تُسهم الحركات العرضية لمجرات الأقزام الكروية القريبة في مكونات خط البصر التي تزداد مع البعد الزاوي عن مراكز الأقزام الكروية، مما يُحدث تدرجات قابلة للكشف في انزياح النجوم الحمراء. في غياب تدرج السرعة الذاتي (مثل الدوران أو التدفق)، يرتبط التدرج الملحوظ في إطار الراحة المركزي الشمسي ببساطة بالحركة المناسبة النظامية للأقزام الكروية. عينات الحركية لأقمار درب التبانة الأكثر سطوعًا كافية الآن بحيث يمكننا استخدام انزياحات النجوم الحمراء لتقييد الحركات المناسبة النظامية بشكل مستقل عن البيانات الفلكية. تكشف البيانات من مسح نظام الألياف Michigan/MIKE عن تدرجات سرعة مهمة في Carina، Fornax و Sculptor، ولا يوجد تدرج مهم في Sextans. بافتراض عدم وجود تدرجات ذاتية، توفر البيانات قيدًا محكمًا نسبيًا على الحركة المناسبة لـ Fornax، \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})=(+48 \pm 15,-25\pm 14)\) ميلي ثانية قوسية لكل قرن\(^{-1}\)، وهو ما يتفق مع القياسات الفلكية المنشورة. توفر مجموعات البيانات الأصغر قيودًا أضعف في المجرات المتبقية، لكن قياسنا لـ Carina، \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})=(+25\pm 36,+16\pm 43)\) ميلي ثانية قوسية لكل قرن\(^{-1}\)، يتفق مع القيمة الفلكية المنشورة. يُتوقع الاختلاف في قياسنا لـ Sculptor، \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})= (-40 \pm 29, -69 \pm 47)\) ميلي ثانية قوسية لكل قرن\(^{-1}\)، مع القياسات الفلكية إذا كان لـ Sculptor مكون دوار كما ذكر battaglia08. بالنسبة لـ Sextans، الذي لا يوجد له حاليًا قياس فلكي، نقيس \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})=(-26 \pm 41, +10 \pm 44)\) ميلي ثانية قوسية لكل قرن\(^{-1}\).
الكلمات المفتاحيةالمجرات: الأقزام — المجموعة المحلية — المجرات: الفردية (Carina, Fornax, Sculptor, Sextans)
في السنوات الأخيرة، شهدنا زيادة هائلة في كمية البيانات الحركية المتاحة للنجوم الفردية في ألمع مجرات القزم الكروية في المجموعة المحلية (على سبيل المثال، (battaglia06,koch07,mateo08,walker08a)). العديد من المسوحات الكبرى التي تنتج مثل هذه البيانات صُممت لتحديد كمية وتوزيع المادة المظلمة في هذه الأنظمة، لكن الإحصاءات المحسنة تفيد أيضًا في تحقيقات أخرى. نحن نعلم الآن أن ما كان يُعتقد سابقًا أنه تجمعات نجمية بسيطة في مجرات القزم الكروية غالبًا ما يحتوي على مكونات متعددة يمكن فصلها حسب العمر والتركيب الكيميائي والحركة (tolstoy04,battaglia08). بعض مجرات القزم الكروية تظهر دلائل على وجود تراكيب حركية محلية (kleyna03,walker06b)، بينما يظهر بعضها حركة تيار المد والجزر بين نجومها الأبعد (munoz06,sohn07,mateo08). مجتمعة، تُثري جميع هذه النتائج نماذج تطور المجرات على أصغر النطاقات.
هنا نستخدم مجموعات البيانات الحركية المتاحة لغرض جديد آخر - قياس الحركات المناسبة النظامية لمجرات القزم الكروية بشكل مستقل عن البيانات الفلكية. لقد جادل (kaplinghat08) مؤخرًا بأنه يمكن استخدام عينات سرعة خط البصر لأكثر من 1000 نجم لقياس الحركة المناسبة بدقة مماثلة لتلك التي تحققها أرصاد تلسكوب هابل الفضائي، بينما يمكن لعينات تزيد عن 5000 أن تؤدي بشكل أفضل بكثير. تعتمد التقنية على اكتشاف "الدوران المنظوري": عند نصف قطر زاوي كبير، يكون لحركة مجرة القزم الكروية المستعرضة مكون غير مهمل على طول خط البصر، مما يؤدي إلى أن تصبح الأطياف أكثر احمرارًا على طول اتجاه متجه الحركة المناسبة. في غياب تدرج سرعة جوهري (على سبيل المثال، بسبب الدوران الحقيقي و/أو حركة المد والجزر)، يرتبط مقدار واتجاه التدرج الملحوظ ببساطة بالحركة المناسبة النظامية. يُعتبر هذا التأثير بشكل متكرر في الدراسات الحركية لسحب ماجلان (على سبيل المثال، (feast61,vandermarel02))، وقد تم استخدامه مؤخرًا لتقييد الحركة المناسبة لمجرة أندروميدا من سرعات أقمارها (vandermarel07).
