latex
النَتِيجَة الرَئِيسِيَّة تَتَعَلَّق بِنِظام تَحْلِيل ثُنَائِي الفِئات عَلَى ثُنَائِي الفِئة \(\mathrm{Cat}\) للفِئات والدوال. كُل دالَّة \(A\xra{f} B\) تَتَحَلَّل حتى التَطابُق إلى \(A\xra{j}E\xra{p}B\) حيث \(j\) ما نُسَمِّيه الدالَّة النِهائِيَّة و\(p\) ما نُسَمِّيه تَصْنِيف المَجْمُوعَة. كُل دالَّة مُساعِدة يَمِينِيَّة هي نِهائِيَّة. يُظْهِر أن الدوال التي عامِلها النِهائِي هو دالَّة مُساعِدة يَمِينِيَّة لها تَأْثِير على نَظَرِيَّة الدوال الكَثِيرَة.
عندما كُنتُ طالِباً جامِعياً، صادفت راسل (Russell) وكُنتُ مُضْطَرِباً بشأن حالة الأُسُس للرِياضِيّات. بدا مُخَطَّط الفَهْم مركزياً كرابط بين الرِياضِيّات واللُغَة. ثم سَعِدتُ بالاِخْتِراق الذي رأيته في الأَوْراق (Law1965, Law1969, Law1970) للوريڤ.
التَحْلِيل الموصوف هنا هو فِكْرَة قديمة كنتُ أَنْوي التَحقُّق منها بدِقَّة وكِتابتها ولكنّي فقط الآن وجدتُ سبباً للقيام بذلك. السبب يَتَعَلَّق بـ\(\mathrm{Cat}\) كمِثال على ثُنَائِي الفِئات الكَثِيرَة في معنى ورقتيَّ الأخيرة (134). نُريد تَعْرِيف خاص لدالَّة من حيث أن أحد عَوامِلها خاص بطريقة ما.
فِكْرَة الورقة الحالية هي تَغْيِير لِلتَحْلِيل الشامِل لدالَّة \(A\xra{f} B\) كمركب \(A\xra{j} E\xra{p} B\) حيث \(j\) دالَّة نِهائِيَّة (بالمعنى المُسْتَخْدَم في CWM والذي أَسْتَخْدِمه وألترز والمؤلف في 6 ولكن يُطْلَق عليها أحياناً اسم التَماسُك) و\(p\) تَحْلِيل مُنْفَصِل. تم اختيار اسم نِظام التَحْلِيل بسبب علاقته بمُخَطَّط الفَهْم للمَجْمُوعات. هذا هو نِظام التَحْلِيل العَمُودِي بالمعنى المُعتاد على \(\mathrm{Cat}\) كفِئة عادية وبالمعنى المُخَصَّب على \(\mathrm{Cat}\) كفِئة 2 صارمة. هنا “مُنْفَصِل” يعني، بالطبع، أن ألياف \(p\) هي مَجْمُوعات.
الآن نرغب في التَفْكِير في \(\mathrm{Cat}\) كثُنَائِي فِئات ونتساءل عما إذا كنا نحصل على نِظام تَحْلِيل بمعنى ثُنَائِي الفِئات عندما نتصرف بشكل ثُنَائِي الفِئات تماماً ونغلق تَحْلِيلاتنا تحت التكوين مع التَكافُؤات ونطلب أن تكون الألياف الزائِفَة مَجْمُوعات.
هذا ينجح. يُحاكي دليلنا دليل التَحْلِيل الشامِل المُعتاد كما وصفه فيريتي والمؤلف في 104. تم استبدال الدوال النِهائِيَّة بما نُسَمِّيه الدوال النِهائِيَّة والتَحْلِيلات المُنْفَصِلَة بما نُسَمِّيه تَحْلِيلات المَجْمُوعَة. في تطبيقنا، نحن مهتمون بالدوال التي عامِلها النِهائِي هو دالَّة مُساعِدة يَمِينِيَّة.
أنا ممتن لألكسندر كامبل للإشارة إلى العمل المتعلق بشكل كبير بجويال حيث يتم تَعْرِيف \(n\)-النِهائِي، \(n\)-التَحْلِيل ونِظام التَحْلِيل الطوبولوجي في سياق الفِئات الشبهية؛ انظر الصفحة 170 من JoyV1 والأقسام A.6-8 من JoyV2.
المفهوم التالي يُسمى “قوي ديكارتي” بواسطة غروتنديك. هذه التَحْوِيلات دائماً ما تكون مُغْلَقَة تحت التَرْكِيب (على عكس تلك التي سماها “ديكارتي”).
[cartesianmor] لنفترض أن \( p : E \to B \) دالَّة. تُسمى التَحْوِيلة \( \chi : e' \to e \) في \( E \) بأنها ديكارتي بالنسبة لـ \( p \) عندما يكون المُرَبَّع سحباً لجميع \( k \in E \). \[\label{cart} \begin{aligned} \xymatrix{ E(k,e') \ar[rr]^-{E(k,\chi)} \ar[d]_-{p} && E(k,e) \ar[d]^-{p} \\ B(pk,pe') \ar[rr]_-{B(pk,p\chi)} && B(pk,pe)} \end{aligned}\]
بما أن أي مُرَبَّع تبادلي مع زوج من الجوانب المعكوسة يكون سحباً، نرى أن جميع التَحْوِيلات القابلة للعكس في \( E \) هي ديكارتي، وإذا كانت \( p \) مُخْلِصَة بالكامل، فإن جميع تَحْوِيلات \( E \) هي ديكارتي.
[gpdfib] تُعتَبَر الدالَّة \( p : E \to B \) تَصْنِيف زُمَرِي عندما:
لكل \( e \in E \) و \( \beta : b \to pe \) في \( B \)، توجد \( \chi : e' \to e \) في \( E \) و \( b \cong pe' \) قابلة للعكس بحيث \( \beta = (b \cong pe' \xra{p\chi} pe) \)، و
كل تَحْوِيلة في \( E \) هي ديكارتي بالنسبة لـ \( p \).
