نُقَدِّم تقييماً لطيف كُرَيّات الغَرّاء للتكوينات المُنتَجة باستخدام الفرميونات الديناميكية حيث \(N_f=1\) كدالة لكتلتها \(m_{\rm PCAC}\). حصلنا على كتل الحالات التي تقع ضمن التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة الأوكتاهيدرون للدوران بالاقتران مع أعداد الكم لعملية التقارن \(C\) والتكافؤ \(P\). بسبب انخفاض نسبة الإشارة إلى الضوضاء، عملياً، يمكننا فقط استخراج كتل للتمثيلات غير القابلة للاختزال \(R^{PC}=\) \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، \(T_2^{++}\) بالإضافة إلى \(A_1^{-+}\). نستخدم مشكلة القيمة الذاتية المعممة (GEVP) مع قاعدة مشغّل تتكوّن فقط من المشغلات الغلونية. من خلال هذا العمل، نهدف إلى تحديد تأثيرات الكواركات الديناميكية الخفيفة على طيف كريات الغراء ومقارنة ذلك بالطيف الأكثر دقة إحصائياً لنظرية القياس النقية SU(3). استخدمنا مجموعات قياس كبيرة تتكوّن من \({\sim {~\cal O}}(10K)\) تكوينات. تُظهر نتائجنا أن الطيف المنخفض لكريات الغراء القياسية والتنسورية بالإضافة إلى كريات الغراء الزائفة القياسية يتلقى مساهمات ضئيلة من إدراج الفرميونات الديناميكية حيث \(N_f=1\).
كريات الغراء هي حالات رنين تتكوّن فقط من الغلوونات بتكوين مفرد اللون، وهي ظاهرة متوقعة بمبدأ الحبس في ديناميكا الكروم الكمومية (QCD). بينما تم اكتشاف مرشحين محتملين لكريات الغراء، لا يزال هناك عدم توافق حول تحديدها بدقة، مما يجعلها واحدة من الألغاز غير المحلولة في مجال طيف الهادرونات.
خلال السنوات القليلة الماضية، أصبحت أدوات تجريبية جديدة مثل PANDA (Parganlija:2013xsa) وBESIII (Asner:2008nq) قيد التشغيل، مع وجود أدوات إضافية في الأفق. ستوفر هذه التطورات بيانات جديدة ورؤى تحليلية حول القنوات الغنية بالغلوونات التي تم استكشافها سابقاً. بدورها، ستشكل هذه تحدياً للمنهجيات النظرية الجديدة والنتائج التي تم اقتراحها مؤخراً، والتي تشمل كلاً من النهج الشبكي والتحليلي. يمكن العثور على مراجعات حديثة حول البحث عن كريات الغراء في عرض الجلسة العامة للشبكة 2022 بواسطة د. فاداتشينو (vadacchino_davide_2022_7338133) وكذلك في المراجعة التي كتبها أ. كليمبت في المرجع (Klempt:2022ipu).
النتائج الأخيرة حول طيف كريات الغراء (Athenodorou:2023ntf) التي تم الحصول عليها مع \(N_f=4\) فرميونات ديناميكية كشفت عن وجود حالة إضافية، والتي تظهر كأخف حالة في القناة القياسية (\(A_1^{++}\)). يبدو أن هذه الحالة مرتبطة بتحلل كريات الغراء إلى اثنين أو أربعة بيونات. وبالتالي، سيكون من المفيد التحقيق في تأثير الكواركات الخفيفة في نظرية يتم فيها قمع مثل هذه التحللات ولكن يمكن للفرميونات الديناميكية أن تؤثر مع ذلك على طبيعة الطيف. مثل هذه الحالة هي \(N_f~=~1\) QCD حيث لا توجد بيونات.
