نُقَدِّم تقييماً لطيف كُرَيّات الغَرّاء للتكوينات المُنتَجة باستخدام الفرميونات الديناميكية حيث \(N_f=1\) كدالة لكتلتها \(m_{\rm PCAC}\). حصلنا على كتل الحالات التي تقع ضمن التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة الدوران الثمانية مع أعداد الكم لعملية الشحنة المترافقة \(C\) والتكافؤ \(P\). بسبب نسبة الإشارة إلى الضوضاء المنخفضة، عملياً، يمكننا فقط استخراج كتل للتمثيلات غير القابلة للاختزال \(R^{PC}=\) \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، \(T_2^{++}\) بالإضافة إلى \(A_1^{-+}\). نستخدم مشكلة القيمة الذاتية المعممة (GEVP) مع قاعدة مشغل تتكون فقط من المشغلات الغلونية. من خلال هذا العمل، نهدف إلى تحديد تأثيرات الكواركات الديناميكية الخفيفة على طيف كريات الغراء ومقارنة ذلك بالطيف الأكثر دقة إحصائياً لنظرية القياس النقية SU(3). استخدمنا مجموعات قياس كبيرة تتكون من \({\sim {~\cal O}}(10K)\) تكوينات. تُظهر نتائجنا أن الطيف المنخفض لكريات الغراء القياسية والتنسورية بالإضافة إلى كريات الغراء الزائفة القياسية تتلقى مساهمات ضئيلة من إدراج الفرميونات الديناميكية حيث \(N_f=1\).
كريات الغراء هي حالات رنين تتكون فقط من الغلوونات بتكوين مفرد اللون، وهي ظاهرة متوقعة بمبدأ الحبس في ديناميكا الكروم الكمومية (QCD). بينما تم اكتشاف مرشحين محتملين لكريات الغراء، لا يزال هناك خلاف حول تحديدها الدقيق، مما يجعلها واحدة من الألغاز غير المحلولة في مجال طيف الهادرونات.
خلال السنوات القليلة الماضية، أصبحت أدوات تجريبية جديدة مثل PANDA (Parganlija:2013xsa) وBESIII (Asner:2008nq) قيد التشغيل، مع وجود أخرى قادمة في الأفق. ستوفر هذه التطورات بيانات جديدة ورؤى تحليلية حول القنوات الغنية بالغلوونات التي تم استكشافها سابقاً. بدورها، ستشكل هذه تحدياً للمنهجيات النظرية الجديدة والنتائج التي تم اقتراحها مؤخراً، والتي تشمل كلاً من النهج الشبكي والتحليلي. يمكن العثور على مراجعات حديثة حول البحث عن كريات الغراء في عرض الجمعية العامة للشبكة 2022 بواسطة دافيد فاداكينو (vadacchino_davide_2022_7338133) وكذلك في المراجعة التي كتبها إي. كليمبت في المرجع (Klempt:2022ipu).
النتائج الأخيرة حول طيف كريات الغراء (Athenodorou:2023ntf) التي تم الحصول عليها باستخدام الفرميونات الديناميكية \(N_f=4\) كشفت عن وجود حالة إضافية، والتي تظهر كأخف حالة في القناة القياسية (\(A_1^{++}\)). يبدو أن هذه الحالة مرتبطة بتحلل كريات الغراء إلى اثنين أو أربعة بيونات. لذلك، سيكون من المفيد التحقيق في تأثير الكواركات الخفيفة في نظرية يتم فيها قمع مثل هذه التحللات ولكن يمكن للفرميونات الديناميكية أن تؤثر مع ذلك على طبيعة الطيف. مثل هذه الحالة هي QCD \(N_f=1\) حيث لا توجد بيونات.
