latex

مُلَخَّص

بينما تحمل تقنية العدسة الجاذبية العكسية وعوداً كبيرةً في كشف بنية توزيع الكتلة (مضيئةً كانت أم مظلمةً) التي تحرف الضوء، يوجب تَعَدُّد أشكال تكافؤ الحلول الحذرَ عند تفسير نماذج العدسة المستخلَصة. يوضح هذا المقال كيف يساعد التفكير من منظور الإمكان المتوقع على تعميق الفهم في هذا الصدد. وعلاوةً على ذلك، نشرح صراحةً كيف يمكن، بدءاً من نسخةٍ مُفصَّلةٍ من الإمكان المتوقع لعدسةٍ معيّنة، استخدام البرمجة التربيعية لتوليد نماذجٍ مكافئةٍ تحافظ على جميع الخصائص أو على مجموعةٍ فرعيةٍ منها. نطبّق هذه الطريقة على عدة سيناريوهات، مما يبرز صعوبة السيطرة على الكتلة خارج منطقة العدسة القوية، ثم نُعيد دراسة توزيع الكتلة بين الصور ونطبّق ذلك على نموذجٍ حديثٍ لتجمع SDSS J1004+4112. كما نوضح التناظرات العامة لتحوّل ورقة الكتلة ونقل موضع المصدر. في حالة J1004 نظهر أن إعادة توزيع الكتلة لم تقتلع بالكامل تجمعَ المادة المظلمة الذي كشفته grale بالقرب من إحدى صور الكوازار.

مُقَدِّمَة

بعيداً عن إنتاج مشاهد بصرية رائعة، يحمل انحراف الضوء بفعل عدسة الجاذبية وعداً بتوفير رؤًى حول توزيع المادة المسؤولة عنه، فضلاً عن استقصاء معلمات النموذج الكوني. ولتحقيق ذلك، يلزم عادةً محاولةُ عكس تأثير العدسة، أي إعادة بناء نموذجٍ لعدسةٍ جاذبيةٍ متوافقٍ مع المشاهدات.

على مرِّ السنين، طُورت عدة تقنياتٍ لذلك تختلف في نوعية المشاهدات المدخلة وكذا في كيفية تمثيل توزيع المادة المراد استخلاصه. يمتد ذلك من التحليلات الإحصائية للتشوهات الضعيفة لمجرات الخلفية (العدسة الضعيفة)، إلى استعمال صورٍ متعددةٍ ربما مشوهةٍ بشدة (العدسة القوية). يمكن تمثيل توزيع كتلة العدسة بعددٍ صغيرٍ نسبياً من مكونات الكثافة عادةً متوافق مع المادة المرئية (مثل أداة العدسة LensTool (2007NJPh....9..447J))، أو بمجموعةٍ واسعةٍ من الدوال الأساسية (مثل PixeLens (2004AJ....127.2604S, 2008ApJ...679...17C))، أو بنهج هجين يجمع بينهما (مثل wslap+ (2014MNRAS.437.2642S)). ومع ذلك، هناك من لا يمثل توزيع الكتلة مباشرةً، بل يمثل الجهد الجاذبي للعدسة (مثل relensing (2023MNRAS.518.4494T)).

بغض النظر عن الإجراء والبيانات المدخلة، من المهم إدراك أن حلّ مشكلة العكس ليس فريداً؛ فهناك أنواع عديدة من تكافؤات الحلول التي تفسر المشاهدات بنفس الجودة. بعض هذه الحلول متطابقةٌ تماماً، فيما تختلف أخرى من حيث المبدأ لكن الاختلافات تظل ضمن حدود عدم اليقين في البيانات. واعتماداً على كيفية تمثيل التوزيع، قد تظهر هذه التكافؤات بطرق مختلفة، وربما يبدو أنها غائبة إذا لم توفّر التقنية المستخدمة الحرية الكافية لوصفها. ومع ذلك، فإن وجود حلولٍ متعددةٍ مكافئةٍ أمرٌ جوهريّ، لذا يجب توخي الحذر عند تفسير نتائج العكس.

في هذه المقالة، نبرز كيف يساعد التفكير في الانعكاس العدسي على مستوى الجهد لا على مستوى التوزيع فقط، في الكشف عن الخصائص القابلة للتقييد بإحكام. بافتراض وجود حلّ لعكس العدسة، نقدّم أداةً تستخدم البرمجة التربيعية لاستكشاف نماذج عدساتٍ مكافئةٍ دقيقةٍ مع البيانات.

بعد إعادة صياغةٍ مختصرةٍ للصياغة الرسمية لعدسة الجاذبية في القسم [sec:formalism]، نقدم نموذجاً مبسّطاً في القسم [sec:toymodel] لدراسة ظهور قمم كثافةٍ خارج نطاق الصور المُكبّرة عند استخدام grale. نشرح الفكرة وتطبيق البرمجة التربيعية في الأقسام [sec:extrap] و[sec:qp]، ثم نطبّقها على نموذج قمم الكثافة الخارجية ونراجع تناظرات التكافؤ المعروفة في القسم [sec:apps]. نختم بمناقشةٍ في القسم [sec:discussion].