في هذه الدراسة، نهدف إلى استكشاف تأثير فرميون خفيف واحد على طيف كريات الغراء. لتحقيق هذا الهدف، نستخدم التكوينات المولدة بفرميون كلوفر خفيف واحد (\(N_f = 1\)) عبر مجموعة من الكتل العارية. نستخرج طيف كريات الغراء ثم نقارنه بالطيف الذي تم الحصول عليه من تكوينات SU(3) النقية المنتجة بالفعل المحسن على مستوى شجرة سيمانيك عند قيمتين من تدفق التدرج. بالنسبة للكواركات الديناميكية الثقيلة، نتوقع، من حجج الفصل، أن يصبح طيف كريات الغراء مشابهاً لطيف نظرية القياس النقية (Athenodorou:2020ani, Athenodorou:2021qvs). السؤال المهم الذي يُطرح هنا هو ماذا يحدث إذا تم تضمين الفرميونات الديناميكية الخفيفة.
بشكل عام، النتيجة الرئيسية للتحقيق في \(N_f=1\) QCD هي أن الطيف، بالدقة الإحصائية المعطاة من تكوينات \({\cal O} (10 {\rm K})\)، يبدو متسقاً مع نظرية القياس النقية ومستقلاً عن كتلة الفرميون.
هذا المخطوط مهيكل كما يلي. نبدأ في القسم [sec:simulation_details] بتقديم إعداد الشبكة المستخدم لتوليد التكوينات مع \(N_f=1\)، إلى جانب تلك التي تستخدم الفعل القياسي النقي. ننتقل إلى القسم [sec:glueball_masses]، حيث نقدم شرحاً موجزاً لكيفية استخراج طيف كريات الغراء في QCD الشبكي باستخدام طريقة مشكلة القيمة الذاتية العامة (GEVP). بعد ذلك، في القسم [sec:topological_charge_and_scale_setting]، نصف عملية حساب الشحنة التوبولوجية، التي تعمل كمقياس لارجودي للنظام. نفصل أيضاً تقييم مقياس الطاقة \(t_0\) من خلال مخطط التنعيم لتدفق التدرج. بعد ذلك، نركز على تقديم النتائج، ونناقش بشكل خاص القناة القياسية \(R^{PC}=A_1^{++}\)، وقنوات التنسور \(R^{PC}=E^{++}\) و \(T_2^{++}\)، والكريات الغرائية الزائفة التي تم الحصول عليها في القناة \(R^{PC}=A_1^{-+}\). أخيراً، نختتم الإجراءات في القسم [sec:conclusions].
تم إنشاء تكوينات الشبكة كجزء من توسيع مشروع أكبر يركّز على كمية واحدة من الكواركات الثقيلة بدأته تعاونية ديزي-مونستر (DESY-Münster) (Farchioni:2006waf, Farchioni:2007dw, Farchioni:2008na). تم إنتاج التكوينات الأولى باستخدام فعل قياس محسّن بمستوى شجري ومستوى واحد من التلطيف القوي في فعل فرميون ويلسون القياسي. وقد تم لاحقاً توسيع ذلك إلى فعل فرميون محسّن بمستوى شجري. بينما تم إنتاج التكوينات الأولى باستخدام خوارزمية مونت كارلو الهجينة الكثيرة، فيما بعد تم استخدام خوارزمية مونت كارلو الهجينة العقلانية من حزمة برمجيات مطوّرة حديثاً. تم تحديد كتل الجسيمات الأولية بما في ذلك \(\eta_S\) و \(\sigma_S\) في مراحل مبكرة من المشروع. لم يتم النظر في خلط مشغلات الجسيمات الأولية وكريات الغراء إلا في دراسة أولية جداً. هنا نقدم تحديثاً كبيراً لقطاع كريات الغراء باستخدام فعل الفرميون المحسّن. لتحليلنا، اخترنا تكوينات عند \(\beta=4.2\) و \(\beta=4.4\). لتسهيل المقارنة، أجرينا أيضاً محاكاة لنظرية القياس النقية SU(3) باستخدام فعل قياس محسّن بمستوى شجري باستخدام خوارزمية مونت كارلو الهجينة. القيم المحاكاة لـ \(\beta\) هي \(\beta=4.51\) و \(\beta=4.75\)، والتي تتوافق على التوالي مع قيم \(\beta=4.2\) و \(\beta=4.4\) المستخدمة في المحاكاة بتحسين الكلوفر لـ \(N_f=1\).