في هذه الدراسة، نهدف إلى استكشاف تأثير فرميون خفيف واحد على طيف كريات الغراء. لتحقيق هذا الهدف، نستخدم التكوينات المولدة بفرميون كلوفر خفيف واحد (\(N_f = 1\)) عبر مجموعة من الكتل العارية. نستخرج طيف كريات الغراء ثم نقارنه بالطيف الذي تم الحصول عليه من تكوينات نظرية القياس النقية SU(3) المنتجة بالفعل المحسن على مستوى شجرة سيمانيك عند قيمتين من تدفق التدرج. بالنسبة للكواركات الديناميكية الثقيلة، نتوقع، من حجج الفصل، أن يصبح طيف كريات الغراء مشابهاً لطيف نظرية القياس النقية. السؤال المهم المطروح هنا هو ماذا يحدث إذا تم تضمين الفرميونات الديناميكية الخفيفة.
بشكل عام، النتيجة الرئيسية للتحقيق في QCD \(N_f=1\) هي أن الطيف، بدقة إحصائية معينة تبلغ حوالي (10K) تكوينات، يبدو متسقاً مع نظرية القياس النقية ومستقلاً عن كتلة الفرميون.
يتم تنظيم هذا المخطوط كما يلي. نبدأ في القسم [sec:simulation_details] بتقديم إعداد الشبكة المستخدم لتوليد التكوينات مع \(N_f=1\)، إلى جانب تلك التي تستخدم فعل القياس النقي. ننتقل إلى القسم [sec:glueball_masses]، حيث نقدم شرحاً موجزاً لكيفية استخراج طيف كريات الغراء في QCD الشبكي باستخدام طريقة مشكلة القيمة الذاتية العامة (GEVP). بعد ذلك، في القسم [sec:topological_charge_and_scale_setting]، نصف عملية حساب الشحنة التوبولوجية، التي تعمل كمقياس لأرجودية النظام. نفصل أيضاً تقييم مقياس الطاقة \(t_0\) من خلال مخطط التنعيم لتدفق التدرج. بعد ذلك، نركز على تقديم النتائج، ونناقش بشكل خاص القناة القياسية \(R^{PC}=A_1^{++}\)، قنوات التنسور \(R^{PC}=E^{++}\) و \(T_2^{++}\)، وكريات الغراء الزائفة التي تم الحصول عليها في القناة \(R^{PC}=A_1^{-+}\). أخيراً، نختتم الإجراءات في القسم [sec:conclusions].
تم إنشاء تكوينات الشبكة كجزء من توسيع مشروع أكبر يركز على كمية واحدة من الكواركات بدأه تعاون ديزي-مونستر (DESY-Münster) (Farchioni:2006waf, Farchioni:2007dw, Farchioni:2008na). تم إنتاج التكوينات الأولى باستخدام فعل قياس محسن بمستوى شجري ومستوى واحد من التلطيف القوي في فعل الفرميونات ويلسون القياسي. وقد تم لاحقاً توسيع ذلك إلى فعل فرميون محسن بمستوى شجري. بينما تم إنتاج التكوينات الأولى باستخدام خوارزمية مونت كارلو الهجينة، فيما بعد تم استخدام خوارزمية مونت كارلو الهجينة العقلانية من حزمة برمجيات جديدة تم تطويرها. تم تحديد كتل الجسيمات بما في ذلك \(\eta_S\) و \(\sigma_S\) في مراحل سابقة من المشروع. لم يتم النظر في خلط مشغلات الجسيمات وكريات الغراء إلا في دراسة أولية جداً. هنا نقدم تحديثاً كبيراً لقطاع كريات الغراء باستخدام فعل الفرميون المحسن. لتحليلنا، قمنا باختيار تكوينات عند \(\beta=4.2\) و \(\beta=4.4\). لتسهيل المقارنة، أجرينا أيضاً محاكاة لنظرية القياس النقية SU(3) باستخدام فعل قياس محسن بمستوى شجري باستخدام خوارزمية مونت كارلو الهجينة. القيم المحاكاة لـ \(\beta\) هي \(\beta=4.51\) و \(\beta=4.75\)، والتي تتوافق على التوالي مع القيم \(\beta=4.2\) و \(\beta=4.4\) المستخدمة في المحاكاة بتحسين الكلوفر لـ \(N_f=1\).
