latex
يتم حساب إشعاع الجسيمات المشحونة التي تمر عبر مجموعة من الحواف المتباعدة بانتظام على سطح بلورة واحدة. تكون الحواف مستطيلة الشكل، وكل منها بسماكة نصف فترة مسار الجسيم عند التوجيه الخطي في بلورة سميكة. الجسيم المشحون إيجابياً الذي يدخل الحافة الأولى بزاوية أصغر من زاوية التوجيه الحرجة يتم أسره داخل التوجيه ويغير اتجاه سرعته العرضية إلى المعاكس. بين الحواف نصف الموجية، يتحرك الجسيم على خط مستقيم. عند المرور عبر مجموعة من ألواح البلورة نصف الموجية، يتحرك الجسيم على مسارات شبه موجية. يتم حساب خصائص الإشعاع الذي يصدره الجسيم أثناء مروره عبر هذا "الموجه متعدد البلورات". يكون طيف الإشعاع في كل اتجاه منفصل، وتردد التوافقي الأول وعدد التوافقيات في الطيف يعتمدان على المسافة بين الألواح، وعلى طاقة الجسيمات وعلى الطاقة الكامنة المتوسطة للمستويات الذرية للبلورة. يقتصر الإشعاع على مخروط ضيق في اتجاه سرعة الجسيم المتوسطة ومستقطب بشكل أساسي في مستوى عمودي على المستويات الذرية للبلورة.
تم استخدام الجسيمات النسبية الموجهة في بلورة واحدة منذ فترة طويلة كمصدر للإشعاع الكهرومغناطيسي الصلب. أحد العيوب الرئيسية لمثل هذا المصدر هو القدرة المحدودة على تعديل تردد الإشعاع. لمعالجة هذا النقص، تم اقتراح مخططات مختلفة تجمع بين مزايا إشعاع القنوات وإشعاع الموجه. تشمل المخططات الأكثر شيوعاً البلورات المنحنية دورياً. يمكن ثني المستويات البلورية بواسطة موجات فوق صوتية (Kaplin1980, Baryshevsky1980) أو قطوع دقيقة دورية للوحة بلورية واحدة، والتي في هذه الحالة تنحني بسبب الإجهادات الداخلية (Baryshevsky:2013jja, Bagli, Bellucci2003, Biryukov2004). للحصول على إشعاع ذو طاقة عالية تم عرض موجهات البلورات (Kostyuk2013, Sushko2015341) ومن ثم تحقيقها (Wistisen2014, Uggerhoj2015) بفترة أقصر بكثير من فترة قنوات الجسيمات، وسعة الانحناء أقل بكثير من المسافة بين المستويات البلورية.
في بعض الحالات، على العكس من ذلك، يتطلب الحصول على إشعاع أكثر نعومة، ومع ذلك، من المرغوب فيه استخدام شعاع من الجسيمات ذات الطاقة العالية لتوليد إشعاع ذو شدة عالية. لهذا الغرض، يمكن استخدام بلورة منحنية دورياً، أو كما اقترح في (Vorobiev1982_pat)، مجموعة من الألواح البلورية الرقيقة، كل منها يغير السرعة العرضية للشعاع إلى سرعة معاكسة، بحيث تبدو مسارات الجسيمات في مجموعة البلورات مثل خط متعرج. يتم التركيز في هذه الورقة على حساب الإشعاع في جهاز يُشار إليه باسم موجه متعدد البلورات.
تمت دراسة مسارات الإلكترونات والبوزيترونات في لوح بلوري بسماكة تعادل نصف فترة مسار الجسيمات عند القنوات الخطية بواسطة الطرق العددية في (Pivovarov_2014). وصفت الدراسة التجريبية لمرور الإلكترونات من خلال مثل هذه اللوحة نصف الموجية في الورقة (Takabayashi2015). تمت دراسة الإشعاع المنبعث في لوحة نصف موجية واحدة عددياً وأظهرت أن الخصائص الأساسية للإشعاع مشابهة لتلك الخاصة بالإشعاع من قوس دائرة (Bagrov1983, Polozkov2015212). يؤدي التراكب المتماسك لحقول الإشعاع المولدة في سلسلة من الألواح نصف الموجية إلى طيف انبعاث بخصائص محددة يتم دراستها نظرياً في هذه الورقة.