يمكن تحديد كتل الغلوبول من خلال استخدام تقنية التحليل القياسي المطبقة على مراسل أوكليدي يتضمن عامل يُرمز له بـ \(\phi(t)\). تعتمد هذه العملية على تمثيل هذه الحالات الفيزيائية ضمن سياق هاملتوني النظام، المشار إليه بـ \(H\)، وحالات الطاقة المرتبطة: \[\begin{aligned} \langle \phi^\dagger(t=an_t)\phi(0) \rangle = \langle \phi^\dagger e^{-Han_t} \phi \rangle = \sum_i |c_i|^2 e^{-aE_in_t} \stackrel{t\to \infty}{=} |c_0|^2 e^{-aE_0n_t}\,, \label{extract_mass}\end{aligned}\] حيث يمثل \(E_0\) طاقة الحالة الأساسية. تقتصر المجموعة أعلاه على الحالات التي تظهر تداخلات غير صفرية وتلبى الشرط \(c_i = \langle {\rm vac} | \phi^\dagger | i \rangle \neq 0\). ستتطابق الخصائص الكمومية للعامل \(\phi\) مع تلك الخاصة بالحالة المعنية. يعتمد تحديد الحالة الأساسية على عنصرين حاسمين: قوة ارتباطها بهذه الحالة وسرعة الانحلال الأسي كما هو موضح في المعادلة (extract_mass). يتضمن تعزيز هذا الارتباط إنشاء عوامل تلتقط ببراعة الخصائص الأساسية للحالة. لاستخراج الحالات المثارة نستخدم تقنية القيم الذاتية العامة (GEVP) المطبقة على مجموعة من العوامل \(\phi_i\) المكوّنة من حلقات شبكية مختلفة في مستويات الحجب المختلفة (Luscher:1984is,Luscher:1990ck,Berg:1982kp,Lucini:2004my,Teper:1987wt). يتضمن ذلك استخدام مصفوفات الارتباط، المشار إليها بـ \(C_{ij} = \langle \phi_i^{\dagger} (t) \phi_j (0) \rangle\)، حيث \(i,j=1,...,N_{\rm op}\)، بالتزامن مع GEVP. هنا، \(N_{\rm op}\) يمثل عدد العوامل المستخدمة.
لبناء عامل يعكس حالة الغلوبول، نقوم بإنشاء منتج مرتب من مصفوفات الرابط SU(3) على طول حلقة يمكن تقليصها باستمرار ثم حساب أثرها. الجزء الحقيقي (أو التخيلي) من هذا الأثر يتوافق مع تقارن الشحنة الموجبة (أو السالبة) \(C=+\)(\(-\)). لضمان أن العامل يمتلك زخماً صفرياً، نجمع على جميع الترجمات المكانية للحلقة. بالإضافة إلى ذلك، نأخذ في الاعتبار جميع الدورانات الممكنة للحلقة ونجمعها بطرق تلتزم بالتمثيلات غير القابلة للاختزال (\(R\)) لمجموعة التماثل الدوراني. لإنشاء عوامل بكلا الزوجيتين (\(P=\pm\))، نبني العكس الزوجي لكل حلقة ثم نأخذ مجموعات خطية مناسبة.
التمثيلات غير القابلة للاختزال \(R\) للمجموعة الفرعية المكعبة من الدورانات ضمن مجموعة الدوران الكاملة مشار إليها بـ \(A_1, A_2, E, T_1, T_2\). التمثيل \(A_1\) هو مفرد ويمتلك تماثلاً دورانياً مكعبياً كاملاً، وبالتالي يشمل حالة \(J=0\) في الحد المستمر. بالمثل، التمثيل \(A_2\) هو أيضاً مفرد. التمثيل \(E\) يشكل زوجياً، بينما كل من التمثيلين \(T_1\) و \(T_2\) هما ثلاثيات. في الإعداد الشبكي، الحالات الثلاث المقابلة لثلاثية \(T_2\) متطابقة. لمعالجة ذلك، نقوم بمتوسط قيمها ونعاملها كحالة واحدة عند تقدير كتل الغلوبول. يتم تطبيق نفس الإجراء على الزوجيات \(E\)، حيث يتم متوسط تقديرات كتلها.
