LaTeX
النتيجة الرئيسية تتعلق بنظام تحليل ثنائي الفئات في ثنائي الفئة \(\mathrm{Cat}\)، أي فئة الفئات والدوال. إذ إن كل دالة \(A\xra{f} B\) تتفكك، حتى الهوية، إلى المركب \(A\xra{j}E\xra{p}B\) حيث \(j\) ما نسمّيه دالةً نهائيةً و\(p\) ما نسمّيه تصنيفَ مجموعة. كما نثبتُ أن كل دالة مساعدة يمينية هي دالة نهائية، ونوضّح تأثيرَ الدوال التي يكون معاملها النهائي دالةً مساعدةً يمينيةً على النظرية العامة للدوال المتعددة.
عندما كنت طالباً جامعياً، اطلعت على أعمال راسل (Russell) وكنت مرتبكاً بشأن الأسس الرياضية. بدا مخطط الاستيعاب نقطة وصل مركزية بين الرياضيات واللغة. ثم سعدت بالاكتشاف الذي وجدته في أوراق لورفير (Law1965, Law1969, Law1970).
التحليل الموصوف هنا فكرة قديمة كنت أرغب في التحقق منها بدقة وكتابتها، ولكنني لم أجد دافعاً لهذا العمل إلا الآن. هذا الدافع يتعلق بـ\(\mathrm{Cat}\) كنموذج لثنائي الفئات المكثَّف في ورقتي الأخيرة (134). نريد تعريفاً خاصّاً لدالة من حيث أن أحد عوامِلها يمتاز بصفة خاصة.
فكرة هذه الورقة هي تعديل التحليل الشامل لدالة \(A\xra{f} B\) باعتبارها المركب \(A\xra{j}E\xra{p}B\)، حيث \(j\) دالةٌ نهائية (بالمعنى المستخدم في CWM—التي يسميها ألترز والمؤلف أحياناً «تماسك») و\(p\) تحليلٌ منفصل. أطلقنا على هذا «نظام التحليل» لارتباطه بمخطط الاستيعاب للمجموعات. وهو نوع من نظام التحليل العمودي بالمفهوم التقليدي على \(\mathrm{Cat}\) كفئة، وبحسب التخصيص على \(\mathrm{Cat}\) كثنائية صارمة. وتعني «منفصل» بالطبع أن ألياف \(p\) هي مجموعات.
والآن نتساءل: إذا اعتبرنا \(\mathrm{Cat}\) كثنائي فئات، فهل نحصل على نظام تحليل ثنائي عندما نعمل في إطار ثنائي الفئات بالكامل، ونغلق التحليلات تحت التركيب مع التكافؤات، ونطالب بأن تكون الألياف الزائفة مجموعات؟
الإجابة إيجابية. يوازي دليلنا دليل التحليل الشامل المعتاد كما وصفه فيريتي والمؤلف في 104. استبدلنا الدوال النهائية بما نسمّيه «دوال نهائية» والتحليلات المنفصلة بما نسمّيه «تحليلات مجموعة». وفي تطبيقنا، نركّز على الدوال التي يكون معاملها النهائي دالةً مساعدةً يمينيةً.
أشكر ألكسندر كامبل على الإشارة إلى العمل المتعلق بجويل حيث يُعرف \(n\)–النهائي، و\(n\)–التحليل، ونظام التحليل الطوبولوجي في سياق الفئات شبه-المجموعات (راجع الصفحة 170 من JoyV1 والأقسام A.6–8 من JoyV2).
المفهوم التالي يسميه غروتنديك «قويّ ديكارتي». هذه التحويلات دوماً تُغلق تحت التركيب (على عكس تلك التي سمّاها «ديكارتي»).
[cartesianmor] لنفترض أن \(p : E \to B\) تابع. نسمي المورفزم \(\chi : e' \to e\) في \(E\) ديكارتي بالنسبة إلى \(p\) إذا كان المربع التالي سحباً لكل \(k\in E\): \[\label{cart} \begin{aligned} \xymatrix{ E(k,e') \ar[rr]^-{E(k,\chi)} \ar[d]_-{p} & & E(k,e) \ar[d]^-{p} \\ B(pk,pe') \ar[rr]_-{B(pk,p\chi)} & & B(pk,pe) } \end{aligned}\]
بما أن أي مربع تبادلي جانبيه معكوسان هو سحب، فإن جميع المورفزمات القابلة للعكس في \(E\) ديكارتي، وإذا كان \(p\) مخلصاً تماماً، فكل مورفزم في \(E\) ديكارتي.
[gpdfib] نُسمِّي التابع \(p : E \to B\) «تصنيف زُمَري» عندما:
تشمل تصنيفات الزمر لدينا جميع التكافؤات بين الفئات، ولذلك قد لا تكون تصنيفات بالمعنى الذي يقصده غروتنديك. ومن السحب يتبع أن تصنيفات الزمر محافظة (تعكس القابلية للعكس)، فتكون أليافها الزائفة \(E_b\) زمراً.
بالنسبة للدوال \(A\xra{f}C\xla{g}B\)، نكتب \(f/g\) لفئة الفواصل (أو الشريحة) بين \(f\) و\(g\)؛ وهي الرأس الأيسر الأعظم للمربع العالمي: \[\label{commasq} \begin{aligned} \xymatrix{ f/g \ar[d]_{s}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{t} & & B \ar[d]^{g}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda} \\ A \ar[rr]_-{f} & & C } \end{aligned}\] في ثنائي الفئة \(\mathrm{Cat}\). خاصةً، فئة الأسهم لـ \(E\) هي \(E^{\mathbf{2}} = 1_E/1_E = E/E\). وللتابع \(E\xra{p}B\)—مع كتابة \(B/p = 1_B/p\)—هناك مورفزم قانوني \(E^{\mathbf{2}}\xra{r}B/p\) موصوف كما يلي: \[\xymatrix{ E^{\mathbf{2}} \ar@/_/[ddr]_{p s} \ar@/^/[drrr]^{t} \ar@{.>}[dr]|-{r} \\ & B/p \ar[d]_{u}="1" \ar[rr]^{h} & & E \ar[d]^{p}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda} \\ & B \ar[rr]_{1_B} & & B }\]