مُلَخَّصُ

نَحْنُ نُطَوِّر طَرِيقَةِ تَكْرارِيّه لِحِسابِ جُذُورُ المُتَعَدِّدات الحُدُودِ التَعَسُّفِيَّةُ فَوْقَ حَقْلِ سَلاسِل Puiseux بِما فِي ذٰلِكَ تِلْكَ غَيْرِ القابِلَةِ لِلفَصْلِ. تَعْمَل الطَرِيقَةِ عَن طَرِيقِ تَحْوِيلِ المُتَعَدِّدِ الحُدُودِ وَجُذُوره إِلَى شَكْلٍ خاصٍّ ثُمَّ اِسْتِخْراج مُتَعَدِّدِ حُدُودِ أُحادِيٍّ الحَدِّ جَدِيدٍ يَحْتَوِي عَلَى مَعْلُوماتٍ حَوْلَ جُذُورنا. نَحْنُ نُوَفِّر أَيْضاً تَنْفِيذِ عَمَلِيٍّ للخوارزميه بِلُغَةِ Python.

التَدْوِين

لِيَكُن \(\mathbb{N}\) هُوَ مَجْمُوعَةِ الأَعْدادُ الطَبِيعِيَّةِ بِما فِي ذٰلِكَ 0. لِيَكُن \(K\) حَقْلِ وَ\(K((x^\frac{1}{n}))\) هُوَ حَقْلِ سَلاسِل بويزو العامِلَةِ فَوْقَ \(K\). لِتَكُن عَناصِرِ \(K((x^\frac{1}{n}))\) عَلَى الشَكْلِ \(y = \sum_{k=k_0} ^\infty b_{k}x ^{\frac{k}{n}}, n \in \mathbb{Z}\). عِنْدَما يَكُون لِ \(y\) عَدَدٍ مَحْدُودٍ مِن الحُدُودِ، نُسَمَّى \(d_x\) بِدَرَجَةِ \(y\). لِيَكُن \(Q : K((x)) \mapsto K((x))\) كَثِيرَةٍ حُدُودِ فَوْقَ حَقْلِ سَلاسِل بويزو، \(Q(y) = a_{d_y} y^{d_y} + ... + a_1 y + a_0, d_y \in \mathbb{N^+}\)، حَيْثُ \(d_y\) هِيَ دَرَجَةِ \(Q\). لِيَكُن \(\alpha = \sum_{k=0} ^\infty b_{k}x ^{\frac{k}{n}}, n \in \mathbb{Z}\) جَذْرا لِ \(Q\).

تَمْتَلِك كَثِيرَةٍ الحُدُودِ ضربيه-س، عِنْدَما تُوجَد \(s\) جُذُورُ \(\alpha_1,...,\alpha_s\) لِ \(Q\) بِحَيْثُ تَكُون مُعامَلاتِ \(b_0\) كُلُّها صِفْر.

تَمْتَلِك كَثِيرَةٍ الحُدُودِ \(Q\) ضربيه-س-زائِدَ، عِنْدَما تُوجَد جُذُورُ \(s^+\) \(\alpha_1,...,\alpha_{s^+}\) لِ \(Q\)، \(s^+ \in \{1,...,s\}, s\) هِيَ الضربيه-س لِ \(Q\) بِحَيْثُ تَكُون مُعامَلاتِ \(b_0\) كُلُّها صِفْر وَالحَدُّ \(b_1\) لَهُ نَفْسِ التَقْيِيم لِجَمِيعِ \(\alpha_j, j \in \{1,...,s^+\}\).

تَمْتَلِك كَثِيرَةٍ الحُدُودِ \(Q(y) = (y-(1+x+x^2))(y-x^{0.5})(y-x^{0.6})(y-x^{0.5} + x^2)\) ضربيه-س 3 وضربيه-س-زائِدَ 2.

لِيَكُن \(v: K((x)) \mapsto \mathbb{Q}\) خَرِيطَةِ التَقْيِيم المَعْرِفَةِ ب \(v(y) = k_0\).