التمثيلات للتماثل الدوراني الموضحة أعلاه تعتمد على صيغتنا الشبكية المكعبة. مع اقترابنا من الحد المستمر، ستتقارب هذه الحالات إلى حالات الغلوبول المستمرة التي تنتمي إلى تمثيلات التماثل الدوراني المستمر. ونتيجة لذلك، ستقع في مضاعفات متطابقة تتكوّن من \(2J + 1\) حالات، حيث \(J\) يمثل دوران الحالات. عند تحديد الحد المستمر لطيف الغلوبول المنخفض، من الأكثر فائدة تعيين الحالات إلى دوران محدد \(J\)، بدلاً من التمثيلات للمجموعة الفرعية المكعبة، التي توفر دقة أقل حيث تُخصص جميع الدورانات \(J = 1, 2, 3, \dots, \infty\) إلى 5 تمثيلات مكعبة فقط. لقيم منخفضة من \(J\) (\(J=0,1,2\))، يمكن توصيف توزيع الحالات \(2J + 1\) على أنها \(A_1 \to J=0\), \(T_1 \to J=1\), و \(E, T_2 \to J=2\).
في الحد المستمر، تُعرّف الشحنة التوبولوجية كتكامُل عبر كامل حجم الزمكان الإقليدي الرباعي الأبعاد لكثافة الشحنة التوبولوجية \(Q = \frac{1}{32\pi^2} \int d^4 x \: \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \Tr\left[F_{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)\right] \,.\) لقد استخدمنا نسخة الشبكة من \(Q\) المعروفة بتعريف "البِرْسيم" الذي تم تقديمه لأول مرة في (DiVecchia:1981aev). نستخدم تقنية تدفق التدرج (Luscher:2010iy) لتنعيم تقلبات الأشعة فوق البنفسجية لحقل القياس الذي يحدد الشحنة التوبولوجية. الفعل المستخدم في معادلة التدفق هو فعل ويلسون القياسي.
تسمح تقنية تدفق التدرج أيضاً بإنشاء معامل مقياس فيزيائي محدد جيداً يُشار إليه بـ \(t_0\)، والذي يمكن تحديده بدقة عالية. تم تقديم مفهوم \(t_0\) في الأصل في المراجع (Luscher:2009eq, Borsanyi:2012zs). يتبع تعريف \(t_0\) وصفاً محدداً كما هو موضح أدناه. أولاً، نضع \(F(t) = t^2 \langle E(t) \rangle \, \ {\rm with} \ E(t) = \frac{1}{4} B^2_{\mu \nu} (t)\,,\) حيث \(B_{\mu \nu}\) هي قوة المجال التي تم الحصول عليها بتدفق \(F_{\mu \nu}\) على طول اتجاه وقت التدفق. نحدد المقياس \(t_0(c)\) كقيمة \(t\) التي عندها \(F(t) |_{t=t_0(c)} = c\,\) حيث يجب اختيار \(c\) بحيث يكون الشرط \(a \ll \sqrt{8 t_0} \ll L\) محققاً. تؤدي القيم الصغيرة لـ \(c\) إلى تحفظات شبكية كبيرة بينما تؤدي القيم الكبيرة لـ \(c\) عادةً إلى ترابطات تلقائية أكبر (Bergner:2014ska). في حالتنا نختار القيمة \(c=0.3\) وهي القيمة المستخدمة عادة في حسابات الديناميكا الكمومية الشبكية.
لقد نجحنا في الحصول على الطيف ذو الطاقة المنخفضة المرتبط بالتمثيلات غير القابلة للانقسام \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، و \(T_2^{++}\)، بالإضافة إلى \(A_1^{-+}\)، والتي تتوافق مع قنوات العدد القياسي، التنسوري، والزائف القياسي على التوالي. ملاحظة مثيرة للاهتمام ناتجة عن حساباتنا هي الإنشاء المبكر لمستويات الكتلة الفعالة، وهو ما يتناقض بشكل صارخ مع ما تم ملاحظته في حالة \(N_f=4\)، حيث تظهر المستويات لاحقاً خلال التطور الزمني. تتميز هذه النتائج بتداخلات عالية تتراوح من 80% إلى 100%. بشكل لافت، تشبه هذه الظاهرة تقارب مستويات الكتلة بسرعة الملحوظة في سياق نظرية القياس النقية SU(3). قد يشير ذلك إلى انخفاض كبير في عدد الحالات التي تظهر في فضاء هيلبرت المذكور لفراغ QCD عند \(N_f=1\) مقارنة بذلك في QCD عند \(N_f=4\). ونتيجة لذلك، يبدو أن جودة مستوى الكتلة تشبه تلك الخاصة بنظرية القياس النقية.