هنا نطبق تقنية المنظور لأول مرة على عينات سرعة كبيرة لمجرات القزم الكروية ونقدم القيود الناتجة على الحركات المناسبة لكارينا وفورناكس والنحات وسيكستانس. تنتج البيانات من ملاحظاتنا في ماجلان/MMFS حتى أغسطس 2008 وسيتم تقديمها في مكان آخر (walker08a). إلى بيانات MMFS الخاصة بنا نضيف بيانات الحركة الحركية لفورناكس من (walker06a)، والتي تساهم بـ 155 نجمًا لم تتم ملاحظتها مع MMFS. لا ندمج مع بيانات منشورة أخرى، لكننا تأكدنا من أنه، باستثناء استثناء يعود إلى أخذ عينات مكانية مختلفة (انظر القسم [sec:discussion] مناقشة كارينا)، فإن القيام بذلك لن يغير نتائجنا نوعيًا. تحتوي العينات على قياسات السرعة للأعداد التالية من النجوم: كارينا: 1982 نجمًا (774 عضوًا)؛ فورناكس 2793 نجمًا (2610 عضوًا)؛ النحات: 1541 نجمًا (1365 عضوًا)؛ سيكستانس: 947 نجمًا (441 عضوًا).
نوضح أولًا أن البيانات الحركية المتاحة تظهر تدرجات سرعة ملحوظة. لكل من الأقزام الكروية، يقدم الورق الثاني سرعات النجوم المقاسة على طول خط البصر، \(V\)، في إطار الراحة الشمسي. بالسماح بتدرج سرعة إطار الراحة الشمسي \(k\equiv dV/dR'\)، حيث \(R'\) هو المسافة الزاوية من مركز القزم الكروي في اتجاه التدرج، فإن البيانات لها احتمالية \[\begin{aligned} L(\langle V\rangle,\sigma_{V_0},k)\propto \displaystyle\prod_{i=1}^N \biggl (\frac{1}{\sqrt{(\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2)}}\hspace{1in}\\ \times \exp\biggl [-\frac{1}{2}\frac{(V_i-\langle V \rangle -kR_i\cos(\theta_i-\theta_{0}))^2}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2} \biggr ]\biggr )\nonumber, \label{eq:protation}\end{aligned}\] حيث \(\sigma_{V_i}\) هو خطأ القياس، \(\sigma_{V_0}\) هو تشتت السرعة الداخلي، و \(\theta_i\)، \(\theta_{0}\) هما زوايا مواقع النجم والتدرج على التوالي. (walker08b) يقدمون خوارزمية تقيّم احتمالية العضوية، \(P_{M}\)، لكل نجم وفقًا لسرعته ومؤشر المغنيسيوم وموقعه. بتعيين أوزان لنقاط البيانات وفقًا لاحتمالات العضوية الخاصة بها، فإن الاحتمال المتوقع هو \[\begin{aligned} E(\ln L)=-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^N P_{M_i}\ln (\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2)\hspace{1.2in}\\ -\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^N P_{M_i} \biggl [\frac{(V_i-\langle V \rangle -kR_i\cos(\theta_i-\theta_{0}))^2}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2} \biggr ] +\mathrm{const}.\nonumber \label{eq:explogprotation}\end{aligned}\]
