نظريات القياس مع مضاعفات لا نهائية من الفرميونات

ندرس تجديد ثابت الارتباط لنظريات القياس مع مضاعفات لا نهائية من الفرميونات، باستخدام طريقة دالة زيتا لفهم المجاميع اللانهائية على الفرميونات. إذا كانت المجموعة $K$ هي المجموعة الفرعية المضغوطة القصوى لمجموعة بسيطة غير مضغوطة $G$، فإن مثل هذه المضاعفات اللانهائية يمكن أن تنشأ بشكل طبيعي، كتخفيضات لتمثيلات وحيدة من السلسلة المنفصلة لـ $G$. سيتم دراسة المثال $K=U(1)\subset SU(1,1)=G$ بالتفصيل. بشكل مفاجئ، هناك نظريات قياس أبلية تكون حرة تقاربياً؛ وأخرى ذات طاقة فوق بنفسجية محدودة.

مقدمة

إن إشارات معاملي دالة بيتا الأولين (حلقة واحدة وحلقتين) في نظرية القياس لها أهمية كبيرة (QFT). اكتشاف أن المعامل الرئيسي سالب (AsympFreedom) (الحرية التقاربية)، لنظرية الكروموديناميكا الكمومية مع عدد صغير من نكهات الكوارك، قد فسر التوسع في التشتت غير المرن العميق. المعامل الثاني (CaswellJones) أيضاً سالب لنظرية الكروموديناميكا الكمومية مع عدد صغير من نكهات الكوارك. ولكن هناك مجموعة من القيم لـ $N_{f}$ حيث يكون موجباً مع الحفاظ على الحرية التقاربية. هذا يؤدي إلى نقطة ثابتة تحت الحمراء غير تافهة غالباً ما تسمى نقطة بانكس-زاكس (BanksZaks).

بالمقابل، كلا المعاملين لدالة بيتا موجبان لنظرية الكهرومغناطيسية الكمومية. مع وجود فيرميون ديراك واحد فقط بشحنة وحدة (مثل الإلكترون) فإن دالة بيتا هي (QEDBetaFn)

\[\beta(\alpha)=\frac{2}{3}\frac{\alpha}{\pi}+\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{2}+\mathrm{O}(\alpha^{3})\]

التفسير الفيزيائي هو أن استقطاب الفراغ يؤدي إلى أن تُغطى الشحنة النقطية بواسطة مضادات الجسيمات الافتراضية؛ لذا كلما اقتربنا من الشحنة، تزداد قوتها. بالمقابل، في نظريات القياس غير الأبلية، تساهم "المغناطيسية العكسية" للغلوونات الافتراضية في مضاد التغطية (Polyakov).

في هذا السياق، تساهم الرسومات التي تحتوي على حلقة فيرميون واحدة فقط. لذا إذا كان لدينا مجموعة من فيرميونات ديراك بشحنات $e_{\nu}$ فسنحصل على

\[\beta(\alpha)=\frac{2}{3}\frac{\alpha}{\pi}\sum_{\nu}e_{\nu}^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{2}\sum_{\nu}e_{\nu}^{4}+\mathrm{O}(\alpha^{3}),\quad\label{eq:RafaelRosner}\]

وبالتالي لا يمكننا الحصول على حرية تقاربية أو نقاط ثابتة تحت الحمراء مستقرة في نظريات القياس الأبلية مع مجموعات محدودة من الفيرميونات.

في هذه الورقة ننظر في إمكانية وجود مجموعة لا نهائية من الفيرميونات المشحونة، حيث تكون مجاميع مثل $\sum_{\nu}e_{\nu}^{2}$ متباعدة. تحدث التباعدات غالباً في نظرية الحقل الكمومي ويتم إعطاؤها معنى من خلال التنظيم وإعادة التطبيع. على سبيل المثال، باستخدام تنظيم دالة زيتا.

النموذج الرياضي الأساسي هو دالة زيتا ريمان $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$ . تتقارب عندما $\mathrm{Re}\ s>1$. يمكن تمديد الدالة إلى كامل المستوى المركب من خلال الاستمرارية التحليلية. باستثناء قطب بسيط عند $s=1$ فهي منتظمة. قيمها عند الأعداد الصحيحة السالبة معروفة جيداً (Apostol):

\[\zeta(0)=-\frac{1}{2},\quad\zeta(-1)=-\frac{1}{12},\quad\zeta(-2)=0,\quad\zeta(-3)=\frac{1}{120},\quad\zeta(-4)=0,\cdots\]

