latex
لتكن \( R \) حلقة تبادلية مع الوحدة. رسم مجموع المثاليات الأولية للحلقة \( R \) هو الرسم البياني غير الموجه البسيط الذي تكون فيه مجموعة الرؤوس هي مجموعة جميع المثاليات الصحيحة غير الصفرية لـ \( R \)، ويكون رأسان متميزان \( I \)، \( J \) متجاورين إذا وفقط إذا كان \( I + J \) مثالية أولية لـ \( R \). في هذه الورقة، نصف جميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي تكون رسوم مجموع المثاليات الأولية لها رسومًا خطية. وأخيرًا، نقدم وصفًا لجميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي يكون رسم مجموع المثاليات الأولية لها مكملًا لرسم خطي.
تمثل دراسة الرسوم البيانية المرتبطة بالهياكل الجبرية مجالًا بحثيًا كبيرًا وحيويًا، وتعد واحدة من النقاط الرئيسية داخل مجال نظرية الرسوم البيانية الجبرية. يوفر هذا المجال تفاعلًا عميقًا بين الجبر ونظرية الرسوم البيانية، مما يجسر بين فرعين أساسيين من الرياضيات. لقد كانت الدراسة الشاملة للرسوم البيانية المرتبطة بالهياكل الجبرية موضع اهتمام كبير بسبب تطبيقاتها وعلاقتها بنظرية الأوتوماتا (انظر kelarev2003graph,kelarev2009cayley,kelarev2004labelled). تمت دراسة مختلف الرسوم البيانية المرتبطة بالحلقات في الأدبيات، مثل: الرسم البياني للمقسومات الصفرية (afkhami2011cozero)، الرسم البياني للمضاعفات الصفرية (Anderson1999zero)، الرسم البياني للمعدمات (badawi2014annihilator)، الرسم البياني لتقاطع المثاليات (chakrabarty2009intersection)، الرسم البياني للمثاليات المشتركة القصوى (maimani2008comaximal)، رسم مجموع المثاليات الأولية (saha2023prime) وغيرها.
تم تقديم رسم مجموع المثاليات الأولية لحلقة تبادلية من قبل ساهـا وآخرين (saha2023prime). رسم مجموع المثاليات الأولية \(\text{PIS}(R)\) للحلقة \(R\) هو الرسم البياني البسيط غير الموجه الذي مجموعة رؤوسه هي مجموعة جميع المثاليات الصحيحة غير الصفرية لـ \(R\) ورأسان متميزان \(I\)، \(J\) متجاوران إذا وفقط إذا كان \(I + J\) مثالية أولية لـ \(R\). درس مؤلفو (saha2023prime) بعض الخصائص النظرية للرسوم البيانية لـ \(\text{PIS}(R)\) مثل عدد النقرات، العدد اللوني، عدد السيطرة وغيرها. تمت مناقشة البعد المتري والبعد المتري القوي لرسم مجموع المثاليات الأولية لمختلف فئات الحلقات في (adlifard2023metric,mathil2023strong). كما تمت دراسة تضمينات رسم مجموع المثاليات الأولية على الأسطح في (mathil2022embedding). بالإضافة إلى ذلك، درسوا رسوم مجموع المثاليات الأولية مع بعض الرسوم البيانية المحظورة المستحثة مثل الانقسام، العتبة، الوترية والرسم البياني المشترك. الرسم البياني الخطي \(L(\Gamma)\) للرسم البياني \(\Gamma\) هو الرسم البياني الذي مجموعة رؤوسه هي جميع حواف \(\Gamma\) ورأسان من \(L(\Gamma)\) متجاوران إذا كانا متجاورين في \(\Gamma\). يتم وصف الرسوم البيانية الخطية بواسطة تسعة رسوم بيانية محظورة (انظر النظرية [linegraphchar]). تمت دراسة الرسوم البيانية الجبرية المتعلقة بالرسوم البيانية الخطية على نطاق واسع من قبل العديد من الباحثين (انظر barati2021line,bera2022line,khojasteh2022line,kumar2023finite,pirzada2022line,singh2022graph). في هذه الورقة، ندرس متى يكون رسم مجموع المثاليات الأولية رسمًا بيانيًا خطيًا. كما نحقق متى يكون رسم مجموع المثاليات الأولية مكملًا لرسم بياني خطي. في القسم [section2]، نصف جميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي رسوم مجموع المثاليات الأولية فيها هي رسوم بيانية خطية. في القسم [section3]، نصف جميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي رسوم مجموع المثاليات الأولية فيها هي مكملات للرسوم البيانية الخطية.
