latex
قُوَّة الضَّغْط تُعَدُّ مِفتاحًا لِفَهْم البُنْيَة الداخِلِيَّة لِتَجَمُّعات الغُبار في أَقْراص الكَواكِب الأَوَّلِيَّة والأَجْسام الناتِجَة عنها، مِثل المُذَنَّبات والكُوَيْكِبات في المَجْمُوعَة الشَّمْسِيَّة. الأَعمال السابِقَة قَد نمذجت قُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار شَديدة المَسامِّيَّة عند عَوامِل مِلْءِ حَجْم أَقَل من 0.1. ومع ذلك، لا يزال الفَهْم الشامِل لِقُوَّة الضَّغْط عبر نِطاق عَوامِل مِلْءِ الحَجْم المُنْخَفِضَة (\(<0.1\)) إِلى العالِيَة (\(>0.1\)) غَيْر مُكْتَمِل. في هذه الورقة، نُحقِّق في قُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار باستخدام مُحاكاة ضَغْط التَجَمُّعات التي تَحلل الحَبِيبات المُكَوَّنة بناءً على نَظَرِيَّة JKR لِصِياغَة قُوَّة الضَّغْط بشكل شامِل. نُجري سلسلة من المُحاكاة العَدَدِيَّة مع حُدود دَوْرِيَّة مُتحرِّكة تُحاكي سُلوك الضَّغْط. نتيجة لذلك، نَجِد أن قُوَّة الضَّغْط تَزداد صَلابة بشكل حاد عندما تتجاوز عَوامِل مِلْءِ الحَجْم 0.1. نَنجح في صِياغَة قُوَّة الضَّغْط بشكل شامِل من خلال أَخذ حَرَكة التَدَحْرُج لِلتَجَمُّعات عند عَوامِل مِلْءِ الحَجْم المُنْخَفِضَة والتَعْبِئة الأَقْرَب لِلتَجَمُّعات عند العَوامِل العالِيَة في الاعتبار. نَجِد أيضًا أن آليّات الضَّغْط السائدة عند العَوامِل العالِيَة هي حَرَكات الاِنْزِلاق والاِلْتِواء، بينما تَهيمن حَرَكة التَدَحْرُج عند العَوامِل المُنْخَفِضَة. نُؤكِّد أن نتائجنا تتوافق بشكل جيد مع الدراسات العَدَدِيَّة السابقة. نَقترح أن صيغتنا التحليلية مُتَّسِقة مع النتائج التجريبية السابقة إذا افترضنا أن طاقة السطح للسيليكات هي \(\simeq210\pm90\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\). الآن، يُمكننا تطبيق نتائجنا على خصائص الأجسام المُدمجة الصغيرة مثل المُذنبات والكُويكِبات والحَصَى.
الخَطْوَة الأُولَى في تَكْوين الكَواكِب هي تَجَمُّع حُبَيْبات الغُبار بحجم (دون) الميكرون. تُعرَف تَجَمُّعات حُبَيْبات الغُبار بتَجَمُّعات الغُبار (Smirnov1990, Meakin1991, Ossenkopf1993, Dominik1997, Wurm1998, Kempf1999, Blum2000, Krause2004, Paszun2006, Paszun2008, Paszun2009, Wada2007, Wada2008, Wada2009, Wada2013, Suyama2008, Suyama2012, Okuzumi2009dustagg, Geretshauser2010, Geretshauser2011). في المرحلة الأُولى من نُمو الغُبار، يَصطدم تَجَمُّع غُبار بآخر ويَلتصق به. هذه العملية تُنتج تَجَمُّعات كَسورية تُعرَف بتَجَمُّعات الكُتل الكُتلية الكَرِية (Mukai1992). تُؤدي تَجَمُّعات الغُبار إلى تَكْوين الكُويكِبات الصغيرة، وهي الكُتل الأَساسية بحجم الكيلومترات للكواكب (Okuzumi2012, Kataoka2013L). هناك سيناريو آخر يَنمو فيه تَجَمُّعات الغُبار إلى حَصَى بحجم المليمتر، وتَتَجَمَّع الحَصَى لتَكْوين الكُويكِبات الصغيرة عن طريق بعض آليات عدم الاستقرار أو الاصطدامات (Johansen2007, Windmark2012b, Davidsson2016, WahlbergJansson2017, Yang2017, Lorek2018, Fulle2019). في هذا السيناريو، الكُويكِبات الصغيرة هي تَجَمُّعات حَصَى تختلف بِنْيَتها الداخلية عن تَجَمُّعات الغُبار في هذا العمل.
الضَّغْط على تَجَمُّعات الغُبار هو عملية رئيسية خلال نُموها. هناك عدة آليات للضَّغْط: الاصطدام، غاز القُرص، وضغط الجاذبية الذاتية. أظهرت بعض الدراسات العَدَدِيَّة أن الضَّغْط الاصطدامي غير كافٍ وتظل كثافات تَجَمُّعات الغُبار الداخلية حوالي \(\sim10^{-5}\mathrm{\ g\ cm^{-3}}\) (Okuzumi2012, Kataoka2013L). تُشير بعض الدراسات التجريبية إلى أن ارتداد تَجَمُّعات الغُبار يؤدي إلى الضَّغْط (Krijt2018)، لكن الدراسات العَدَدِيَّة تُشير إلى أن ارتداد تَجَمُّعات الغُبار المسامية لا يحدث تقريبًا (Wada2011). بالنسبة لضغط غاز القُرص والجاذبية الذاتية، فإن قُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار تُحدد كثافتها الداخلية (Blum2004, Paszun2008, Guttler2009, Seizinger2012, Kataoka2013, Kataoka2013L, Omura2017). قُوَّة الضَّغْط تُحدد أيضًا البِنْيات الداخلية للأجسام الأكبر، مثل الكُويكِبات الصغيرة، والكُويكِبات، والمُذنبات (Omura2018, Omura2021).
قَد قام (Kataoka2013) بنمذجة قُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار شديدة المسامية عند عَوامِل تَعْبِئة حَجْمِيَّة أقل من 0.1. وقد صاغوا تحليليًا قُوَّة الضَّغْط باستخدام عامل التَعْبِئة الحَجْمِيَّة وعدة معاملات مادية، مثل نصف قُطر الحَبِيبات الأُحادِيَّة وطاقة السطح.