هذا يسمح لنا بإعطاء معنى لمجاميع قوى الأعداد الطبيعية:

\[\sum_{n=1}n^{0}=-\frac{1}{2},\quad\sum_{n=1}n=-\frac{1}{12},\quad\sum_{n=1}n^{2}=0,\quad\sum_{n=1}n^{3}=\frac{1}{120},\quad\sum_{n=1}n^{4}=0,\]

فهل يمكننا الحصول على نظرية كهرومغناطيسية كمومية أبلية حرة تقاربياً من خلال اختيار مجموعة لا نهائية من الشحنات $e_{\nu}$؟ نحتاج إلى تقريب ("حراسة") تماثل عالمي يحافظ على نسب هذه الشحنات: سيتم تجديد ثابت واحد فقط. إحدى الطرق للقيام بذلك هي وجود تماثل عالمي تحت مجموعة غير مضغوطة $G$ (مثل $SU(1,1)$ ) التي تكون مجموعة القياس $K=U(1)$ إحدى مجموعاتها الفرعية المضغوطة القصوى. التمثيل الوحيد لـ $G$ بالضرورة لا نهائي الأبعاد. سيتم تقسيمه إلى مجموعة لا نهائية من التمثيلات الأولية (التي تُعطى بواسطة الشحنات $e_{\nu}$) لـ $K$ . يتم كسر التماثل تحت $G$ بواسطة الاقترانات القياسية. في مثال تمثيل السلسلة المنفصلة (Bargmann) لـ $SU(1,1)$ تشكل الشحنات تسلسلاً حسابياً

السلوك في الطاقة المنخفضة، مثل تماثل الفراغ وطيف الحالات المرتبطة لهذه النظريات، يتجاوز نطاق نظرية الاضطراب.

من الممكن أيضاً تمديد هذه الأفكار إلى بعض مجموعات القياس غير الأبلية $K$. اختيار أنيق هو المجموعة الفرعية المضغوطة القصوى $K\subset G$ لمجموعة لي غير مضغوطة $G$ التي تقبل تمثيل سلسلة منفصلة. جميع المعلومات الأساسية اللازمة لحساب دالة بيتا موجودة في صيغة الحرف لهاريش-تشاندرا، والتي تعمم صيغة الحرف وِيل لتمثيلات المجموعة شبه البسيطة المضغوطة. الحسابات المعنية معقدة جداً. لذا سنقدم فقط مخططاً للأفكار. نأمل في العودة إلى هذا في منشور لاحق.

السلسلة المنفصلة $\underline{SU}(1,1)$

سنقدم الآن استنتاجاً مستقلاً لتمثيلات السلسلة المنفصلة (Bargmann) للمجموعة $SU(1,1)$. لا يوجد جديد في وصفنا هنا. الحجة هي تعديل بسيط لنظرية الزخم الزاوي القياسية في ميكانيكا الكم (Georgi). الورقة الأصلية (Bargmann) بالإضافة إلى العروض اللاحقة (Knapp, Varadarajan) تتناول حالات أكثر عمومية وبتدوين غير مألوف للفيزيائيين.

$SU(1,1)$ هي مجموعة المصفوفات المركبة $2\times2$ التي تحقق \[\det g=1,\quad g\sigma_{3}g^{\dagger}=\sigma_{3},\quad\sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right)\]

بينما جبر لي $\underline{SU}(1,1)$ هو فضاء المتجهات الحقيقية للمصفوفات التي تحقق \[\mathrm{tr}\gamma=0,\quad\gamma\sigma_{3}+\sigma_{3}\gamma^{\dagger}=0.\]

قاعدة هي \[e_{0}=\frac{i}{2}\sigma_{3},\quad e_{1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right),\quad e_{2}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0 \end{array}\right)\] تلبي علاقات الاستبدال \[[e_{0},e_{1}]=-e_{2},\quad[e_{0},e_{2}]=e_{1},\quad[e_{1},e_{2}]=e_{0}.\]

الجبر الفرعي المضغوط الأقصى $\underline{U}(1)$ له قاعدة $e_{0}$. عناصر المجموعة هي $g=e^{\xi_{0}e_{0}+\xi_{1}e_{1}+\xi_{2}e_{2}}\in SU(1,1)$ حيث $\xi_{0},\xi_{1},\xi_{2}$ حقيقية.

