمثل \(s^+\) التعددية الزائدة؛ وتكون \(e\) أصغر قيمة للتقييم بين جميع \(v(\alpha_j)\).