ومع ذلك، لا يزال الفهم الشامل لقُوَّة الضَّغْط من العَوامِل المُنْخَفِضَة للتَعْبِئة الحَجْمِيَّة (\(<0.1\)) إلى العَوامِل العالِيَة (\(>0.1\)) مفقودًا. قُوَّة الضَّغْط للعَوامِل العالِيَة للتَعْبِئة الحَجْمِيَّة ضرورية للتطبيقات على المُذنبات والكُويكِبات والحَصَى، بينما العَوامِل المُنْخَفِضَة للتَعْبِئة الحَجْمِيَّة ضرورية لنمو الغُبار. لقد بحثت بعض الدراسات في قُوَّة الضَّغْط لعَوامِل التَعْبِئة الحَجْمِيَّة فوق 0.1 (Blum2004, Paszun2008, Guttler2009, Seizinger2012, Omura2017, Omura2018). ومع ذلك، لا تزال الاعتمادات على المعاملات المادية غير واضحة وهناك تباين بين العَوامِل المُنْخَفِضَة والعالِيَة للتَعْبِئة الحَجْمِيَّة.
في هذا العمل، نقوم بمحاكاة عددية لضغط تَجَمُّعات الغُبار ونصيغ قُوَّة الضَّغْط التي يمكن أن تُغطي نطاقًا كاملًا من عَوامِل التَعْبِئة الحَجْمِيَّة. نستخدم نفس شيفرة المحاكاة كما في (Kataoka2013)، ولكننا نحسب قُوَّة الضَّغْط لعَوامِل التَعْبِئة الحَجْمِيَّة العالِيَة لتطبيقها على الأجسام الصغيرة في النظام الشمسي عند عَوامِل تَعْبِئة حَجْمِيَّة أعلى من 0.1. ندرس أيضًا الاعتمادات على المعاملات المادية، مثل نصف قُطر الحَبِيبات الأُحادِيَّة وطاقة السطح. وأخيرًا، نبني صيغة تحليلية (corrected) لقُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار بناءً على نموذج بسيط لتطبيقه على معاملات أخرى.
يُنَظَّم هذا البحث كما يلي. في القسم [sec:setting]، نشرح إعدادات المحاكاة لدينا ونموذج التفاعل الأُحادِي بناءً على (Dominik1997) و(Wada2007). إعدادات المحاكاة لدينا، مثل الظروف الأولية، والحدود، وحساب قُوَّة الضَّغْط، هي نفسها كما في (Kataoka2013). في القسم [sec:result]، نعرض نتائج محاكاتنا العددية لاشتقاق قُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار. نعرض النتائج الأساسية، ثم ندرس الاعتمادات على المعاملات. في القسم [sec:discuss]، نناقش الاعتمادات على المعاملات والفيزياء وراء ضغط تَجَمُّعات الغُبار. نعرض صيغة تحليلية (corrected) لقُوَّة الضَّغْط وآليات تبديد الطاقة أثناء الضَّغْط. ثم نقارن نتائجنا مع الدراسات التجريبية والعددية السابقة لتأكيد صحة نتائجنا ومناقشة تفسيرات النتائج السابقة. وأخيرًا، نختتم عملنا في القسم [sec:conclusion].
في هذا القسم، نشرح إعدادات المُحاكاة الخاصة بنا. أولًا، نُقدِّم نموذج تفاعل الوحدات الأُحادِيَّة استنادًا إلى (Dominik1997) و(Wada2007) في القسم [subsec:setting:model]. نشرح أيضًا قُوَّة التخميد الطبيعي الاصطناعي. ثانيًا، نصف مخطط المُحاكاة الخاص بنا، حيث نستخدم حدودًا دورية ونُحرِّكها لحساب قُوَّة الضَّغْط في القسم [subsec:setting:boundary]. نشرح أيضًا الشروط الأولية والسرعة عند الحدود الحسابية. ثالثًا، نشرح الطريقة لحساب قُوَّة الضَّغْط وعامل مِلْءِ الحَجْم في القسم [subsec:setting:measure].
نحسب تفاعلات الوحدات الأُحادِيَّة الكروية المتلامسة باستخدام نموذج نظري من (Dominik1997) و(Wada2007) استنادًا إلى نظرية (Johnson1971). هناك أربعة أنواع من التفاعلات في هذا النموذج: الاتجاه العادي، الانزلاق، الدوران، والالتواء. المعاملات المادية اللازمة لوصف النموذج هي نصف قُطر الوحدة الأُحادِيَّة \(r_0\)، كثافة المادة \(\rho_0\)، طاقة السطح \(\gamma\)، نسبة بواسون \(\nu\)، معامل يونغ \(E\)، والإزاحة الدورانية الحرجة \(\xi_\mathrm{crit}\). ندرج المعاملات المادية للجليد والسيليكات في الجدول [tab:parameters]. نضع نفس القيم لمقارنة نتائجنا مع تلك من (Kataoka2013).
نشرح سلوك الدوران لوحدتين أُحادِيَّتين متلامستين نتيجة لهيمنة الحركة الدورانية أثناء ضغط تَجَمُّعات الغُبار عند عَوامِل تَعْبِئة حَجْمِيَّة أقل من 0.1 (Kataoka2013). تدور الوحدتان الأُحادِيَّتان بشكل غير رجعي بعد أن تتجاوز قيمة الإزاحة الدورانية الحد الحرج \(\xi_\mathrm{crit}\). الإزاحة الدورانية الحرجة لها قيم مختلفة بين النظرية (Dominik1997) والتجريبية (Heim1999). نتبنى \(\xi_\mathrm{crit}=8\) Å كقيمة مرجعية للجليد وفقًا لـ (Kataoka2013) وندرس تبعية نتائجنا على \(\xi_\mathrm{crit}\) في القسم [subsec:result:parameter]. الطاقة اللازمة لوحدة أُحادِيَّة للدوران مسافة \((\pi/2)r_0\) تُعطى كما يلي: \[\begin{aligned} E_\mathrm{roll} &=& 6\pi^2\gamma r_0\xi_\mathrm{crit}\nonumber\\ &\simeq& 4.7\times10^{-16}\mathrm{\ J}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\textrm{\ \AA}}\right). \label{eq:E_roll}\end{aligned}\] للتفاصيل، انظر الأقسام 2.2.2 و 3 من (Wada2007).