يمكن تحديد كتل الغلوبول من خلال استخدام تقنية التحليل القياسي المطبقة على مراسل أوكليدي يتضمن عاملاً يُرمز له بـ \(\phi(t)\). تعتمد هذه العملية على تمثيل هذه الحالات الفيزيائية ضمن سياق هاملتوني النظام، المشار إليه بـ \(H\)، وحالات الطاقة المرتبطة: \[\begin{aligned} \langle \phi^\dagger(t=an_t)\phi(0) \rangle = \langle \phi^\dagger e^{-Han_t} \phi \rangle = \sum_i |c_i|^2 e^{-aE_in_t} \stackrel{t\to \infty}{=} |c_0|^2 e^{-aE_0n_t}\,, \label{extract_mass}\end{aligned}\] حيث يمثل \(E_0\) طاقة الحالة الأساسية. الجمع أعلاه محدود بالحالات التي تظهر تداخلات غير صفرية وتلبي الشرط \(c_i = \langle {\rm vac} | \phi^\dagger | i \rangle \neq 0\). ستتطابق الخصائص الكمومية للعامل \(\phi\) مع تلك الخاصة بالحالة المعنية. يعتمد تحديد الحالة الأساسية على عنصرين حاسمين: قوة ترابطها مع هذه الحالة وسرعة الانحلال الأسي كما هو موضح في المعادلة ([extract_mass]). يتضمن تعزيز هذا الترابط إنشاء عوامل تلتقط بمهارة الخصائص الأساسية للحالة. لاستخراج الحالات المثارة نستخدم تقنية GEVP (Luscher:1984is,Luscher:1990ck,Berg:1982kp) المطبقة على مجموعة من العوامل \(\phi_i\) المكونة من حلقات شبكية مختلفة في مستويات الحجب المختلفة (Lucini:2004my,Teper:1987wt). يتضمن ذلك استخدام مصفوفات الترابط، المشار إليها بـ \(C_{ij} = \langle \phi_i^{\dagger} (t) \phi_j (0) \rangle\)، حيث \(i,j=1,...,N_{\rm op}\)، بالتزامن مع GEVP. هنا، \(N_{\rm op}\) يمثل عدد العوامل المستخدمة.
لبناء عامل يعكس حالة الغلوبول، ننشئ منتجاً مرتباً من مصفوفات الرابط SU(3) على طول حلقة يمكن تقليصها باستمرار ثم نحسب أثرها. الجزء الحقيقي (أو التخيلي) من هذا الأثر يتوافق مع شحنة مترافقة موجبة (سالبة) \(C=+\)(\(-\)). لضمان أن العامل يمتلك زخماً صفرياً، نجمع على جميع الترجمات المكانية للحلقة. بالإضافة إلى ذلك، نأخذ في الاعتبار جميع الدورانات الممكنة للحلقة ونجمعها بطرق تلتزم بالتمثيلات غير القابلة للاختزال (\(R\)) لمجموعة التماثل الدوراني. لإنشاء عوامل بكلا الزوجيتين (\(P=\pm\))، نبني العكس الزوجي لكل حلقة ثم نأخذ مجموعات خطية مناسبة.
التمثيلات غير القابلة للاختزال \(R\) للمجموعة الفرعية المكعبة من الدورانات ضمن مجموعة الدوران الكاملة مشار إليها بـ \(A_1, A_2, E, T_1, T_2\). التمثيل \(A_1\) هو مفرد ويمتلك تماثل دوراني مكعبي كامل، وبالتالي يشمل حالة \(J=0\) في الحد المستمر. بالمثل، التمثيل \(A_2\) هو أيضاً مفرد. التمثيل \(E\) يشكل زوجياً، بينما كل من التمثيلين \(T_1\) و \(T_2\) هما ثلاثيات. في الإعداد الشبكي، الحالات الثلاث المقابلة للثلاثي من \(T_2\) متطابقة. لمعالجة ذلك، نقوم بمتوسط قيمها ونعاملها كحالة واحدة عند تقدير كتل الغلوبول. يتم تطبيق نفس الإجراء على الزوجيات \(E\)، حيث يتم متوسط تقديرات كتلها.