صِياغَةُ عدسةِ الجاذبيّةِ

فيما يلي استعراضٌ موجزٌ للصياغة؛ للتفاصيل يُرجع القارئ إلى SchneiderBook. في تقريب العدسة الرقيق المعتاد، تُنمذج كثافة كتلة العدسة ثنائية الأبعاد في مستوى العدسة. تُسبّب هذه الكثافة \(\Sigma(\Vec{\theta})\)، حيث يحدد \(\Vec{\theta}\) اتجاه الرؤية، انحراف أشعة الضوء من المصدر إلى المراقب. معادلة العدسة، \[ \Vec{\beta} = \Vec{\theta} - \frac{D_{\rm ds}}{D_{\rm s}} \Vec{\hat{\alpha}}(\Vec{\theta}) \mcm \label{eq:lenseqn} \] تصف التعيين: عند النظر في اتجاه \(\Vec{\theta}\)، يأتي الضوء كأنه من \(\Vec{\beta}\) لو أمكن التغاضي عن الانحراف. زاوية الانحراف \(\Vec{\hat{\alpha}}(\Vec{\theta})\) تحددها كلياً الإِمكان المتوقع \(\Sigma(\Vec{\theta})\)، ويُعاد تحجيمها بواسطة المسافات الزاوية القطرية \(D_{\rm ds}\) و\(D_{\rm s}\). ويرمز لمسافة المراقب–العدسة ب\(D_{\rm d}\). غالباً ما يستخدم المرء زاوية الانحراف المعاد تحجيمها \(\Vec{\alpha} = \tfrac{D_{\rm ds}}{D_{\rm s}}\;\Vec{\hat{\alpha}}\). تصف المعادلة تحويل شكل المصدر في مستوى \(\Vec{\beta}\) إلى صور متعددة في مستوى \(\Vec{\theta}\).

يمكن إظهار أنه في هذا التقريب الرقيق، تنشأ زاوية الانحراف من الإسقاط الثنائي الأبعاد للجهد الجاذبي، المسمى جهد العدسة أو الإمكان المتوقع \(\psi(\Vec{\theta})\): \[ \Vec{\alpha}(\Vec{\theta}) = \nabla\,\psi(\Vec{\theta}) \mpt \label{eq:gradpsi} \]

ويتعلق هذا الجهد بالتقارب \(\kappa(\Vec{\theta})\) عبر: \[ \kappa(\Vec{\theta}) = \tfrac{1}{2}\nabla^2\psi(\Vec{\theta}) \mcm \label{eq:nablapsi} \] حيث \(\kappa=\Sigma/\Sigma_{\rm crit}\)، و\(\Sigma_{\rm crit}=c^2D_{\rm s}/(4\pi G D_{\rm d}D_{\rm ds})\) هي الكثافة الحرجة.

إذا توافقت صورتان في \(\Vec{\theta}_i\) و\(\Vec{\theta}_j\) مع نفس المصدر \(\Vec{\beta}\)، ينشأ تأخير زمني \(\Delta t_{ij}=t(\Vec{\theta}_i,\Vec{\beta})-t(\Vec{\theta}_j,\Vec{\beta})\) يمكن قياسه لمصدر متقلب. حيث \[ t(\Vec{\theta},\Vec{\beta})=\frac{1+z_d}{c}\frac{D_{\rm d}D_{\rm s}}{D_{\rm ds}} \Bigl[\tfrac{1}{2}(\Vec{\theta}-\Vec{\beta})^2-\psi(\Vec{\theta})\Bigr] \label{eq:timedelay} \] ويمثل \(z_d\) انزياح العدسة الأحمر.

النظام الذي تظهر فيه صور عديدة لمصدرٍ واحدٍ يُعرف بالعدسة القوية، وحتى إذا ظهرت صورة واحدة فقط فقد تكون مشوهةً. أبعد عن الكتلة الرئيسية يكون تأثير العدسة ضعيفاً؛ توصف التشوهات هناك بمركبات القص \[ \gamma_1=\tfrac12\Bigl(\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta_x^2}-\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta_y^2}\Bigr), \quad \gamma_2=\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta_x\partial\theta_y} \mpt \label{eq:gamma} \] والتحليلات الإحصائية لمجرات الخلفية لا تستطيع فصل هذه القيم، بل تقدّر مزيجها مع التقارب بإظهار القص المخفّض \(g_i=\gamma_i/(1-\kappa)\).

يبقى النقاش في المقال مركزاً على العدسة القوية؛ وتطبيقاتٌ مماثلةٌ تنطبق على العدسة الضعيفة.

قِمَمُ الكثافةِ الخارجيّةِ

في عمليات المسح العدسي القوي التي نجريها باستخدام Grale (Liesenborgs, 2020MNRAS.494.3253L)، نعيّن منطقةً لاسترداد التوزيع الكتلي. لا ينبغي أن تتجاوز هذه المنطقة حدودَ أنظمة الصور المتعددة كثيراً، وقد نضطر لجعلها أوسع بعض الشيء لتحسين جودة إعادة البناء.

في هذه الحالات قد تُضيف خوارزميةُ التحسين كتلةً إضافيةً قرب حافة المنطقة، حيث لا تحاط هذه القمم بصورٍ مكبّرةٍ بقوة. وعند تجميع عشرات النتائج وتمهيسها يظل أثر هذه الهياكل دون أن يُزال. يوضح الشكل [fig:externalmassexamples] مثالاً على ذلك. ومن المعروف أن موضع هذه القمم وشكلها لا ينبغي أن يؤثرا كثيراً؛ فغالباً ما تُعَدُّ هذه القمم خصائصٍ للقصّ الخارجي لا أصليةً لمصدرها.

لتوضيح الطبيعة غير المقيَّدة للمناطق الخارجية في العدسة القوية، نستخدم النموذج الأول من الشكل [fig:simpeak]. يستلهِم توزيع الكتلة عنقود Ares المحاكى (2017MNRAS.472.3177M) مع قمةٍ إضافيةٍ في الزاوية العليا اليمنى. تقع العدسة عند انزياحٍ أحمر \(z_d=0.5\) في كون مسطّح \(\Lambda\)CDM بـ \(H_0=70\) كم·ث^{-1}·Mpc^{-1} و\(\Omega_m=0.3\). تتسبّب أربعة مصادر دائرية في يمين اللوحة في تكوين الصور المعروضة في وسطها.