نُضيف قُوَّة تخميد عادية اصطناعية تتناسب مع معامل تخميد بلا أبعاد \(k_\mathrm{n}\). للتفاصيل، انظر القسم 2.2 من (Tatsuuma2019). القُوَّة في الاتجاه العادي تُحدث تذبذبات لوحدتين أُحادِيَّتين متلامستين. في الواقع، ستتلاشى التذبذبات بسبب اللزوجة المرنة أو الاسترجاعية للوحدات الأُحادِيَّة (Greenwood2006, Tanaka2012, Krijt2013). نتبنى \(k_\mathrm{n}=0.01\) وفقًا لـ (Kataoka2013)، على الرغم من أنهم وجدوا أن معامل التخميد لا يُغير قُوَّة الضَّغْط.
الخطوط العريضة لمحاكاتنا العددية كالتالي. أولًا، نقوم بإنشاء تَجَمُّع BCCA بشكل عشوائي. ثانيًا، نقوم بضغطه ببطء كافٍ وبشكل متساوٍ من خلال تحريك الحدود الدورية. للتفاصيل حول شروط الحدود الدورية، انظر القسم 2.3 (Kataoka2013).
سرعة الحدود الحسابية مُعطاة كالتالي: \[v_\mathrm{b} = -\frac{C_\mathrm{v}}{t_\mathrm{c}}L,\] حيث \(C_\mathrm{v}\) هو معامل معدل الإجهاد البعدي الثابت، \(t_\mathrm{c}\) هو الزمن المميز (Wada2007)، و\(L\) هو طول صندوق الحسابات. الزمن المميز يُعطى كالتالي: \[\begin{aligned} t_\mathrm{c} &=& 0.95\frac{r_0^{7/6}\rho_0^{1/2}}{\gamma^{1/6}E^{\ast1/3}}\nonumber\\ &\simeq&1.9\times10^{-10}\mathrm{\ s}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)^{-1/6}\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{7/6}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\rho_0}{1\mathrm{\ g\ cm^{-3}}}\right)^{1/2}\left(\frac{E^\ast}{3.73\mathrm{\ GPa}}\right)^{-1/3},\end{aligned}\] حيث \(E^\ast\) هو معامل يونغ المخفض لمعاملات يونغ \(E_1\) و\(E_2\) معرف كالتالي: \[\frac{1}{E^\ast}=\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}.\] هنا، نفترض \(E_1=E_2=E\) و\(\nu_1=\nu_2=\nu\)، وبالتالي \(E^\ast=E/[2(1-\nu^2)]\). يمكننا أيضًا وصف القيمة المطلقة للسرعة عند الحدود الحسابية كالتالي: \[\begin{aligned} |v_\mathrm{b}| &\simeq& 0.21\mathrm{\ cm\ s^{-1}}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)^{1/6}\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-1/6}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\rho_0}{1\mathrm{\ g\ cm^{-3}}}\right)^{-1/2}\left(\frac{E^\ast}{3.73\mathrm{\ GPa}}\right)^{1/3}\left(\frac{C_\mathrm{v}}{1\times10^{-7}}\right)\nonumber\\ &&\times\left(\frac{N}{16384}\right)^{1/3}\phi^{-1/3}, \label{eq:boundary}\end{aligned}\] حيث \(N\) هو عدد الجُزَيْئات الأُحادِيَّة و\(\phi\) هو عامل مِلْءِ الحَجْم.
نعتمد \(C_\mathrm{v}=1\times10^{-7}\) كقيمة مرجعية لأنه كلما زاد \(C_\mathrm{v}\)، زاد الضَّغْط اللازم لضغط تَجَمُّعات الغُبار منخفضة الكثافة (Kataoka2013). بالنسبة لمجموعات المعلمات الأخرى، نعتمد \(C_\mathrm{v}=3\times10^{-7}\) لأن المحاكاة بقيم \(C_\mathrm{v}\) المنخفضة تستغرق وقتًا طويلًا.
نحسب قُوَّة الضَّغْط \(P_\mathrm{calc}\) بالطريقة الموصوفة في القسم 2.4 (Kataoka2013). نحسب الطاقة الحركية الانتقالية لكل وحدة حجم ومجموع القوى المؤثرة على جميع الوصلات لكل وحدة حجم كما يلي: \[P_\mathrm{calc} = \frac{2K}{3V} + \frac{1}{3V}\left\langle\sum_{i<j}(\bm{x}_i-\bm{x}_j)\cdot\bm{f}_{i,j}\right\rangle_t, \label{eq:Pcalc}\] حيث \(V\) هو حجم الصندوق الحسابي، \(K\) هو متوسط الطاقة الحركية الزمني لجميع الجُزَيْئات ويُعطى بالمعادلة: \[K = \left\langle\sum_{i=1}^N\frac{m_0}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\right)^2\right\rangle_t,\] \(m_0\) هو كتلة الجُزَيْء، \(\bm{x}_i\) هي إحداثيات الجُزَيْء \(i\)، \(\langle\rangle_t\) هو متوسط زمني طويل، و\(\bm{f}_{i,j}\) هي القوة من الجُزَيْء \(j\) على الجُزَيْء \(i\). للتفاصيل حول اشتقاق قُوَّة الضَّغْط، انظر الملحق [apsec:compstrength]. في محاكاتنا، يهيمن المصطلح الثاني في الجانب الأيمن من المعادلة ([eq:Pcalc]) على قُوَّة الضَّغْط.