نستعرض الآن التعريفات والنتائج الضرورية للاستخدام لاحقًا. الرسم البياني \(\Gamma\) هو زوج مرتب \((V(\Gamma), E(\Gamma))\)، حيث \(V(\Gamma)\) هي مجموعة الرؤوس و\(E(\Gamma)\) هي مجموعة الحواف لـ \(\Gamma\). رأسان متميزان \(u, v \in V(\Gamma)\) هما \(\mathit{متجاوران}\) في \(\Gamma\)، نرمز لهما بـ \(u \sim v\) (أو \((u, v)\))، إذا كان هناك حافة بين \(u\) و\(v\). وإلا، نكتب \(u \nsim v\). لنأخذ \(\Gamma\) كرسم بياني. يقال إن الرسم البياني \(\Gamma'\) هو رسم بياني فرعي لـ \(\Gamma\) إذا كان \(V(\Gamma') \subseteq V(\Gamma)\) و\(E(\Gamma') \subseteq E(\Gamma)\). المكمل \(\overline{\Gamma}\) لرسم بياني \(\Gamma\) هو الرسم البياني الذي مجموعة رؤوسه هي \(V(\Gamma)\) ورأسان متجاوران إذا وفقط إذا لم يكونا متجاورين في \(\Gamma\). إذا كان \(X \subseteq V(\Gamma)\)، فإن الرسم البياني الفرعي \(\Gamma(X)\) المستحث بواسطة \(X\) هو الرسم البياني الذي مجموعة رؤوسه هي \(X\) ورأسان من \(\Gamma(X)\) متجاوران إذا وفقط إذا كانا متجاورين في \(\Gamma\). مسار في رسم بياني هو تسلسل من الرؤوس المتميزة بحيث يكون كل رأس في التسلسل متجاورًا مع الرأس التالي له. نستخدم \(P_n\) للدلالة على الرسم البياني المساري على \(n\) رؤوس. يقال إن الرسم البياني \(\Gamma\) هو كامل إذا كان أي رأسين متجاورين في \(\Gamma\). الرسم البياني الكامل على \(n\) رؤوس نرمز له بـ \(K_n\). نرمز \(mK_n\) إلى \(m\) نسخ من \(K_n\). يقال إن الرسم البياني \(\Gamma\) هو ثنائي الأجزاء إذا كان يمكن تقسيم \(V(\Gamma)\) إلى مجموعتين فرعيتين بحيث لا يكون أي رأسين في نفس المجموعة الفرعية متجاورين. رسم بياني ثنائي الأجزاء كامل هو رسم بياني ثنائي الأجزاء بحيث يكون كل رأس في جزء واحد متجاورًا مع جميع الرؤوس في الجزء الآخر. رسم بياني ثنائي الأجزاء كامل بأحجام تقسيم \(m\) و\(n\) نرمز له بـ \(K_{m, n}\).
في جميع أنحاء الورقة، الحلقة \(R\) هي حلقة تبادلية آرتينية مع الوحدة و\(F_i\) نرمز بها إلى حقل. بالإضافة إلى ذلك، \(U(R)\) نرمز بها إلى مجموعة جميع الوحدات لـ \(R\). للتعريفات الأساسية لنظرية الحلقات، نحيل القارئ إلى (atiyah1969introduction). يقال إن الحلقة \(R\) هي محلية إذا كان لديها مثالية عظمى وحيدة \(\mathcal{M}\). بالنسبة لحقل \(F\)، نأخذ \(\mathcal{M}= \langle 0 \rangle \). بواسطة \(\mathcal{I}^*(R)\)، نعني مجموعة المثاليات الصحيحة غير التافهة لـ \(R\). مؤشر العدمية \(\eta(I)\) لمثالية \(I\) من الحلقة \(R\) هو أصغر عدد صحيح موجب \(n\) بحيث \(I^n = 0\). المثالية التي يتم توليدها بواسطة العناصر \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) (\(n \ge 1\)) نرمز لها بـ \(\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\). بواسطة النظرية الهيكلية (atiyah1969introduction)، فإن الحلقة الآرتينية غير المحلية التبادلية \(R\) هي بشكل فريد (حتى التطابق) حاصل ضرب مباشر محدود من الحلقات المحلية \(R_i\) أي \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\)، حيث \(n \geq 2\).