ننظر إلى منشور متعدد البلورات مصنوع على سطح بلورة واحدة، يتكون من مجموعة من الحواف المتباعدة بشكل متساوٍ والمستطيلة الشكل وكل منها بسماكة نصف الموجه. الطبقات البلورية التي تمكن من توجيه الجسيمات موجبة الشحنة، عمودية على سطوح الحواف. ارتفاع الحواف أكبر بكثير من سماكتها، وبالتالي، يمكن إهمال بقية البلورة. من هنا فصاعداً، نعتبر الحواف عبارة عن مجموعة من الألواح البلورية الرقيقة. تم استخدام تصميم مماثل في التجارب (Kaplin2000,Kaplin2001) لإنتاج إشعاع الانتقال السيني المنعكس والإشعاع السيني البارامتري عند زاوية براج، لكن سماكة الحواف كانت أكبر بكثير من نصف فترة التوجيه.
نختار نظام إحداثيات بحيث يكون محور \(x\) موازياً لمستويات البلورة، ومحور \(y\) عمودياً عليها. محور \(Z\) عمودي على السرعة الابتدائية للجسيم الساقط. سماكة كل لوح هي \(d_1\)، والمسافة بين الألواح هي \(d_2\)، والمسافة بين الطبقات البلورية تساوي \(2a\). نستخدم تقريب التوافقي للجهد المتوسط للمجال الكهربائي بين الطبقات البلورية: \[U(y)=\frac{U_0}{a^2}y^2,\] حيث \(U_0\) هو عمق وادي الجهد. معادلات الحركة النسبية للجسيم في المستوى \(z=0\) لها الشكل \[\frac{{ d}p_x}{{ d}t}=0,\quad \frac{{ d}p_y}{{ d} t}=-\frac{2eU_0}{a^2}y.\] هنا \( p_x\) و \(p_y \) هما مكونات الزخم \[p_i=\gamma m\dot x_i, \, x_i=x,y, \, \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}, \, \beta^2=\beta_x^2+\beta_y^2,\] \(m\) و \(e\) هما كتلة وشحنة الجسيم، \(\beta_i=\dot x_i/c\)، النقطة تدل على المشتقة الزمنية، \(c\) هي سرعة الضوء.
لنفترض أن الجسيم فائق النسبية (\(\gamma\gg 1\)) وأن شروط تقريب الدوامة مستوفاة (Bordovitsyn-SR) \[\begin{aligned} \beta_y\ll\gamma^{-1},\quad \delta\beta_x\ll \gamma^{-2},\end{aligned}\] حيث \(\delta\beta_x\) هو سعة تغير \(\beta_x\). في هذه الحالة، يمكن اعتبار قيمة \( \gamma\) ثابتة. تكامل المعادلات في التقريب المعتمد يعطي \[\begin{aligned} x(t)=vt,\quad y(t)=\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin{\omega_{0}t}+y_{0}\cos{\omega_{0}t},\end{aligned}\] حيث \(v\) و \(v_{0y}\) هما سرعة الجسيم الابتدائية ومكونها \(y\)، \(\omega_{0}\) هو تردد تذبذبات الجسيم \[\omega_{0}^2=\frac{2U_0}{a^2m\gamma}.\]
شرط التوجيه هو أن سعة التذبذبات \(y_0^2+(v_{0y}/\omega_0)^2\) يجب أن تكون أقل من نصف المسافة بين الطبقات البلورية. وبالتالي، إذا كان شعاع متوازي من الجسيمات يسقط على سطح اللوح البلوري، فإن الجسيمات ذات الإحداثي الابتدائي \(y_0\) التي تلبي الشرط \[y_0^2<y_m^2=a^2-\left(\frac{v_{0y}}{\omega_0}\right)^2.\] سيتم التقاطها في وضع التوجيه. الجسيمات المتبقية لديها طاقة عرضية فوق الحاجز. يترتب على عدم المساواة المذكورة أعلاه أن السرعة العرضية الابتدائية \(v_{0y}\) يجب أن تلبي الشرط \(|v_ {0y}|<a\omega_0\). إذا قدمنا زاوية السقوط كـ \(\alpha=|v_{0y}|/c\)، يمكن كتابة عدم المساواة الأخيرة كشرط ليندهارد المعروف \[\alpha<\alpha_c=\sqrt{\frac{2U_0}{m\gamma c^2}}.\]
سماكة كل لوح بلوري تساوي نصف فترة المسار: \(d_1=\pi v/\omega_{0}\). وبالتالي، إحداثي \(y\) للجسيم عند مغادرته اللوح البلوري الأول هو \(y_1=-y_0\)، ومكون السرعة \(y\) يساوي \(v_{y1}=-v_{y0}\). بين اللوح الأول والثاني، يتحرك الجسيم على خط مستقيم. إذا كانت زاوية السقوط \(\alpha\) تساوي صفراً، فإن جميع جسيمات الشعاع سيتم التقاطها في وضع التوجيه بغض النظر عن المسافة \(d_2\).