تَشْمَل تَصْنِيفات الزُمَر لدينا جميع مُكافِئات الفِئات ولذلك ليست بالضرورة تَصْنِيفات في معنى غروتنديك.
من السُحُب يتبع أن تَصْنِيفات الزُمَر مُحافِظة (أي تعكس القابلية للعكس). لذا فإن أليافها الزائِفَة \( E_b \) هي زُمَر.
بالنسبة للدوال \( A\xra{f}C\xla{g}B \)، نكتب \( f/g \) لفِئة الفاصِلة (أو الشريحة) لـ \( f \) و \( g \)؛ وهي الرأس الأعلى الأيسر لمُرَبَّع عالمي \[\label{commasq} \begin{aligned} \xymatrix{ f/g \ar[d]_{s}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{t} && B \ar[d]^{g}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda} \\ A \ar[rr]_-{f} && C } \end{aligned}\] في الفِئة الثُنائِيَّة \(\mathrm{Cat}\). على وجه الخصوص، فِئة السهم لـ \( E \) هي \( E^{\mathbf{2}} = 1_E/1_E = E/E \). لدالَّة \( E\xra{p}B \) وكتابة \( B/p = 1_B/p \)، يوجد دالَّة قانونية \( E^{\mathbf{2}}\xra{r} B/p \) معرفة كما يلي. \[\xymatrix{ E^{\mathbf{2}} \ar@/_/[ddr]_{ps} \ar@/^/[drrr]^t \ar@{.>}[dr]|-{r} \\ & B/p \ar[d]_{u}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^h && E \ar[d]^{p}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda} \\ & B \ar[rr]_{1_B} && B } \\ \quad \xymatrix{ \\ & & \\ & \Huge{=} } \\ \quad \xymatrix{ \\ E^{\mathbf{2}} \ar[d]_{p s}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{t} && B \ar[d]^{p}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{p \lambda} \\ B \ar[rr]_-{1_B} && B }\]
نكتب \( f/_{\mathrm{ps}}g \) للفِئة الفرعية الكاملة لفِئة الفاصِلة \( f/g \) من التي تتكون من تلك الكائنات التي يكون مُكَوِّن \( \lambda \) فيها قابلاً للعكس. تُسمى السُحُب الزائِفَة أو فِئة الإيزوكوما للمَجْمُوعَة المُتقاطِعة \( A\xra{f}C\xla{g}B \)؛ وهي الرأس الأعلى الأيسر لمُرَبَّع عالمي \[\label{pspbsq} \begin{aligned} \xymatrix{ f/_{\mathrm{ps}}g \ar[d]_{s'}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{t'} && B \ar[d]^{g}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda'}_{\cong} \\ A \ar[rr]_-{f} && C } \end{aligned}\] في الفِئة الثُنائِيَّة \(\mathrm{Cat}\).
هنا ثلاث مُلاحَظات سهلة نسبياً.
[3feo]
دالَّة \( E\xra{p}B \) هي تَصْنِيف زُمَرِي إذا وفقط إذا كانت الدالَّة القانونية \( E^{\mathbf{2}}\xra{r} B/p \) مُكافِئة.
لنَفْتَرِض أن \( E\xra{p}B \) تَصْنِيف زُمَرِي. دالَّة \( F\xra{q}E \) هي تَصْنِيف زُمَرِي إذا وفقط إذا كان التَرْكِيب \( F\xra{q}E\xra{p}B \) كذلك.
السُحُب الزائِفَة لتَصْنِيف زُمَرِي على طول أي دالَّة هو تَصْنِيف زُمَرِي. أي، إذا كانت الدالَّة \( g \) تَصْنِيف زُمَرِي، فكذلك \( s' \).
هناك فِئة ثُنائِيَّة \(\mathrm{GFib}B\) لتَصْنِيفات الزُمَر فوق \( B \) معرفة كما يلي: الكائنات هي تَصْنِيفات الزُمَر \( E\xra{p}B \) فوق \( B \). فِئات الهوم مُعطاة بواسطة السُحُب الزائِفَة: \[\begin{aligned} \xymatrix{ \mathrm{GFib}B(p,q) \ar[d]_{}^(0.5){\phantom{AAAAAA}}="1" \ar[rr]^{} && [E,F] \ar[d]^{[E,q]}_(0.5){\phantom{AAAAAA}}="2" \ar@{<=}"1";"2"^-{\cong}_-{} \\ \mathbf{1} \ar[rr]_-{\lceil p\rceil} && [E,B] } فالتَحْوِيلات هي مثلثات مع تَطابُق طبيعي فيها. \[\label{morphoverB} \begin{aligned} \xymatrix{ E \ar[rd]_{p}^(0.5){\phantom{a}}="1" \ar[rr]^{f} && F \ar[ld]^{q}_(0.5){\phantom{a}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\phi}_{\cong} \\ & B } \end{aligned}\]
نعتبر أيضاً \(\mathrm{Cat}/B\) مع نفس الاتفاق على تَحْوِيلاتها.
\[\label{Fffff} \begin{aligned} \xymatrix{ & & \mathrm{Ord} \ar[rd]^-{ \mathrm{incl}} & &\\ \mathrm{Set}\ar[r]^-{\sim} &\mathrm{EqR} \ar[ru]^-{\mathrm{incl}} \ar[rd]_-{\mathrm{incl}} & & \mathrm{Cat}\ar[r]^-{\mathrm{nerve}} & [\Delta^{\mathrm{op}},\mathrm{Set}] \\ & & \mathrm{Gpd} \ar[ru]_-{\mathrm{incl}} & &} \end{aligned}\]
جميع الفِئات في الرسم البياني مُغْلَقَة ديكارتيًا. جميع الدوال مُغْلَقَة تحت الأُسُس. الدوال المُساعِدة اليُسرى تُحافِظ جميعها على المُنْتَجات المحدودة (بموجب نَظَرِيَّة الانعكاس اليوم). تركيزنا هنا على الإدراج \(\mathrm{Gpd}\xra{\mathrm{incl}}\mathrm{Cat}\) مع المُساعِد الأيسر 2-المُساعِد \(\pi_1\) والمُساعِد الأيمن \(\upsilon\). الفِئة الفرعية \(\upsilon A\) من الفِئة \(A\) تحتوي على جميع التَحْوِيلات القابلة للعكس في \(A\) فقط.