سنستخدم بشكل متكرر التوصيفات التالية للرسوم البيانية الخطية (انظر beineke1970characterizations).
في هذا القسم، نصف جميع الحلقات الآرتينية التبادلية \(R\) بحيث يكون \(\textnormal{PIS}(R)\) رسمًا خطيًا. في النظرية التالية، نصف أولًا جميع الحلقات المحلية التبادلية التي يكون رسم مجموع المثاليات الأولية فيها رسمًا خطيًا.
[primeline] لتكن \(R\) حلقة محلية تبادلية بمثالية عظمى \(\mathcal{M}\). عندئذٍ يكون \(\textnormal{PIS}(R)\) رسمًا خطيًا لبعض الرسوم إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط التالية.
\(R\) حلقة مثالية رئيسية بحيث \(\eta(\mathcal{M}) \le 4\).
\(\mathcal{M} = \langle x, y \rangle\) لبعض \(x,y \in R\) بحيث \(x^2 = y^2 =0\).
افترض أن \(\textnormal{PIS}(R)\) رسم خطي لبعض الرسوم. لتكن \(\{ x_1, x_2, \ldots , x_m\}\) مجموعة مولدات دنيا لـ \(\mathcal{M}\). افترض أولًا أن \(m=1\)، أي أن \(R\) حلقة مثالية رئيسية. إذا كان \(\eta(\mathcal{M}) \ge 5\)، فإن الرسم الفرعي المستحث بواسطة المجموعة \(\{ \mathcal{M}, \mathcal{M}^2, \mathcal{M}^3, \mathcal{M}^4 \}\) متماثل مع \(K_{1,3}\)، وهذا تناقض. يترتب على ذلك أن \(\eta(\mathcal{M}) \le 4\). الآن إذا كان \(m =2\)، فإن \(\mathcal{M} = \langle x, y \rangle\) لبعض \(x,y \in R\). بالنسبة لـ \(x^2 \neq 0\)، لاحظ أن الرسم الفرعي المستحث بواسطة المجموعة \(\{ \mathcal{M}, \langle x \rangle, \langle x^2 \rangle, \langle x^2 +x \rangle \}\) متماثل مع \(K_{1,3}\)، وهذا غير ممكن. يترتب على ذلك أنه لكي يكون \(\textnormal{PIS}(R)\) رسمًا خطيًا لبعض الرسوم، يجب أن يكون \(x^2 = y^2 = 0\). إذا كان \(m \ge 3\)، فإن الرسم الفرعي المستحث بواسطة المجموعة \(\{ \mathcal{M}, \langle x_1 \rangle, \langle x_2 \rangle, \langle x_3 \rangle \}\) متماثل مع \(K_{1,3}\)، مرة أخرى تناقض.