اللوحان البلوريان الأولان والفجوتان اللاحقتان يشكلان الفترة المكانية لمنشور متعدد البلورات. الفترة الزمنية للحركة تساوي \(T=2(d_1+d_2)/v\).
يعطى التوزيع الطيفي والزاوي للطاقة المشعة من الجسيم في حركة شبه دورية على مسار مستوٍ بواسطة الصيغة (Bordovitsyn-SR)
\[\label{e59} \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{4e^2\gamma^4} {c\tilde{\omega}^2} \frac{\sin^2\pi\nu N}{\sin^2\pi\nu}(\rho_\sigma+\rho_\pi) |\dot{\boldsymbol\beta}(\nu)|^2,\]
حيث \(N\) هو عدد دورات الموجه، وتعرف التوزيعات الزاوية لمكونات الاستقطاب \(\rho_\sigma\) و \(\rho_\pi\) بالمعادلات \[\begin{aligned} \label{e49ppp} \rho_\sigma=\frac{(1-\psi^2\cos 2\varphi)^2}{(1+\psi ^2)^4}\:,\ \ \ \rho_\pi=\frac{\psi^4\sin^2 2\varphi}{(1+\psi ^2)^4},\end{aligned}\] ويعطى المكون الفوريي للتسارع بواسطة \[\begin{aligned} \label{e56} \dot{\boldsymbol\beta}(\nu)=\frac {1}{T}\int\limits_0^T \dot{\boldsymbol\beta}(t) e^{i\tilde{\omega}\nu t}dt,\quad \nu=\frac{\omega}{2\gamma^2\tilde{\omega}}(1+\psi^2).\end{aligned}\] هنا \(\tilde{\omega}=2\pi/T\) هو تردد تذبذبات الجسيم، \(\psi=\gamma\theta\)، \(\theta\) هي الزاوية بين اتجاه الإشعاع ومحور التوجيه (\(x\)-axis)، \(\varphi\) هي الزاوية السمتية في المستوى \(yz\).
بحساب التسارع باستخدام المعادلات ([eq-motor-y2]) و([eq-mot-y2]) واستبداله في المعادلات ([e59]) و([e56])، نحصل على \[\begin{gathered} \label{e60} \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{16e^2\gamma^4a^2\omega_0^2N^2} {\pi^2c^3} I_1(\nu)I_2(\nu)(\rho_\sigma+\rho_\pi)\times\\ \times\left[\left(\frac{y_0\nu\eta}{a}\right)^2+\phi^2\right],\end{gathered}\] حيث \(\phi=\alpha/\alpha_c\) هي نسبة زاوية السقوط إلى الزاوية الحرجة للتوجيه، و \(\eta=\tilde{\omega}/\omega_0<1\) هي نسبة تردد تذبذبات الجسيم إلى تردد التذبذب عند التوجيه (مشابهة لدورة العمل في الإلكترونيات). تعرف الدوال الطيفية \[\begin{aligned} I_1(\nu)=&\frac{\cos^2\pi\nu\eta/2}{(1-\eta^2\nu^2)^2},\nonumber\\ I_2(\nu)=&\frac{\sin^2\pi\nu N}{4N^2\cos^2(\pi\nu/2)}\end{aligned}\] الخصائص الأساسية للإشعاع. في حالة \(N\gg 1\) تولد الدالة \( I_2(\nu) \) خطوطاً طيفية ضيقة بعرض \(\Delta \nu=N^{-1}\) قرب القيم الفردية لـ \(\nu\)، بينما الدالة \( I_1(\nu)\) هي مغلف طيفي.