نحسب أيضًا عامل مِلْءِ الحَجْم لِتَجَمُّعات الغُبار كما يلي: \[\phi_\mathrm{calc} = \frac{(4/3)\pi r_0^3N}{V}. \label{eq:phi_calc}\]
نأخذ متوسط قُوَّة الضَّغْط \(P_\mathrm{calc}\) (المعادلة ([eq:Pcalc])) وعامل مِلْءِ الحَجْم \(\phi_\mathrm{calc}\) (المعادلة ([eq:phi_calc])) لكل 10,000 خطوة زمنية. خطوة زمنية واحدة في محاكاتنا هي \(0.1t_\mathrm{c}=1.9\times10^{-11}\) s و 10,000 خطوة زمنية تعادل \(1.9\times10^{-7}\) s.
في هذا القسم، نقدم نتائج المُحاكاة العددية لاشتقاق قُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار. نقوم بإجراء 10 محاكاة مع تَجَمُّعات مختلفة ونأخذ متوسطها لكل مجموعة من البارامترات لتقليل تأثير تكوينات الجُسيمات المختلفة. أولًا، نعرض نتائج التجارب الأساسية في القسم [subsec:result:fiducial]. ثم نستقصي اعتماد البارامترات في القسم [subsec:result:parameter]. (Kataoka2013) أكد أن النتائج لا تعتمد على أي من البارامترات العددية: عدد الجُسيمات \(N\)، معامل معدل الإجهاد \(C_\mathrm{v}\)، ومعامل التخميد \(k_\mathrm{n}\). للاعتماد على البارامترات العددية، انظر الملحق [apsec:parameterdepend].
تُظهر النتائج الأساسية قُوَّة الضَّغْط لـ 10 تجارب ومتوسطها لمجموعة المعاملات الأساسية. الخط المنقط يُظهر الصيغة التحليلية (Kataoka2013), \[\begin{aligned} P_\mathrm{K13} &=& \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\phi^3 \nonumber\\ &\simeq& 4.7\times10^5\mathrm{\ Pa} \nonumber\\ &&\times\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2}\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\textrm{\ \AA}}\right)\phi^3. \label{eq:Pcomp_kataoka}\end{aligned}\] نتيجة المُحاكاة المتوسطة لدينا تتوافق مع المعادلة ([eq:Pcomp_kataoka]) عندما \(\phi\lesssim0.1\). ومع ذلك، وجدنا أن قُوَّة الضَّغْط المقاسة لـ \(\phi>0.1\) أعلى بكثير مما تم التنبؤ به من المعادلة ([eq:Pcomp_kataoka]). نلاحظ أن قُوَّة الضَّغْط المقاسة في كل تجربة تُظهر تباينًا كبيرًا.
وجدنا أن قُوَّة الضَّغْط لا تعتمد على الإزاحة الدورانية الحرجة \(\xi_\mathrm{crit}\) عندما \(\phi\gtrsim0.3\). بالمقابل، عندما \(\phi\lesssim0.3\)، فإن قُوَّة الضَّغْط تعتمد على \(\xi_\mathrm{crit}\) لأن الآلية السائدة لتبديد الطاقة هي حركة الدوران. استثناء يحدث عندما \(\xi_\mathrm{crit}=32\textrm{\ \AA}\)، حيث يكون منحنى قُوَّة الضَّغْط متطابقًا تقريبًا مع ذلك لـ \(\xi_\mathrm{crit}=16\textrm{\ \AA}\). وذلك لأن الآلية السائدة لتبديد الطاقة لـ \(\xi_\mathrm{crit}>16\textrm{\ \AA}\) هي حركة الالتواء (Kataoka2013). نلاحظ أن الفرق في قُوَّة الضَّغْط بسبب \(\xi_\mathrm{crit}\) يعادل تقريبًا الفرق لكل تجربة.
بالنسبة للاعتمادات على المعاملات المادية الأخرى، وجدنا أن التنبؤ المستخلص من المعادلة ([eq:Pcomp_kataoka]) بأن قُوَّة الضَّغْط تتناسب كـ \(P\propto\gamma\xi_\mathrm{crit}r_0^{-2}\) لم يعد ينطبق لـ \(\phi>0.1\). بالمقابل، لـ \(\phi\lesssim0.1\)، فإن نتائجنا متوافقة مع التنبؤ من المعادلة ([eq:Pcomp_kataoka]). نلاحظ أن هناك تقلبات في الخطوط عندما \(\phi<10^{-2}\) لأن تَجَمُّعات الغُبار ليست مرتبطة بجميع الحدود الحسابية.
في هذا القسم، نناقش اعتمادات المعاملات والفيزياء وراء قُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار. أولًا، نصحح الصيغة التحليلية لقُوَّة الضَّغْط مع عَوامِل مِلْءِ الحَجْم التي تزيد عن 0.1 في القسم [subsec:discuss:formulate]. ثانيًا، نناقش الصحة الفيزيائية لقُوَّة الضَّغْط المصاغة من حيث تعطيل الجُسيمات الأُحادِيَّة في القسم [subsec:discuss:monomerdisruption]. ثالثًا، نعرض آليات تبديد الطاقة أثناء الضَّغْط في القسم [subsec:discuss:energy]. أخيرًا، نقارن نتائجنا مع الدراسات التجريبية والعددية السابقة في القسم [subsec:discuss:compare] لتأكيد صحة نتائجنا ومناقشة تفسيرات النتائج التجريبية.
لقد أظهرنا في القسم [sec:result] أن الصيغة البسيطة لـ(Kataoka2013) (المعادلة ([eq:Pcomp_kataoka])) تُقلل من تقدير قُوَّة الضَّغْط عندما \(\phi>0.1\). هنا، نقترح صيغة مصححة تنطبق على عَوامِل مِلْءِ الحَجْم المُنْخَفِضَة والعالِيَة.
السبب في عدم دقة الصيغة السابقة لعَوامِل مِلْءِ الحَجْم العالِيَة هو أنها تتجاهل الحجم المحدود للمونومرات. في هذا الصدد، تُشبه الصيغة السابقة معادلة الحالة للغازات المثالية، حيث يتم تجاهل الحجم الذي تشغله الجُزَيْئات. كما هو معروف، يفشل قانون الغاز المثالي عند الكثافات العالِيَة حيث يكون الحجم بين الجُزَيْئِي صغيرًا مقارنة بالحجم الذي تشغله الجُزَيْئات. تأخذ معادلة حالة فان دير فالس للغازات الحقيقية الحجم المحدود للجُزَيْئات في الاعتبار ببساطة عن طريق طرح الحجم المستبعد من الحجم في قانون الغاز المثالي. نتوقع أن تحسينًا مماثلًا يجب أن يُحسن دقة الصيغة السابقة لقُوَّة الضَّغْط.