لزوايا موقع معينة \(\theta_{0}\)، تأخذ التقديرات \(\langle \hat{V}\rangle\)، \(\hat{\sigma}_{V_0}\) و \(\hat{k}\) القيم التي تعظم \(E(\ln L)\). باتباع (walker08b)، نحصل على التقديرات بجعل المشتقة الجزئية لـ \(E(\ln L)\) بالنسبة لكل معامل تساوي صفرًا، ثم حلها بشكل تكراري. على سبيل المثال، يتم حساب \(\hat{k}\) في كل تكرار كما يلي \[\hat{k}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\frac{\hat{P}_{M_i}[V_i-\langle \hat{V} \rangle]R_i\cos(\theta_i-\theta_0)}{1+\sigma_{V_i}^2/\hat{\sigma}_{V_0}^2}}{\displaystyle \sum_{i=1}^N\frac{\hat{P}_{M_i}[R_i\cos(\theta_i-\theta_0)]^2}{1+\sigma_{V_i}^2/\hat{\sigma}_{V_0}^2}}. \label{eq:k}\]
لكل من الأقزام الكروية نعتبر زوايا مواقع ممكنة لتدرج السرعة \(\theta_{0}=\{0^{\circ},3^{\circ},6^{\circ},...,180^{\circ}\}\). نقيم أهمية التدرج الأقصى، \(\hat{k}_{max}\)، من خلال محاكاة مونت كارلو باستخدام تبديل البيانات الحقيقية \((V_i,\sigma_{V_i},R_i,\theta_i)\). في كل من \(1000\) تحقيق نعيد تعيين الثلاثيات \((V_i,\sigma_{V_i},\hat{P}_{M_i})\) بشكل عشوائي إلى أزواج \((R_i,\theta_i)\). وبالتالي تمتلك مجموعات البيانات المحاكاة نفس العينة المكانية والتوزيع العام للسرعة كما في البيانات الحقيقية، لكنها تخلط أي ارتباط قائم بين السرعة والموقع. نعرف أهمية، \(p_{\hat{k}_{max}}\)، لأقصى تدرج سرعة مقاس من البيانات الحقيقية بأنها نسبة مجموعات البيانات المحاكاة التي لا تنتج، في أي زاوية موقع، تدرجًا بحجم التدرج الأقصى الملحوظ في البيانات الحقيقية.
الجدول [tab:global] يسرد لكل من الأقزام الكروية القيم \(\hat{k}_{max}\) و \(p_{\hat{k}_{max}}\) المقابلة لزاوية الموقع، \(\theta_{0_{max}}\)، التي تعطي أكبر تدرج سرعة. كارينا، فورناكس والنحات جميعها تظهر تدرجات سرعة إطار الراحة الشمسي مهمة عند مستوى \(p_{\hat{k}_{max}}>0.973\). سيكستانس لا يظهر تدرجًا مهمًا، مع \(p_{\hat{k}_{max}}=0.753\). على الرغم من أهميتها، فإن أيًا من التدرجات لا يزيد تقديرات التشتت السرعة العالمي—التقديرات \(\langle \hat{V}\rangle \) و \(\hat{\sigma}_{V_0}\) مطابقة لتلك المحصلة في تحليل الورقة الثالثة، حيث نفترض عدم وجود تدرج سرعة.
يمكن أن تنتج التدرجات السرعية الملحوظة من تأثير المنظور و/أو بعض تراكيب الدوران الجوهري وحركات التدفق. هنا نفترض أن الظاهرتين الأخيرتين ضئيلتان، وفي هذه الحالة يعكس التدرج الحركة العرضية للقزم الكروي. لنفترض أن \(v_{rel}(\alpha,\delta)\) هو إسقاط الحركة النسبية بين الشمس والقزم الكروي على طول خط البصر المحدد بالإحداثيات الاستوائية \((\alpha,\delta)\). لمراقب في الشمس لحظيًا لكنه يتحرك مع القزم الكروي - أي في إطار راحة القزم الكروي (DRF) - يكون لنجم القزم الكروي في \((\alpha,\delta)\) سرعة LOS \[V_{DRF}=V-v_{rel}(\alpha,\delta), \label{eq:dsphframe}\] حيث \(V\) هي سرعة HRF للنجم. في الملحق [app:drfgrf] نشتق الصيغ التي تعبر عن \(v_{rel}(\alpha,\delta)\) من حيث مكونات \((\mu_{\alpha},\mu_{\delta})\) لحركة PM النظامية للقزم الكروي.