لإيجاد الكثافة الطيفية للإشعاع. نحسبها لموجه بلوري بعدد كبير من الدورات \(N\). باستخدام الحد (Bordovitsyn-SR) \[\lim\limits_{N\to\infty}\frac{\sin^2\pi\nu N}{N\sin^2\pi\nu}=\sum\limits_{n=1}^\infty\delta (n-\nu)\] والتكامل على الزاوية الصلبة \(d\Omega=\theta d\theta d\varphi\)، نحصل على الطيف التكاملي للإشعاع \[\begin{gathered} \label{e62} \frac{d{\cal E}}{ d\omega} =\frac{4e^2a^2\omega_0^2\gamma^2\xi N}{\pi c^3}\times\\ \times\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n\cos^2\pi n\eta/2}{n^4(1-n^2\eta^2)^2}\left[1-(-1)^n\right]G_n\Theta(n-\xi),\end{gathered}\] حيث \(s_n=s_{n\sigma}+s_{n\pi}\) هو مجموع مكونات الاستقطاب الخطي [harm] s_n=3^2-2n+n^2,s_n=(-n)^2,\(\xi\) هو تردد مخفض، و\(G_n\) يحدد تأثير الإحداثية الأولية وزاوية السقوط على الطيف: \[\xi=\frac{\omega}{2\gamma^2\eta{\omega_0}},\quad G_n=\left(\frac{y_0 n\eta}{a}\right)^2+\phi^2,\] \(\Theta(n-\xi)\) هي دالة هيفيسايد.
يمثل الطيف الانبعاثي ([e62]) كمجموع من التوافقيات المنفصلة. شكل كل توافقي محدد بمكونات الاستقطاب \(s_ {n\sigma}\) و \(s_{n\pi}\) ويتطابق مع الملف الشخصي المعروف لإشعاع الموجه في التقريب الدايبولي (Bordovitsyn-SR, Hofmann). توزيع طاقة الإشعاع في التوافقيات، كما يمكن رؤيته من عامل الشكل \(G_n\)، يعتمد بشكل أساسي على زاوية سقوط الجسيم في لوحة البلور، إحداثيته الأولية \(y_0\) والمسافة بين اللوحات.
حتى الآن، قمنا بدراسة خصائص إشعاع جسيم واحد. من أجل إيجاد الكثافة الطيفية المنبعثة من شعاع متوازي من الجسيمات نقوم بتوسيط التعبير ([e62]) على الإحداثية الأولية \(y_0\) خلال الفاصل \(2y_m\) المعطى بالمعادلة ([trajj]). ونظراً لأن \(y_0\) ممثلة فقط في \(G_n\)، فسيكفي توسيط هذا الضرب فقط \[{\overline G}_n=\frac{1}{2a}\int\limits_{-y_m}^{y_m}\hspace{-6pt}G_n d y_0= (1-\phi^2)^{1/2} \left[\frac{n^2\eta^2}{3}(1-\phi^2)+\phi^2\right]\] واستخدام \(\overline G_n\) بدلاً من \(G_n\) في المعادلة ([e62]). يُرسم طيف الإشعاع لشعاع متوازي من الجسيمات للمعلمات \(\eta=0.5\) و \(\alpha=0\) في الشكل [spectrum]. لغرض المقارنة مع النتائج التجريبية المحتملة، يظهر الرسم البياني نفسه في الشكل [spectrum1] كعدد الفوتونات \(dn\) لكل فاصل ترددي \(d\omega \). يتكون الطيف في هذه الحالة بشكل رئيسي من التوافقية الأولى والثالثة. عدد التوافقيات التي تساهم في طيف الانبعاث يحدده العامل \(\cos^2(\pi n\eta/2)/(1-n^2\eta^2)^2\)، والذي يكون قريباً من الواحد في مجال \(n\eta\) المنخفض وينخفض بسرعة إذا \(n\eta\gtrsim 3\). وهكذا، فإن الجزء الرئيسي من الطيف يحتوي على حوالي \(n\sim 3/\eta\) من التوافقيات. علاوة على ذلك، يعتمد طيف الانبعاث على زاوية سقوط حزمة الجسيمات على البلورة.