[upsfun] الدالَّة \(E\xra{p}B\) هي مُكافِئة إذا وفقط إذا كان كل من \(\upsilon E\xra{\upsilon p}\upsilon B\) و \(\upsilon (E^{\mathbf{2}})\xra{\upsilon (p^{\mathbf{2}})}\upsilon (B^{\mathbf{2}})\) مُكافِئات.
الحالة “فقط إذا” واضحة لأن \(\upsilon\) هو دالَّة 2-دالَّة. للحالة المعاكسة، لاحظ أولاً أن الشمولية على الكائنات حتى التَطابُق لـ \(p\) هي نفسها لـ \(\upsilon p\).
لذا يبقى أن نستنتج من مُكافِئات الزُمَر أن \(p\) كاملة الأمانة. خذ \(e, e'\in E\) و \(pe \xra{\beta} pe'\) في \(B\). بما أن \(\upsilon (B^{\mathbf{2}})\) شاملة على الكائنات حتى التَطابُق، يوجد \(e_1 \xra{\xi} e'_1\) في \(E\) ومُرَبَّع تبادلي \[\xymatrix{ pe_1 \ar[r]^-{\sigma}_{\cong} \ar[d]_-{p\xi} & pe \ar[d]^-{\beta} \\ pe'_1 \ar[r]_-{\sigma'}^{\cong} & pe' \ .}\] بما أن \(\upsilon p\) كاملة، توجد تَحْوِيلات قابلة للعكس \(e_1 \xra{\chi} e\) و \(e'_1 \xra{\chi'} e'\) في \(E\) بحيث \(p\chi = \sigma\) و \(p\chi' = \sigma'\). وبالتالي، \(\beta = p(\chi' \xi \chi^{-1})\) مما يثبت أن \(p\) كاملة.
بما أن \(\upsilon p\) أمينة، فإن التَحْوِيلات الوحيدة في \(E\) التي تُؤخذ إلى هُوِيّات بواسطة \(p\) هي الهُوِيّات. سنستخدم هذه الحالة الخاصة في برهاننا الآن أن \(p\) أمينة. خذ \(\xi, \xi' : e\to e_1\) في \(E\) مع \(p\xi = p\xi'\). فكّر في هذين التَحْوِيلين ككائنات من \(E^{\mathbf{2}}\) التي تُؤخذ إلى كائنين متساويين \(p\xi, p\xi' : pe\to pe_1\) من \(B^{\mathbf{2}}\). بما أن \(p^{\mathbf{2}}\) كاملة، فإن الكائنين \(\xi\) و \(\xi'\) متطابقان بتَطابُق في \(E^{\mathbf{2}}\) مُكوَّن من تَحْوِيلات ذاتية لـ e و e_1 التي تُؤخذ إلى هُوِيّات بواسطة \(p\). بما أن تلك التَحْوِيلات الذاتية يجب أن تكون هُوِيّات، نستنتج أن \(\xi=\xi'\)، كما هو مطلوب.
[upsgfib] إذا كانت \(E\xra{p}B\) تَصْنِيف زُمَرِي و \(\upsilon E\xra{\upsilon p}\upsilon B\) مُكافِئة فإن \(E\xra{p}B\) هي مُكافِئة.
بما أن \(\upsilon\) هو مُساعِد أيمن، فإنه يُحافِظ على السُحُب الزائِفَة \[\xymatrix{ E^{\mathbf{2}} \ar[rr]^-{\mathrm{cod}} \ar[d]_-{p^{\mathbf{2}}} && E \ar[d]^-{p} \\ B^{\mathbf{2}}\ar[rr]^-{\mathrm{cod}} && B}\] بحيث أن كل من \(\upsilon p\) و \(\upsilon (p^{\mathbf{2}})\) مُكافِئات. النتيجة تتبع من الليما [upsfun].
البناء العادي “بناء غروتنديك” 2-دالَّة \[\begin{aligned} \wr : \mathrm{Hom}(B^{\mathrm{op}},\mathrm{Gpd}) \lra \mathrm{GFib}B\end{aligned}\] هو ثُنَائِي المُكافِئة. إذا كان \(\ \wr(T) \simeq (E\xra{p} B)\) فإن \(Tb\) مُكافِئ لألياف الزائِفَة \(E_b\) لـ \(p\) فوق \(b\in B\).
نتيجة تطبيق \(\mathrm{Hom}(B^{\mathrm{op}},-)\) على 2-المُساعِدة \[\xymatrix @C+5mm{ \mathrm{Cat} \ar @<3pt> [r]^{\pi_1} & \mathrm{Gpd} \ar @<3pt>[l]^{\mathrm{incl}}}\] تنقل إلى ثُنَائِي المُساعِدة \[\xymatrix @C+5mm{ \mathrm{Fib}B \ar @<3pt> [r]^{\pi_{1 B}} & \mathrm{GFib}B \ar @<3pt>[l]^{\mathrm{incl}} }\] عبر ثُنَائِيات المُكافِئة \[\begin{aligned} \mathrm{Hom}(B^{\mathrm{op}},\mathrm{Gpd}) \xra{\sim} \mathrm{GFib}B \ \text{ و } \ \mathrm{Hom}(B^{\mathrm{op}},\mathrm{Cat}) \xra{\sim} \mathrm{Fib}B \ .\end{aligned}\]
[overB] دالَّة الإدراج 2-دالَّة \(\mathrm{GFib}B\hookrightarrow \mathrm{Cat}/B\) كاملة الأمانة مع مُساعِد أيسر ثُنَائِي قيمته عند الكائن \(A\xra{f}B\) هو التَرْكِيب الزمري \(\pi_{1 B} (B/f\xra{\mathrm{dom}}B)\) الذي يتوافق مع الدالَّة الزائِفَة \(B^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Gpd}\) التي تأخذ \(b\in B\) إلى \(\pi_{1 } (b/f)\).