مُقَدِّمَةِ

لِنَتَخَيَّل لِلَحْظَةٍ أَنَّ لَدَينا خوارزميه لِحِسابِ أَصْغَرِ جِذْرَ لَمُتَعَدِّده حُدُودِ \(Q\)، عَلَى سَبِيلِ المِثالِ، \(Q(y) = (y - (1+x+x^2)) (y-(2+x+x^2))\) فَوْقَ حَقْلِ سَلاسِل Puiseux. فِي هٰذِهِ الحالَةِ، الجَذْر الأَصْغَرِ هُوَ \((1+x+x^2)\). الصَغِيرِ يَعْنِي الجَذْر الَّذِي يَحْتَوِي عَلَى مَعامِلِ رَئِيسِيٍّ بِأَصْغَر تَقْيِيمِ، فِي هٰذِهِ الحالَةِ. لٰكِنَّنا نَسْتَطِيع فَقَط حِسابِ مُصْطَلَحه بِأَعْلَى تَقْيِيمِ، أَيّ \(1\). كَيْفَ يُمْكِننا المُضِيَّ قَدَماً لِحِسابِ المُصْطَلَحاتِ التالِيَةِ لِلجَذْر؟ قَد تَبْدُو الإِجابَةَ واضِحَةٍ: مِن خِلالَ تَحْوِيلِ جُذُورُ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ \(Q\). الآنَ لَدَينا مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ المُحَوِّلَة \[Q_{shift} = (y - (x+x^2)) (y-(1x+x^2))\] وَيُمْكِننا بِسُهُولَةٍ حِسابِ المُصْطَلَحِ التالِي بخوارزميتنا: \(x\). فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ سَنَسْتَكْشِف هٰذِهِ الفِكْرَةِ، بِشَكْلٍ رَئِيسِيٍّ: 1. كَيْفِيَّةِ تَطْوِيرِ خوارزميه لِحِسابِ أَصْغَرِ جِذْرَ تَحْتَ ظُرُوفٍ مُعَيَّنَةٍ 2. كَيْفِيَّةِ تَحْوِيلِ وَتَحْوِيلِ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ لَدَينا لِتَلْبِيَةِ هٰذا الشَرْطُ يُمْكِن أَيْضاً رُؤْيَةٍ نَظْرَةٌ عامَّةٍ جَيِّدَةٍ لِهٰذِهِ العَمَلِيَّةِ فِي القِسْمِ [algorithm]. تُوجَد طُرُقٍ مُماثِلَةٍ لِحَلِّ هٰذِهِ المُشْكِلَةِ عَبْرَ سَلاسِل Puiseux وَسَلاسِل القُوَّةِ عَلَى سَبِيلِ المِثالِ فِي شَكْلٍ قاعِدَةِ Hensel وَنُسَخها المُطَوِّرَة (neiger) أَو فِي طَرِيقَةِ Newton Puiseux (brieskorn2012plane).

النَتِيجَةُ الرَئِيسِيَّةِ

فِي هٰذا القِسْمِ، نَعْرِض النَتِيجَةُ الرَئِيسِيَّةِ. تَعْمَل هٰذِهِ الطَرِيقَةِ عَن طَرِيقِ تَقْلِيصِ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ الخاصَّةِ بِنا إِلَى مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِ أَصْغَرِ، تَحْتَ شُرُوطٍ مُعَيَّنَةٍ. فِي القِسْمِ 4 سَنَرَى كَيْفَ يُمْكِننا تَحْوِيلِ كُلِّ مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِ إِلَى واحِدَةٍ تُلَبِّي هٰذِهِ الشُرُوطِ بِالضَبْطِ. نَحْسِب جِذْرَ مَعامِلِ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ مُعامِلا تُلُوَّ الآخَرِ كَما فِي خوارزميه نِيُوتُن-بويزو الأَصْلِيَّةِ.