تمثيل $D_{k}$ لجبر لي $\underline{SU}(1,1)$

إذن، يتكون تمثيل $\underline{SU}(1,1)$ من المؤثرات $\hat{e}_{0},\hat{e}_{1},\hat{e}_{2}$ التي تلبي العلاقات \[[\hat{e}_{0},\hat{e}_{1}]=-\hat{e}_{2},\quad[\hat{e}_{0},\hat{e}_{2}]=\hat{e}_{1},\quad[\hat{e}_{1},\hat{e}_{2}]=\hat{e}_{0}\]

في تمثيل وحيداني للمجموعة، يجب أن يكون $\hat{g}=e^{\xi_{0}\hat{e}_{0}+\xi_{1}\hat{e}_{1}+\xi_{2}\hat{e}_{2}}$ وحيدانيًا للقيم الحقيقية $\xi_{0},\xi_{1},\xi_{2}$. هذا يتطلب \[\hat{e}_{0}^{\dagger}=-\hat{e}_{0},\quad\hat{e}_{1}^{\dagger}=-\hat{e}_{1},\quad\hat{e}_{2}=-\hat{e}_{2}.\]

تمثيلنا ذو البعدين يلبي الشرط الأول ولكن ليس الشرطين الآخرين؛ فهو ليس وحيدانيًا. في الواقع، جميع التمثيلات الوحيدانية هي لانهائية الأبعاد.

من المفيد تعريف \[J_{0}=-i\hat{e}_{0},\quad J_{\pm}=-i\left(\frac{\hat{e}_{1}\pm i\hat{e}_{2}}{\sqrt{2}}\right)\]

مؤثرات الزخم الزاوي (لـ $SU(2)$) مشابهة، باستثناء أن العلاقة الأخيرة لها الإشارة المعاكسة.

يمكننا اختيار قاعدة متعامدة حيث يكون $J_{0}$ قطرياً. ثم $J_{-}$ يخفض قيمة $J_{0}$ بوحدة واحدة بينما $J_{+}$ يرفعها بنفس المقدار.

يمكننا البحث عن تمثيل يعتمد على حالة الوزن الأدنى \[J_{-}\mid0\rangle=0,\quad J_{0}\mid0\rangle=k\mid0\rangle\]

في تمثيل الوزن الأدنى غير القابل للانقسام، يتم الحصول على العناصر الأساسية المتبقية بواسطة العمل المتكرر لـ $J_{+}$ على هذه الحالة.

الشرط $[J_{0},J_{+}]=J_{+}$ يقترح الفرضية \[J_{+}\mid\nu\rangle=f(\nu)\mid\nu+1\rangle,\quad J_{0}\mid\nu\rangle=(k+\nu)\mid\nu\rangle,\quad\nu=0,1,2,\cdots\]

الوحيدانية ستتطلب $\langle\nu'\mid J_{-}\mid\nu\rangle=\langle\nu\mid J_{+}\mid\nu'\rangle^{*}=\delta_{\nu,\nu'+1}f^{*}(\nu')$ أو \[J_{-}\mid\nu\rangle=f^{*}(\nu-1)\mid\nu-1\rangle.\] هذا يعطي $[J_{0},J_{-}]=-J_{-}$ فوراً. أيضاً، $J_{-}\mid0\rangle=0$ يعني \[f(-1)=0.\] .

أخيراً $[J_{-},J_{+}]=J_{0}$ يعطي الشرط \[\mid f(\nu)\mid^{2}-\mid f(\nu-1)\mid^{2}=(k+\nu)\]

يمكن حل هذه المعادلة الفرقية باستخدام الشرط الأول $f(-1)=0$ : \[\mid f(\nu)\mid^{2}=\frac{1}{2}(\nu+1)(\nu+2k)\]

حتى مرحلة يمكن إزالتها بإعادة تعريف الحالات $\mid\nu\rangle$ نحصل على \[f(\nu)=\sqrt{\frac{1}{2}(\nu+1)(\nu+2k)},\quad\nu=0,1,\cdots\]

هذا كله مشابه جداً للبناء المعتاد لتمثيلات الوزن الأدنى الوحيدانية لـ $\underline{SU}(2)$؛ باستثناء أن $f(\nu)\neq0$ لجميع $\nu=0,1,2,\cdots$. هذا تمثيل ذو بعد لا نهائي: لا توجد حالة وزن أعلى.

ملخصاً، لدينا تمثيل وحيداني $D_{k}$ \[J_{0}\mid\nu\rangle=(k+\nu)\mid\nu\rangle,\quad\nu=0,1,2,\cdots\] \[J_{-}\mid\nu\rangle=\sqrt{\frac{1}{2}\nu(\nu+2k-1)}\mid\nu-1\rangle\] \[J_{+}\mid\nu\rangle=\sqrt{\frac{1}{2}(\nu+1)(\nu+2k)}\mid\nu+1\rangle\]

بما أن $\langle0\mid J_{-}J_{+}\mid0\rangle=k$ لدينا الشرط \[k>0.\] لأسباب تاريخية، تسمى هذه التمثيلات "السلسلة المنفصلة". نؤكد أنه، على الرغم من هذا الاسم، نطاق القيم المسموح بها لـ $k$ مستمر: لأي $k$ موجب لدينا تمثيل $D_{k}$ لجبر لي.

