latex

مُلَخَّص

بينما تحمل عدسة الجاذبية العكسية وعداً كبيراً لكشف بنية توزيع الكتلة التي تحرف الضوء، سواء كانت مضيئة أو مظلمة، فإن وجود أنواع مختلفة من التكافؤ يعني أنه يجب توخي الحذر عند تفسير نماذج العدسة الناتجة. يوضح هذا المقال كيف أن التفكير من حيث الإمكانية المتوقعة يساعد على اكتساب فهم أعمق لهذه الأمور. بالإضافة إلى ذلك، يوضح بشكل صريح كيف يمكن، عند البدء من نسخة مفصلة للإمكانية المتوقعة لنموذج عدسة معين، استخدام تقنية البرمجة التربيعية لإنشاء العديد من نماذج العدسة المكافئة التي تحافظ على جميع الخصائص أو مجموعة فرعية منها. يتم تطبيق هذه الطريقة على عدد من السيناريوهات، مما يظهر عدم القدرة على التحكم في الكتلة خارج منطقة العدسة القوية، وإعادة زيارة إعادة توزيع الكتلة بين الصور وتطبيق ذلك على نموذج حديث لتجمع SDSS J1004+4112، بالإضافة إلى توضيح التكافؤ العام لورقة الكتلة وتحويل موضع المصدر. في حالة J1004 نُظهر أن إعادة توزيع هذه الكتلة لم تنجح في القضاء التام على تجمع الكتلة المظلمة الذي اكتشفه grale بالقرب من إحدى صور الكوازار.

مُقَدِّمَة

بصرف النظر عن التسبب في مشاهدات جميلة، فإن انحراف الضوء الناتج عن تأثير عدسة الجاذبية يحمل وعداً بتوفير رؤى حول توزيع المادة المسؤولة عن هذا الانحراف، فضلاً عن استكشاف معلمات النموذج الكوني. لجعل ذلك ممكناً، يحتاج المرء عادة إلى محاولة عكس تأثير العدسة، مثلاً محاولة إعادة بناء نموذج لعدسة الجاذبية متوافق مع المشاهدات.

على مر السنين، تم تطوير عدة تقنيات للقيام بذلك، تختلف في أنواع المشاهدات التي تُستخدم كمدخلات وكذلك في كيفية تمثيل توزيع المادة الذي تحاول إعادة بنائه. يتراوح هذا من التحليلات الإحصائية للتشوهات الصغيرة لمجرات الخلفية، أي بيانات العدسة الضعيفة، إلى استخدام صور متعددة، وربما مشوهة بشدة، والتي تعرف أيضاً باسم سيناريو العدسة القوية. يمكن تمثيل سبب الانحراف، أي توزيع مادة العدسة نفسها، بعدد نسبي صغير من ملفات الكثافة، عادة ما تكون متوافقة مع المادة المرئية (مثل أداة العدسة (LensTool)، (2007NJPh....9..447J)), أو بمجموعة كبيرة من الوظائف الأساسية، المقصود بها أن تكون قادرة على تمثيل مجموعة واسعة من التوزيعات (مثل بيكسلينس (PixeLens)، (2004AJ....127.2604S)، (2008ApJ...679...17C)), أو حتى بكلا الخيارين، في نهج أكثر هجينة (مثل دبليو إس إل إيه بي بلس (wslap+)، (2014MNRAS.437.2642S)). ومع ذلك، لا يزال البعض الآخر لا يمثل توزيع الكتلة مباشرة، ولكن بدلاً من ذلك يمثل الجهد الجاذبي للعدسة (مثل إعادة العدسة (relensing)، (2023MNRAS.518.4494T)).

بغض النظر عن الإجراء والبيانات المدخلة المستخدمة، من المهم أن ندرك أن حل مشكلة العكس ليس محدداً بشكل فريد، وأن هناك أنواعاً مختلفة من الحلول المتزامنة التي يمكن أن تفسر المشاهدات بنفس القدر من الجودة. بعض هذه الحلول دقيقة بطبيعتها، بينما تختلف الأخرى من حيث المبدأ ولكنها تسبب فقط تغييرات لا تزال ضمن عدم اليقين المعروف في المشاهدات. اعتماداً على كيفية تمثيل توزيع الكتلة، يمكن أن تظهر هذه التزامنات بطرق مختلفة. قد يبدو حتى أنه لا توجد مثل هذه التزامنات موجودة، إذا لم توفر تقنية العكس المستخدمة الحرية اللازمة لوصف الحلول المكافئة. ومع ذلك، فإن وجود حلول متعددة متوافقة بنفس القدر أمر أساسي، لذا يجب توخي الحذر عند تفسير نتائج العكس.