لِتَكُن \(Q : K((x)) \mapsto K((x))\) مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِ فَوْقَ حَقْلِ سَلاسِل بويزو، \(Q(y) = a_{d_y} y^{d_y} + ... + a_1 y + a_0, d_y \in \mathbb{N^+}\). لِتَكُن \(\alpha_1,...,\alpha_n\) جُذُورُ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ لَدَينا وَلِتَكُن \(v(a_i) \geq 0, i \in \{1,...,d_y\}\). الآنَ نَفْتَرِض \(v(\alpha_j) \geq e > 0 \ , j \in \{1,...,s\}\)، \(s \in \{1,...,d_y-1\} , e \in \mathbb{Q}\)، مَعَ \(v(\alpha_j) = e\) لِ \(j \in \{1,...,s^+\}, s^+ >1\). \(s\) هِيَ بِالضَبْطِ \(s-\)multiplicity لِ \(\alpha_j\)، \(s^+\) هِيَ \(s^+\)-Multiplicity. \(e\) هُوَ أَصْغَرِ تَقْيِيمِ لِجَمِيعِ \(\alpha_j\). يُمْكِننا أَيْضاً تَمْثِيلِ هٰذِهِ الجُذُورِ ك \(\alpha_j = c_{1_j} x^{e} + c_{2_j} x^{e + \gamma_{2_j}} + c_{3_j} x^{e + \gamma_{2_j} + \gamma_{3_j}} ..., \gamma_j \in \mathbb{Q}, j \in \{1,...,s^+\}.\) الآنَ الهَدَفَ مِن هٰذا النَظَرِيَّةِ هُوَ حِسابِ \(c_{1_j}, j \in \{1,...,s^+\} \). نَفْتَرِض أَيْضاً \(v(\alpha_j) = 0, \ \forall j \in \{s+1,...,d_y\}.\) نَنْظُر الآنَ إِلَى مُعامَلاتِ \(Q\). نَتَذَكَّر \[a_i = b_{i_0}x^{\delta_1} + b_{i_1}x^{\delta 1 + \delta_2} + ..., \ \delta_k \in \mathbb{Q}, k \in \mathbb{N^+} .\] لِتَكُن الآنَ \(Q_R(x) = b_{s_{min}}x^{d_y} + ... + b_{1_{min}} x\) بِحَيْثُ \(b_{i_{min}} := \min_{l \in \{1,...,d_x\}} \{b_{i_l} \neq 0 \}, i \in \{1,...,s\}\). ثُمَّ تَكُون جُذُورُ \(Q_R\) هِيَ بِالضَبْطِ \(c_{1_j}\). ثُمَّ \(Q_R\) هِيَ مِن الدَرَجَةِ \(s\)، وَجُذُور \(c^+\) هِيَ بِالضَبْطِ \(c_{1_j} j \{1,...,s^+\}\) الَّتِي تَنْتَمِي إِلَى الجُذُورِ ذاتِ التَقْيِيم الأَدْنَى. الجُذُورِ الأُخْرَى \(s-s^+\) هِيَ صِفْر.

نَعْلَم أَنَّ \(c_{1_j}, j \in \{1,...,s^+\}\) كَوْنُها المَعامِلُ الصَحِيحِ لَجَذْر \(Q\) يُعادِل \(Q(c_{1_j} x^{e}) \mod x^{e'} \equiv 0\)، أَيّ أَنَّ \(c_{1_j}x\) هُوَ جِذْرَ لِ \(Q(y) \mod x^{e'}\). \(e' \in \mathbb{Q}\) هُوَ فِي هٰذِهِ الحالَةِ أَيّ رَقْمِ أَكْبَرَ مِن \(s \cdot e\) وَأَصْغَر مِن إِس أَيّ حَدٍّ مِن \(Q\)، الَّذِي لَهُ تَقْيِيمِ أَكْبَرَ مِن \(e\). يُمْكِن أَيْضاً رُؤْيَةٍ ذٰلِكَ مِن خِلالَ النَظَرِ إِلَى مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ فِي تَحْلِيلها العامِلِيّ. نُظْهِر أَنَّ \(Q(\beta x^e) = Q_R(\beta x^e) \mod x^{e'}\): \[\begin{aligned} Q(\beta x^e) &\equiv a_{d_y} (\beta x^e)^{d_y} + ... + a_1 \beta x^e + a_0 \mod x^{e'} \\ &\equiv a_{d_y} ^* (\beta x^e)^{d_y} + ... + a_1^* (\beta x^e) + a_0^* + \left( b_{d_{y_{min}}}(\beta x^e) ^{d_y} + ... + b_{1_{min}}(\beta x^e) + b_{0_{min}} \right) \mod x^{e'} \\ &\equiv b_{d_{y_{min}}}(\beta x^e)^{d_y} + ... + b_{1_{min}}(\beta x^e) + b_{0_{min}} \mod x^{e'} \\ &\equiv b_{s_{min}}(\beta x^e)^s + ... + b_{1_{min}}(\beta x^e) + b_{0_{min}} \mod x^{e'} \\\end{aligned}\] لِ \(a_i^{*} = a_i - b_{i_{min}}, i \in \{1,...,d_y\}\).