تمثيل $D_{k}$ لـ $SU(1,1)$ ومجموعات تغطيتها

المجموعة $SU(1,1)$ متجانسة مع المجموعة الفرعية المضغوطة القصوى $U(1)$. هذه هي المجموعة الفرعية للعناصر من النوع $\exp\left(\xi_{0}e_{0}\right)$ مع $e_{0}=\frac{i}{2}\sigma_{3}$ و $\xi_{0}\in\mathbb{R}$. لاحظ أن \[\exp\left(4\pi e_{0}\right)=1.\]

في أي تمثيل لـ $SU(1,1)$ يجب أن يكون لدينا \[\exp(4\pi\hat{e}_{0})=\exp\left(4\pi iJ_{0}\right)=1.\] وبالتالي، لتمثيلنا الوحيداني ذو الوزن الأدنى $D_{k}$ لـ $\underline{SU}(1,1)$ ليتم تحويله إلى تمثيل لـ $SU(1,1)$، يجب أن يكون $k$ عدداً صحيحاً أو نصف صحيح. هذا هو السبب في أنه تم تسميته تاريخياً بالسلسلة المنفصلة.

الآن، تذكر أن $\underline{SU}(1,1)$ هو جبر لي للعديد من المجموعات الليية التي ترتبط ببعضها البعض من خلال التغطيات. إذا كان $k$ عدداً صحيحاً، يتم تحويل $D_{k}$ إلى تمثيل وحيداني لا يتجزأ لـ $SO(1,2)$. إذا كان $k$ نصف صحيح يعطي تمثيلاً للتغطية المزدوجة $SU(1,1)$. سيتم تحويل $k$ النسبي إلى بعض التغطيات المحدودة لـ $SU(1,1)$. إذا كان $k$ غير نسبي، يتم تحويل $D_{k}$ إلى تمثيل للمجموعة التغطية الشاملة $\widetilde{SU}(1,1)$.

تمثيلات المذبذب $D_{\frac{1}{4}}$ و $D_{\frac{3}{4}}$

من الحالات الخاصة جداً تمثيلان ينشآن من المذبذب التوافقي: \[J_{-}=\frac{a^{2}}{2\sqrt{2}},\quad J_{+}=\frac{a^{\dagger2}}{2\sqrt{2}},\quad J_{0}=\frac{1}{2}\left(a^{\dagger}a+\frac{1}{2}\right)\]

حيث \[a\mid n)=\sqrt{n}\mid n-1),\quad a^{\dagger}\mid n)=\sqrt{n+1}\mid n+1)\]

\[J_{-}\mid n)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{n(n-1)}|n-2),\quad J_{+}\mid n)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{(n+1)(n+2)}\mid n+2)\]

عندما نقارن مع الصيغ أعلاه، يمكننا أن نرى أن هذا يتوافق مع مجموع تمثيلين غير قابلين للانقسام. في حالة واحدة لدينا أعداد احتلال زوجية

نرى أن التمثيل الزوجي له $k=\frac{1}{4}$ والفردي له $k=\frac{3}{4}$

هذه تبسط إلى تمثيل للغطاء المزدوج $Mp(1,1)$ (المسمى بـ "المجموعة الميتابلكتيكية") لـ $SU(1,1)$.

يمكن بناء تمثيلات أخرى من المذبذبات ذات الأبعاد الأعلى من خلال تشكيل مجموعات دورانية متغيرة من ثنائيات في $a,a^{\dagger}$. لكننا لن نتابع هذه البنيات هنا.

دالة الحرف لـ $D_{k}$

بالنظر إلى تمثيل ذو بعد محدود، $\rho:G\to U(\mathcal{V})$ لمجموعة، فإن دالة الحرف $\chi_{\rho}:G\to\mathbb{C}$ هي الأثر $\chi(g)=\mathrm{tr}\rho(g)$. بالنسبة لتمثيل ذو بعد غير محدود، قد لا يكون هذا الأثر مجموعاً متقارباً. حتى مع ذلك، يمكن أن يوجد الحرف كتوزيع أو دالة عمومية. ولكونه ثابتاً تحت التبديل، يمكن تقليصه إلى دالة على مجموعة كارتان الفرعية (مجموعة فرعية من العناصر التي يمكن تشخيصها في آن واحد). بالنسبة لـ $G=SU(1,1)$ هناك فئتان من مجموعات كارتان الفرعية: $\left(\begin{array}{cc} e^{i\theta} & 0\\ 0 & e^{-i\theta} \end{array}\right),0\leq\theta<2\pi$ و $\left(\begin{array}{cc} \cosh\zeta & \sinh\zeta\\ \sin\zeta & \cosh\zeta \end{array}\right),\zeta>0$ .