بناء \(\pi_1A\) بواسطة المُوَلِّدات والعَلاقات صعب التعامل معه؛ بدلاً من ذلك نستخدم الخاصية الكونية لبناء المُحَوِّل. أكتب \([A,X]_{\cong}\) للفِئة الفرعية الكاملة من \([A,X]\) التي تتألف من تلك الدوال \(f : A\to X\) التي تعكس جميع التَحْوِيلات في \(A\). وحدة التقابل \(A\to \pi_1A\) تحقق تَطابُقاً \[[\pi_1A,X]\cong [A,X]_{\cong}\] لجميع الفِئات \(X\) (ليس فقط الزُمَر).
المُتَعَالِيَة \(j : A \to B\) تُعتَبَر نِهائِيَّة عندما، لكل الكائنات \(b\in B\)، المَجْمُوعَة الأَساسِيَّة \(\pi_1(b/j)\) لفِئة الفاصِلة \(b/j\) مُكافِئة للمَجْمُوعَة النِهائِيَّة: \[\pi_1(b/j) \simeq \mathbf{1} \ .\]
[erafiu] كل مُتَعَالِيَة مُساعِدة يَمِينِيَّة هي نِهائِيَّة.
إذا \(k\dashv j : A\to B\) فإن \(b/j \simeq kb/A \to \mathbf{1}\) لها مُساعِد يسار بفضل العُنْصُر الأول \(1_{kb}\) لـ \(kb/A\). تطبيق المُتَعَالِيَة ثُنائِيَّة الأبعاد \(\pi_1\) على الاقتران يُنتج اقتران بين المَجْمُوعات.
[pi1ufequiv] المُتَعَالِيَات النِهائِيَّة يتم أخذها بواسطة \(\pi_1\) إلى مُكافِئات.
لنَفْتَرِض أن \(j:A\to B\) نِهائِيَّة. يجب أن نثبت أن \(\pi_1A\xra{\pi_1j}\pi_1B\) هي مُكافِئة. ما نثبته هو أنه، لأي فِئة \(X\)، إذا كان كل مُتَعَالِيَة قُطْرِيَّة \(X\xra{\delta_{b}}[b/j,X]_{\cong}\) هي مُكافِئة فإن \([B,X]_{\cong}\xra{[j,1]_{\cong}}[A,X]_{\cong}\) هي مُكافِئة. بما أن \(\delta_{b}\) طبيعية ثُنائِيَّة في \(b\in B\)، فإن أي اختيار \(\gamma_{b}\) لمُكافِئة مُساعِدة هو شبه طبيعي: اختر أيضاً الوحدة \(\varepsilon_b : \gamma_b\delta_b \xRa{\cong}1_X\) والتوحيد \(\eta_b : 1_A \xRa{\cong}\delta_b\gamma_b\). سنُظهر أن لدينا مُكافِئة عكسية \(\theta\) لـ \([j,1]_{\cong}\) معرفة بواسطة \[\xymatrix{ \theta(f)b \ar[d]_-{\theta(f)\beta} & = & \gamma_b(b/j\xra{\mathrm{cod}}A\xra{f}X \ar[d]^-{\gamma_{\beta, f\mathrm{cod}}}) \\ \theta(f)b' & = & \gamma_b(b'/j\xra{\beta/j} b/j\xra{\mathrm{cod}}A\xra{f}X) \ . }\] لـ \(g\in [B,X]_{\cong}\)، لدينا تَطابُقات \[\begin{aligned} (\theta [j,1]_{\cong} g)b & = & \gamma_b(b/j\xra{\mathrm{cod}}A\xra{j}B\xra{g}X) \\ & \cong & \gamma_b(b/j\xra{!}1\xra{b}B\xra{g}X) \\ & \cong & \gamma_b\delta_b (gb) \\ & \xRa{\varepsilon_b \ \cong} & gb \end{aligned}\] طبيعياً في \(g\) و \(b\)، بينما، لـ \(f\in [A,X]_{\cong}\)، لدينا تَطابُقات \[\begin{aligned} ([j,1]_{\cong} \theta) (f)a & = & \theta(f) ja \\ & \cong & \gamma_{ja}(ja/j\xra{\mathrm{cod}}A\xra{f}X) \\ & \xRa{\eta^{-1} \ \cong} & (f\mathrm{cod})(ja\xra{1_{ja}}ja, a) \\ & = & f a \end{aligned}\] طبيعياً في \(f\) و \(a\).
[pspbultimate] مُتَعَالِيَة هي نِهائِيَّة إذا وفقط إذا كان سحبها الزائِف على طول أي (مَجْمُوعَة) تَرْقِيم عمليات يُؤخذ بواسطة \(\pi_1\) إلى مُكافِئة.
السُحُب الزائِفَة \(P\xra{\bar{j}} X\) لـ \(A\xra{j} B\) على طول تَرْقِيم عمليات \(F\xra{q}B\) له \(x/\bar{j}\simeq qx/j\)؛ لذا \(\bar{j}\) نِهائِيَّة إذا كان \(j\) كذلك. لذا \(\pi_1\) يأخذ \(\bar{j}\) إلى مُكافِئة بموجب الاقتراح [pi1ufequiv]. للباقي، في السُحُب الزائِفَة \[\xymatrix{ b/j \ar[rr]^-{} \ar[d]_-{\mathrm{cod}} && b/B \ar[d]^-{\mathrm{cod}} \\ A \ar[rr]^-{j} && B \ ,}\] لاحظ أن \(b/B\) له عنصر أول و\(\mathrm{cod}\) هو تَرْقِيم عمليات مَجْمُوعَة.
كل مُحَوِّل عملات (موضعه) هو نِهائِي.