بالمقابل، لنفترض أولًا أن \(R\) حلقة مثالية رئيسية بحيث \(\eta(\mathcal{M}) \le 4\). إذا كان \(\eta(\mathcal{M}) =4\)، فلاحظ أن \(\textnormal{PIS}(R) \cong P_3 = L(P_4)\). إذا كان \(\eta(\mathcal{M}) =3\)، فإن \(\textnormal{PIS}(R) \cong K_2 = L(P_3)\). إذا كان \(\eta(\mathcal{M}) =2\)، فإن \(\textnormal{PIS}(R) = L(K_2)\). إذا كان \(\eta(\mathcal{M}) =1\)، أي أن \(R\) حقل، فإن \(\textnormal{PIS}(R)\) رسم فارغ وهو رسم خطي للرسم الفارغ. بعد ذلك، افترض أن \(\mathcal{M} = \langle x, y \rangle\)، لبعض \(x,y \in R\) بحيث \(x^2 = y^2 = 0\). عندئذٍ جميع المثاليات غير التافهة لـ \(R\) هي \(\mathcal{M}\)، \(\langle x \rangle\)، \(\langle y \rangle\)، \(\langle xy \rangle\)، \(\langle x + uy \rangle\)، حيث \(u \in U(R)\). الآن نظهر أن \(u-v \in \mathcal{M}\) إذا وفقط إذا \(\langle x + uy \rangle = \langle x + vy \rangle\). ليكن \(u-v \in \mathcal{M}\). عندئذٍ \(\langle x + uy \rangle = \langle x + (u-v+v)y \rangle = \langle x + vy \rangle\). بالمقابل، إذا كان \(\langle x + uy \rangle = \langle x + vy \rangle\)، فإن \(x + uy = \alpha(x + vy)\) لبعض \(\alpha \in R\). يترتب على ذلك أن \((1- \alpha)x = (\alpha v -u)y\) وبالتالي \((1- \alpha)x \in \langle y \rangle\) و\((\alpha v -u)y \in \langle x \rangle\). بما أن \(\mathcal{M}\) يتم توليدها بشكل أدنى بواسطة عنصرين، يجب أن يكون \(1- \alpha \in \mathcal{M}\) و\(\alpha v -u \in \mathcal{M}\). وبالتالي، \(v-u = v(1-\alpha) + \alpha v -u \in \mathcal{M}\). لذلك، لدينا \(|R/\mathcal{M}| + 3\) مثاليات غير تافهة لـ \(R\).
بعد ذلك، نظهر أنه بالنسبة للرؤوس المتميزة \(\langle x + uy \rangle\) و\( \langle x + vy \rangle\)، حيث \(u,v \in U(R)\)، لدينا \(\langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle = \mathcal{M}\). بوضوح، \(\langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle \subseteq \mathcal{M}\). بما أن \(v-u \notin \mathcal{M}\)، لدينا \(x = v(v-u)^{-1}(x + uy) + [1-v(v-u)^{-1}](x +vy)\). يترتب على ذلك أن \(x \in \langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle\). بالمثل، \(y \in \langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle\). وبالتالي، \(\mathcal{M} \subseteq \langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle\).
وهكذا، الرسم الفرعي المستحث بواسطة المجموعة \(\mathcal{I}^*(R) \setminus \{ \langle xy \rangle \}\) هو رسم كامل. الآن، إذا كان \(xy =0\)، فكونه رسمًا كاملًا على \(|R/\mathcal{M}| + 2\) رؤوس، \(\textnormal{PIS}(R)\) هو رسم خطي للرسم \(K_{1, |R/\mathcal{M}| + 2}\). إذا كان \(xy \neq 0\)، فإن الرأس \(\langle xy \rangle\) من الدرجة واحدة (مجاور لـ \(\mathcal{M}\) فقط). وبالتالي، لأي \(xy \neq 0\)، لا يمكن أن يكون أي رسم فرعي مستحث من \(\textnormal{PIS}(R)\) متماثلًا مع أي من الرسوم المعطاة في الشكل [forbidden_graphs]. وهكذا، \(\textnormal{PIS}(R)\) هو رسم خطي لبعض الرسوم. هذا يكمل البرهان.
الآن نحقق في الحلقات التبادلية غير المحلية التي يكون رسم مجموع المثاليات الأولية فيها رسمًا خطيًا.
[fourproduct] لتكن \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\) \((n \ge 2)\) حلقة تبادلية غير محلية، حيث كل \(R_i\) حلقة محلية بمثالية عظمى \(\mathcal{M}_i\). إذا كان \(n \ge 4\)، فإن \(\textnormal{PIS}(R)\) ليس رسمًا خطيًا.
لإثبات النتيجة، يكفي إظهار أن \(\textnormal{PIS}(R)\) ليس رسمًا خطيًا عندما يكون \(n=4\). لتكن \(R \cong R_1 \times R_2 \times R_3 \times R_4\). اعتبر المجموعة \[S = \{ \mathcal{M}_1 \times R_2 \times R_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times R_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times \mathcal{M}_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times R_3 \times \mathcal{M}_4 \}.\] عندئذٍ الرسم الفرعي المستحث بواسطة المجموعة \(S\) متماثل مع \(K_{1,3}\). وبالتالي، لـ \(n \ge 4\)، \(\textnormal{PIS}(R)\) ليس رسمًا خطيًا.