لُذّاً لِلخُلاصَة: عِنْدَما نَحِلّ \(Q_R\) نَحْصُل عَلَى الحُلُولِ \(c_{1_j}x^e\). سَنَشْرَح كَيْفِيَّةِ حَلٍّ \(Q_R\) بِمُساعَدَةِ التَحَوُّلاتِ فِي القِسْمِ 4. لِتَطْبِيقِ هٰذِهِ النَظَرِيَّةِ، نَحْتاج إِلَى تَلْبِيَةِ الشَرْطُ \(v(\alpha_j) \geq e > 0, j \in \{1,...,s\}\) مَعَ \(v(\alpha_j) = e\) لَواحِد عَلَى الأَقَلِّ \(j \in \{1,...,s\}\) وَ \(v(\alpha_k) = 0, \ \forall k \in \{s+1,...,d_y\}\) (1). نَحْتاج أَيْضاً إِلَى الحُصُولِ عَلَى \(e\) (2) وَ \(s\) (3). بِمُجَرَّدِ تَطْبِيقِ هٰذِهِ الخَطْوَةِ، يُمْكِننا اِسْتِخْراج (1), (2)، وَ (3)، لِلخَطْوَة التالِيَةِ، مِن مَجْمُوعَةِ جُذُورُ \(Q_R\). يُمْكِننا المُضِيَّ قَدَماً بِنَفْسِ الطَرِيقَةِ لِمُواجَهَةِ المُعامَلاتِ التالِيَةِ \(c_{2_k},...,c_{d_{y_l}}\)، بُعْدَ تَحْوِيلِ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ لَدَينا لِتَلْبِيَةِ اِفْتِراضنا مَرَّةً أُخْرَى. \(k\) وَ \(l\) هُما الفَهارِس المُقابَلَةِ.

التَحَوُّلُ الأُولَى لِلمُتَعَدِّدَة الحُدُودِ

فِي هٰذا القِسْمِ، سَنُثْبَت كَيْفِيَّةِ تَحْوِيلِ مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِ \(Q: K((x^\frac{1}{n})) \mapsto K((x^\frac{1}{n}))\) إِلَى واحِدَةٍ تُلَبِّي الشَرْطُ (1)، إِذا لَم تَكُن كَذٰلِكَ بِالفِعْلِ، وَكَيْفِيَّةِ اِسْتِخْراج (2) وَ(3). نَبْدَأ أَوَّلاً بِنَظَرِيَّة مَعْرُوفَةٍ:

لِنَفْتَرِض أَنَّ لَدَينا مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِ \(P\) فَوْقَ \(K\)، مَعَ \(\alpha_1,...,\alpha_n, n \in N^+\) كَجُذُور لَها. ثُمَّ لِأَيّ ثابِتٌ \(c \in K\) تَكُون مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ ذاتِ الجُذُورِ \(\alpha_1 + c,...,\alpha_n +c \) عَلَى الشَكْلِ \[Q(y)=P(y-c)=a_{n}(y-c)^{n}+a_{n-1}(y-c)^{{n-1}}+\cdots +a_{{0}}.\] وَمُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ ذاتِ الجُذُورِ \(c\alpha_1,...,c\alpha_n\) تَكُون عَلَى الشَكْلِ \[Q(y) = a_{n}y^{n}+a_{n-1}cy^{{n-1}}+\cdots +a_{{0}}c^{n}.\]