السُحُب على طول تَرْقِيم عمليات له مُساعِد يمين لذا المُحَوِّلات العملات يتم أخذها إلى مُحَوِّلات عملات. أيضاً، \(\pi_1\) يأخذ المُحَوِّلات العملات إلى تَطابُقات لأنه مُساعِد يسار وكل الخلايا ثُنائِيَّة الأبعاد في \(\mathrm{Gpd}\) قابلة للعكس بالفعل. الاقتراح [pspbultimate] ينطبق.
[3for2] افترض أن \(A\xra{j} B\) نِهائِيَّة. مُتَعَالِيَة \(B\xra{k} C\) هي نِهائِيَّة إذا وفقط إذا كانت المركبة \(A\xra{j}B\xra{k}C\) نِهائِيَّة.
انظر إلى اللصق \[\xymatrix{ Q \ar[r]^-{j'} \ar[d]_-{q''} & P \ar[r]^-{k'} \ar[d]^-{q'} & F \ar[d]^-{q} \\ A \ar[r]_-{j} & B \ar[r]_-{k} & C }\] لسحبين مع \(q\) تَرْقِيم عمليات مَجْمُوعَة. بما أن \(j\) نِهائِيَّة، \(j'\) يتم مُكافِئتها بواسطة \(\pi_1\). لذا \(k'j'\) يتم مُكافِئتها بواسطة \(\pi_1\) إذا وفقط إذا كان \(k'\) كذلك.
[fibreaspi1] إذا كان \(E\xra{p}B\) تَرْقِيم عمليات مَجْمُوعَة و\(X\xra{b}B\) مُتَعَالِيَة من مَجْمُوعَة \(X\) فإن المركب \(E_b\to b/p\to \pi_1(b/p)\) هو مُكافِئة.
\(E_b\to b/p\) هو مُساعِد يسار و\(E_b\) هو مَجْمُوعَة بالفعل.
[intersection] تَرْقِيمات عمليات المَجْمُوعات النِهائِيَّة \(E\xra{p} B\) هي مُكافِئات.
لنَفْتَرِض أن \(\upsilon B\xra{b} B\) هو الإدراج. بما أن \(p\) نِهائِيَّة، فإن السُحُب \(b/p\xra{g}b/B\) لـ \(p\) على طول \(b/B\xra{\mathrm{cod}}B\) يتم مُكافِئته بواسطة \(\pi_1\). بواسطة الليما [fibreaspi1]، \(\pi_1(g)\) مُكافِئ لـ \(\upsilon (p)\). بواسطة الليما [upsgfib]، بما أن \(p\) تَرْقِيم عمليات مَجْمُوعَة مع \(\upsilon (p)\) مُكافِئة، \(p\) هي مُكافِئة.
مفهوم نِظام التَحْلِيل في ثُنَائِي الفِئات ليس جديداً؛ على سبيل المثال، انظر (61, DV). قبل تقديم التَعْرِيف، نراجع النسخة الثُنائِيَّة الفِئات من السُحُب الخلفية.
[defbipb] يُعتَبَر المُرَبَّع \[\label{bipbsq} \begin{aligned} \xymatrix{ W \ar[d]_{p}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{q} && B \ar[d]^{g}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\sigma}_{\cong} \\ A \ar[rr]_-{f} && C } \end{aligned}\] في ثُنَائِي الفِئات \(\CK\) سحباً خلفياً للمَجْمُوعَة المُتجهة \(A\xra{f}C\xla{g}B\) عندما، لجميع الكائنات \(K\in \CK\)، الدالَّة \[\CK(K,W) \xra{(p,\sigma,q)}\CK(K,f)/_{\mathrm{ps}}\CK(K,g) \ ,\] المُستمدة من الخاصية الشاملة للسحب الخلفي الزائِف، تكون مُكافِئة.
[bipbgpdfib] في المُرَبَّع، إذا كانت \(g\) و\(p\) تَصْنِيفات مَجْمُوعات، فإن المُرَبَّع يكون سحباً خلفياً إذا وفقط إذا \[\upsilon(\CK(K,W)) \xra{\upsilon(p,\sigma,q)}\upsilon(\CK(K,f)/_{\mathrm{ps}}\CK(K,g))\] هي مُكافِئة للمَجْمُوعات. هذا لأن الاقتراح [3feo] (ب) و (ج) يُفترض أن \((p,\sigma,q)\) هي تَصْنِيف مَجْمُوعات بحيث ينطبق القانون [upsgfib].
يتألف نِظام التَحْلِيل على ثُنَائِي الفِئات \(\CK\) من زوج \((\CE,\CM)\) من مجموعات \(\CE\) و\(\CM\) للتَحْوِيلات في \(\CK\) تلبي:
إذا كان \(f\cong mw\) مع \(m\in \CM\) و\(w\) مُكافِئة فإن \(f\in \CM\)، بينما إذا كان \(f\cong we\) مع \(e\in \CE\) و\(w\) مُكافِئة فإن \(f\in \CE\)؛
لكل \(X\xra{e}Y\in \CE\) و\(A\xra{m}B\in \CM\)، فإن الرسم البياني \[\label{psorthog} \begin{aligned} \xymatrix{ \CK(Y,A) \ar[d]_-{\CK(Y,m)}^(0.5){\phantom{aaa}}="1" \ar[rr]^-{\CK(e,A)} && \CK(X,A) \ar[d]^-{\CK(X,m)}_(0.5){\phantom{aaa}}="2" \ar@{}"1";"2"^-{\cong} \\ \CK(Y,B) \ar[rr]^-{\CK(e,B)} && \CK(X,B)} \end{aligned}\] (الذي يحتوي على مكونات القيود الترابطية لـ\(\CK\)) يكون سحباً خلفياً؛
كل تَحْوِيلة \(f\) تتحلل \(f\cong m\circ e\) مع \(e\in \CE\) و\(m\in \CM\).
يترتب على ذلك أن \(\CE\) و\(\CM\) مُغْلَقَتان تحت التَرْكِيب ويتقاطعان بالضبط في المُكافِئات. علاوة على ذلك، في المُرَبَّع، التَحْوِيلة \(m\) تكون في \(\CM\) إذا كان المُرَبَّع سحباً خلفياً لجميع \(e\in \CE\)، وبالمثل بالعكس. كما لاحظ أنه، إذا كانت جميع التَحْوِيلات في \(\CM\) هي تَصْنِيفات مَجْمُوعات فإن القانون [bipbgpdfib] ينطبق لتبسيط التحقق من السحب الخلفي.