التصحيح كالتالي. أولًا، نقوم بعكس المعادلة ([eq:Pcomp_kataoka]) كما يلي \[P_\mathrm{comp} = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}{\phi'}^3 = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{NV_0}{V'}\right)^3, \label{eq:Pcomp_kataoka_mod}\] حيث \(V_0=(4/3)\pi r_0^3\) هو حجم المونومر. هنا، نفترض أن \(V'\) هو حجم الفراغ في تَجَمُّعات الغُبار، وليس حجم تَجَمُّعات الغُبار. يكون حجم الفراغ تقريبًا نفس حجم تَجَمُّعات الغُبار عندما \(\phi\lesssim0.1\)، بينما يوجد فرق بينهما عندما \(\phi>0.1\). ثانيًا، نحدد الحجم المستبعد الذي لا يمكن استخدامه للضَّغْط. حجم جميع المونومرات \(NV_0\) هو الحجم المستبعد. بالإضافة إلى ذلك، فراغ التَجَمُّعات المُعبأة بأقصى درجة \(V_\mathrm{cp}-NV_0\) هو الحجم المستبعد، حيث \(V_\mathrm{cp}\) هو حجم التَجَمُّعات المُعبأة بأقصى درجة. لذلك، نحدد الحجم المستبعد كـ \(NV_0+V_\mathrm{cp}-NV_0=V_\mathrm{cp}\). باستخدام عامل مِلْءِ الحَجْم للتَجَمُّعات المُعبأة بأقصى درجة \(\phi_\mathrm{max}=NV_0/V_\mathrm{cp}\)، نحدد الحجم المستبعد كـ \(V_\mathrm{cp}=NV_0/\phi_\mathrm{max}\). أخيرًا، نحصل على قُوَّة الضَّغْط لِتَجَمُّعات الغُبار كما يلي \[\begin{aligned} P_\mathrm{comp} &=& \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{NV_0}{V-NV_0/\phi_\mathrm{max}}\right)^3 \nonumber\\ &=& \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3} \nonumber\\ &\simeq& 4.7\times10^5\mathrm{\ Pa}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\textrm{\ \AA}}\right)\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3}. \label{eq:Pcomp_mod}\end{aligned}\] تُظهر المعادلة ([eq:Pcomp_mod]) أن قُوَّة الضَّغْط تتباعد عند \(\phi_\mathrm{max}\).
لمقارنة نتائج المُحاكاة لدينا مع الصيغة التحليلية المصححة، نقوم بعكس المعادلة ([eq:Pcomp_mod]) إلى \(\phi\) كدالة لـ \(P\) لأن المعلمة المدخلة هي \(P\) والمعلمة المخرجة هي \(\phi\) في المواقف التطبيقية، مثل التجارب. يُعطى عامل مِلْءِ الحَجْم الذي تم تحديده بواسطة المعادلة ([eq:Pcomp_mod]) كما يلي \[\phi_\mathrm{comp}=\left(\frac{E_\mathrm{roll}^{1/3}}{r_0P^{1/3}}+\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-1}.\label{eq:phi_mod}\] نفترض أن \(\phi_\mathrm{max}=\sqrt{2}\pi/6=0.74\)، وهو عامل مِلْءِ الحَجْم للهياكل المُعبأة بشكل سداسي ومكعب مركزي الوجه. نقوم أيضًا بعكس المعادلة ([eq:Pcomp_kataoka]) كما يلي \[\phi_\mathrm{K13}=\frac{r_0P^{1/3}}{E_\mathrm{roll}^{1/3}}\label{eq:phi_kataoka}\] لمقارنة الصيغة التحليلية المصححة مع الصيغة السابقة.
نؤكد أن الصيغة التحليلية المصححة تقريب أفضل بكثير من الصيغة السابقة. نلاحظ أن المونومرات في محاكاتنا يمكن أن تتشوه بشكل مرن، بحيث يمكن أن يكون عامل مِلْءِ الحَجْم أعلى من ذلك للهياكل المُعبأة بشكل سداسي ومكعب مركزي الوجه. الأخطاء المطلقة أصغر من 0.1 في معظم الحالات للصيغة التحليلية المصححة. قد يكون الخطأ بسبب تعقيدات المُحاكاة العددية، على سبيل المثال، يمكن للمونومرات أن تتشوه بشكل مرن.
في هذا القسم، نناقش نطاق عامل مِلْءِ الحَجْم الذي يمكن تطبيق قُوَّة الضَّغْط عليه. إذا كانت قُوَّة الضَّغْط مرتفعة جدًا، يمكن كسر الوحدات الأُحادِيَّة، وبالتالي قد تختلف عن نتائجنا.
لقد تم التحقيق في القُوَّة التي يمكن أن تكسر بها المواد في سياق علم المواد. على سبيل المثال، يمكن كسر الجليد عند (5–25) ميغاباسكال عندما تكون درجة الحرارة من (\(-10^\circ\)C) إلى (\(-20^\circ\)C) (Haynes1978,Petrovic2003). من ناحية أخرى، يمكن كسر زجاج السيليكا عند حوالي (5) جيجاباسكال في درجة حرارة الغرفة (Proctor1967,Bruckner1970,Kurkjian2003).
أولًا، نلاحظ أن الضَّغْط المطبق على سطح الاتصال بين الوحدات الأُحادِيَّة يمكن أن يكون أعلى من قُوَّة الضَّغْط لأن الضَّغْط يتركز على مساحة سطح الاتصال \(a^2\ll r_0^2\)، حيث \(a\) هو نصف قُطر سطح الاتصال. نفترض هذا الضَّغْط من خلال افتراض نصف قُطر التوازن لسطح الاتصال الذي قدمه (Wada2007) كما يلي: \[\begin{aligned} a_0 &=& \left(\frac{9\pi\gamma r_0^2}{4E^\ast}\right)^{1/3}\nonumber\\ &\simeq& 0.012\mathrm{\ \mu m}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)^{1/3}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{2/3}\left(\frac{E^\ast}{3.7\mathrm{\ GPa}}\right)^{-1/3}.\end{aligned}\] الضَّغْط المطبق على سطح الاتصال هو \((a_0/r_0)^2\) أضعاف قُوَّة الضَّغْط.