الأولى من هذه المجموعات الفرعية لكارتان يتم توليدها بواسطة $J_{0}$. مقيداً بهذا، حرف السلسلة المنفصلة بمعامل $k$ هو

المجموع لا يتقارب: الحرف هو توزيع بدلاً من أن يكون دالة لـ $\theta$. إذا سمحنا لـ $\theta$ بأن يكون له جزء تخيلي صغير موجب، فإن المجموع سيتقارب. من الأسهل تعريف $\theta=i\tau$ وتعيين

\[\chi_{k}(\tau)\equiv\mathrm{tr}e^{-\tau J_{0}}=\sum_{\nu=0}^{\infty}e^{-\tau(k+\nu)}\]

الكمية على الجانب الأيمن لها استمرارية تحليلية إلى كامل مستوى $\tau-$، مع قطب بسيط عند $\tau=0$. بمعنى آخر، الحرف هو دالة عمومية على الدائرة الوحدة $U(1)\subset SU(1,1)$ ، وهي قيمة الحد لدالة تحليلية في الداخل للقرص الوحدة.

ثوابت كازيمير لتمثيل ذو بعد محدود هي آثار لقوى ممثلي الجبر الليي

\[z(r,k)=\mathrm{tr}J_{0}^{r}\] لتمثيل ذو بعد محدود، دالة الحرف هي دالة توليد لهذه الكازيميرات:

\[\chi_{k}(\tau)=\sum_{r=0}^{\infty}\mathrm{tr}J_{0}^{r}\frac{(-\tau)^{r}}{r!}.\] للتمثيلات ذات الأبعاد غير المحدودة مثل $D_{k}$، الآثار $\mathrm{tr}J_{0}^{r}$ تتباعد. ولكن، يمكننا مرة أخرى أن نعطيها معنى بواسطة الاستمرارية التحليلية.

\[\chi_{k}(\tau)=\frac{1}{\tau}+\sum_{r=0}^{\infty}z(r,k)\frac{(-\tau)^{r}}{r!}\]

بطرح القطب البسيط عند $\tau=0$، نحصل على إجابات محددة لـ $z(r,k)$. طريقة أخرى، ذات صلة، هي تعريف دالة زيتا بواسطة تحويل ميلين

\[\zeta_{H}(s,k)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\chi_{k}(\tau)\tau^{s-1}d\tau,\quad\mathrm{Re}\ s>1\]

في حالتنا، يمكننا تقييم هذا التكامل للحصول على

\[\zeta_{H}(s,k)=\sum_{\nu=0}^{\infty}\frac{1}{(k+\nu)^{s}}\] هذه هي دالة زيتا هورفيتز (Apostol). لها قطب بسيط عند $s=1$ وهي منتظمة في أماكن أخرى.

كلتا الطريقتين تعطيان نفس الإجابات، من حيث متعددات الحدود برنولي:

هاريش-تشاندرا يعطي صيغة عامة لحرف تمثيل السلسلة المنفصلة. التوسع في سلسلة كما هو مذكور أعلاه يتيح لنا استخراج ثوابت كازيمير للتمثيل مباشرة لمجموعات أكثر عمومية.

دالة بيتا لنظرية القياس الأبلية

ننـظر الآن إلى مجموعة من فيرميونات ديراك الخالية من الكتلة والتي تتحول تحت تمثيل $D_{k}$ لتناظر داخلي تحت جبر لي $\underline{SU}(1,1)$. تحت الجبر الفرعي المضغوط الأقصى $\underline{U}(1) \subset \underline{SU}(1,1)$ لدينا مضاعفة لا نهائية من الشحنات

دالة بيتا ذات الحلقتين هي، تصبح الصيغة ([eq:RafaelRosner])

\[\beta(\alpha)=\frac{2}{3}\frac{\alpha}{\pi}z(2,k)+\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{2}z(4,k)+\mathrm{O}(\alpha^{3})\]