[main] المُتَعَالِيَات النِهائِيَّة وألياف المَجْمُوعات تُشَكِّل نِظام تَحْلِيل ثُنَائِي الفِئات على \(\mathrm{Cat}\). لذا كل دالَّة \(f : A \to B\) تتحلل بشكل شبه دالي كـ \(f \cong (A\xra{j} E \xra{p} B)\) حيث \(j\) نِهائِيَّة و\(p\) ألياف مَجْمُوعَة.
FS0 واضح. لبناء FS2 نقوم بتشكيل الرسم البياني \[\xymatrix{ A \ar[r]^-{i} \ar[d]_-{f} & B/f \ar[r]^-{n} \ar[d]^-{\mathrm{dom}} & E \ar[d]^-{p} \\ B \ar[r]^-{1} & B \ar[r]^-{1} & B }\] حيث \((E\xra{p} B) = \pi_{1B}(B/f \xra{\mathrm{dom}}B)\)، المُرَبَّعات تتوافق حتى التَطابُق، \(i\) لها متمم أيسر \(\mathrm{cod}\)، و\(n\) هي مُحَوِّلة عملات.
يتبقى إثبات FS1. بناءً على ملاحظة [bipbgpdfib]، يجب علينا إثبات أنه، لأي ألياف مَجْمُوعَة \(E\xra{p} C\) وأي دالَّة نِهائِيَّة \(A\xra{j} B\)، الدالَّة \[([j,E], [B,p]) : [B,E] \lra [A,p]/_{\mathrm{ps}}[j,C]\] يتم أخذها إلى تَكافُؤ المَجْمُوعات بواسطة \(\upsilon\). بناءً على ملاحظة [overB]، قيمة الضلع الأيسر المتمم لـ \(\mathrm{GFib}B\hookrightarrow \mathrm{Cat}/B\) عند الدالَّة النِهائِيَّة \(A\xra{j} B\) تعادل \(B\xra{1_B} B\). لذا كل تَحْوِيل \(j\xra{(f,\phi)}q\) فوق \(B\) مع \(q\) ألياف مَجْمُوعَة يتحلل حتى التَطابُق كما يلي \[\label{reflectultimate} \begin{aligned} \xymatrix{ j \ar[rd]_{(f,\phi)}^(0.5){\phantom{a}}="1" \ar[rr]^{(j,1_j)} && 1_B \ar[ld]^{(w,\psi)}_(0.5){\phantom{a}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\sigma}_{\cong} \\ & q } \end{aligned}\] بشكل فريد حتى تَطابُق فريد. في هذا، لدينا \(f\xRa{\sigma}wj\) و\(1_B\xRa{\psi}qw\) بحيث \(\psi j = (j\xRa{\phi}qf\xRa{q\sigma}qwj)\). خذ أي كائن \((u,\gamma ,v)\) من \([A,p]/_{\mathrm{ps}}[j,C]\)؛ يتكون من دوال \(A\xra{u}E, B\xra{v}C\) وتَحْوِيل طبيعي قابل للعكس \(pu\xRa{\gamma} vj\). بموجب الخاصية العالمية للسحب الزائِف \(p/_{\mathrm{ps}}v\)، التَطابُق \(\gamma\) يساوي التَرْكِيب الماضي \[\xymatrix{ A \ar@/_/[ddr]_u \ar@/^/[drrr]^j \ar@{.>}[dr]|-{u'} \\ & p/_{\mathrm{ps}}v \ar[d]_{s'}^(0.5){\phantom{aaaaa}}="1" \ar[rr]^{t'} && B \ar[d]^{v}_(0.5){\phantom{aaaaa}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\lambda'}_{\cong} \\ & E \ar[rr]_p && C \ . }\] بموجب الاقتراح [3feo]، \(p/_{\mathrm{ps}}v\xra{t'}B\) هي ألياف مَجْمُوعَة. يمكننا تطبيق مع \(f = u'\)، \(q = t'\) و\(\phi\) هوية \(j = t'u'\) للحصول على \(u'\xRa{\sigma}wj\) و\(1_B\xRa{\psi}t'w\) بحيث \(\psi j = (j=t'u'\xRa{t'\sigma}t'wj)\) بشكل فريد حتى تَطابُق فريد من \((w,\psi,\sigma)\). هذا يعطينا \(w'=s'w\in [B,E]\) وتَطابُق \((u,\gamma, v) \cong (w'j,1_{pw'j},pw') = ([j,E], [B,p])w'\) محدد بالتَطابُقات \[u=s'u'\xRa{s'\sigma}s'wj = w'j \ \text{ و } \ v\xRa{v\psi}vt'w = vt'w\xRa{(\lambda'w)^{-1}} ps'w=pw' \ .\] هذا يثبت أن الدالَّة \(\upsilon([j,E], [B,p])\) متعددة الكائنات حتى التَطابُق. الآن نفترض أن لدينا أيضاً \(h\in [B,E]\) وتَطابُق \[(\xi,\zeta) : ([j,E], [B,p])h\cong (w'j,1_{pw'j},pw')\] وهذا يعني أن لدينا قابل للعكس \(hj\xRa{\xi}s'wj\) و\(ph\xRa{\zeta}ps'w\) بحيث \(p\xi = \zeta j\). بموجب الخاصية العالمية للسحب الزائِف، يوجد \(k : B\to p/_{\mathrm{ps}v}\) فريد بحيث \(s'k = h\), \(t'k = 1_B\) و\(\lambda'k = (ph\xRa{\zeta} ps'w\xRa{\lambda'w}vt'w\xRa{v\psi^{-1}}v)\)، ويوجد أيضاً تَطابُق قابل للعكس \(\tau : kj\Ra wj\) بحيث \(\xi = (hj=s'kj\xRa{s'\tau}s'wj)\) و\(\psi j = (t'kj\xRa{t'\tau}t'wj)\). لذا لدينا \[\begin{aligned} \xymatrix{ j \ar[rd]_{(u',1_j)}^(0.5){\phantom{a}}="1" \ar[rr]^{(j,1_j)} && 1_B \ar[ld]^{(k,1_{1_B})}_(0.5){\phantom{a}}="2" \ar@{=>}"1";"2"^-{\tau^{-1}\sigma}_{\cong} \\ & t' } \end{aligned}\] وهذا يسمح لنا باستخدام فرادة \((w,\psi,\sigma)\) للحصول على تَطابُق فريد \(\kappa : k \Ra w\) بحيث \(\kappa j = \tau\) و\(t'\kappa = \psi\). ثم \(\kappa' = s'\kappa : h\Ra w'\) بحيث \(\kappa' j = s'\kappa j = s' \tau = \xi\) و\(p\kappa' = p s'\kappa = (\lambda'w)^{-1} (v\psi) (\lambda'k) = \zeta\). وبالتالي \(\upsilon([j,E], [B,p])\) كاملة ويتبقى إثبات أنها أمينة. لذا نفترض أن لدينا تَطابُق قابل للعكس \(\delta' : h\Ra w'\) بحيث \(\delta' j = \xi\) و\(p\delta' = \zeta = (\lambda'w)^{-1} (v\psi) (\lambda'k)\). الخاصية العالمية للسحب الزائِف تعني وجود \(\delta : k\Ra w\) بحيث \(s'\delta = \delta'\) و\(t'\delta = \psi\)، وتعني أننا نستطيع استنتاج أن \(\delta j = \tau\) من المعادلات \(s'\delta j = \xi\) و\(t'\delta j = \psi j = t'\tau\). بفرادة \(\kappa\)، لدينا \(\delta = \kappa\) وبالتالي \(\delta' = \kappa'\)، كما هو مطلوب.
من الممكن أن تستمر عملية التَحْلِيل لفِئات \((\infty,1)\) (المعروفة أيضاً بالفِئات شبه الفِئات أو مُجَمَّعات كان الضعيفة)؛ انظر (JoyV1, JoyV2). بالنسبة لحالة الثلاثي الفِئة \((2,1)\text{-}\mathrm{Cat}\) التي تتكون من ثُنائيات الفِئات مع جميع الخلايا الثُنائِيَّة قابلة للعكس، فإن المُكَوِّن الأساسي سيكون الثلاثي التعديل \[\xymatrix @R-3mm { (2,1)\text{-}\mathrm{Cat} \ar@<1.5ex>[rr]^{\pi_1} \ar@{}[rr]|-{\perp} &&(2,0)\text{-}\mathrm{Cat} \ar@<1.5ex>[ll]^{\mathrm{incl}} }\] حيث \((2,0)\text{-}\mathrm{Cat}\) هي الفِئة الفرعية الثلاثية لـ \((2,1)\text{-}\mathrm{Cat}\) مع جميع التَحْوِيلات مُكافِئة. هناك أيضاً نواة واضحة توفر تعديل ثلاثي صحيح أيضاً. هذا يتطلب الارتقاء إلى أَنْظِمَة التَحْلِيل على الفِئات الثلاثية. وبعد كل شيء، حتى الآن تطبيقي يحتاج فقط إلى حالة \(\mathrm{Cat}\).
من المفترض أن يكون هناك أيضاً نسخة من (التَحْلِيل النِهائِي، تَرابُط المَجْمُوعَة) للفِئات الداخلية لفِئة \(\CE\) كما تم في (104) للتَحْلِيل الشامل المعتاد.
اتجاه آخر يتعلق بالهرمية الأكثر مرونة لمُخَطَّطات الفَهْم المقترحة من قبل جون غراي؛ انظر (JWG99, JWG391). ما أنواع التَحْلِيل التي يوفرونها؟
في هذا القسم، نستخدم تَحْلِيلنا لفهم تأثيرات الورقة (134) على المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّة في \(\mathrm{Cat}\) كثُنائِي الفِئة.
تُسمى الدالَّة \(p : E \to B\) في ثُنائِي الفِئة تَصْنِيف مَجْمُوعَة عندما، لجميع الكائنات \(A\in \CM\)، تكون الدالَّة \(\CM(A,p) : \CM(A,E)\to \CM(A,B)\) تَصْنِيف مَجْمُوعَة حسب التَعْرِيف [gpdfib].
تُسمى الدالَّة \(n :Y\to Z\) رافِعَة يمنى عندما، لكل \(u : K\to Z\)، يوجد رفع يميني لـ \(u\) من خلال \(n\) (بمعنى (12)).
نتذكر من (134) أن ثُنائِي الفِئة \(\CM\) مع السُحُوبات الثُنائِيَّة دائماً ما تكون معيارية بواسطة تَصْنِيفات المَجْمُوعات كالدوال الأنيقة؛ أي أن مثل هذه ثُنائِي الفِئة هي مُتَعَدِّدَة الحُدُود. هذا يسمح ببناء ثُنائِي فِئة من “المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّة” في \(\CM\). بالفعل، التَعْرِيف 8.2 من (134) يعني لهذا الوضع أن مُتَعَدِّدَة حُدُودِيَّة \((m,S,p)\) من \(X\) إلى \(Y\) في \(\CM\) هي مدى \[X\xla{m}S\xra{p}Y\] في \(\CM\) مع \(m\) رافِعَة يمنى و\(p\) تَصْنِيف مَجْمُوعَة. للحصول على وصف أكثر تحديداً نحتاج إلى تحديد الروافِع اليمنى في \(\CM\) المُعطى.
الدالَّة هي رافِعَة يمنى في \(\mathrm{Cat}\) إذا وفقط إذا كانت دالَّة مُساعِدة يمنى.