في هذه المقالة، نوضح كيف يمكن أن يساعد التفكير في عكس العدسة ليس على مستوى توزيع الكتلة نفسه، ولكن الجهد الذي يسببه، في الحصول على رؤى إضافية حول الخصائص التي يمكن تقييدها بشكل جيد. بفرض أن حلاً لمشكلة عكس العدسة معروف، يتم تقديم أداة تستخدم البرمجة التربيعية للبحث عن نماذج العدسات المتوافقة بنفس القدر مع البيانات الملحوظة.

بعد إعادة تكرار الصياغة الرسمية لعدسة الجاذبية بإيجاز في القسم [sec:formalism]، سيتم تقديم نموذج لعبة في القسم [sec:toymodel] لدراسة تأثير يواجه غالباً عند أداء عكس العدسات باستخدام طريقتنا الخاصة grale، وهو قمم كثافة الكتلة خارج المنطقة التي تغطيها أنظمة الصور المتعددة. يتم شرح فكرة الطريقة وتطبيقها العملي باستخدام البرمجة التربيعية في الأقسام [sec:extrap] و [sec:qp]. سيتم تطبيقها على نموذج اللعبة لقمم الكثافة الخارجية، فضلاً عن إعادة زيارة التزامنات المعروفة باستخدام هذه الطريقة في القسم [sec:apps]، وينتهي المقال بمناقشة نهائية في القسم [sec:discussion].

صِياغَة عدسة الجاذبية

فيما يلي، يتم استعراض الصياغة الخاصة بوصف عدسة الجاذبية بإيجاز – للحصول على تفاصيل كاملة، يُحال القارئ المهتم إلى (SchneiderBook). في التقريب المعتاد، يتم نمذجة كثافة الكتلة لعدسة الجاذبية نفسها على أنها ثنائية الأبعاد، وتقع في ما يسمى بمستوى العدسة. تتسبب هذه الكثافة الكتلية \(\Sigma(\Vec{\theta})\)، حيث يصف \(\Vec{\theta}\) اتجاه الرؤية، في انحراف أشعة الضوء من المصدر إلى المراقب. معادلة العدسة، \[\Vec{\beta} = \Vec{\theta} - \frac{D_{\rm ds}}{D_{\rm s}} \Vec{\hat{\alpha}}(\Vec{\theta}) \mcm \label{eq:lenseqn}\] تصف هذا التعيين: عند النظر في اتجاه \(\Vec{\theta}\)، يتلقى المرء الضوء الذي كان سيتلقاه من الاتجاه \(\Vec{\beta}\) لو أنه كان من الممكن تعطيل انحراف الضوء بطريقة ما. يصف زاوية الانحراف \(\Vec{\hat{\alpha}}(\Vec{\theta})\) الطريقة التي يتغير بها اتجاه شعاع الضوء بسبب تأثير العدسة، ويتم تحديدها بواسطة الكثافة الكتلية المتوقعة \(\Sigma(\Vec{\theta})\) بالكامل. يتم إعادة تحجيم زاوية الانحراف هذه بواسطة \(D_{\rm ds}\) و \(D_{\rm s}\)، المسافات الزاوية القطرية من عدسة الجاذبية إلى المصدر ومن المراقب إلى المصدر على التوالي. بالمثل، سيتم الإشارة إلى المسافة الزاوية القطرية من المراقب إلى العدسة بواسطة \(D_{\rm d}\). لتسهيل الصياغة، غالباً ما يستخدم المرء زاوية الانحراف المعاد تحجيمها \(\Vec{\alpha} = D_{\rm ds}/D_{\rm s}\; \Vec{\hat{\alpha}}\). يمكن تفسير المعادلة على أنها تصف كيفية تحويل شكل مصدر ثنائي الأبعاد، الذي يقع في ما يسمى بمستوى المصدر ويوصف بفضاء \(\Vec{\beta}\)، إلى صور متعددة محتملة تقع في مستوى الصورة، ويوصف بمتجهات \(\Vec{\theta}\).

يمكن إظهار أنه في هذا التقريب العدسي الرقيق، تنشأ زاوية الانحراف من نسخة ثنائية الأبعاد من الجهد الجاذبي، والتي يشار إليها عادة باسم جهد العدسة أو الجهد المتوقع \(\psi(\Vec{\theta})\): \[\Vec{\alpha}(\Vec{\theta}) = \Vec{\nabla} \psi(\Vec{\theta}) \mpt \label{eq:gradpsi}\]

يتعلق هذا الجهد العدسي أيضاً بنسخة مقياسة \(\kappa(\Vec{\theta})\) من توزيع الكتلة \[\kappa(\Vec{\theta}) = \frac{1}{2}\nabla^2 \psi(\Vec{\theta}) \mcm \label{eq:nablapsi}\] حيث يُطلق على \(\kappa(\Vec{\theta}) = \Sigma(\Vec{\theta})/\Sigma_{\rm crit}\) أيضاً اسم التقارب، و\(\Sigma_{\rm crit} = c^2 D_{\rm s}/4\pi G D_{\rm d} D_{\rm ds}\) يعرف باسم الكثافة الحرجة.