لتكن \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\) \((n \ge 2)\) حلقة تبادلية غير محلية، حيث كل \(R_i\) حلقة محلية بمثالية عظمى \(\mathcal{M}_i\). عندئذٍ يكون \(\textnormal{PIS}(R)\) رسمًا خطيًا إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط التالية.
\(R \cong F_1 \times F_2 \times F_3\).
\(R \cong F_1 \times F_2\).
\(R \cong R_1 \times F_2\) حيث \(R_1\) حلقة مثالية رئيسية ب \(\eta({\mathcal{M}_1}) = 2\).
افترض أن \(\textnormal{PIS}(R)\) رسم خطي لبعض الرسوم. بموجب الفقرة [fourproduct]، لدينا \(n \le 3\). أولًا، لنفترض أن \(n =3\) أي، \(R \cong R_1 \times R_2 \times R_3\). افترض أن أحد \(R_i\) ليس حقلًا. بدون فقدان العمومية، افترض أن \(R_1\) ليس حقلًا. اعتبر المجموعة \(A = \{ \mathcal{M}_1 \times R_2 \times R_3, \langle 0 \rangle \times R_2 \times \langle 0 \rangle, \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle \times \langle 0 \rangle, \langle 0 \rangle \times \langle 0 \rangle \times R_3\}\). عندئذٍ الرسم الفرعي المستحث بواسطة \(A\) متماثل مع \(K_{1,3}\)، وهذا تناقض. يترتب على ذلك أن \(R\cong F_1 \times F_2 \times F_3\).
الآن لنفترض أن \(R\cong R_1 \times R_2\). افترض أن كلًا من \(R_1\) و\(R_2\) ليسا حقلين. اعتبر المجموعة \(B = \{ R_1 \times \mathcal{M}_2, \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2, \langle 0 \rangle \times \mathcal{M}_2 \}\).
ثم \(\textnormal{PIS}(B)\) متماثل مع \(K_{1,3}\)، وهذا غير ممكن. يترتب على ذلك أن أحد \(R_i\) يجب أن يكون حقلًا. دون فقدان العمومية، نفترض أن \(R_2\) هو حقل، أي \(R \cong R_1 \times F_2\). لنفترض أن \(\{ x_1, x_2, \ldots, x_m \}\) هي مجموعة مولدات دنيا للمثالية العظمى \(\mathcal{M}_1\). نفترض أن \(m \ge 2\). انظر إلى المجموعة \(C = \{ \mathcal{M}_1 \times F_2, \langle 0 \rangle \times F_2, \langle x_1 \rangle \times \langle 0 \rangle, \langle x_2 \rangle \times \langle 0 \rangle \}\). ثم الرسم البياني الفرعي المستحث بواسطة \(C\) متماثل مع \(K_{1,3}\)، وهذا تناقض. يعني ذلك أن \(m=1\)، أي \(R_1\) هو حلقة مثالية رئيسية. علاوة على ذلك، إذا كان \(\eta(\mathcal{M}_1) \ge 3\)، فإن الرسم البياني الفرعي المستحث بواسطة المجموعة \(\{ \mathcal{M}_1 \times F_2, \mathcal{M}_1^2 \times F_2, \langle 0 \rangle \times F_2, \mathcal{M}_1^2 \times \langle 0 \rangle\} \) متماثل مع \(K_{1,3}\)، وهذا غير ممكن. وبالتالي، إما أن \(R \cong R_1 \times F_2\) حيث \(\eta(\mathcal{M}_1) = 2\) أو \(R \cong F_1 \times F_2\).
من ناحية أخرى، يمكن ملاحظة أن \(\textnormal{PIS}(F_1 \times F_2 ) = L(2K_2)\) و \(\textnormal{PIS}(F_1 \times F_2 \times F_3) = L(H_1)\) و \(\textnormal{PIS}(R_1 \times F_2 ) = L(H_2)\) حيث \(\eta(\mathcal{M}_1) = 2\).
في هذا القسم، نصف جميع الحلقات الآرتينية التبادلية التي تكون رسوم مجموع المثاليات الأولية لها مكملًا لرسوم الخطوط. نبدأ بتوصيف جميع الحلقات المحلية التبادلية \(R\) بحيث أن \(\textnormal{PIS}(R)\) تكون مكملًا لرسم خطي.