الدوال المُساعِدة اليمنى في أي ثُنائِي فِئة هي روافِع يمنى لأن الرفع يتم بالتركيب مع الدالَّة المُساعِدة اليسرى. على العكس، لنفترض أن الدالَّة \(Y\xra{n}Z\) هي رافِعَة يمنى. رفع يميني \(1\xra{n_*(z)}Y\) لكل كائن \(1\xra{z}Z\) من \(Z\) يعطي المكونات \(nn_*(z) \xra{\epsilon_z}z\) للوحدة المقابلة للتعاون \(n_*\dashv n\)؛ كما في أي كتاب يقدم الدوال المُساعِدة، نعلم أن الخاصية العالمية للرافِعَة اليمنى تسمح لنا بتعريف \(n_*\) على التَحْوِيلات وهكذا.
للتَميِيز بين المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّة في ثُنائِي الفِئة المُتَعَدِّدَة الحُدُود \(\mathrm{Cat}\) و المُتَعَدِّدات الحُدُودِيَّة في \(\mathrm{Cat}\)، بمعنى ويبر (Weber2015)، كفِئة مع السُحُوبات، أستخدم مُصْطَلَح مُتَعَدِّدَة حُدُودِيَّة مُجَرَّدة للأولى؛ أي أنها مدى \[A\xla{j_*} E \xra{p} B\] من الدوال، حيث \(p\) هي تَصْنِيف مَجْمُوعَة و\(j_*\dashv j\).
الدالَّة \(f : A \to B\) هي دالَّة مُتَعَدِّدَة حُدُودِيَّة مُجَرَّدة عندما، في تَحْلِيلها \[f \cong (A\xra{j} E \xra{p} B)\] حسب النَظَرِيَّة [main], تكون الدالَّة النِهائِيَّة \(j\) دالَّة مُساعِدة يمنى.
النتيجة التالية تتبع من العمل في (134)؛ للراحة، سنتضمن دليلاً مباشراً.
الدوال المُتَعَدِّدَة الحُدُودِيَّة المُجَرَّدة تتكوَّن.
خذ \(A\xra{j} E \xra{p}B\xra{k} F \xra{q}C\) مع \(j_*\dashv j\), \(k_*\dashv k\) ومع \(p,q\) تَصْنِيفات مَجْمُوعَة. شكل السحب الزائِف \[\label{bipb} \begin{aligned} \xymatrix{ P \ar[d]_{k'_*}^(0.5){\phantom{aaaa}}="1" \ar[rr]^{p'} && F \ar[d]^{k_*}_(0.5){\phantom{aaaa}}="2" \ar@{<=}"1";"2"^-{\theta}_-{\cong} \\ E \ar[rr]_-{p} && B } \end{aligned}\] للحصول على “قانون التوزيع” المطلوب. من السهل التحقق من وجود \(k'_*\dashv k'\)، \(p'\) هي تَصْنِيف مَجْمُوعَة وشرط شيفالي-بيك (كما ذكر في الصفحة 150 من (9)) \[p'\circ k'\cong k\circ p\] يتحقق. لذا \(q\circ k\circ p\circ j\cong q\circ p'\circ k'\circ j\) حيث \(q\circ p'\) هي تَصْنِيف مَجْمُوعَة و\(k'\circ j\) هي دالَّة مُساعِدة يمنى.
أكتب \(\mathrm{Cat}_{\mathrm{apf}}\) للفِئة الفرعية من \(\mathrm{Cat}\) المحصورة بتقييد التَحْوِيلات إلى الدوال المُتَعَدِّدَة الحُدُودِيَّة المُجَرَّدة.
النتيجة التالية هي في الأساس الاقتراح 8.6 من (134).
إذا كانت ثُنائِي الفِئة \(\CM\) معيارية، فإنه لكل \(K\in \CM\)، هناك دالَّة شبه وظيفية \(\mathbb{H}_K : \mathrm{Poly}\CM \lra \mathrm{Cat}_{\mathrm{apf}}\) تأخذ المُتَعَدِّدَة الحُدُودِيَّة \(X\xla{m} S\xra{p} Y\) إلى الدالَّة المُتَعَدِّدَة الحُدُودِيَّة المُجَرَّدة التي هي المركب \[\CM(K,X)\xra{\mathrm{rif}(m,-)} \CM(K,S) \xra{\CM(K,p)} \CM(K,Y)\] في \(\mathrm{Cat}\).
الدالَّة الشبه وظيفية \(\mathbb{H}_{\mathbf{1}} : \mathrm{Poly}\mathrm{Cat} \lra \mathrm{Cat}_{\mathrm{apf}}\)، التي تأخذ كل مُتَعَدِّدَة حُدُودِيَّة مُجَرَّدة \(A\xla{j_*} E \xra{p} B\) إلى دالَّتها المُتَعَدِّدَة الحُدُودِيَّة المُجَرَّدة المرتبطة \(A\xra{j} E \xra{p} B\) مع \(j_*\dashv j\)، هي تَكافُؤ ثُنائِي.
بعد محاضرتيَّ حول هذا الموضوع في ورشة العمل حول الدوال المُتَعَدِّدَة الحُدُودِيَّة https://topos.site/p-func-2021-workshop/, أشار بول تايلور بلطف إلى مُسْبَق طباعة لعام 1988 (Tay1988) الذي ميَّز فيه الدوال المُساعِدة اليمنى المعلمية (أو المحلية) بدافع من نَظَرِيَّة البُرْهان وبالتالي دعاها دوال مُسْتَقِرَّة. تحليله للأثر لمثل هذه الدالَّة هو دالَّة مُساعِدة يمنى تليها تَصْنِيف مَجْمُوعَة. أنا ممتن لكليمنس بيرجر لملاحظته أن تَصْنِيفات المَجْمُوعات الناتجة هي فِئة مُقَيَّدة: أليافها الزائِفَة هي جداءات لفِئات مشتتة (فوضوية). ومع ذلك، فإنه يُظهر أن كل دالَّة مُساعِدة يمنى معلمية توفر مثالاً على دالَّة مُتَعَدِّدَة حُدُودِيَّة مُجَرَّدة.
——————————————————–