لاستكشاف هذه المسألة بمزيد من التفصيل، دعونا نجد طاقة الإشعاع في كل توافقي من خلال تكامل التعبير ([e62]) على \(\xi\) ضمن توافقي واحد. مع الأخذ في الاعتبار استبدال \( G_n\to{\overline G}_n\) نحصل على الآتي \[\begin{aligned} &{\cal E}=\sum\limits_{n=1}^\infty({\cal E}_{n\sigma}+{\cal E}_{n\pi}),\quad {\cal E}_{n\sigma}=\frac 78{\cal E}_n,\quad {\cal E}_{n\pi}=\frac 18{\cal E}_n,\nonumber\\ &{\cal E}_n=\frac{16e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N\eta}{3\pi c^3}S(n\eta). \label{e611}\end{aligned}\] توزيع الطاقة المنبعثة على التوافقيات يعطى بواسطة الدالة \[\label{Sn} S(n\eta)=\frac{\cos^2\pi n\eta/2}{(1-n^2\eta^2)^2}\left[1-(-1)^n\right]{\overline G}_n.\] هذه دالة متقطعة لقيم عددية فردية لـ \(n\). تظهر أغلفة هذه الدالة لزوايا سقوط مختلفة \(\phi\) في الشكل [bunch]. يعتمد طيف الانبعاث للزاوية النسبية \(\phi\) فقط في العامل \(\overline G_n(\phi)\). إذا كان \(\phi=0\)، يأخذ هذا العامل القيمة \(\overline G_n(0)=n^2\eta^2/3\). مع زيادة زاوية السقوط، تزداد قيمة \(\overline G_n(\phi)\) في الجزء المنخفض التردد من الطيف (\(n^2\eta^2<2\)) وتصل إلى أقصى قيمة لها عند \(\phi=\phi_m\) \[\overline G_n(\phi_m)=\frac{2}{3\sqrt{3-n^2\eta^2}},\quad \phi_m=\sqrt{\frac{2-n^2\eta^2}{3-n^2\eta^2}}.\] مع زيادة \( \phi \) تقل هذه الدالة وتختفي عند \(\phi=1\). في الجزء عالي التردد من الطيف (\(n^2\eta^2\ge 2\)) تقل دالة \(\overline G_n(\phi)\) تدريجياً إلى الصفر مع زيادة زاوية السقوط.
بجمع المعادلة ([e611]) على التوافقيات نحصل على الطاقة الكلية المنبعثة من شعاع الجسيمات، لكل جسيم \[\label{ful} {\cal E}=\frac{2\pi e^2 a^2\omega_0^3\gamma^4N}{9c^3}\sqrt{1-\phi^2}\left(1+2\phi^2\right),\] والتي لا تعتمد على \(\eta\) وتوزع بين مكونات الاستقطاب بنسبة 1:7. كدالة لزاوية السقوط، تكون الطاقة المنبعثة في أقصى حالاتها عند \(\phi=1/\sqrt{2}\)، أي عندما تكون زاوية السقوط أقل بمقدار \(\sqrt{2}\) مرات من الزاوية الحرجة للتوجيه.