لتكن \(R\) حلقة محلية تبادلية بمثالية عظمى \(\mathcal{M}\). عندئذٍ \(\textnormal{PIS}(R)\) هي مكمل لرسم خطي إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط التالية.
\(R\) هي حلقة مثالية رئيسية.
\(\mathcal{M} = \langle x, y \rangle\) لبعض \(x,y \in R\) بحيث \(x^2 = y^2 = xy =0\).
افترض أن \(\textnormal{PIS}(R)\) هي مكمل لرسم خطي. ليكن \(\{ x_1, x_2, \ldots , x_m\}\) هي المجموعة الدنيا من المولدات لـ \(\mathcal{M}\). إذا كان \(m \ge 4\)، فإن الرسم البياني المستحث بواسطة المجموعة \(\{ \langle x_4 \rangle, \langle x_2, x_3, \ldots, x_m \rangle, \langle x_1, x_3, \ldots, x_m \rangle, \langle x_1, x_2, x_4, \ldots, x_m \rangle\} \) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_1}\)، وهذا تناقض. بالنسبة لـ \(m =3\)، ضع في الاعتبار المجموعة \(A = \{ \langle x_1 \rangle, \langle x_1, x_2 \rangle, \langle x_1, x_3 \rangle, \langle x_2 + x_3\rangle \}\). عندئذٍ الرسم البياني المستحث بواسطة \(A\) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_1}\)، وهذا غير ممكن. بعد ذلك، ليكن \(m=2\)، أي \(\mathcal{M} = \langle x,y \rangle \) لبعض \(x, y \in R\). إذا كان \(x^2 \neq 0\)، فإن الرسم البياني المستحث بواسطة المجموعة \(\{ \langle x^2 \rangle, \langle x \rangle, \langle y \rangle, \langle x+y \rangle \}\) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_1}\)، وهذا غير ممكن. إذا كان \(xy \neq 0\)، فإن الرسم البياني المستحث بواسطة المجموعة \(\{ \langle xy \rangle, \langle x \rangle, \langle y \rangle, \langle x+y \rangle \}\) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_1}\)، مرة أخرى تناقض. وبالتالي، نحصل على \(x^2 = y^2= xy = 0\). وهكذا، لكي تكون \(\textnormal{PIS}(R)\) مكملًا لرسم خطي، يجب أن يكون إما \(m = 1\)، أي \(R\) هي حلقة مثالية رئيسية أو \(\mathcal{M} = \langle x,y \rangle \) لبعض \(x, y \in R\) بحيث \(x^2 = y^2= xy = 0\).
بالعكس، افترض أولًا أن \(R\) هي حلقة مثالية رئيسية. ثم لاحظ أن \(\textnormal{PIS}(R)\) هي رسم نجمي، وبالتالي لا يوجد أي رسم بياني مستحث يكون متماثلًا مع أي من الرسوم البيانية المعطاة في الشكل [complenentforbidden_graphs]. وبالتالي، \(\textnormal{PIS}(R)\) هي مكمل لرسم خطي. بعد ذلك، افترض أن \(\mathcal{M} = \langle x,y \rangle \) لبعض \(x, y \in R\) و \(x^2 = y^2= xy = 0\). بالحجة المماثلة المستخدمة في النظرية [primeline]، نحصل على أن \(\textnormal{PIS}(R)\) هي رسم بياني كامل على \(|R/ \mathcal{M}| +2\) رؤوس. بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن \(\textnormal{PIS}(R) = \overline{L\big( (|R/ \mathcal{M}| +2)K_2 \big)}\). وهكذا، تصح النتيجة.
نصف الآن جميع الحلقات التبادلية غير المحلية التي تكون رسوم مجموع المثاليات الأولية لها مكملًا لرسوم الخطوط.
لتكن \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\) \((n \ge 2)\) حلقة تبادلية غير محلية، حيث كل \(R_i\) هي حلقة محلية بمثالية عظمى \(\mathcal{M}_i\). عندئذٍ \(\textnormal{PIS}(R)\) هي مكمل لرسم خطي إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط التالية.
\(R \cong F_1 \times F_2 \times F_3\).
\(R \cong F_1 \times F_2\).
\(R \cong R_1 \times F_2\) حيث \(R_1\) هي حلقة مثالية رئيسية ب \(\eta({\mathcal{M}_1}) = 2\).