إذا تم إعطاء $z(r,k)$ معنى من خلال التنظيم كما سبق، نحصل على

\[\beta(\alpha)=-\frac{1}{9}(k-1)k(2k-1)\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)-\frac{1}{60}(k-1)k(2k-1)(3k^{2}-3k-1)\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{2}+\mathrm{O}(\alpha^{3})\]

\[\equiv\beta_{1}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)+\beta_{2}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{2}+\mathrm{O}\left(\alpha^{3}\right)\]

بعض النتائج

يجب التأكيد على أن هذه الاستنتاجات مبنية على نظرية الاضطراب. بدون طريقة غير اضطرابية (مثل محاكاة الشبكة) لا يمكننا أن نكون واثقين من صحتها. ولكن ربما يعطي هذا بعض التشجيع لاستكشاف هذه الظواهر باستخدام الطرق غير الاضطرابية.

عندما $k=\frac{1}{2}$ أو $k=1$

لنتذكر نظرية فوري (Furry) في نظرية القياس الأبلية.

أي رسم بياني فينمان، يحتوي على مخطط فرعي يتكون من حلقة مغلقة من فيرميونات ديراك بعدد فردي من الرؤوس، يكون مساوياً للصفر

السبب هو أن المخطط الفرعي مع $r$ رؤوس سيكون متناسباً مع أثر لمنتج من مصفوفات ديراك

\[\left(\sum_{\nu}e_{\nu}^{r}\right)\ \mathrm{tr}\gamma^{\mu_{1}}\cdots\gamma^{\mu_{r}},\quad r\ge1\]

نتذكر الآن أن هناك مصفوفة ديراك $\gamma_{5}$ تلبي

لذا فإن الأثر يساوي سالب نفسه عندما يكون $r$ فردياً:

\[\mathrm{tr}\gamma^{\mu_{1}}\cdots\gamma^{\mu_{r}}=\sum_{\nu}e_{\nu}^{r}\ \mathrm{tr}\gamma_{5}^{2}\gamma^{\mu_{1}}\cdots\gamma^{\mu_{r}}=\ \mathrm{tr}\gamma_{5}\gamma^{\mu_{1}}\cdots\gamma^{\mu_{r}}\gamma_{5}=\ (-1)^{r}\mathrm{tr}\gamma_{5}^{2}\gamma^{\mu_{1}}\cdots\gamma^{\mu_{2n+1}}.\]

وبالتالي فإن $z(r,k)=\sum_{\nu}e_{\nu}^{r}$ مع $r$ زوجي فقط يمكن أن يحدث.

لذا فإن دالة بيتا لنظرية القياس الأبلية مع $k=\frac{1}{2},1$ تكون صفراً في جميع مراحل نظرية الاضطراب.

وبالتالي، فإن نظرية القياس الأبلية للفيرميونات الخالية من الكتلة في أي من السلسلتين المنفصلتين مع $k=\frac{1}{2},1$ من المحتمل أن تكون نظرية حقل توافقية. ينطبق هذا أيضاً على حالة الحد $k\to0^{+}$ (التي لها قيم غير صفرية لـ $z(r,k)$، كما رأينا.)

سيكون من المثير للاهتمام اختبار هذا بواسطة طرق غير تقليدية مثل تلك المذكورة في المرجع (ConformalBootstrap).

مجموعات لي البسيطة غير المضغوطة ومجموعاتها الفرعية المضغوطة القصوى

تمثيل وحيداني مخلص لمجموعة لي $G$ هو خريطة مستمرة وشاملة $\rho:G\to U(\mathcal{V})$ إلى فضاء المشغلات الوحيدانية في فضاء هيلبرت $\mathcal{V}$. وبالتالي، فإن الصورة $\rho(G)\subset U(\mathcal{H})$ هي منزلقه إلى $G$.

إذا كان $\mathcal{V}$ ذو بعد محدود، فإن $U(\mathcal{V})$ هو فضاء مضغوط. وبالتالي يجب أن تكون $\rho(G)$ ومن ثم $G$ نفسها، مضغوطة. أي تمثيل مخلص لمجموعة لي غير مضغوطة يجب أن يكون بالضرورة ذو بعد لا نهائي.

السلاسل المنفصلة

فئة مثيرة للاهتمام بشكل خاص من التمثيلات اللانهائية المتماسكة الوحيدانية هي السلاسل المنفصلة. هذه هي التمثيلات حيث تكون عناصر المصفوفة $\langle\psi\mid\rho(g)\mid\chi\rangle$ دوال مربعة التكامل على $G$. الرياضيات عميقة، مع ارتباطات بنظرية الأعداد (مثل، برنامج لانغلاندز).