التمثيلات للتماثل الدوراني الموضحة أعلاه تعتمد على صيغتنا الشبكية المكعبة. مع اقترابنا من الحد المستمر، ستتقارب هذه الحالات مع حالات الغلوبول المستمرة التي تنتمي إلى تمثيلات التماثل الدوراني المستمر. ونتيجة لذلك، ستندرج ضمن مضاعفات متطابقة تتكون من \(2J + 1\) حالات، حيث \(J\) يمثل دوران الحالات. عند تحديد الحد المستمر لطيف الغلوبول المنخفض، من الأكثر فائدة تعيين الحالات إلى دوران محدد \(J\)، بدلاً من التمثيلات للمجموعة الفرعية المكعبة، التي توفر دقة "أقل" حيث تخصص جميع الدورانات \(J = 1, 2, 3, \dots, \infty\) إلى 5 تمثيلات مكعبة فقط. لقيم منخفضة من \(J\) (\(J=0,1,2\))، يمكن توصيف توزيع الحالات \(2J + 1\) على أنها \(A_1 \to J=0\), \(T_1 \to J=1\), و \(E, T_2 \to J=2\).
في الحد المستمر، تُعرّف الشحنة التوبولوجية على أنها التكامل عبر كامل حجم الزمكان الأوروبي رباعي الأبعاد لكثافة الشحنة التوبولوجية \(Q = \frac{1}{32\pi^2} \int d^4 x \: \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \Tr\left[F_{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)\right] \,.\) لقد استخدمنا نسخة الشبكة من \(Q\) المعروفة بتعريف "البرسيم" الذي تم تقديمه لأول مرة في المرجع (DiVecchia:1981aev). نستخدم تقنية تدفق التدرج (Luscher:2010iy) لتنعيم تقلبات الأشعة فوق البنفسجية لحقل القياس الذي يحدد الشحنة التوبولوجية. الفعل المستخدم في معادلة التدفق هو فعل ويلسون القياسي.
تسمح تقنية تدفق التدرج أيضاً بإنشاء معامل مقياس فيزيائي محدد جيداً يُشار إليه بـ \(t_0\)، والذي يمكن تحديده بدقة عالية. تم تقديم مفهوم \(t_0\) في الأصل في المراجع (Luscher:2009eq, Borsanyi:2012zs). يتبع تعريف \(t_0\) وصفاً محدداً كما هو موضح أدناه. أولاً، نضع \(F(t) = t^2 \langle E(t) \rangle \, \ {\rm with} \ E(t) = \frac{1}{4} B^2_{\mu \nu} (t)\,,\) حيث \(B_{\mu \nu}\) هي قوة المجال التي تم الحصول عليها عن طريق تدفق \(F_{\mu \nu}\) على طول اتجاه وقت التدفق. نحدد المقياس \(t_0(c)\) كقيمة \(t\) التي عندها \(F(t) |_{t=t_0(c)} = c\,\) حيث يجب اختيار \(c\) بحيث تكون الشروط \(a \ll \sqrt{8 t_0} \ll L\) مرضية. تؤدي القيم الصغيرة لـ \(c\) إلى تحفيزات شبكية كبيرة بينما تؤدي \(c\) الكبيرة عادةً إلى تآكلات ذاتية أكبر (Bergner:2014ska). في حالتنا نختار القيمة \(c=0.3\) وهي القيمة المستخدمة عادة في حسابات كمومية ديناميكية للشبكة.
لقد نجحنا في الحصول على الطيف ذو الطاقة المنخفضة المرتبط بالتمثيلات غير القابلة للاختزال \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، و \(T_2^{++}\)، بالإضافة إلى \(A_1^{-+}\)، والتي تتوافق مع قنوات العدد القياسي، التنسوري، والمضاد للقياس على التوالي. ملاحظة مثيرة للاهتمام ناتجة عن حساباتنا هي الإنشاء المبكر لمستويات الكتلة الفعالة، وهو ما يتناقض بشكل واضح مع ما تم ملاحظته في حالة \(N_f=4\)، حيث تظهر المستويات لاحقاً خلال التطور الزمني. تتميز هذه النتائج بتداخلات عالية تتراوح من 80% إلى 100%. يشبه هذا الظاهرة بشكل وثيق التقارب السريع لمستويات الكتلة الملحوظة في سياق نظرية القياس النقية لـ SU(3). قد يشير ذلك إلى انخفاض كبير في عدد الحالات التي تظهر في فضاء هيلبرت المذكور لفراغ QCD عند \(N_f=1\) مقارنة بذلك في QCD عند \(N_f=4\). ونتيجة لذلك، يبدو أن جودة مستوى الكتلة تشبه تلك الموجودة في نظرية القياس النقية.