نفترض أن للقزم الكروي المعين توزيع سرعة غاوسي بمتوسط \(\langle V\rangle_{DRF}=0\) وتباين \(\sigma_{V_0}^2\)، بدون تدرج جوهري. يعكس تدرج HRF (القسم [sec:gradients]) التغير السلس في \(v_{rel}\) عبر وجه القزم الكروي، وتصبح دالة الاحتمال \[\begin{aligned} L(\mu_{\alpha},\mu_{\delta})\propto \displaystyle\prod_{i=1}^N \biggl (\frac{1}{(\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2)}\hspace{1.5in}\\ \times \exp\biggl [-\frac{1}{2}\frac{[V_i-v_{rel}(\alpha_i,\delta_i)]^2}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2}\biggr ]\biggr ).\nonumber \label{eq:pmlikelihood}\end{aligned}\] مرة أخرى نعين أوزانًا لكل نجم وفقًا لاحتمال عضوية القزم الكروي، نحصل على الاحتمال اللوغاريتمي المتوقع \[\begin{aligned} E(\ln L)= -\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^N P_{M_i}\ln (\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2) \hspace{1in}\\ -\frac{1}{2}P_{M_i}\biggl [-\frac{1}{2}\frac{[V_i-v_{rel}(\alpha_i,\delta_i)]^2}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2}\biggr ] +\mathrm{const}.\nonumber \label{eq:pmloglikelihood}\end{aligned}\]
نقيس PM بتعظيم \(E(\ln L)\) على زوج المعلمات \((\mu_{\alpha},\mu_{\delta})\)، الذي يحدد \(v_{rel}(\alpha_i,\delta_i)\) وفقًا للمعادلات [eq:axayaz1] - [eq:vrelagain]. خلال هذا الإجراء، نحافظ على تشتت السرعة \(\sigma_{V_0}\) ثابتًا عند القيمة التي قصرت الاحتمال اللوغاريتمي المتوقع في المعادلة [eq:explogprotation]. هذه القيم هي \(\sigma_{V_0}=6.6\) كم/ث\(^{-1}\) (كارينا)، \(11.6\) كم/ث\(^{-1}\) (فورناكس)، \(9.2\) كم/ث\(^{-1}\) (النحات) و \(7.9\) كم/ث\(^{-1}\) (سيكستانس).
لقد حصلنا على قيد أكثر صرامة على PM فورناكس، حيث قمنا بقياس \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})= (+48 \pm 15,-25\pm 14)\) mas century\(^{-1}\). تتداخل قطعة الخطأ \(1\sigma\) في الشكل [fig:propermotion] مع قياسات dinescu04 و piatek07. من المشجع أن قياسنا لفورناكس يتفق مع قيمة piatek07 وله دقة مماثلة لقياسات HST لأقزام كروية أخرى.
قياسنا للنحات لا يتفق مع PMs الفلكية المنشورة schweitzer95, piatek06، التي لا تتفق أيضًا مع بعضها البعض. ومع ذلك، إذا كان أي من PMs الفلكية صحيحًا، فمن المتوقع عدم الاتفاق مع نتيجتنا. إذا استخدمنا المعادلة [eq:dsphframe] لإزالة تأثير المنظور بسبب أي من PMs الفلكية، فإن سرعات النحات الناتجة تظهر تدرج سرعة DRF قويًا (\(\hat{k}\geq 6.0\) كم/ث\(^{-1}\)درجة\(^{-1}\)؛ \(\hat{p}_{\hat{k}_{max}}\geq 0.994\)). وبالتالي، إذا كان أي من PMs الفلكية صحيحًا، فإن بيانات السرعة لدينا تشير إلى أن النحات لديه تدرج سرعة جوهري قوي. سواء كان ذلك ناتجًا عن مكون دوار، كما زعم battaglia08 استنادًا إلى بيانات حركية مستقلة، أو بسبب التدفق المدي، فإن مثل هذا التدرج سيبطل الافتراضات الكامنة في قياس PM لدينا.
لقد قدمنا أول قيود على الحركات المناسبة للقزم الكروي المستخرجة من انزياحات النجوم الحمراء. بالنظر إلى حجم عيناتنا الحركية، نحن قادرون على قياس الحركة المناسبة بدقة تقريبية كما تنبأت النماذج المحاكاة من قبل (kaplinghat08). يتبنى (kaplinghat08) نموذجًا أكثر تعقيدًا لتوزيع السرعة الذاتي للقزم الكروي، مع تهميش عدة معاملات تصف الجاذبية المحتملة والتباين المداري. ومع ذلك، فإن افتراضنا البسيط بأن سرعات القزم الكروي مستمدة من توزيع غاوسي متساوي الاتجاهات في كل مكان يتوافق مع ملفات تشتت السرعة المسطحة التجريبية للأقزام الكروية (walker07b)، ويعطي قيودًا مماثلة كما هو الحال في طريقة (kaplinghat08).