ليس كل المجموعات الليية البسيطة غير المضغوطة لديها سلاسل منفصلة. وجد هاريش-تشاندرا (DiscreteSeries) المعيار الذي توجد به تمثيلات السلسلة المنفصلة (Knapp, Varadarajan).

(هاريش-تشاندرا) تمتلك المجموعة الليية شبه البسيطة الخطية $G$ تمثيلات السلسلة المنفصلة إذا وفقط إذا كانت رتبتها هي نفسها كرتبة أكبر مجموعة فرعية مضغوطة لها $K$

وبالتالي، $SO(1,2)$ لديها سلسلة منفصلة (Bargmann) ولكن ليس $SO(1,3)$. في الواقع $SO(m,n)$ لديها سلاسل منفصلة بالضبط عندما يكون $mn$ زوجياً. أيضاً، $SU(m,n)$ لديها سلاسل منفصلة لجميع $m,n\geq1$. الحالة الخاصة $SU(2,3)$ مثيرة للاهتمام حيث أن أكبر مجموعة فرعية مضغوطة لها $S\left(U(2)\times U(3)\right)$ هي مجموعة القياس لنموذج الجسيمات القياسي في فيزياء الجسيمات.

يجب أن تكون مجموعات القياس مضغوطة

لا يمكن أن تكون المجموعات الليية غير المضغوطة مجموعات قياس لنظريات يانغ-ميلز. هذا معروف جيداً، ولكننا نقدم هنا تذكيراً بالسبب. ذلك لأن فعل يانغ-ميلز النقي يمكن كتابته كما يلي \[L_{YM}=-\frac{1}{4}g_{ab}F_{\mu\nu}^{a}F^{b\mu\nu}\] حيث $a,b=1,\cdots d$ تعلم أساس في جبر لي $\underline{K}$ لمجموعة القياس $K$ \[[e_{a},e_{b}]=f_{ab}^{c}e_{c}\] لكي يكون الفعل متغير القياس، يجب أن تكون المصفوفة المتماثلة $g_{ab}$ جداء داخلي ثابت على $\underline{K}$: \[f_{ab}^{d}g_{dc}+g_{ad}f_{bc}^{d}=0.\] أيضاً، لكي يكون لدينا جداء داخلي موجب في الفضاء الهلبرتي الكمومي نحتاج إلى أن تكون $g_{ab}$ مصفوفة موجبة، بحيث يكون فضاء الحالات الكمومية له جداء داخلي موجب (NoGhost).

لذا، في أفضل الأحوال، يمكننا القياس ببعض الجبر الفرعي $\underline{K}\subset\underline{G}$ الذي يمتلك جداء داخلي ثابت موجب $g$.

يمكن لهذا الجبر لي $\underline{K}$ ذو الجداء الداخلي الموجب أن يبسط إلى مجموعة لي مضغوطة $K$. لذا سنقول إن هذه الجبرات من "النوع المضغوط".¹ هي مجاميع مباشرة من جبر لي بسيط مضغوط وبعض جبر لي أبلي. المثال الأشهر هو النموذج القياسي: $\underline{K}=\underline{U}(1)\oplus\underline{SU}(2)\oplus\underline{SU}(3)$ الذي يمكن أن يبسط إلى $S\left(U(2)\times U(3)\right)$.

ثوابت الربط لنظرية القياس تعمل على تحديد حلول لـ $g_{ab}$؛ على سبيل المثال، للنموذج القياسي هناك عائلة من ثلاثة معاملات للجداء الداخلي الثابت، معلمة بـ $\alpha_{QCD},\alpha_{QED},\theta_{W}$.

على الرغم من أن مجموعة القياس يجب أن تكون مضغوطة، فقد يكون للمادة الفرميونية تقارب تقريبي تحت مجموعة غير مضغوطة $G$ التي تحتوي $K$ كمجموعة فرعية. سيتحلل تمثيل وحيداني لـ $G$ إلى مجموع مباشر لا نهائي من التمثيلات الوحيدانية غير القابلة للاختزال لـ $K\subset G$، كما ناقشنا سابقاً.

الشكر

نشكر A. P. Balachandran، G. Ferretti، D-K. Hong و K. Gupta على المناقشات.