في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_improved] نقدم نتائج كتل الغلوبول في وحدات \(1/\sqrt{t_0}\) كدالة لكتلة البيون PQChPT للحالات \((i)\) الأرضية والمثارة الأولى لـ \(A_1^{++}\)، \((ii)\) الحالة الأرضية لـ \(E^{++}\)، \((iii)\) الحالة الأرضية لـ \(T_2^{++}\)، و \((iv)\) الحالة الأرضية لـ \(A_1^{-+}\). تمثل الأشرطة تقديرات الكتل لنظرية القياس النقية SU(3) لـ \(\beta=4.75\) والتي تتوافق مع \(t_0/a^2 \sim 7.07\). تتطابق القيمة المذكورة أعلاه لـ \(t_0/a^2\) مع القيم المقابلة للمجموعات \(N_f=1\) عند \(\beta=4.4\). مستوى التوافق بين النتائج لـ \(N_f=1\) ونظرية القياس النقية لـ SU(3) مذهل، مما يدل على أن الآثار الناتجة عن إدراج الكوارك الديناميكي في الفراغ ضئيلة عند مستوى الدقة المعطى. وبالتالي، فإن كتل الغلوبول مستقلة عن كتلة الكوارك.
التحقيق في نفس النظرية عند \(\beta=4.4\)، بدون تحسين \({\cal O}(a)\) الفرميوني، يكشف عن نمط مماثل، كما هو موضح في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_unimproved]. ومع ذلك، من المهم ملاحظة أنه بينما النتائج للتمثيلات غير القابلة للاختزال \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، و \(T_2^{++}\) مستقلة عن كتلة الكوارك، فإن كتلة الغلوبول للحالة الأرضية للقناة المضادة للقياس \(A_1^{-+}\) يبدو أنها تقل مع زيادة كتلة الكوارك. يختفي هذا التأثير في الحالة المحسنة، مما يقودنا إلى تفسير هذا السلوك كنتيجة لمخلفات الشبكة. بينما \(t_0/a^2 \approx 5.2\) في النظرية غير المحسنة، تشير الأشرطة في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_unimproved] مرة أخرى إلى تقديرات الكتل لنظرية القياس النقية SU(3) عند \(\beta=4.75\).
يبدو أن طيف نظرية الكروموديناميكا الكمومية الديناميكية بفرميون واحد \(N_f=1\)، بالدقة الإحصائية المعطاة من \({\cal O} (10 {\rm K})\) تكوينات، متسق مع طيف نظرية القياس النقية ومستقل عن كتلة الفرميون دون ظهور أي حالات أخرى عند الطاقات المنخفضة. تم تأكيد ذلك لقيمتين من \(\beta\) وكذلك لتقريبات الفرميونات المحسنة مقابل غير المحسنة من الدرجة \({\cal O}(a)\). هذا يشير إلى أن تأثيرات فرميون ديناميكي واحد على طيف كريات الغراء غير مهمة. في المستقبل، سننظر أيضاً في عوامل الميزون لاستقصاء التداخلات المحتملة بين كريات الغراء والميزونات.
تم إجراء الحسابات على نظام الحوسبة عالية الأداء Cyclone في معهد قبرص، وكذلك على UBELIX، نظام الحوسبة عالية الأداء في جامعة برن. تلقى AA الدعم المالي من مشروع EuroCC2 الذي مولته وزارة البحث والابتكار والسياسة الرقمية ومؤسسة قبرص للبحث والابتكار ومشروع الحوسبة عالية الأداء الأوروبي المشترك (JU) بموجب اتفاقية منحة رقم 101101903. يعترف MT بالدعم من تعاون Simons في الحبس وأوتار QCD.