افترض أن \(\textnormal{PIS}(R)\) هي مكمل لرسم خطي. بالنسبة لـ \(n =4\)، ضع في الاعتبار المجموعة \[S' = \{ \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times R_3 \times R_4, R_1 \times \mathcal{M}_2 \times \mathcal{M}_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times R_2 \times \mathcal{M}_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times \mathcal{M}_3 \times \mathcal R_4 \}.\] عندئذٍ الرسم البياني المستحث بواسطة المجموعة \(S'\) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_1}\)، وهذا تناقض. وبالتالي، بالنسبة لـ \(n \ge 4\)، \(\textnormal{PIS}(R)\) ليست مكملًا لرسم خطي. يمكننا الآن افتراض أن \(n \le 3\). ليكن \(R \cong R_1 \times R_2 \times R_3\). افترض أن أحد \(R_i\) ليس حقلًا. بدون فقدان العمومية، افترض أن \(R_1\) ليس حقلًا. عندئذٍ الرسم البياني المستحث بواسطة المجموعة \(X = \{ \mathcal{M}_1 \times R_2 \times R_3, \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle \times R_3, \langle 0 \rangle \times R_2 \times R_3, R_1 \times R_2 \times \langle 0 \rangle \} \) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_1}\)، وهذا تناقض. يعني ذلك أن \(R\cong F_1 \times F_2 \times F_3\).
بعد ذلك، ليكن \(R\cong R_1 \times R_2\). افترض أن كلًا من \(R_1\) و \(R_2\) ليسا حقلين. ضع في الاعتبار المجموعة \(Y = \{ \mathcal{M}_1 \times R_2, \langle 0 \rangle \times R_2, \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle, R_1 \times \langle 0 \rangle\}\). عندئذٍ \(\textnormal{PIS}(Y)\) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_1}\)، وهذا غير ممكن. وبالتالي، يجب أن يكون أحد \(R_i\) حقلًا. بدون فقدان العمومية، افترض أن \(R_2\) هو حقل، أي \(R \cong R_1 \times F_2\). ليكن \(\{ x_1, x_2, \ldots, x_m \}\) هي المجموعة الدنيا من المولدات للمثالية العظمى \(\mathcal{M}_1\). افترض أن \(m \ge 2\). عندئذٍ الرسم البياني المستحث بواسطة المجموعة \(Z = \{ \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle, \langle 0 \rangle \times R_2, \langle x_1 \rangle \times \langle 0 \rangle, \langle x_2 \rangle \times \langle 0 \rangle, \langle x_1 + x_2 \rangle \times \langle 0 \rangle \} \) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_3}\)، وهذا تناقض. يعني ذلك أن \(m=1\) وبالتالي \(R_1\) هي حلقة مثالية رئيسية. إذا كان \(\eta(\mathcal{M}_1) \ge 3\)، فإن الرسم البياني المستحث بواسطة المجموعة \(\{ \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle, \mathcal{M}_1^2 \times F_2, \mathcal{M}_1 \times F_2, \langle 0 \rangle \times F_2, \mathcal{M}_1^2 \times \langle 0 \rangle, R_1 \times \langle 0 \rangle\} \) يكون متماثلًا مع \(\overline{\Gamma_4}\) (انظر الشكل [linefigure_5])، وهذا غير ممكن. وهكذا، إما أن \(R \cong R_1 \times F_2\) حيث \(\eta(\mathcal{M}_1) = 2\) أو \(R \cong F_1 \times F_2\). بالعكس، يمكن ملاحظة أن \(\textnormal{PIS}(F_1 \times F_2 ) = \overline{L(P_3)}\) و \(\textnormal{PIS}(F_1 \times F_2 \times F_3) = \overline{L(H_1')}\) (انظر الشكل [linefigure_3]). بواسطة الشكل [linefigure_4]، نحصل على \(\textnormal{PIS}(R_1 \times F_2 ) = \overline{L(H_2')}\) مع \(\eta(\mathcal{M}_1) = 2\).
الشكر والتقدير: يتقدم المؤلف الأول بالشكر الجزيل لمعهد بيرلا للتكنولوجيا والعلوم (BITS) بيلاني، الهند، لتقديم الدعم المالي.