يستنتج (battaglia08) أن النحات يدور، استنادًا إلى كشفهم عن تدرج سرعة خط البصر الكبير في إطار راحة درب التبانة. نحن نكتشف تدرجًا مماثلًا، لكننا نلاحظ أنه يمكن تفسيره بالكامل من خلال تأثيرات المنظور، بشرط أن تختلف حركة النحات المناسبة عن كلا القياسين الفلكيين. من أجل فحص آثار قياسنا للحركة المناسبة لمدار النحات غير الدوار، قمنا بدمج المدار إلى الوراء في الزمن لمدة 6 مليارات سنة باستخدام الكود الذي قدمه سلاومير بياتك. بافتراض جاذبية درب التبانة الثابتة مع مكونات القرص والكروي والهالة مطابقة لتلك التي اعتمدها (johnston99)، يشير قياسنا إلى مدار النحات المحتمل (\(r_{\text{peri}}=66_{-45}^{+12}\) كيلوبارسك، \(r_{\text{apo}}=149_{-63}^{+97}\) كيلوبارسك) بشذوذ مماثل لما يوحي به القياس الفلكي للحركة المناسبة (\(r_{\text{peri}}=68_{-37}^{+15}\)، \(r_{\text{apo}}=122_{-25}^{+91}\) كيلوبارسك؛ piatek06).
تعتمد الاستنتاجات بشأن وضع النحات على الافتراض الأولي. إذا افترض المرء وصحح لأي من القياسات الفلكية للحركة المناسبة المنشورة، فإن التدرج الكبير المتبقي في سرعة الإطار المرجعي الديناميكي يوحي بتدرج ذاتي قوي من المحتمل أن يكون بسبب مزيج من الدوران و/أو التدفق المدي (انظر battaglia08). إذا افترض المرء بدلًا من ذلك أن النحات لا يمتلك تدرج سرعة ذاتي، فإن التدرج في الإطار المرجعي الهيدروستاتيكي يوحي بحركة مناسبة غير متوافقة مع أي من القياسات الفلكية المنشورة.
يكتشف (munoz06) تدرج سرعة خط البصر القوي من أعضاء كارينا المتوقعين على مسافات زاوية كبيرة (\(R> 1^{\circ}\))، بعيدًا عن المنطقة التي تم أخذ العينات منها بواسطة MMFS. لو كنا قد دمجنا عينتهم الحركية الممتدة مع بياناتنا من MMFS، لكنا قد قسنا حركة مناسبة بقيم (\(\mu_{\alpha}^{\text{HRF}}=+56\pm 29\), \(\mu_{\delta}^{\text{HRF}}=-1\pm 33\))، بتوافق أقل مع القياسات الفلكية. يجادل (munoz06) بقوة أن المناطق الأبعد في كارينا تظهر حركات تدفق مدي، مما سيبطل قياسنا للحركة المناسبة الذي يشمل عينتهم الخارجية. من المشجع أنه في المناطق الداخلية حيث لا توجد أدلة على وجود المد، يظل قياسنا للحركة المناسبة متوافقًا بشكل ممتاز مع القياس الفلكي. على أي حال، تساعد كارينا والنحات في توضيح أن الحركات المناسبة المقاسة من انزياحات النجوم الحمراء يجب أن تُعتبر بحذر، حيث أن صحتها تعتمد فقط على افتراض عدم وجود تدرج ذاتي. يُعتبر التوافق، بدقة عالية، لحركتنا المناسبة لفورناكس مع القياس الفلكي دليلًا قويًا على أن فورناكس لا يمتلك تدرج سرعة ذاتي على المنطقة التي تم أخذ العينات منها حركيًا.
تشمل نتائجنا أول قياس للحركة المناسبة من أي نوع تم إجراؤه لسيكستانس. يشير قياسنا إلى أن سيكستانس، على مسافة 86 كيلوبارسك، يبتعد عن مسافة الحضيض الجذبي (\(r_{\text{peri}}=66_{-61}^{+17}\) كيلوبارسك) نحو مسافة الأوج الجذبي (\(r_{\text{apo}}=129_{-33}^{+113}\) كيلوبارسك). نلاحظ، مع ذلك، أن الأخطاء الكبيرة المحتملة على حركة سيكستانس المناسبة تستوعب شذوذات مدارية تتراوح من \(0.25\) إلى \(0.89\) ضمن فاصل الثقة بنسبة 95%. المدار الأكثر شعاعية من بين هذه المدارات سيجلب سيكستانس إلى مسافة تقارب 5 كيلوبارسك من مركز المجرة. إذا اعتبر المرء الحركة المناسبة الأكثر احتمالًا على أنها القيمة الحقيقية، فإنه يصبح من غير المحتمل أن يكون سيكستانس عضوًا في تيار مرتبط بأجسام أخرى معروفة في هالة درب التبانة. لا تقع أي من الحركات المناسبة التي تنبأ بها (lyndenbell95) لارتباطات سيكستانس المحتملة مع النحات، النحات/فورناكس، أو بال 3/بال 2/NGC 5824 ضمن الأخطاء الكبيرة للحركة المناسبة المقاسة (على الرغم من أن أيًا من ارتباطات التيار لم يتم استبعادها تمامًا عند مستوى 2).