من خلال النظر في كل من القُوَّة التي يمكن أن تكسر بها المواد والضَّغْط المطبق على سطح الاتصال، يمكننا تقدير الحد الأعلى الذي يمكن تطبيق صيغة قُوَّة الضَّغْط عليه. يمكننا تقدير الحد الأعلى لقُوَّة الضَّغْط كما يلي: \[\begin{aligned} P_\mathrm{ul} &\sim& P_\mathrm{dis}\left(\frac{a_0}{r_0}\right)^2\nonumber\\ &\simeq& 0.014P_\mathrm{dis}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)^{2/3}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2/3}\left(\frac{E^\ast}{3.7\mathrm{\ GPa}}\right)^{-2/3}, \label{eq:P_upperlimit}\end{aligned}\] حيث \(P_\mathrm{dis}\) هي القُوَّة التي يمكن أن تتعطل بها المواد. هنا، نفترض \(P_\mathrm{dis}=10\) ميغاباسكال و (1) جيجاباسكال للجليد والسيليكات على التوالي. ثم، يمكننا أيضًا تقدير الحد الأعلى لعامل مِلْءِ الحَجْم كما يلي: \[\phi_\mathrm{ul}=\left(\frac{E_\mathrm{roll}^{1/3}}{r_0P_\mathrm{ul}^{1/3}}+\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-1}. \label{eq:phi_upperlimit}\] نجد أن الحدود العليا تعتمد على نصف قُطر الوحدة الأُحادِيَّة بالإضافة إلى المادة، ونجد أن الحدود العليا هي \(\sim0.36\)، \(\sim0.53\)، \(\sim0.53\)، و \(\sim0.64\) في حالة الجليد (0.1)، الجليد (1.0), السيليكات (0.1), والسيليكات (1.0)، على التوالي.
هناك العديد من الدراسات التجريبية والعددية حول قُوَّة الضَّغْط شبه الثابتة لتَجَمُّعات السيليكات وثاني أكسيد السيليكون عند عَوامِل تَعْبِئة حَجْمِيَّة أعلى من 0.1 (Guttler2009, Seizinger2012, Omura2017, Omura2018, Omura2021). أجرى (Seizinger2012) محاكاة عددية، حيث أعد تَجَمُّعًا من السيليكات بتوزيع حجم أُحادِي الحجم محصورًا داخل صندوق ذو حدود ثابتة من جميع الجوانب، وتحريك الحد العلوي لأسفل لمحاكاة تجارب (Guttler2009). استخدموا صيغة التوافق لعامل تَعْبِئة الحَجْم \(\phi_\mathrm{G09}\) التي حصل عليها (Guttler2009) كما يلي: \[\phi_\mathrm{G09} = \phi_2-\frac{\phi_2-\phi_1}{\exp\left[(\log_{10} P-\log_{10} p_\mathrm{m})/\Delta\right]+1}, \label{eq:Guttler2009_P}\] حيث \(\phi_1=0.15\), \(\phi_2=0.58\), \(p_\mathrm{m}=16.667\) كيلو باسكال، و\(\Delta=0.562\). مؤخرًا، قام (Omura2021) بتوافق نتائج التجارب التي أجراها (Omura2017, Omura2018). استخدموا العلاقة البوليتروبية كما يلي: \[P = K_\mathrm{p}\rho^{(n_\mathrm{p}+1)/n_\mathrm{p}} = K'_\mathrm{p}\phi^{(n_\mathrm{p}+1)/n_\mathrm{p}}, \label{eq:Omura_poly_P}\] حيث \(K_\mathrm{p}\) و\(K'_\mathrm{p}\) ثوابت، \(\rho\) هي الكثافة، و\(n_\mathrm{p}\) هو مؤشر البوليتروب. للحصول على عامل تَعْبِئة الحَجْم كدالة لقُوَّة الضَّغْط، نقوم بعكس المعادلة ([eq:Omura_poly_P]) كما يلي: \[\phi_\mathrm{O21} = \left(\frac{P}{K_\mathrm{p}'}\right)^{n_\mathrm{p}/(n_\mathrm{p}+1)}. \label{eq:Omura_poly}\] نتائج التوافق مدرجة في الجدول [tab:Omura2021].
نستخدم صيغ التوافق للتجارب: المعادلة ([eq:Guttler2009_P]) والمعادلة ([eq:Omura_poly]). نقارن نتائجنا مع الدراسة العددية السابقة (Seizinger2012)، والدراسة التجريبية السابقة لتَجَمُّعات ثاني أكسيد السيليكون بتوزيع حجم أُحادِي الحجم (Guttler2009)، ثم الدراسات التجريبية السابقة بتوزيع حجم متعدد الأحجام (Omura2021).
نتائجنا تتوافق جيدًا مع النتائج العددية السابقة. ومع ذلك، هناك اختلاف طفيف بينهما بسبب اختلاف إعدادات الضَّغْط: لتحريك الحد العلوي فقط (Seizinger2012) أو جميع الحدود (هذا العمل). نجد أن هذا الاختلاف في إعدادات الضَّغْط ضئيل.
في حالة الدراسة التجريبية السابقة لتَجَمُّعات ثاني أكسيد السيليكون بتوزيع حجم أُحادِي الحجم (Guttler2009)، هناك تباين بين نتائجهم وصيغتنا التحليلية \(\phi_\mathrm{comp}\). هذا التباين قد ينشأ من الاختلاف في طاقة السطح. في محاكاتنا، نفترض أن طاقة سطح السيليكات (ثاني أكسيد السيليكون) هي \(\gamma=20\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\)، ولكن بعض الدراسات تقترح أنها قد تكون أعلى (Yamamoto2014, Kimura2015). لذلك، نبحث عن أفضل طاقة سطح توافق ونجد أن \(\phi_\mathrm{comp}\) مع \(\gamma\simeq210\pm90\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\) يتوافق جيدًا مع النتائج التجريبية لـ(Guttler2009) كما هو موضح في اللوحة اليمنى.