نَبْدَأ الآنَ ب(1). يُمْكِننا التَحَقُّقِ مِن (1) بِحِساب الأَجْزاء الثابِتَةِ مِن الجُذُورِ عَبْرَ \(Q_{|x=0}\). إِذا كانَ لَدَينا عَلَى الأَقَلِّ جِذْرَ واحِدٍ مِن \(Q_{|x=0}\) غَيْرِ مُساو لِلصِفْر وَآخَرَ مُساو لِلصِفْر فَإِنَّنا نُلَبَّى الشُرُوطِ. التَحَقُّقِ مِن \(Q_{|x=0}\)، بِشَكْلٍ رَئِيسِيٍّ لِلحُصُولِ عَلَى الجُزْء الثابِتُ مِن جِذْرَ \(Q\)، هُوَ تَقْنِيَّةٍ شائِعَةٍ وَيُمْكِن رُؤْيَتَها عِنْدَ النَظَرِ إِلَى \(Q\) فِي تَمْثِيلِ العَوامِلُ الخَطِيَّة. الحالَةِ 1 أَوَّلاً، نُرِيد التَأَكُّدَ مِن أَنَّ \(v(\alpha_j) = 0\) صَحِيحٌ لَعَلِيّ الأَقَلِّ \(i \in \{1,...,d_y\}\). ماذا لَو كانَت جَمِيعِ جُذُورُ \(Q_{|x=0}\) صِفْرا لِجَمِيعِ \(j \in \{1,...,d_y\}\)؟ فِي هٰذِهِ الحالَةِ، نَحُول مُتَعَدِّدات حُدُودِنا عَبْرَ الضَرْبِ كَما فِي النَظَرِيَّةِ 1. لِهٰذا الغَرَضِ، نَحْتاج فِعْلاً إِلَى مَعْرِفَةُ \(e\)، تَقْيِيمِ \(\alpha_j\)، وَالَّذِي يُمْكِننا الحُصُولِ عَلَيهِ عَبْرَ مُضَلَّع نِيُوتُن لَمُتَعَدِّده حُدُودِنا. وَبِالتالِي نَضْرِب جُذُورنا ب\(a^e\). العَوْدَةِ إِلَى مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِنا المُحَوِّلَة الآنَ، الَّتِي تَحْمِل \(v(\alpha_j) = 0\) صَحِيحٌ لَعَلِيّ الأَقَلِّ واحِدٍ \(j \in \{1,...,d_y\}\). الحالَةِ 2 الآنَ نَتَحَقَّق إِذا كانَ \(v(\alpha_j) > 0\) صَحِيحٌ لَعَلِيّ الأَقَلِّ واحِدٍ \(j \in \{1,...,d_y\}\) لِنَفْتَرِض أَنَّ لَدَينا \(v(\alpha_j) = 0, \forall i \in \{1,...,n\}\)، ثُمَّ يُمْكِننا الحُصُولِ عَلَى الحَدِّ الثابِتُ لِ \(\alpha_j\) بِتَقْيِيم \(Q_{|x=0}\) وَأَخْذٍ جُذُورُهُ، كَما ناقَشْنا بِالفِعْلِ. بِمُجَرَّدِ حُصُولنا عَلَى جَمِيعِ الأَجْزاء الثابِتَةِ \(c_j\) لِ \(\alpha_j\)، سَنَسْتَخْدِمها لِتَحْوِيلِ مُتَعَدِّدَةِ حُدُودِنا بِمُساعَدَةِ النَظَرِيَّةِ 1. إِذا اِنْتَهَيْنا بِمُتَعَدِّده حُدُودِ تَحْمِل \(v(\alpha_j) > 0\) لِجَمِيعِ \(j \in \{1,...,d_y\}\)، نَعُود إِلَى الحالَةِ 1. إِذا لَم يَكُن كَذٰلِكَ، فَلَدَينا واحِدَةٍ بِالشَرْط المَطْلُوبِ. الآنَ يُمْكِننا أَخِيراً التَحَدُّثَ عَن الحالَةِ عِنْدَما يَتِمّ تَلْبِيَةِ (1): نَحْسِب جُذُورُ \(Q_{|x=0}\) أَو نَأْخُذ الجُذُورِ المَحْسُوبَة بِالفِعْلِ، واحِدها الآنَ غَيْرِ مُساو لِلصِفْر. دَعُونا نُسَمِّيه \(\alpha_k, k \in \{1,...,d_y\}.\) فِي هٰذِهِ الخَطْوَةِ نَحْصُل بِالفِعْلِ عَلَى \(s\) -multiplicity لِذٰلِكَ الجَذْر، وَهُوَ بِالضَبْطِ الضُعْفِ الَّذِي نَحْتاجه لَخَطْوَتنا التالِيَةِ. بُعْدَ هٰذا الحِسابِ، نَحُول مَرَّةً أُخْرَى، وَهٰكَذا، نَصِل إِلَى جَذْرنا تَدْرِيجِيّاً.