في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_improved] نقدم نتائج كتل الغلوبول بوحدات \(1/\sqrt{t_0}\) كدالة لكتلة البيون PQChPT للحالات \((i)\) الأرضية والمثارة الأولى لـ \(A_1^{++}\)، \((ii)\) الحالة الأرضية لـ \(E^{++}\)، \((iii)\) الحالة الأرضية لـ \(T_2^{++}\)، و \((iv)\) الحالة الأرضية لـ \(A_1^{-+}\). تمثل الأشرطة تقديرات الكتل لنظرية القياس النقية SU(3) لـ \(\beta=4.75\) والتي تتوافق مع \(t_0/a^2 \sim 7.07\). تتطابق القيمة المذكورة أعلاه لـ \(t_0/a^2\) مع القيم المقابلة لمجموعات \(N_f=1\) عند \(\beta=4.4\). مستوى التوافق بين النتائج لـ \(N_f=1\) ونظرية القياس النقية لـ SU(3) مذهل، مما يدل على أن الآثار الناتجة عن إدراج الكوارك الديناميكي في الفراغ ضئيلة عند مستوى الدقة المعطى. وبالتالي، فإن كتل الغلوبول مستقلة عن كتلة الكوارك.
التحقيق في نفس النظرية عند \(\beta=4.4\)، بدون تحسين \({\cal O}(a)\) الفرميوني، يكشف عن نمط مماثل، كما هو موضح في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_unimproved]. ومع ذلك، من المهم ملاحظة أنه بينما النتائج للتمثيلات غير القابلة للانقسام \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، و \(T_2^{++}\) مستقلة عن كتلة الكوارك، فإن كتلة الغلوبول للحالة الأرضية للقناة الزائفة القياسية \(A_1^{-+}\) يبدو أنها تقل مع زيادة كتلة الكوارك. يختفي هذا التأثير في الحالة المحسنة، مما يقودنا إلى تفسير هذا السلوك كنتيجة لمخلفات الشبكة. بينما \(t_0/a^2 \approx 5.2\) في النظرية غير المحسنة، تشير الأشرطة في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_unimproved] مرة أخرى إلى تقديرات الكتل لنظرية القياس النقية SU(3) عند \(\beta=4.75\). هذا يُفترض أن مخلفات الشبكة على \(M \sqrt{t_0}\) لنظرية القياس النقية تظهر اختلافات ضئيلة بين \(t_0/a^2 \approx 5.2\) و \(7.07\).
يبدو أن طيف نظرية الكم الكروموديناميكية بعدد نكهات الكوارك \(N_f=1\)، بالدقة الإحصائية المعطاة من \({\cal O} (10 {\rm K})\) تكوينات، متسق مع طيف نظرية القياس النقية ومستقل عن كتلة الفرميون دون ظهور أي حالات أخرى عند الطاقات المنخفضة. تم تأكيد ذلك لقيمتين من \(\beta\) وكذلك لتقريبات الفرميونات المحسنة مقابل غير المحسنة من الدرجة \({\cal O}(a)\). هذا يشير إلى أن تأثيرات فرميون ديناميكي واحد على طيف كريات الغراء غير مهمة. في المستقبل، سننظر أيضاً في عوامل الميزون لاستقصاء التداخلات المحتملة بين كريات الغراء والميزونات.
تم إجراء الحسابات على نظام الحوسبة العالية Cyclone في معهد قبرص، وكذلك على UBELIX، وهو عنقود الحوسبة العالية في جامعة برن. تلقى AA الدعم المالي من مشروع EuroCC2 الذي موّلته وزارة البحث والابتكار والسياسة الرقمية ومؤسسة قبرص للبحث والابتكار ومشروع الحوسبة العالية الأوروبية المشتركة (JU) بموجب اتفاقية منحة رقم 101101903. يعترف MT بالدعم من تعاون Simons في الحبس وأوتار QCD.