نفسر أيضًا النتائج التجريبية السابقة لتَجَمُّعات ثاني أكسيد السيليكون بتوزيع حجم متعدد الأحجام (Omura2021) بفرض طاقة سطح أعلى من \(\gamma=20\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\). اللوحة اليسرى تُظهر أن هناك تباينًا بين نتائجهم وصيغتنا التحليلية \(\phi_\mathrm{comp}\) عند \(\gamma=20\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\)، بينما اللوحة اليمنى تُظهر أن نتائجهم تتوافق جيدًا مع \(\phi_\mathrm{comp}\) عند \(\gamma=210\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\). ومع ذلك، لا يزال هناك تباين، خاصة لنصف قُطر الأُحادِي الأكبر. عندما يكون توزيع حجم الأُحادِي متعدد الأحجام، يلتصق الأُحادِي الأكبر أولًا أثناء ضغط التَجَمُّع، ثم يلتصق الأُحادِي الأصغر. نفسر هذا التباين كعدم يقين في عامل تَعْبِئة الحَجْم لتَجَمُّعات الغُبار الواقعية التي لها توزيع حجم أُحادِي.
ملاحظة: الخطوط المنقطة هي نفسها الموجودة في اللوحة اليسرى، ولكننا غيرنا طاقة السطح لتصبح \(\gamma=210\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\).
لقد أجرينا محاكاة عددية لضغط تَجَمُّعات الغُبار وصغنا قُوَّة الضَّغْط التي يمكن أن تُغطي مجموعة كاملة من عَوامِل مِلْءِ الحَجْم. استخدمنا نموذج تفاعل الأُحادِيَّات استنادًا إلى (Dominik1997) و(Wada2007). في محاكاتنا، أنشأنا BCCA في البداية وضغطناه ببطء كافٍ وبثلاثة أبعاد من خلال تحريك الحدود الدورية. لقد حسبنا قُوَّة الضَّغْط باستخدام الطاقة الحركية الانتقالية ومجموع القوى المؤثرة على جميع الاتصالات لكل وحدة حجم. لكل مجموعة من المعاملات، أجرينا 10 محاكاة مع BCCAs مختلفة في البداية وأخذنا متوسطها.
تتمثل النتائج الرئيسية لقُوَّة ضغط تَجَمُّعات الغُبار فيما يلي:
نتيجة للمحاكاة العددية، وجدنا أن قُوَّة الضَّغْط تصبح أكثر صلابة بشكل حاد عندما يتجاوز عامل مِلْءِ الحَجْم 0.1. كما وجدنا أن قُوَّة الضَّغْط لعَوامِل مِلْءِ الحَجْم العالِيَة (\(\phi\gtrsim0.3\)) لا تعتمد على الإزاحة الدورانية الحرجة.
لقد قمنا بتصحيح الصيغة التحليلية لقُوَّة الضَّغْط بأخذ أقرب تعبئة للتَجَمُّعات لعَوامِل مِلْءِ الحَجْم العالِيَة في الاعتبار. الصيغة المصححة معطاة بالمعادلة ([eq:Pcomp_mod]) في القسم ([subsec:discuss:formulate]) على النحو التالي: \[\begin{aligned} P_\mathrm{comp} &=& \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3}\nonumber\\ &\simeq& 4.7\times10^5\mathrm{\ Pa}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\textrm{\ \AA}}\right)\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3},\end{aligned}\] حيث \(E_\mathrm{roll}\) هي الطاقة اللازمة لدحرجة أُحادِيَّة لمسافة \((\pi/2)r_0\) (المعادلة ([eq:E_roll])), \(r_0\) هو نصف قُطر الأُحادِيَّة، \(\phi_\mathrm{max}=\sqrt{2}\pi/6=0.74\) هو عامل مِلْءِ الحَجْم لأقرب تعبئة، \(\gamma\) هي الطاقة السطحية، و \(\xi_\mathrm{crit}\) هي الإزاحة الدورانية الحرجة. لقد تأكدنا من أن الصيغة التحليلية المصححة تعيد إنتاج نتائج المُحاكاة بما في ذلك اعتمادات المعاملات. فيما يتعلق بتفكك الأُحادِيَّات، فإن الصيغة المصححة صالحة لـ \(\phi\lesssim0.36\), 0.53, 0.53, و 0.64 في حالة أُحادِيَّات الجليد بنصف قُطر 0.1-\(\mathrm{\mu m}\), أُحادِيَّات الجليد بنصف قُطر 1.0-\(\mathrm{\mu m}\), أُحادِيَّات السيليكات بنصف قُطر 0.1-\(\mathrm{\mu m}\), وأُحادِيَّات السيليكات بنصف قُطر 1.0-\(\mathrm{\mu m}\)، على التوالي.
وجدنا أن حركات الالتواء والانزلاق تهيمن على عَوامِل مِلْءِ الحَجْم العالِيَة (\(\phi>0.3\))، بينما تهيمن حركة الدحرجة على عَوامِل مِلْءِ الحَجْم المُنْخَفِضَة (\(\phi<0.3\)). لقد شرحنا سبب هيمنة حركات الالتواء والانزلاق بزيادة عدد التنسيق.
نتائجنا العددية متسقة مع النتائج العددية السابقة (Seizinger2012). ومع ذلك، هناك تباين بين النتائج التجريبية السابقة (Guttler2009) وصيغتنا التحليلية. وجدنا أن صيغتنا التحليلية متسقة مع النتائج التجريبية إذا افترضنا أن الطاقة السطحية للسيليكات هي \(\simeq210\pm90\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\).
تم دعم هذا العمل من قبل منحة JSPS KAKENHI بأرقام JP19J20351 و JP22J00260. استفاد هذا العمل من نظام بيانات علم الفلك التابع لناسا. استفاد هذا العمل من استخدام adstex (https://github.com/yymao/adstex).