الخوارزميه

التَعْقِيدِ

الخوارزميه

فِي هٰذا القِسْمِ، سَنَسْتَكْشِف الخوارزميه بِالتَفْصِيلِ. يُمْكِن العُثُورِ عَلَى تَنْفِيذِ لَها فِي (ragon). أَوَّلاً، نَقُوم بِتَعْرِيف فِئَةٌ المَعْلُوماتِ الَّتِي تَحْفَظ كُلِّ المَعْلُوماتِ المُهِمَّةِ لَدَينا. عِنْدَ تَهْيِئَةِ الخوارزميه، نَقُوم بِإِنْشاءِ كائِن مِن فِئَةٌ المَعْلُوماتِ، مَعَ دِقَّةٍ مُحَدَّدَةٍ \(d\)، قائِمَةً فارِغَةً root_dict_list، وَ x_lift بِقِيمَةِ \(0\). يُمْكِن دائِماً حِسابِ الأَلْفا الحالِيَّةِ مِن خِلالَ دَمْجِ أَجْزاءِ جَذْرنا مِن root_dict_list. ثُمَّ نُعْطِي كائِن المَعْلُوماتِ إِلَى الطَرِيقَةِ calculate_smallest_root، طَرِيقَتِنا الرَئِيسِيَّةِ: كَما نَرِي فِي [alg:calculate]، نَتْبَع العَمَلِيَّةِ المَوْصُوفَة فِي الأَقْسام 3 وَ 4. نَبْدَأ أَوَّلاً بِحِساب الاِنْتِقالِ الأُولَى، لَجَلْب مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ الخاصَّةِ بِنا إِلَى الشَكْلِ \(v(\alpha_j) \geq e > 0, j \in \{1,...,s\}\) مَعَ \(v(\alpha_j) = e\) لَواحِد عَلَى الأَقَلِّ \(j \in \{1,...,s\}\) وَ \(v(\alpha_k) = 0, \ \forall k \in \{s+1,...,d_y\}\)، كَما هُوَ مَوْصُوفٌ فِي (1). فِي هٰذِهِ العَمَلِيَّةِ، نَحْصُل بِالفِعْلِ عَلَى الجُزْء الأَوَّلِ مِن جَذْرنا الأَوَّلِ أَلْفاً. هٰذا يَجْلُب لَنا أَيْضاً \(s-\) الضُعْفِ مِن الجُزْء التالِي مِن الجَذْر. فِي الحَلْقَةِ التَكْرارِيَّة، الَّتِي تَبْدَأ فِي السَطْرِ 4، نَبْدَأ بِتَحْوِيلِ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ الخاصَّةِ بِنا أُفُقِيّا، بِحَيْثُ تَحْصُل عَلَى الشَكْلِ (1) مَرَّةً أُخْرَى. تَحْوِيلِ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ أُفُقِيّا يَعْنِي إِضافَةً ثابِتٌ إِلَى جَذْرها. طَرِيقَةِ الاِنْتِقالِ الأُولَى تَحَسُّب جُذُورُ \(p_{|x=0}\) فِي السَطْرِ 1 مَعَ get_sub_x_root. ثُمَّ نَقُوم بِتَحْوِيلِ مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ الخاصَّةِ بِنا عَمُودِيّاً إِذا كانَت جَمِيعِ الجُذُورِ، فِي هٰذِهِ الحالَةِ المَوْصُوفَة بِواسِطَةِ shift_number، غَيْرِ مُساوِيَةً لِلصِفْر. التَحْوِيلِ العَمُودِيّ يَعْنِي ضَرْبِ الجُذُورِ بِثابِت. الخوارزميه [alg:calculate_q] هِيَ نَفْسِها [alg:calculate_i] وَلٰكِنَّها لا تُعِيد أَيّ شَيْء. الخوارزميه [alg:golden] تَصِف بِالضَبْطِ عَمَلِيَّةِ اِسْتِخْراج \(p_R\) مِن مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ \(p\)، تَماماً كَما اِسْتَخْرَجَنا \(Q_R\) مِن \(Q\) فِي النَظَرِيَّةِ 1. هُنا مِن المُمْكِنِ أَيْضاً التَحَقُّقِ مِمّا إِذا كانَت مُتَعَدِّدَةِ الحُدُودِ \(p_R\)، الَّتِي تُسَمَّى new_poly فِي الكود وَالشَفْرَة الزائِفَة، لَها شَكْلٍ بَسِيطٍ جِدّاً عَلَى سَبِيلِ المِثالِ عِنْدَما تَتَكَوَّن فَقَط مِن جِذْرَ واحِدٍ بِضُعْفِ \(s\). هٰذا مِن شَأْنِهِ أَنَّ يَعْنِي أَنَّ ضُعْفُها \(s\) وَضُعْفها \(s^+\) هُما نَفْسِ الشَيْء. ثُمَّ نَبْدَأ نَفْسِ العَمَلِيَّةِ كَما فِي طَرِيقَةِ الاِنْتِقالِ الأُولَى لِحِسابِ جُذُورُ \(p_R\) أَيّ new_poly.