نشكر لوي ستريجاري على المناقشة المفيدة، وسلاومير بياتك وتاد برايور لمشاركة الكود المستخدم لحساب المعاملات المدارية. يعترف EO بمنح NSF AST-0205790، 0505711، و 0807498. يعترف MM بمنح NSF 0206081، 0507453، و 0808043. يعترف MGW بالدعم من برنامج تكوين المجرات والتطور الممول من STFC في معهد الفلك، جامعة كامبريدج.
لنفترض أن \(\mathbf{A}_{D}\) و \(\mathbf{A}_{*}\) هما متجها الموضع (ثلاثي الأبعاد) لقزم كروي وأحد نجومه على التوالي، محددين في نظام إحداثيات بمركزه الشمس. الحركة النسبية بين الشمس والقزم الكروي على طول خط الرؤية إلى نجم إحداثياته الاستوائية \((\alpha_*,\delta_*)\) هي الإسقاط القياسي \[v_{rel}(\alpha_*,\delta_*)=\frac{\mathbf{A}_*}{A_*}\cdot(\mathbf{\dot{A}}_{D}), \label{eq:vrel}\] حيث \(\mathbf{\dot{A}} \equiv d\mathbf{A}/dt\).
لتقييم المعادلة [eq:vrel] نعرف الإحداثيات الديكارتية بحيث تشير المحاور \(+x\)، \(-y\)، و \(+z\) نحو \((\alpha,\delta)=(6^{h},0^{\deg})\)، نحو الاعتدال الربيعي، ونحو القطب السماوي الشمالي على التوالي. وبالتالي يتم تحديد موضع نجم بواسطة \(\mathbf{A}_*=(A_{*_x}\hat{x}+A_{*_y}\hat{y}+A_{*_z}\hat{z})\)، وللمتجه الوحدوي \(\mathbf{B}_* \equiv \mathbf{A}_*/A_*\) المكونات \[\begin{aligned} B_{*_x}=\cos(\delta_*)\sin(\alpha_*);\\ \label{eq:axayaz1} B_{*_y}=-\cos(\delta_*)\cos(\alpha_*);\\ B_{*_z}=\sin(\delta_*).\end{aligned}\] سرعة القزم الكروي (ثلاثية الأبعاد) على مسافة \(A_{D}\)، مع سرعة الخط البصري HRF \(V_{D}=\dot{A}_{D}\) والحركة السليمة HRF \((\mu_{\alpha},\mu_{\delta})\) لها المكونات \[\begin{aligned} \dot{A}_{D_x}=V_{D}\cos(\delta_{D})\sin(\alpha_{D}) +A_{D}\mu_{\alpha}\cos(\delta_{D})\cos(\alpha_{D}) -A_{D}\mu_{\delta}\sin(\delta_{D})\sin(\alpha_{D});\\ \dot{A}_{D_y}=-V_{D}\cos(\delta_{D})\cos(\alpha_{D}) +A_{D}\mu_{\delta}\sin(\delta_{D})\cos(\alpha_{D}) +A_{D}\mu_{\alpha}\cos(\delta_{D})\sin(\alpha_{D});\\ \dot{A}_{D_z}=V_{D}\sin(\delta_{D})+A_{D}\mu_{\delta}\cos(\delta_{D}). \label{eq:vxvyvz}\end{aligned}\] وبالتالي تتجه الحركة النسبية بين القزم الكروي والشمس على طول خط رؤية النجم بمقدار \[v_{rel}(\alpha_*,\delta_*)=\mathbf{B}_*\cdot\mathbf{\dot{A}}_{D}=B_{*_x}\dot{A}_{D_x}+B_{*_y}\dot{A}_{D_y}+B_{*_z}\dot{A}_{D_z}. \label{eq:vrelagain}\]