في هذا الملحق، نشرح الاشتقاق التفصيلي لقُوَّة الضَّغْط المتعلقة بالقسم [subsec:setting:measure].
معادلة حركة الجُزَيْء \(i\) معطاة بالصورة \[m_0\frac{\mathrm{d}^2\bm{x}_i}{\mathrm{d}t^2}=\bm{W}_i+\bm{F}_i, \label{eq:EOM_comp}\] حيث \(\bm{W}_i\) هي القُوَّة المطبقة من الحدود الحسابية على الجُزَيْء \(i\) و \(\bm{F}_i\) هي القُوَّة الكلية من الجُزَيْئات الأخرى على الجُزَيْء \(i\). ترتبط قُوَّة الضَّغْط بـ \(\bm{W}_i\).
لوصف الحد الأول على الجانب الأيمن من المعادلة ([eq:EOM_comp]) باستخدام قُوَّة الضَّغْط، نأخذ الجداء الداخلي لـ \(\bm{x}_i\) والمعادلة ([eq:EOM_comp])، ونأخذ متوسطًا زمنيًا طويلًا مع فترة زمنية \(\tau\). يصبح الجانب الأيسر من المعادلة ([eq:EOM_comp]) كالتالي \[\frac{m_0}{\tau}\int_0^\tau \bm{x}_i\cdot\frac{\mathrm{d}^2\bm{x}_i}{\mathrm{d}t^2}\mathrm{d}t=\frac{m_0}{\tau}\left[\bm{x}_i\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\right]_0^\tau-\frac{m_0}{\tau}\int_0^\tau\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t. \label{eq:EOMleft_comp}\] يختفي الحد الأول على الجانب الأيمن من المعادلة ([eq:EOMleft_comp]) عندما \(\tau\to\infty\). بكتابة متوسط زمني طويل كـ \(\langle\rangle_t\) وجمع المعادلة ([eq:EOM_comp]) على كل \(i\)، لدينا \[\left\langle\sum_{i=1}^N\frac{m_0}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\right)^2\right\rangle_t = -\frac{1}{2}\left\langle\sum_{i=1}^N\bm{x}_i\cdot\bm{W}_i\right\rangle_t -\frac{1}{2}\left\langle\sum_{i=1}^N\bm{x}_i\cdot\bm{F}_i\right\rangle_t. \label{eq:EOM2_comp}\] الجانب الأيسر من المعادلة ([eq:EOM2_comp]) هو الطاقة الحركية المتوسطة الزمنية لجميع الجُزَيْئات معرفة بـ \[K = \left\langle\sum_{i=1}^N\frac{m_0}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\right)^2\right\rangle_t.\] الحد الأول على الجانب الأيمن من المعادلة ([eq:EOM2_comp]) مرتبط بقُوَّة الضَّغْط \(P_\mathrm{calc}\). القُوَّة على الحد الحسابي للمساحة \(\mathrm{d}S_\mathrm{b}\) هي \(P_\mathrm{calc}\bm{n}_\mathrm{b}\mathrm{d}S_\mathrm{b}\)، حيث \(\bm{n}_\mathrm{b}\) هو المتجه العمودي للحد موجه للخارج. ثم، \[\begin{aligned} \left\langle\sum_{i=1}^N\bm{x}_i\cdot\bm{W}_i\right\rangle_t &=& -\int_{S_\mathrm{b}}P_\mathrm{calc}\bm{n}_\mathrm{b}\cdot\bm{x}\mathrm{d}S_\mathrm{b} \nonumber \\ &=& -P_\mathrm{calc}\int_V\mathrm{div}\bm{x}\mathrm{d}V \nonumber \\ &=& -P_\mathrm{calc}\int_V\left(\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}\right)\mathrm{d}V \nonumber \\ &=& -3P_\mathrm{calc}V.\end{aligned}\] القُوَّة الكلية من الجُزَيْئات الأخرى إلى الجُزَيْء \(i\) يمكن وصفها كالتالي \[\bm{F}_i = \sum_{j\neq i}\bm{f}_{i,j}. \label{eq:totalforce}\] المعادلات ([eq:EOM2_comp])–([eq:totalforce]) تعطي \[P_\mathrm{calc} = \frac{2K}{3V} + \frac{1}{3V}\left\langle\sum_{i<j}(\bm{x}_i-\bm{x}_j)\cdot\bm{f}_{i,j}\right\rangle_t \label{eq:P_compfinal}\] بسبب العلاقة التي \(\bm{f}_{i,j}=-\bm{f}_{j,i}\).
في هذا الملحق، نعرض الاعتمادات على عدد الوحدات الأُحادِيَّة \(N\)، ومعامل معدل الإجهاد \(C_\mathrm{v}\)، ومعامل التخميد \(k_\mathrm{n}\)، وخطوة الزمن.
أولًا، نؤكد أنه لا يوجد اعتماد على عدد الوحدات الأُحادِيَّة، أي حجم صندوق الحساب.
ثانيًا، نتحقق من أن معامل معدل الإجهاد، الذي يشير إلى السرعة عند الحدود الحسابية، لا يُظهر أي اعتماد. هناك تقلبات في قُوَّة الضَّغْط عندما \(\phi\lesssim3\times10^{-3}\) لأن التَجَمُّعات الغُبارية ليست مرتبطة بجميع الحدود الحسابية. نلاحظ أن قُوَّة الضَّغْط في هذا العمل ثابتة تقريبًا، لذا فهي لا تعتمد على السرعة عند الحدود الحسابية إذا كانت صغيرة بما فيه الكفاية.
ثالثًا، نؤكد أن معامل التخميد لا يُظهر أي اعتماد.
أخيرًا، نتحقق من أن النتائج لا تتأثر بطول خطوة الزمن لأن قُوَّة الضَّغْط في هذا العمل ثابتة تقريبًا. نعرض قُوَّة الضَّغْط في الحالتين (جليد \(0.1\mathrm{\ \mu m}\) وجليد \(1.0\mathrm{\ \mu m}\)) المذكورتين في الجدول [tab:parameters] وعندما تكون خطوة الزمن أطول مرتين.