إذا كانت هناك حاجة إلى مصدر إشعاع بتردد أقل من تردد الإشعاع في التوجيه، فإن الطريقة المقترحة لها مزايا معينة مقارنة بالإشعاع في التوجيه الذي يصدره جسيمات أقل طاقة. في الواقع، إذا أردت تقليل تردد إشعاع الجسيمات الموجهة \(k\) مرات، يجب عليك استخدام جسيمات بطاقة أقل بمقدار \(k^{2/3}\). سيؤدي ذلك إلى زيادة مخروط الإشعاع \(k^{2/3}\) مرات، وكثافة الطيف الزاوي ([e60])، التي تتناسب طردياً مع \(\gamma^4\)، لتقل \(k^{8/3}\) مرات. في حالة المشع البلوري المتعدد، يمكن تحقيق نفس التقليل في التردد إذا كانت المسافة بين ألواح البلور مساوية لـ \(d_2 = (k-1) d_1\). مع ذلك، لا يتغير مخروط الإشعاع، ويمكن أن تزداد أو تقل كثافة الطيف الزاوي للإشعاع اعتماداً على زاوية سقوط الشعاع.
هناك خاصية مثيرة للاهتمام لكثافة الطيف الزاوي للإشعاع. إذا زادت المسافة بين ألواح البلور، فإن تردد الإشعاع على كل توافقي يقل، ويزداد عدد التوافقيات الممثلة في الجزء الرئيسي من الطيف (\(n\eta\lesssim 3\)) بنفس النسبة. وفقاً للمعادلة ([ful])، فإن الطاقة الكلية المنبعثة لا تعتمد على \(\eta\). وبالتالي، تقل الطاقة المنبعثة عند كل توافقي كما هو مشار إليه بعامل \(\eta\) في المعادلة ([e611]). ومع ذلك، لا تقل كثافة الطيف الزاوي وكثافة الطيف بالضرورة مع \(\eta\)، لأنه لا يوجد عامل \(\eta\) في المعادلات ([e60]) و([e62]). يظهر هذا أيضاً من الشكل [spectrum]: مع انخفاض \(\eta\)، يتغير عامل القياس لمحاور \(\xi\) ويتحرك الحد الأقصى لكل توافقي إلى اليسار من حيث \(\omega\). هذا يؤدي بالتأكيد إلى انخفاض المساحة تحت المنحنى الذي يمثل الطيف. ولكن كثافة الطيف نفسها تتغير ببطء وفقاً للشروط المجمعة في المعادلة ([e62]). إذا كان \(\phi > 2/\sqrt{3 \pi^2-20} \approx 0.645\)، فإنه مع انخفاض \(\eta\)، تنمو كثافة الطيف الزاوي وكثافة الطيف للإشعاع عند كل توافقي، على الرغم من ظهور توافقيات إضافية.
لقد نظرنا في نموذج مثالي لدراسة الخصائص العامة للإشعاع. على سبيل المثال، فإن الجهد المتوسط في محيط مستوى البلور ليس متناغماً. نتيجة لذلك، ستكون للجسيمات التي تتماوج بسعة عالية من التذبذبات فترة مكانية أقصر وستغادر لوح البلور "نصف الموجه" بزاوية مختلفة. بعبارة أخرى، اللوح الذي يكون نصف موجة لبعض الجسيمات لن يكون كذلك للآخرين. سيؤدي ذلك إلى تشتت طفيف للشعاع الأصلي المتوازي للجسيمات. في الواقع، تظهر نمذجة المسارات في جهد أكثر واقعية أنه بعد مرور لوح نصف الموجه تظهر قمتان جانبيتان في التوزيع الزاوي للشعاع (Pivovarov_2014). هذا وعوامل أخرى، مثل عدد محدود من فترات المشع، وانتشار طاقة الجسيمات في الشعاع، وأخطاء في التصنيع، ستؤدي إلى توسيع خطوط الطيف وإلى طمس الحدود بين التوافقيات المعروضة في الشكل [spectrum]. في الوقت نفسه، لا تغير هذه العوامل بشكل كبير توزيع طاقة الإشعاع عبر التوافقيات.
تم دعم هذا العمل بمنحة من وزارة التعليم والعلوم للاتحاد الروسي تحت رقم المشروع 3.867.2014/K