دالة زيتا هورفيتز ومتعددات حدود برنولي

نحتاج إلى فهم مجاميع من النوع $\sum_{\nu=0}^{\infty}e_{\nu}^{r}$ حيث $e_{\nu}=k+\nu$:

حيث $r$ هو عدد زوجي موجب. هذه المجموعة، بالطبع، متباعدة. لكن يمكن إعطاؤها معنى من خلال الاستمرارية التحليلية للسلسلة \[\zeta_{H}(s,a)=\sum_{\nu=0}^{\infty}(a+\nu)^{-s}\]

التي تتقارب عندما $\mathrm{Re\ }s>1.$ هذه هي دالة زيتا هورفيتز المعروفة (Apostol). يمكن تمديدها بواسطة الاستمرارية التحليلية إلى كامل المستوى المركب، الشذوذ الوحيد هو قطب بسيط عند $s=1$. لذا يمكننا تعريف

حيث $B_{r}(a)$ هي متعددة حدود برنولي من الرتبة $r$. هناك دالة مولدة مفيدة لهذه المتعددات:

\[B(t,a)\equiv\sum_{r=0}^{\infty}B_{r}(a)\frac{t^{r}}{r!}=\frac{te^{at}}{e^{t}-1}\]

\[B_{r}(a)=\sum_{l=0}^{r}\left[\frac{1}{l+1}\sum_{m=0}^{l}(-1)^{m}\left(\begin{array}{c} l\\ m \end{array}\right)(a+m)^{r}\right]\]

هذا هو "البعد الافتراضي" لتمثيل السلسلة المنفصلة لمجموعة $SU(1,1)$.

يمكن الآن الحصول على قيم $z(r,k)$ لـ $r$ الزوجية ("كاسيميرات" لتمثيل السلسلة المنفصلة لمجموعة $SU(1,1)$) بشكل صريح:

$z\left(r,k\right)=0$ لـ $r=2,4,6\cdots$ و $k=\frac{1}{2},1$

لاحظ أن هذه تختفي لـ $k=\frac{1}{2}$ و $k=1$. في الواقع هذا صحيح لجميع القيم الزوجية لـ $r$ بسبب تماثل دالة توليد برنولي \[\textnormal{$B(t,a)=e^{-t}B(-t,1-a).$}\]

على وجه الخصوص، $z(r,k)$ تغير العلامة تحت $k\mapsto1-k$ لجميع $r$ الزوجية. لذا يجب أن تختفي لـ $k=\frac{1}{2}$ وهو نقطة ثابتة للتحويل $k\mapsto1-k$. أيضاً، $z(r,1)=0$ لـ $r$ الزوجية حيث يتم تعيينها إلى $z(r,0)$؛ و $z(r,0)=0$ لجميع $r$.

يمكننا أيضاً التحقق من اختفاء هذه $z(r,k)$ عند $k=\frac{1}{2},1$ بشكل مباشر أكثر.

إذا كان $a=\frac{1}{2}$ يمكننا التحقق من أن \[\textnormal{$\frac{te^{\frac{1}{2}t}}{e^{t}-1}=\frac{t}{e^{\frac{1}{2}t}-e^{-\frac{1}{2}t}}$}\]

هي دالة زوجية. لذا جميع $B_{r}\left(\frac{1}{2}\right)$ تختفي لـ $r$ الفردية. بمعنى آخر

بالمثل عندما $a=1$ \[\textnormal{$\frac{te^{t}}{e^{t}-1}=\frac{t}{2}+\frac{1}{2}\frac{t}{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}\left(e^{\frac{t}{2}}+e^{-\frac{t}{2}}\right)$}\]

باستثناء الحد الأول هذه دالة زوجية. وبالتالي $B_{r}(1)$ تختفي لجميع $r$ الفردية الأكبر من 1. بمعنى آخر،

كما ذكر في النص، لهذه نتائج مثيرة للاهتمام بالنسبة لدالة بيتا لنظرية القياس الأبلية.

نقطة دقيقة هي أن جبر لي من النوع المضغوط يمكن أن يبسط إلى مجموعة لي غير مضغوطة؛ ولا يحتاج الغطاء العالمي لمجموعة لي مضغوطة أن يكون مضغوطاً (فكر في $U(1)$، التي يكون غطاؤها العالمي هو $\mathbb{R}$). ولكن هذا يحدث فقط للعوامل الأبلية.↩

نظريات القياس مع مضاعفات لا نهائية من الفرميونات

مُلَخَّص

مقدمة

السلسلة المنفصلة \(\underline{SU}(1,1)\)

تمثيل \(D_{k}\) لجبر لي \(\underline{SU}(1,1)\)

تمثيل \(D_{k}\) لـ \(SU(1,1)\) ومجموعات تغطيتها

تمثيلات المذبذب \(D_{\frac{1}{4}}\) و \(D_{\frac{3}{4}}\)

دالة الحرف لـ \(D_{k}\)