إذا كانت مواقع صورتين \(\Vec{\theta}_i\) و \(\Vec{\theta}_j\) تتوافق مع نفس موقع المصدر \(\Vec{\beta}\)، فسيكون هناك تأخير زمني \(\Delta t_{ij} = t(\Vec{\theta_i},\Vec{\beta}) - t(\Vec{\theta_j},\Vec{\beta})\) بين هذه الصور، والذي قد يكون قابلاً للقياس لمصدر ذو تقلبات ذاتية. هنا، \[t(\Vec{\theta},\Vec{\beta}) = \frac{1+z_d}{c} \frac{D_{\rm d} D_{\rm s}}{D_{\rm ds}} \left(\frac{1}{2}(\Vec{\theta}-\Vec{\beta})^2 - \psi(\Vec{\theta}) \right) \label{eq:timedelay}\] حيث يمثل \(z_d\) الانزياح الأحمر لمستوى العدسة.

الحالة التي تنشأ فيها صور متعددة من مصدر واحد تسمى نظام العدسة القوية، ولكن حتى عندما يكون هناك صورة واحدة فقط، فقد تكون هذه الصورة مشوهة إلى حد ما. بعيداً عن كتلة العدسة الرئيسية، يواجه المرء بعد ذلك نظام العدسة الضعيفة. توصف التشوهات بواسطة مكونات القص \[\gamma_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta_x^2} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta_y^2}\right) \textrm{، وَ } \gamma_2 = \frac{\partial^2\psi}{\partial \theta_x \partial \theta_y} \mpt \label{eq:gamma}\] للأسف، لا تستطيع التحليلات الإحصائية لمجرات الخلفية المشوهة الكشف عن هذه القيم مباشرة، فقط مزيج منها مع التقارب يمكن تقديره في نقطة. يطلق على هذا بعد ذلك اسم القص المخفض \(g_i = \gamma_i/(1-\kappa)\).

لبقية المقال، سيركز النقاش على نظام العدسة القوية؛ تنطبق نفس الأفكار والإجراءات على نظام العدسة الضعيفة كذلك.

قِمَم الكثافة الخارجية

في عمليات الاستقصاء القوية للعدسات التي نقوم بها باستخدام برنامج (Grale) (Liesenborgs, 2020MNRAS.494.3253L)، يجب تحديد المنطقة التي يجب استرداد الكتلة فيها. عادة، لا ينبغي أن تتجاوز هذه المنطقة الحدود التي تحددها أنظمة الصور المتعددة بشكل كبير، ولكن القدر الذي يتم به ذلك في الواقع قد يختلف قليلاً: اعتماداً على تعقيد سيناريو العدسة، قد يحتاج المرء إلى جعل هذه المنطقة أكبر قليلاً من التقدير الأولي ليتمكن من الحصول على إعادة بناء يمكن أن تفسر الصور المرصودة بشكل كافٍ.

في مثل هذه الحالات، يمكن لتقنية التحسين الأساسية أن تضع كتلة إضافية بالقرب من حدود منطقة الاستقصاء، حيث لا تحيط أنظمة الصور المتعددة بهذه الهياكل. للحل النهائي، يتم توسيط عدة عشرات من نتائج التحسين، والتي تميل إلى التنعيم، ولكن لا تزيل هذه الهياكل. يظهر الشكل [fig:externalmassexamples] مثالاً على هذا التأثير. يُفهم عموماً أنه نظراً لأن ميزات كثافة الكتلة هذه لا تحيط بها صور مكبرة بشكل قوي، فإن موقعها وشكلها الدقيقين لا ينبغي أن يحظيا بوزن كبير. بدلاً من ذلك، يمكن تفسيرها على أنها خصائص توزيع الكتلة التي يقدمها خوارزمية الاستقصاء لتقليد القص الخارجي، ولكن لا يمكن تقييد أصل هذا القص بدقة.

لتوضيح الطبيعة غير المقيدة للمناطق الخارجية لسيناريو العدسة القوية، سيتم استخدام النموذج الأول من الشكل [fig:simpeak]. يستلهم شكل توزيع الكتلة من عنقود (Ares) المحاكى (2017MNRAS.472.3177M)، ولكن مع وجود قمة كتلة إضافية في الزاوية العلوية اليمنى. العدسة نفسها تقع عند انزياح أحمر قدره \(z_d=0.5\) في نموذج كوني مسطح \(\Lambda\)CDM مع \(H_0 = 70\) km s\(^{-1}\) Mpc\(^{-1}\) و \(\Omega_m = 0.3\)، وتسبب الأربعة مصادر الدائرية المعروضة في اللوحة اليمنى للشكل في تحويلها إلى الصور التي يمكن رؤيتها في اللوحة الوسطى.